常用a_N曲线拟合方法的比较
常用函数的逼近和曲线拟合
常用函数的逼近和曲线拟合在数学中，函数逼近和曲线拟合都是常见的问题。
函数逼近是指找到一个已知函数，尽可能地接近另一个函数。
而曲线拟合则是给定一组数据点，找到一条曲线来描述这些数据点的分布。
本文将讨论常用的函数逼近和曲线拟合方法。
一、函数逼近1. 插值法插值法是最简单的函数逼近方法之一。
它的基本思想是：给定一组已知点，通过构造一个多项式，使得该多项式在这些点处的函数值与已知函数值相等。
插值法的优点是精度高，缺点是易产生龙格现象。
常用的插值多项式有拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式。
拉格朗日插值多项式的形式为：$f(x)=\sum_{i=0}^{n}y_{i}\prod_{j=i,j\neq i}^{n}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}$其中，$x_{i}$是已知点的横坐标，$y_{i}$是已知点的纵坐标，$n$是已知点的数量。
牛顿插值多项式的形式为：$f(x)=\sum_{i=0}^{n}f[x_{0},x_{1},...,x_{i}]\prod_{j=0}^{i-1}(x-x_{j})$其中，$f[x_{0},x_{1},...,x_{i}]$是已知点$(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),...,(x_{i},y_{i})$的差商。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的函数逼近方法。
它的基本思想是：给定一组数据点，找到一个函数，在这些数据点上的误差平方和最小。
通常采用线性模型，例如多项式模型、指数模型等。
最小二乘法的优点是适用性广泛，缺点是对于非线性模型要求比较高。
最小二乘法的一般形式为：$F(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}\varphi_{i}(x)$其中，$a_{i}$是待求的系数，$\varphi_{i}(x)$是一组已知的基函数，$n$是基函数的数量。
最小二乘法的目标是使得$\sum_{i=1}^{m}[f(x_{i})-F(x_{i})]^{2}$最小，其中$m$是数据点的数量。
数据拟合
%%%%%%%数据拟合根据一组二维数据，即平面上的若干点，要求确定一个一元函数y =f(x)，即曲线，使这些点与曲线总体来说尽量接近。
这就是数据拟合成曲线的思想，简称为曲线拟合(fitting a curve)。
曲线拟合其目的是根据实验获得的数据去建立因变量与自变量之间有效的经验函数关系，为进一步的深入研究提供线索。
本章的目的，掌握一些曲线拟合的基本方法，弄清楚曲线拟合与插值方法之间的区别,学会使用MATLAB软件进行曲线拟合。
§5.1 引例拟合问题引例一电阻问题已知热敏电阻电阻值与温度的数据：求温度为63度时的电阻值。
拟合问题引例二给药问题一种新药用于临床之前，必须设计给药方案。
药物进入机体后血液输送到全身，在这个过程中不断地被吸收、分布、代谢，最终排出体外，药物在血液中的浓度，即单位体积血液中的药物含量，称为血药浓度。
一室模型：将整个机体看作一个房室，称中心室，室内血药浓度是均匀的。
快速静脉注射后，浓度立即上升；然后迅速下降。
当浓度太低时，达不到预期的治疗效果；当浓度太高，又可能导致药物中毒或副作用太强。
临床上，每种药物有一个最小有效浓度c 1和一个最大有效浓度c 2。
设计给药方案时，要使血药浓度 保持在c 1~c 2之间。
本题设c 1=10，c 2=25(ug/ml).要设计给药方案,必须知道给药后血药浓度随时间变化的规律。
从实验和理论两方面着手：在实验方面, t=0时对某人用快速静脉注射方式一次注入该药物300mg 后,在一定时刻t(小时)采集血药,测得血药浓度c(ug/ml)如下表:1. 在快速静脉注射的给药方式下，研究血药浓度（单位体积血液中的药物含量）的变化规律。
2. 给定药物的最小有效浓度和最大治疗浓度，设计给药方案：每次注射剂量多大；间隔时间多长。
§5.2 最小二乘法给定平面上的点(x i , y i )，（i = 1,2,…,n ），进行曲线拟合有多种方法，其中最小二乘法是解决曲线拟合最常用的方法。
关于几种曲线拟合基本方法的比较
关于几种曲线拟合基本方法的比较学院：材料科学与工程学院专业：材料学（博）姓名：郑文静学号： 1014208040在实际工作中，变量之间的关系未必都是线性关系，更多时候，它们之间呈现出了曲线关系，在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到一些x 和y 数据，为了对位置点进行研究，很多时候，我们通过曲线拟合的方式，将这些离散点近似为一条连续的曲线，从而来预测或者得到所需结果。
曲线拟合的方法很多，本文中，主要讨论了曲线拟合的三种基础方法-- 插值法、磨光法、最小二乘法的特点，并对其在科学实验和生产实践中的应用性进行了比较。
插值法是函数逼近的一种基本方法，插值法就是通过函数在有限个点处的取值情况，估算出函数在其他点处的近似值。
插值法中，选取不同的插值公式，来满足实际或运算需求，得到拟合的函数。
其中，最基础的插值方法是三弯矩法，该方法是利用拉格朗日插值为基础，已知平面中的 n+1 个不同点，寻找一条n 次多项式曲线通过这些点。
该曲线具有唯一性。
另外，还有三转角法，该方法是利用Henmiter 插值为基础，其思路与三弯矩法相同，已知条件有所差别，在 Henmiter 插值中，不仅已知函数在一些点的函数值，而且，还知道它在这些点的导数值，甚至知道其高阶导数值，要求所求函数不仅满足过这些点，同时也要求其导函数，甚至高阶导函数满足条件。
采用Henmiter 插值法求得的多项式比拉格朗日法求得的多项式有较高的光滑逼近要求。
此外，还有以分段和B-样条函数为基础的δ -基函数法，其中，样条函数是：对于 [a,b] 上的划分，称函数 S(x)为[a,b]上关于划分△的 k 次样条函数，记做 S k，△ [a,b] 。
该方法避免了高次插值可能引起的大幅度波动现象，在实际中通常采用分段低次插值来提高近似程度。
插值法常用于填充图像变换时像素之间的空隙。
磨光法是适应保凸性要求的数据拟合方法。
积分可以改变函数的光滑度，而微商是积分的逆运算，对函数进行积分，然后在微商，可以将函数还原。
非线性成长曲线拟合方法研究与比较
非线性成长曲线拟合方法研究与比较引言：在现实生活中，我们经常会遇到各种各样的非线性成长曲线，这些曲线往往能够更好地反映事物的发展特征。
然而，对于非线性成长曲线的拟合方法常常面临挑战，因为这些曲线通常具有复杂的形状和特征。
本文将研究和比较几种常见的非线性成长曲线拟合方法，旨在找到最适合拟合非线性成长曲线的方法。
一、指数增长模型指数增长模型是一种简单但常用的非线性成长曲线拟合方法。
该模型可以描述随着时间的推移，以指数形式增长的现象。
其数学表达式为：Y = a * exp(b * X)其中，Y表示因变量，X表示自变量，a和b为拟合参数。
二、对数增长模型对数增长模型也是一种常用的非线性成长曲线拟合方法。
该模型可以描述随着时间的推移，以对数形式增长的现象。
其数学表达式为：Y = a * ln(b * X)其中，Y表示因变量，X表示自变量，a和b为拟合参数。
三、S型增长模型S型增长模型是一种常见的非线性成长曲线拟合方法，该模型可以描述随着时间的推移，以一个"S"型的曲线形式增长的现象。
常用的数学表达式为：Y = c / (1 + exp(-a * (X - b)))其中，Y表示因变量，X表示自变量，a、b和c为拟合参数。
四、多项式回归模型多项式回归模型是一种常见的非线性成长曲线拟合方法，该模型可以通过多项式函数对非线性关系进行建模。
其数学表达式为：Y = a0 + a1 * X + a2 * X^2 + ... + an * X^n其中，Y表示因变量，X表示自变量，a0、a1、a2等为拟合参数。
五、神经网络模型神经网络模型是一种较为复杂但非常灵活的非线性成长曲线拟合方法。
该模型可以通过多层神经元之间的连接和权重调整，学习和拟合复杂的非线性关系。
神经网络模型可以根据实际问题的需要，调整网络结构和参数。
六、方法比较与选择针对不同的非线性成长曲线拟合任务，选择合适的方法是非常重要的。
以下是几种方法的特点和适用性比较：1. 指数增长模型：适合描述指数增长趋势，但对于其他类型的曲线可能表现不佳。
四参数逻辑函数与多项式拟合的区别
四参数逻辑函数与多项式拟合的区别
四参数逻辑函数与多项式拟合是数学建模技术中常用的两种方法，尤其在实验室常控
制分析中被广泛使用。
两者着重点不同影响也不同，差异化在于：
一、表征方式不同
四参数逻辑函数由四参数来表征实验数据的变化规律，表示方式有：Y=D+(A-
D)/[1+(X/C)^B]其中Y是归一化实验变量，A是曲线上拐点的Y值，D是线下拐点的Y值，B是衰减或增强的斜度，C是坐标系中拐点X处的值。
这四参数直观的映射出变化规律，
借助拟合算法，可以计算出变量Y的变化趋势，由此来预测未知的变量。
而多项式拟合的表达方式为：Y=a_0+a_1*X+a_2*X^2+...+a_n-1*X^n-1其中
a_0,a_1,...,a_n-1为多项式参数，X为定义的变量，Y为根据实验得出的实验变量的值，多项式拟合的思想是利用n个实验变量所确定的n维空间做拟合，这n个空间分别由n个
系数来确定。
二、应用范围不同
从理论角度来看，四参数逻辑函数更适合描述明显的变化趋势，而多项式拟合则更适
合处理微小的变化曲线。
四参数逻辑函数的效果往往比多项式拟合的效果要好，即使只有
少量的实验数据也可以准确拟合目标曲线，实验数据能够较大角度来衡量实验结果的模型，从而实现较好的决策效果，甚至是超出预期的精度提升。
但四参数逻辑函数有其拟合能力
的限制，而多项式拟合具有很强的拟合能力，它可以拟合出任何微小变化的曲线，尤其是
当变化趋势复杂时，多项式拟合的优势更加突出。
总结起来，四参数逻辑函数更适用于明显的变化趋势拟合，而多项式拟合则更适合小
变化曲线，而且拟合精度也更高。
曲线拟合方法及程序设计
摘要随着现代社会的发展，大量的统计数据和科学实验数据变得容易获得，数据变得越来越复杂，甚至还会有噪声等干扰信息。
曲线拟合就是找到一组数据点的内在规律，使用曲线近似的拟合这些数据，形成数学模型，对事务进行有效的预测和规划，来获得更大的效益，被广泛应用于社会各个领域，具有重要的实际应用价值。
本文旨在了解一些常用的曲线拟合方法及其原理，根据理解，设计并完成相应的曲线拟合程序，方便使用。
首先，对于有函数解析模型的曲线拟合，都是运用的最小二乘思想进行求解，根据模型种类分为三类：1，线性函数模型，举例一元线性函数的运算过程，通过正规方程求解得到拟合系数，最后根据这些原理，设计并完成了：从1阶到9阶的多项式拟合，幂函数拟合的线性最小二乘拟合程序；2，可线性化的非线性函数：通过变量变换将模型线性化，再进行线性最小二乘拟合；3，不可线性化的非线性函数，求解方法是将目标函数泰勒级数展开，迭代求解的方法有很多，本文实现的方法有3种：高斯牛顿法，信赖域—Dogleg法，LMF法。
最后通过五个实例计算，进行线性最小二乘拟合和非线性拟合，对比分析对于同一组数据，应用不同拟合方法或者不同模型所产生的结果，分析结果并结合实际发现，线性最小二乘拟合对于现实中的很多数据并不适用，将非线性函数线性化之后，有时会放大噪声，使得矩阵奇异，拟合不收敛或者没有非线性拟合准确。
进行非线性拟合时，对比三种方法，发现LMF法可以有效的避免矩阵为奇异值。
初始值只影响LMF法迭代的次数，对结果的影响并不大，而对于高斯牛顿法和信赖域—Dogleg法，很差的初始值会使得矩阵为奇异值或者接近奇异值，从而无法收敛，得不到拟合结果或者得到的结果拟合精度太差。
而当初始值良好的时候，高斯牛顿法的迭代求解速度最快。
而信赖域—Dogleg法，相较于另外两种方法，拟合精度和拟合速度都差了一些。
关键词：曲线拟合；最小二乘；高斯牛顿法；信赖域—Dogleg法；LMF法；对比分析1.绪论1.1.毕业论文研究的目的意义随着现代社会的发展，获取大量的数据将变得更加容易，在实际生活中，收集到的数据的复杂性将逐渐增加，并且会生成噪声，背景和其他干扰信息。
数学建模中的参数拟合方法
数学建模中的参数拟合方法数学建模是研究实际问题时运用数学方法建立模型，分析和预测问题的一种方法。
在建立模型的过程中，参数拟合是非常重要的一环。
所谓参数拟合，就是通过已知数据来推算模型中的未知参数，使模型更加精准地描述现实情况。
本文将介绍数学建模中常用的参数拟合方法。
一、最小二乘法最小二乘法是一种常用的线性和非线性回归方法。
该方法通过最小化误差的平方和来估计模型参数。
同时该方法的优点在于可以使用简单的数学公式解决问题。
最小二乘法的基本思想可以简单地表示如下：对于给定的数据集合，设其对应的观测值集合为y,$y_1,y_2,...,y_n$，对应的自变量集合为x,$x_1,x_2,...,x_n$，则目标是找到一组系数使得拟合曲线最接近实际数据点。
通常拟合曲线可以用如下所示的线性方程表示：$$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_kx^k$$其中，k为拟合曲线的阶数，$a_i$表示第i个系数。
最小二乘法的目标即为找到一组系数${a_0,a_1,...,a_k}$，使得曲线拟合残差平方和最小：$$S=\sum_{i=1}^{n}(y_i-f(x_i))^2$$则称此时求得的拟合数学模型为最小二乘拟合模型。
最小二乘法在实际问题中应用广泛，如线性回归分析、非线性回归分析、多项式拟合、模拟建模等领域。
对于非线性模型，最小二乘法的数学公式比较复杂，需要使用计算机编程实现。
二、梯度下降法梯度下降法是一种优化算法，通过求解函数的导数，从而找到函数的最小值点。
在数学建模中，梯度下降法可以用于非线性回归分析，最小化误差函数。
梯度下降法的基本思想为：在小区间范围内，将函数$f(x)$视为线性的，取其一阶泰勒展开式，在此基础上进行优化。
由于$f(x)$的导数表示$f(x)$函数值增大最快的方向，因此梯度下降法可以通过调整参数的值，逐渐朝向函数的最小值点移动。
具体地，对于给定的数据集合，设其对应的观测值集合为y,$y_1,y_2,...,y_n$，对应的自变量集合为x,$x_1,x_2,...,x_n$，则目标是找到一组系数使得拟合曲线最接近实际数据点。
《数值分析》第5章 曲线拟合与函数插值
例如用函数
y Aebx
(5.8)
去拟合一组给定的数据，其中 A和 b是待定参这数时. ，可以在 (5.8) 式两端取
对数，得
ln y ln A bx
记 y ln y，a ln A，则上式可写成 y a b. x这样，仍可用最小二乘法解出
和 a (从而b 也就确定了 和 A) ，于b 是得到拟合函数
区间 [a,b]上是存在的，但往往不知道其具体的解析表达式，只能通过观察、
测量或实验得到一些离散点上的函数值.
我们希望对这种理论上存在的函数用一个比较简单的表达式近似地给出整体 上的描述.
此外，有些函数虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂而不便于进行理论 分析和数值计算，我们同样希望构造一个既能反映函数特性又便于计算的简 单函数，近似替代原来的函数.
图5-1 人口增长的线性模型
5.1.1 最小二乘问题
设人口 y 与年份 x之间的函数关系为
y a bx
（5.1）
其中 a和 b 是待定参数. 由图5-1可知， (xi , yi并) 不是严格地落在一条直线上，
因此，不论怎样选择 和 a，都b不可能使所有的数据点
(x均i ,满yi )足关系
式 (5.1) .
s0 10, s1 545, s2 29785, u0 18.09, u1 987.78
于是正规方程组为
10 545 a 18.09 545 29785 b 987.78
5.1.2 最小二乘拟合多项式
解得 a 0.570，4 b 0.02，27于是 A ea 1.76，90所求拟合函数为
21 91
441
a1
163
91 441 2275 a2 777
解得 a0 26.8，a1 14.08，57 a2 ，2因此所求拟合多项式为
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
·24· 设计与研究 机械 2009年第2期 总第36卷
———————————————
收稿日期：2008－10－09 作者简介：王红军（1981－），男，硕士研究生，主要研究方向为疲劳可靠性设计；徐人平（1949－），男，博士，博士生导师，主要研究方向为疲劳可靠性设计。
常用a -N 曲线拟合方法的比较
王红军，徐人平
（昆明理工大学 机电工程学院，云南 昆明 650093）
摘要：在疲劳裂纹扩展研究中，a -N 曲线拟合精度对裂纹扩展速率的研究具有决定性的影响。
本研究采用我国自行研制的高强度合金钢GC4钢材的疲劳试验数据，将试验数据导入MATLAB 软件中，通过编写程序或利用其拟合工具箱得出不同方法所得到的a -N 曲线，然后分析这些方法拟合的误差平方和，得出具有最小误差平方和且具有统一公式的方法（即为所求的最佳拟合曲线）。
这种方法不仅适用于求GC4钢材的a -N 曲线，而且可用于其它材料的a -N 曲线。
关键词：裂纹扩展；a -N 曲线；曲线拟合
中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1006－0316 (2009) 02－0024－02
Comparison of common used a-N curve fitting method
WANG Hong-jun ，XU Ren-ping
（Kunming university of science and technology ，Kunming 650093，China ）
Abstract ：In the study of fatigue crack growth, a-N curve fitting accuracy has a decisive impact in the crack growth rate studies. In this study, we use our country self-developed high-strength alloy steel GC4 fatigue test data, we import the test data into MATLAB and can be get the curves of a-N through programming or using the fit toolbox of MATLAB, and then analyze the fitting square error of those methods. The method （which is seeking the best fitting curve ）which has the least square error and the unified formula can be got. This method not only applies to seek the a-N of GC4 steel, but also can be used for seeking the a-N curve of other materials.
Key words ：fatigue crack growth ；a -N curve ；curve fitting
工程构件的破坏形式主要有三种：磨损、腐蚀和断裂。
磨损和腐蚀进行得很缓慢，一般可通过定期检查、修理、更换来解决。
而断裂是突发性的，往往造成灾难性的设备事故或人身事故。
造成断裂的原因很多有，有过载低应力脆断、疲劳等。
据国外统计，机械零件的破坏50%~90%为疲劳破坏。
钢结构节点和材料的疲劳性能研究中，一般采用断裂力学方法，应用Paris 公式建立裂纹扩展速率d a /d N 和裂纹尖端应力强度因子∆K 之间的关系，即：
d ()d m a
C K N
=∆ 式中：C 和m 为材料的裂纹扩展参数，可用实验的方法获得。
由Paris 公式可见，在疲劳研究中裂纹扩展速率
是非常重要的指标。
为了得到裂纹扩展速率，生成裂纹长度对时间的数据必须处理成d a /d N ，不同的处理方法，常常导致裂纹扩展的分散性，从而影响作为应力强度因子∆K 函数的d a /d N 的统计分散性。
为了使裂纹扩展的分散性尽可能小，必须提高拟合a -N 曲线的精度。
目前拟合a -N 曲线的方法有很多种，如增量多项式局部拟合法，三参数幂函数拟合法，正交多项式拟合法等。
如何从这些方法中取得最佳拟合方法尤为重要，本文利用MATLAB 对几种常用的拟合方法进行检验，得到最佳拟合方法。
1 常用的a -N 曲线拟合方法
由图1可以看出a -N 数据点大致的分布情况，由数据点的分布规律从而找出较为合适的数学曲线进行拟合，根据其分布情况，比较常用的拟合方法
机械 2009年第2期 总第36卷 设计与研究 ·25·
有一下四种：
（1）多项式拟合法
2012...n a p p N p N pn N =+×+×++× 多项式次数越高，其拟合精度越高，但多项式次数超过某个值时，会出现龙格现象，因此本例采用三次多项式进行拟合。
图1 a -N 数据点的分布
（2）三参数幂函数法
0()N a a αβ=−
式中：a 0为裂纹扩展的初始值；α，β为待定常数。
（3）指数法
0()T a a c N N B e ⋅−=+⋅
式中：N c 为临界循环次数；a 0为裂纹扩展的初始值；B 、T 为待定常数。
（4）三次样条曲线法
3
3
11()()3!n
j
j j j j j S N b N c N N ===+−∑∑
满足条件：()i i S N a =。
衡量a -N 曲线拟合精度的高低，一般使用实际点和拟合曲线的误差的平方和，如果误差平方和越小，表示拟合精度越高。
误差平方和S ：^
1
()i
n
i i S a a ==−∑
式中：i a 为原始数据，^
i
a 为拟合曲线在i N 处的值。
2 应用实例
本文采用我国自行研制的无镍低合金超高强度GC4钢，试件号：435，C-T 取样，取样方式：L-T ，形状（B*W ）：20*80。
实验数据见表1所示。
本文在MATLAB 中，利用上述方法对a ，N 数据点进行拟合，其拟合后的图形如图2。
图中，点线为三次多项式拟合曲线，拟合多项式为：
1439243.43510 2.70810 2.2471026.82
a N N N −−−=××−××+××+ 点划线为三参数幂函数拟合曲线，其公式为：
9 1.9355.2141029.11a N −=××+ 实线为指数函数拟合法，其公式为：
6
5
5.23810
38.20510
27.31 4.75210N
N
a e e −−××−××=×+××
虚线为样条函数拟合的a -N 曲线。
上述拟合方法的误差平方和见表2
表1 GC4（棒材）裂纹扩展的实验数据
图2 a -N 数据拟合曲线 表2 拟合方法的误差平方和
3 结论
由表2可以看出，样条函数进行拟合的精度最佳，但样条函数表达式比较复杂，并且需要设置边界条件，而指数函数虽然拟合精度不如样条函数高，但其有确定的表达式，而且拟合比较方便，所以此组数据利用指数函数进行拟合为最佳拟合方法。
参考文献：
[1]李舜酩，编著. 机械疲劳与可靠性设计[M]. 北京：科学出版社，2006.
[2]陈杰，编著. matlab 宝典[M]. 北京：电子工业出版社，2008. [3]高镇同，主编. 疲劳应用统计学[M]. 北京：国防工业出版社，1986. [4]傅惠民，高镇同. a-N （a-t ）曲线三参数幂函数拟合法[J]. 航空学报，1989，（12）.
[5]王沫然，编著. Matlab 与科学计算（第二版）[M] .北京：电子出版社，2003.
寿命N ×10（次）73 149 217 277 340 395 445 裂纹长度a (min)28.35 29.35 30.35 31.30 32.30 33.30 34.30寿命N ×10（次）496 545 585 627 665 689 733 裂纹长度a (min)35.30 36.30 37.25 38.25 39.25 40.20 41.25寿命N ×10（次）763 788 813 837 856 869 880 裂纹长度a (min)
42.20 43.20 44.20 45.25 46.25 47.20 48.10
拟合方法 三次 多项式 幂 函数 指数
函数 样条函
数
误差平方和（SSE ）
0.9666 3.9109 0.2761
0.0357
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9×104
N （次数）
50
45 40 35 30
25
a /m m 1 2 3 4 5 6 7×104
N （次数）
5045403530
a /m m a VS N
三次多项式 三参数幂函数指数函数 三次样条函数。