江苏高考圆锥曲线专题

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压轴题10 圆锥曲线压轴解答题常考套路题型(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练(江苏专用)

压轴题10圆锥曲线压轴解答题常考套路题型解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量大．令同学们畏惧．通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点：（1）解析几何通性通法研究；（2）圆锥曲线中最值、定点、定值问题；（3）解析几何中的常见模型；解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”．所有的解析几何试题都是围绕这八个字的内容与三大考向展开．考向一：轨迹方程考向二：向量搭桥进行翻译考向三：弦长、面积范围与最值问题考向四：斜率之和差商积问题考向五：定值问题考向六：定点问题1、直接推理计算，定值问题一般是先引入参数，最后通过计算消去参数，从而得到定值．2、先猜后证，从特殊入手，求出定点或定值，再证明定点或定值与参数无关．3、建立目标函数，使用函数的最值或取值范围求参数范围．4、建立目标函数，使用基本不等式求最值．5、根据题设不等关系构建不等式求参数取值范围．1．（2023·北京海淀·统考一模）已知椭圆：2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ，上、下顶点分别为12,B B ，122B B =，四边形1122A B A B的周长为．(1)求椭圆E 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 与x 轴交于点P ，与椭圆E 交于不同的两点M ，N ，点M 关于y 轴的对称点为M '、直线M N '与y 轴交于点Q ．若OPQ △的面积为2，求k 的值．【解析】（1）由122B B =，得22b =，即1b =，由四边形1122A B A B的周长为，得=25a =，所以椭圆的方程为2215x y +=.（2）设直线l 的方程为y kx m =+（0k ≠，0m ≠），11(,)M x y ，22(,)N x y ，则(,0)m P k-，11(,)M x y '-，联立方程组2215x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得，222(51)10550k x kmx m +++-=，222(10)4(51)(55)0km k m ∆=-+->，得2251k m >-，1221051km x x k +=-+，21225551m x x k -=+，直线M N '的方程为212212()y y y y x x x x --=-+，令0x =，得211221221212(0)y y x y x y y x y x x x x -+=-+=++，又因为()()1221122112122102()51k x y x y x kx m x kx m kx x m x x k -+=+++=++=+，所以1(0,)Q m ，OPQ △的面积1122m k m ⨯-=，得14k =±，经检验符合题意，所以k 的值为14±.2．（2023·山西太原·太原五中校考一模）如图，小明同学先把一根直尺固定在画板上，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A 处，另一端固定在画板上点F 处，用铅笔尖扣紧绳子，让细绳紧贴住三角板的直角边，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上留下轨迹C .已知细绳长度为3cm ，经测量，当笔尖运动到点P 处时，30,90FAP AFP ∠∠== .设直尺边沿所在直线为a ，以过F 垂直于直尺的直线为x 轴，以过F 垂直于a 的垂线段的中垂线为y 轴，以1cm 为单位长度，建立平面直角坐标系.(1)求C 的方程；(2)过点()0,3D -且斜率为k 的直线l 与C 交于,M N 两点，k 的取值范围为()0,2，探究：是否存在λ，使得DM DN λ= ，若存在，求出λ.的取值范围，若不存在，说明理由.【解析】（1）依题意，笔尖到点F 的距离与它到直线a 的距离相等，因此笔尖留下的轨迹为以F 为焦点，a 为准线的抛物线，设其方程为22(0)y px p =>，则(,0)2p F ，由30,90FAP AFP ︒︒∠=∠=，得2PA PF =，又||||3PF PA +=，所以1PF =，所以点P 到直线a 的距离为1，由60FPA ︒∠=得点P 的横坐标122p -，而抛物线的准线方程为2p x =-，则11222p p -+=，解得32p =，所以轨迹C 的方程为23y x =.（2）假设存在λ，使得DM DN λ= ，设()()1122,,,M x y N x y ，直线l 的方程为3y kx =-，由233y kx y x=-⎧⎨=⎩消去y 得：22(63)90k x k x -++=，而(0,2)k ∈，22(63)363690k k k ∆=+-=+>，121222639,k x x x x k k++==，222121222112263()(14249)k x x x x k x x x x k k k ++++==++，由DM DN λ= 得12x x λ=，即12x x λ=，于是21142k kλλ+=++，令11(,)2t k =∈+∞，22214242(2)2t t t k k ++=++=+-17(,)4∈+∞，因此1174λλ+>，又0λ>，即217104λλ-+>，解得104λ<<或4λ>，所以存在1(0,(4,)4λ∈⋃+∞，使得DM DN λ= 成立.3．（2023·浙江杭州·统考二模）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，左、右顶点分别为A 、B ，点P 、Q 为椭圆上异于A 、B 的两点，PAB 面积的最大值为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线AP 、BQ 的斜率分别为1k 、2k ，且1235k k =．①求证：直线PQ 经过定点．②设PQB △和PQA △的面积分别为1S 、2S ，求12S S -的最大值．【解析】（1）当点P 为椭圆C 短轴顶点时，PAB 的面积取最大值，且最大值为112222AB b ab ab ⋅=⨯==，由题意可得22222c a ab c a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以，椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）①设点()11,P x y 、()22,Q x y .若直线PQ 的斜率为零，则点P 、Q 关于y 轴对称，则12k k =-，不合乎题意.设直线PQ 的方程为x ty n =+，由于直线PQ 不过椭圆C 的左、右焦点，则2n ≠±，联立2244x ty n x y =+⎧⎨+=⎩可得()2224240t y tny n +++-=，()()()22222244441640t n t n t n ∆=-+-=+->，可得224n t <+，由韦达定理可得12224tn y y t +=-+，212244n y y t -=+，则()2121242n ty y y y n -=+，所以，()()()()()()()()212121121112221212122122422222422222n y y n y ty n y ty y n y k y x n n k x y ty n y ty y n y y y n y n-++-+-+--=⋅===-++++++++()()()()1211222222522223n y y ny n n n n y y ny n ++---=⋅==+-+++，解得12n =-，即直线PQ 的方程为12x ty =-，故直线PQ 过定点1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭.②由韦达定理可得1224t y y t +=+，()1221541y y t =-+，所以，12121·2S S AM BM y y -=--=41=++，20t ≥因为函数()1f x x x=+在)+∞上单调递增，故15≥=，所以，12161515S S -≤0=t 时，等号成立，因此，12S S -的最大值为154.4．（2023·全国·校联考二模）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的上焦点为F ，且C 上的点到点F的距离的最大值与最小值的差为过点F 且垂直于y 轴的直线被C 截得的弦长为1.(1)求C 的方程；(2)已知直线l ：(0y kx m m =+≠）与C 交于M ,N 两点，与y 轴交于点P ，若点P 是线段MN靠近N 点的四等分点，求实数m 的取值范围．【解析】（1）设C 的焦距为2c，由题意知2222()()21a c a c b a a b c ⎧+--=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩故C 的方程为2214y x +=．（2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立2214y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()2224240k x mkx m +++-=，所以()()222244440m k k m ∆=-+->，即2240k m -+>，且12224km x x k -+=+，212244m x x k -=+．因为点P 是线段MN 靠近点N 的四等分点，所以3MP PN = ，所以123x x =-，所以()()()221222212332434x x x x x x x +=⨯-=-⨯-=-．所以()21212340x x x x ++=所以()()2222224412044m k m k k -+=++，整理得222240m k m k +--=，显然21m =不成立，所以22241m k m -=-．因为3240k m -+>，所以2224401m m m --+>-，即()222401m m m ->-．解得21m -<<-，或12m <<，所以实数m 的取值范围为(2,1)(1,2)--⋃．5．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知()2,0A -，()2,0B ，动点(),Q x y 关于x 轴的对称点为1Q ，直线AQ 与1BQ 的斜率之积为14-.(1)求点Q 的轨迹C 的方程；(2)设点P 是直线1x =上的动点，直线PA ，PB 分别与曲线C 交于不同于A ，B 的点M ，N ，过点B 作MN 的垂线，垂足为D ，求AD 最大时点P 的纵坐标.【解析】（1）由题意得()1,Q x y -，且2x ≠±，2AQ k y x =+，12BQ y k x -=-，所以1224y y x x -⋅=-+-，整理得曲线()22:124x C y x -=≠±.（2）设()01,P y ，()11,M x y ，()22,N x y ，若直线MN 平行于x 轴，根据双曲线的对称性，可知点P 在y 轴上，不符合题意，故设直线MN ：()2,0x ty m m =+≠±，代入曲线C 中，得()2224240t y tmy m -++-=，则12224tm y y t -+=-，212244m y y t -=-，则()2121242m ty y y y m -=-+，由P ，A ，M 三点共线得PA MA k k =，即01132y y x =+，同理，由P ，B ，N 三点共线得2022y y x -=-，消去0y ，得()()21122320y x y x ++-=，即()()121243220ty y m y m y +-++=，得()()()()21212243220m y y m y m y m --++-++=，得()()()()1224240m m y m m y ---+-=，即对任意1y ，2y ，都有[]12(4)(2)(2)0m m y m y ---+=成立，故4m =或12(2)(2)0m y m y --+=，若12(2)(2)0m y m y --+=，由212244m y y t -=-，12224tm y y t -+=-可得：1222(2)(2),,44m t m t y y t t -+--==--所以22222(4)444m t m t t --=--即224t t =-，矛盾，故12(2)(2)0m y m y --+≠，所以4m =.所以直线MN ：4x ty =+恒过点()4,0H ，则点D 的轨迹是以HB 为直径的圆，其方程为()2231x y -+=，当D 与H 重合时，AD 最大，此时MN x ⊥轴，AM ：)2y x =+，1,2P ⎛± ⎝⎭.所以当AD 最大时，点P 的纵坐标为2±.6．（2023·湖南·校联考二模）已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>经过点(，且离心．F 为椭圆E 的左焦点，点P 为直线l ：3x =上的一点，过点P 作椭圆E 的两条切线，切点分别为A ，B ，连接AB ，AF ，BF ．(1)求证：直线AB 过定点M ，并求出定点M 的坐标；(2)记△AFM 、△BFM 的面积分别为1S 和2S ，当12S S -取最大值时，求直线AB 的方程．参考结论：点()00,Q x y 为椭圆22221x ya b+=上一点，则过点Q 的椭圆的切线方程为00221x x y ya b+=．【解析】（1）由题意可得b =，ca =222a b c =+，所以26a =，22b =，椭圆E 的方程为22162x y +=．设()11,A x y ，()22,B x y ，()03,P y ，由参考结论知过点P 在A 处的椭圆E 的切线方程为11162x x y y +=，同理，过点P 在B 处的椭圆E 的切线方程为22162x x y y +=．因为点P 在直线PA ，PB 上，所以101202122122y y x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以直线AB 的方程为0122x y y+=，则直线AB 过定点()2,0M ．（2）设直线AB 的方程为2x ty =+，联立方程组222162x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()223420t y ty ++-=，故12243ty y t +=-+，12223y y t =-+，1212122882233t S S y y y y t t t-=-=+==≤++，当且仅当3tt=，即t =此时直线AB 的方程为2x =+．7．（2023·上海金山·统考二模）已知椭圆:Γ()2221024x y b b+=<<.(1)已知椭圆ΓΓ的标准方程；(2)已知直线l 过椭圆Γ的右焦点且垂直于x 轴，记l 与Γ的交点分别为A 、B ，A 、B 两点关于y 轴的对称点分别为A '、B '，若四边形ABB A ''是正方形，求正方形ABB A ''的内切圆的方程；(3)设О为坐标原点，P 、Q 两点都在椭圆Γ上，若OPQ △是等腰直角三角形，其中OPQ ∠是直角，点Р在第一象限，且O 、P 、Q 三点按顺时针方向排列，求b 的最大值.【解析】（1）由题意得2a =，c a =c =所以2221b a c =-=，所以椭圆Γ的标准方程为2214x y +=；（2）设右焦点()1,0F c ，左焦点()2,0F c -，因为四边形ABB A ''是正方形，不妨设点A 在第一象限，则(),A c c ，所以12,AF c AF ===，由(12124AF AF c a +===，得1c ，正方形ABB A ''的内切圆的圆心为()0,01-，所以所求圆的方程为226x y +=-；（3）设直线OP 的倾斜角为π,0,2θθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，斜率为()0k k >，则直线OQ 的斜率为π1tan 41k k θ-⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，设()()1122,,,P x y Q x y ，则2110,0x x y >>>，联立22214x y b y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得2212244b x k b =+，同理可得()()()2222222222414141141b k b x k k b k b k +==--++⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，由OQ 得222OQ OP =，即()2222222211121k x x x k x k -⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭，整理得()()222244002b k b k b +-+=<<，注意到()22240b b->且240b >，则要使上述关于k 的一元二次方程有正数解，只需要()222Δ44160b b =--≥，解得01b <≤，所以b 1.8．（2023·上海黄浦·统考二模）已知双曲线C 的中心在坐标原点，左焦点1F 与右焦点2F 都在x 轴上，离心率为3，过点2F 的动直线l 与双曲线C 交于点A 、B ．设222AF BF ABλ⋅=．(1)求双曲线C 的渐近线方程；(2)若点A 、B 都在双曲线C 的右支上，求λ的最大值以及λ取最大值时1AF B ∠的正切值；（关于求λ的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设2||AF AB 为μ，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线l 的斜率为k ，建立相应数量关系并利用它求最值）.(3)若点A 在双曲线C 的左支上（点A 不是该双曲线的顶点，且1λ=，求证：1AF B △是等腰三角形．且AB 边的长等于双曲线C 的实轴长的2倍．【解析】（1）设双曲线方程为22221x y a b-=(),0a b >，焦距为2c ，由3c e a ==，所以b a ==y =±.（2）由（1）可得3c a =，b =，所以双曲线C 的方程为222218x y a a-=，设21AF t =，22BF t =，因为点A 、B 都在双曲线C 的右支上，所以12AB t t =+，所以()()2212122221214AF BF t t t t t t ABλ⋅==≤=+，当且仅当12t t =时取等号，即max 14λ=，当14λ=时12t t =，所以121122AF a t a t BF =+=+=，所以l x ⊥轴且1212AF F BF F ∠=∠，又双曲线C 的方程为222218x y a a -=，即22288x y a -=，由222388x a x y a =⎧⎨-=⎩，解得8y a =±，可知28AF a =，又126F F a =，所以2121284tan 63a AF F AF F F a ∠===，121122122tan 24tan tan 21tan 7AF F AF B AF F AF F ∠∠=∠==--∠.（3）设直线l 的方程为3x my a =+，将它代入22288x y a -=，可得()22228148640my may a -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，可得1224881am y y m +=--，21226481a y y m =-，由1λ=，可得222AF BF AB ⋅=，)21212y -=，又1y 、2y 同号，所以()21212y y y y =-，即()212125y y y y =+，所以2222644858181a am m m ⎛⎫= ⎪⎝--⎭⨯-，解得254m =，此时直线l<l 与双曲线的两支都相交，又221226464819a a y y m ==-，所以()2212222296411649A a m y y B a AF BF =⋅==+=⨯，则4AB a =，它等于双曲线实轴长的2倍，此时211222422AF AF a BF a a BF a BF =-=+-=+=，所以1AF B △是等腰三角形.9．（2023·江西九江·校联考模拟预测）已知P 为椭圆22142x y +=上一点，过点P 引圆222x y +=的两条切线PA ､PB ，切点分别为,A B ，直线AB 与x 轴､y 轴分别交于点M ､N .(1)设点P 坐标为0(x ，0)y ，求直线AB 的方程；(2)求MON △面积的最小值(O 为坐标原点）.【解析】（1）先求在圆上一点的切线方程：设圆U 的方程为()()222x a y b r -+-=，圆心为(),U a b ，半径为r ，设()00,V x y 是圆U 上的一点，则()()22200x a y b r -+-=①，设(),W x y 是圆U 在()00,V x y 处的切线方程上任意一点，则0VU VW ⋅=，即()()()()()()00000000,,0a x b y x x y y a x x x b y y y --⋅--=--+--=②，-①②并整理得()()()()200x a x a y b y b r --+--=，即圆U 在()00,V x y 处的切线方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=.根据题意，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(P x ，0)y ，PA 是圆222x y +=的切线且切点为A ，则PA 的方程为112x x y y +=，同理PB 的方程为222x x y y +=，又由PA ､PB 交于点P ，则有10102x x y y +=，20202x x y y +=，则直线AB 的方程为002x x y y +=.（2）要使,,O M N 围成三角形，则P 不是椭圆的顶点，所以000,0x y ≠≠，由（1）可得M 的坐标为02(x ，0)，N 的坐标为2(0,)y ，00122OMN S OM ON x y =⋅= ，又由点P 是椭圆22142x y +=上的动点（非顶点），则有2200142x y +=，则有220000142x y y =+≥，即00||x y ≤当且仅当22001422x y ==时等号成立，0012=2OMN S OM ON x y =⋅ 即OMN.10．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的上顶点为A ，右顶点为B ，坐标原点O 到直线AB，AOB 的面积为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点()2,0P 且不过点()3,1Q 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，直线MQ 与直线4x =交于点E ，证明：//PQ NE ．【解析】（1）依题意，(0,),(,0)A b B a，有||AB =，因为AOB 的面积为2，则122AOB S ab == ，又点O 到直线AB的距离为5，则有1||22AOB S AB == ，于是22410ab a b =⎧⎨+=⎩，而0a b >>，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆C 的方程为22182x y +=.（2）直线PQ 的斜率10132PQ k -==-，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =，代入椭圆方程得1y =±，不妨设此时(2,1)M ，(2,1)N -，则(4,1)E ，直线NE 的斜率1(1)142NE PQ k k --===-，因此//PQ NE ；当直线l 的斜率存在时，设其方程为(2)(1)y k x k =-≠，设1122(,),(,)M x y N x y ，则直线MQ 的方程为1111(3)3y y x x --=--，令4x =，得1114(4,)3y x E x +--，由2248(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩消去y 得：2222(14161680)k x k x k +-+-=，由于点P 在椭圆C 内，必有0∆>，则21221614k x x k +=+，212216814k x x k -=+，1121243114NE y x y x k x +----=--()()()11212143143y x y x x x +---=---()()()()()()()1121212124234343k x x k x x x x x x -+-------=--[]()()()()22221212212148168(1)(8)(1)3(814140)4343k k k k x x x x k k x x x x -----+--++===----，因此1NE PQ k k ==，即//PQ NE ，所以//PQ NE .11．（2023·重庆·统考模拟预测）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的长轴长是短轴长的2倍，直线12y x =被椭圆截得的弦长为4．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N ，P ，Q 为椭圆C 上的动点，且四边形MNPQ 为菱形，原点О在直线MN 上的垂足为点H ，求H 的轨迹方程．【解析】（1）由题意可得2a b =，则椭圆C ：222214x y b b +=，联立22221412x y b b y x⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2x y b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，4=，解得285b =，所以2325a =，所以椭圆C 的方程为22132855x y +=，即2252032x y +=；（2）因为四边形MNPQ 为菱形，所以,MP NQ 垂直且平分，设()()1122,,,M x y P x y ，则2222112252032,52032x y x y +=+=，两式相减得()()222212125200x x y y -+-=，即()()()()1212121240x x x x y y y y -++-+=，设菱形的中心为()00,x y ，若直线,MP NQ 的斜率都存在，设直线,MP NQ 的斜率分别为12,k k ，由()()()()1212121240x x x x y y y y -++-+=，得()()()()1212121240y y x x y y x x -+++=-，所以001280x y k +=，即00140x y k +=，同理00240x y k +=，所以0102y k y k =，由121k k =-得00y =，所以00x =，即菱形的中心为原点，则直线MP 的方程为1y k x =，直线NQ 的方程为2y k x =，联立12252032y k x x y =⎧⎨+=⎩，解得212132520x k =+，所以()()22122221111213211520k OM x y k x k +=+=+=+，同理()22222321520k ON k +=+，因为1122OMN S OH OM ON ==，所以2222222111OM ON OHOMONOMON+==()()22222212121222222212121252052028555321321321k k k k k k k k k k k k +++++=+=⋅+++++()()2222121222221212285525525321132232k k k k k k k k +++++=⋅=⋅=+++++，所以点H 在圆222532x y +=上；若直线,MP NQ 中有一条直线的斜率不存在，由对称性可知棱形的中心为原点，,,,M N P Q 四点分别为椭圆的顶点，不妨设M 为右顶点，N 为上顶点，则22328,55OM ON ==，同理可得22222221112532OM ON OHOMONOMON+==+=，点H 任在圆222532x y +=上，综上所述，H 的轨迹方程为222532x y +=.12．（2023·上海闵行·统考二模）已知O 为坐标原点，曲线1C ：()22210xy a a -=>和曲线2C ：22142x y +=有公共点，直线1l ：11y k x b =+与曲线1C 的左支相交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ．(1)若曲线1C 和2C 有且仅有两个公共点，求曲线1C 的离心率和渐近线方程；(2)若直线OM 经过曲线2C 上的点)2,1T-，且2a 为正整数，求a 的值；(3)若直线2l ：22y k x b =+与曲线2C 相交于C 、D 两点，且直线OM 经过线段CD 中点N ，求证：22121k k +>．【解析】（1）因为曲线1C 和2C 有且仅有两个公共点，所以曲线1C 和2C 的两公共点为左右顶点，则2a =，曲线1C 的半焦距5c =所以曲线1C 的离心率52c e a ==，渐近线方程为12y x =±；（2）联立222111x y a y k x b⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，得()()22222211111210a k x a k b x a b ---+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则()222111121222221112,11a b a k b x x x x a k a k -++==--，所以2112211M a k b x a k =-，21111122221111M a k b b y k b a k a k =+=--，故直线OM 的方程为211y x a k =，依题意直线OM 经过点)2,1T -，代入得212a k =4212a k =，所以2142k a =，因为直线1l 与曲线1C 的左支相交于两点，故()()221221101a b a k -+>-，得2211a k >，则422212a aa >=，所以22a <，又曲线1C 和2C 有公共点，所以204a <≤，所以202a <<，又2a 为正整数，所以21a =，所以1a =；（3）由（2）可得()12102M M y k a x a=<≤，同理，联立直线2l ：22y k x b =+与曲线2C ：22142x y +=，可得212N N y k x =-，因为N M M N y y x x =，所以2212a k k =-，又因为2211a k >，所以42222221121114a k k k k a k +=+>≥，即22121k k +>．13．（2023·重庆九龙坡·统考二模）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，左､右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线()1y t x =+交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于P 点，1PM MF λ= ，1PN NF μ=，记OMN ，2OMF △，2ONF △的面积分别为1S ，2S ，3S .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若123S mS S λ=-，433μ-≤≤-，求m 的取值范围.【解析】（1）由题意得，左焦点1(1,0)1F c -⇒=，122c a a =⇒=，2223b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为：22143x y +=.（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，令0x =，y t =，则()0,P t ，则11(,)PM x y t =-uuu r，()1111,MF x y =--- 由1PM MF λ=得()()1111,1,x y t x y λ-=---，解得11t y λ=-，同理21ty μ=-.由()221431x y y t x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2236490y y t t ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，则1226,43t y y t +=+2122943ty y t -=+，()1212128223t y y t t y y y y λμ++=+-=-=-.不妨设120y y >>，1121211122S y y y y =⋅⋅-=-（），21111122S y y =⋅⋅=，32211122S y y =⋅⋅=-，由11t y λ=-，21t y μ=-.得11t y λ=+，21t y μ=+，2111513y y λλμλ++==-++.代入123S mS S λ=-，有()2121121122y y y m y λ-+=，则1212m y y y y λ=-+，解得22221114(1)15911(1)1()553333y y y m y y y λλλλλλ+=--=-+=+=-+++++,43,3μ-≤≤-Q 511[,2]33λμ∴+=--∈设53u λ=+，则1[,2]3u ∈，则()4193h u u u=-++，则()2419h u u -'=-，令()0h u '>，解得223u <<，令()0h u '<，解得1233u <<，故()h u 在12,33⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则()min 213h u h ⎛⎫== ⎪⎝⎭，且()1417,2339h h ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则()171,9h u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则171,9m ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦.14．（2023·上海静安·统考二模）已知双曲线Γ：22221x y a b-=（其中0,0a b >>）的左、右焦点分别为1F （-c ，0）、2F （c ，0）（其中0c >）.(1)若双曲线Γ过点（2，1）且一条渐近线方程为2y x =；直线l 的倾斜角为4π，在y轴上的截距为2-.直线l 与该双曲线Γ交于两点A 、B ，M 为线段AB 的中点，求△12MF F 的面积；(2)以坐标原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线Γ在第一象限的交点为P .过P 作圆的切线，若切线的斜率为Γ的离心率.【解析】（1）双曲线Γ：22221x y a b -=渐近线方程为b y x a =±，已知一条渐近线方程为y =，所以a =，双曲线Γ经过点（2，1），所以22411a b -=，解得222,1a b ==.所以双曲线Γ：2212x y -=.直线l 的倾斜角为π4，则斜率为1，又l 在y 轴上的截距为2-，则l 方程为：2y x =-，代入双曲线方程得：28100x x -+=，设两点A 、B 坐标分别为（1x ，1y ）、（2x ，2y ），M （x ，y ），则1284,2x x x y +=⇒==.又12F F =则12MF F △的面积1111222F F y =⋅⋅=⨯=（2）方法一：由题可知圆方程为：222x y c +=，将其与双曲线方程联立：22222222222221x y c b b x b c x y x y a c ab ⎧+=⎪⇒+-=⇒==⎨-=⎪⎩，即2,b P c c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，又切线斜率为2OP b k c =⋅=()22442242334803840c a c a a c e e ⇒-=⇒+-=⇒-+=，解得22e =，所以双曲线Γ；方法二：设切线与x 轴交于E点，因切线斜率为3πPEO ∠=，又2πOPE ∠=，则1566ππ,POE POF ∠=∠=.注意到12OF OF c OP ===，则在2 POF 中，由余弦定理，22PF c -===，在1POF △中，由余弦定理，1PF ===.则()12122c a PF PF c e a=-=⇒==15．（2023·辽宁大连·统考一模）已知双曲线C 上的所有点构成集合()(){}22,10,0P x y axby a b =-=>>和集合()(){}22,010,0Q x y axby a b =<-<>>，坐标平面内任意点()00,N x y ，直线00:1l ax x by y -=称为点N 关于双曲线C 的“相关直线”．(1)若N P ∈，判断直线l 与双曲线C 的位置关系，并说明理由；(2)若直线l 与双曲线C 的一支有2个交点，求证：N Q ∈；(3)若点N Q ∈，点M 在直线l 上，直线MN 交双曲线C 于A ，B ，求证：MA MBAN BN=．【解析】（1）直线l 与双曲线C 相切．理由如下：联立方程组220011ax by ax x by y ⎧-=⎨-=⎩，∴()222220000210aby a x x ax x by -+--=①，∵N P ∈，∴22001ax by -=，即22001ax by -=，代入①得，220020ax ax x ax -+-=，∴222200440a x a x ∆=-=，∴直线l 与双曲线C 相切．（2）由（1）知()222220000210aby a x x ax x by -+--=，∵直线l 与双曲线C 的一支有2个交点，则2220020222000Δ010aby a x by aby a x ⎧⎪-≠⎪⎪>⎨⎪--⎪>⎪-⎩，∴()()()22222222000000044141a x a by ax by aby by ax ∆=----=+-，∴22001ax by -<，∵()2200222220000110by by aby a x a ax by --+=>--，∴220001ax by <-<，∴()00,N x y Q ∈．（3）设()11,M x y ，(),A x y ，设MA AN λ= ，MB BN μ=，∵()00,N x y l ∉，∴1λ≠-，则101011x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，代入双曲线22:1C ax by -=，利用M 在l 上，即01011ax x by y -=，整理得()222220011110ax by ax by λ--+--=，同理得关于μ的方程()222220011110ax by ax by μ--+--=．即λ、μ是()222220011110ax by t ax by --+--=的两根，∴0λμ+=，∴MA MBAN BN=．16．（2023·湖南益阳·统考模拟预测）已知1F 、2F 分别为双曲线22122:1(0,0)y xC a b a b-=>>的上、下焦点，其中1F 坐标为()0,2点M 是双曲线1C 上的一个点.(1)求双曲线1C 的方程；(2)已知过点()4,1P 的直线与22122:1(0,0)y x C a b a b-=>>上支交于不同的A 、B 两点，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明：点Q 总在某条定直线上.【解析】（1）由1F 坐标为()0,2得224a b +=，点M在双曲线1C 上得22231a b -=，解得2213a b ⎧=⎨=⎩，双曲线方程为221.3x y -=（2）设直线与双曲线交于()11,A x y ，()22,B x y ，点(),Q x y ，由AP QB AQ PB ⋅=⋅得(0AP AQ PBQBλλ==>且1)λ≠，AP PB λ=- ，AQ QB λ=，代入坐标得()()1122414,1,x y x y λ--=---，()()1122,,x x y y x x y y λ--=--，整理得：()1241x x λλ-=-①()121x x x λλ+=+，②，得()22221241x x x λλ-=-③，同理121y y λλ-=-④，()121y y y λλ+=+⑤，得()2222121y y y λλ-=-⑥，由于双曲线1C 上的点满足2233y x -=，⑥3⨯-③得()()()222222112233341y x y x y x λλ---=--，即()()2233341y x λλ-=--，所以343y x -=，表示点(),Q x y 在定直线4330x y -+=上.17．（2023·贵州黔西·校考一模）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>5点(3,2P -在双曲线C 上．(1)求双曲线C 的方程；(2)设()1,0A -，M 为C 上一点，N 为圆221x y +=上一点（M ，N 均不在x 轴上）．直线AM ，AN 的斜率分别记为1k ，2k ，且2140k k +=，判断：直线MN 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【解析】（1）由双曲线离心率为2215c b e a a ==+224b a =，所以双曲线方程为222214x y a a-=，又点(3,2P -在双曲线上，即2293214a a -=，解得21a =，24b =，所以双曲线的方程为2214y x -=；（2）由已知得10k ≠，20k ≠，设直线()1:1AM y k x =+，点()11,M x y ，由()122114y k x y x ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩得()22221114240k x k x k ----=，0∆>，则212144A M k x x k +=--，即212144M k x k +-=--，212144M k x k +=-，所以211221148,44k k M k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭由2140k k +=，得124k k =-，所以2222222418,141k k M k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭设直线()2:1AN y k x =+，联立直线与圆221x y +=，得()22222221210k x k x k +++-=，0∆>，则222211A N k x x k -=+，即222211N k x k --=+，222211N k x k -=+，所以222222212,11k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，所以222222222222222281141141114MNk k k k k k k k k k --+-==--+-+-，即21MN k k ⋅=-，所以MN AN ⊥，又点A 在圆221x y +=上，设圆221x y +=与x 轴的另一个交点为B ，则()10B ,，且AN BN ⊥，即直线BN 与MN 重合，所以直线MN 恒过点()10B ,.18．（2023·浙江宁波·统考二模）已知双曲线2222:1x y E a a-=，点(0,2)D 与双曲线上的点的(1)求双曲线E 的方程；(2)直线:l y kx m =+与圆22:(2)1C x y ++=相切，且交双曲线E 的左、右支于A ，B 两点，交渐近线于点M ，N ．记DAB ，OMN 的面积分别为1S ，2S ，当12847S S -=时，求直线l 的方程．【解析】（1）设(,)P x y 是双曲线上的任意一点，则2222222(2)2442(1)2DP x y y y a y a =+-=-++=-++，所以当1y =时，2DP 的最小值为22a +，所以223a +=，得21a =，所以双曲线E 的方程为221x y -=．（2）由直线:l y kx m =+与圆22:(2)1C x y ++=1=，由直线交双曲线的左、右支于A ，B 两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立221x y y kx m⎧-=⎨=+⎩，消y 整理得()()2221210k x mkx m ---+=，则()221Δ410m k=+->，212211m x x k +=-，12221mk x x k +=--，所以12x x -=所以221222110142m m x x k m m ++==<-++，即2420m m ++<，解得22m -<<-，1=，则21m +≥，解得1m ≥-或3m ≤-，所以(231,2m ⎤⎡∈--⋃--⎦⎣，所以12AB x x =-=，又点(0,2)D 到AB 的距离1d =1121(2242m S AB d m m -==---，设()33,M x y ，()44,N x y ，联立方程组220x y y kx m⎧-=⎨=+⎩，消y 整理得()222120k x mkx m ---=，则22Δ4m =，34221mk x x k +=-，23421m x x k -⋅=-，所以34221m x x k --=-，所以34221mMN x x k -=-=-，又点O 到MN 的距离2d =22221242mS MN d m m ==---，所以当12847S S -=时，有222(2)428442427m m m m m m --=------，整理得()24(25847m m m -=--，即4(2(52)(2)7m m m -=+-，又2m ≠，4(52)7m -=+，即2200258810m m ++=，解得134m =-，22750m =-（舍去），所以34m =-，则34k =±，所以直线方程为3344y x =±-．19．（2023·上海松江·统考二模）已知椭圆2212:12x y C b+=的左、右焦点分别为12F F 、，离心率为1e ;双曲线2222:12x y C b -=的左、右焦点分别为34F F 、，离心率为2e ，12e e ⋅=．过点1F 作不垂直于y 轴的直线l 交曲线1C 于点A 、B ，点M 为线段AB 的中点，直线OM 交曲线2C 于P 、Q 两点．(1)求1C 、2C 的方程；(2)若113AF F B =，求直线PQ 的方程；(3)求四边形APBQ 面积的最小值.【解析】（1）由题意可知：12e e ==所以12222e e ⋅===，解得：21b =，所以椭圆方程为2212x y +=，双曲线方程为：2212x y -=.（2）由（1）知()11,0F -，因为直线AB 不垂直与y 轴，设直线AB 的方程为：1x my =-，设点()()1122,,,A x y B x y ，则()1111,,AF x y =---()1221,F B x y =+ ，由113AF F B =，则123y y -=，即123y y =-，联立：22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得：()222210m y my +--=，()()222442810m m m ∆=++=+>，由韦达定理可得：1221222212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，将123y y =-代入得：()222222132m y m y m -⎧=⎪+⎪⎨=⎪+⎪⎩解得1m =±，当1m =时，弦AB 的中点21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时直线PQ 的方程为：12y x =-；当1m =-时，弦AB 的中点21,33M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，此时直线PQ 的方程为：12y x =.所以直线PQ 的方程为12y x =-或12y x =.（3）设AB 的中点()00,M x y ，由（2）可得)2212m AB m +=+，且000222,122m y x my m m -==-=++，点222,22m M m m -⎛⎫ ++⎝⎭，2PQ OM m k k ==-，直线PQ 的方程为：2my x =-，联立22212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩可得：2242x m =-，2222m y m =-，且220m ->，由双曲线的对称性，不妨取点P ⎛⎫⎪⎭、Q ⎛⎫，所以点P 到直线AB的距离为：21d =，点Q 到直线AB的距离为：22d ==21222m d d ++=，所以四边形APBQ的面积为()1212S AB d d =+===2022m <-≤，所以当222m -=，即0m =时，四边形APBQ 的面积取最小值2.20．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）过点()4,2的动直线l 与双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>交于,M N 两点，当l 与x 轴平行时，MN=l 与y 轴平行时，MN =(1)求双曲线E 的标准方程；(2)点P 是直线1y x =+上一定点，设直线,PM PN 的斜率分别为12,k k ，若12k k 为定值，求点P 的坐标．【解析】（1）由题意可知：双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>过点()2±，(4,±，将其代入方程可得：222284116121a b a b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得：2244a b ⎧=⎨=⎩，∴双曲线E 的标准方程为：22144x y -=.（2）方法一：设()()1122,,,M x y N x y ，点()4,2与,M N 三点共线，12122244y y x x --∴=--，()()12124422x x y y λλ⎧-=-⎪∴⎨-=-⎪⎩（其中R λ∈，0λ≠），()()12124121x x y y λλλλ⎧=+-⎪∴⎨=+-⎪⎩，()()222241214x y λλλλ⎡⎤⎡⎤∴+--+-=⎣⎦⎣⎦，又22224x y -=，整理可得：()()2212420x y λλλλ--+-=，当1λ=时，12x x =，12y y =，不合题意；当1λ≠时，由222420x y λλλ-+-=得：22122y x λ=-+，设()00,P x y ，则001y x =+，()()102012102011y x y x k k x x x x -+-+∴⋅=⋅--()()()22220202202220222211243222y y x x x y x y x x x y x x ⎛⎫-+--++ ⎪-+⎝⎭=⋅-⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭()()()0220020020220031212223422x y x x x y x x x x y x x x ⎛⎫-+-- ⎪-+⎝⎭=⋅-⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭，若12k k 为定值，则根据约分可得：000121x x x --=-且000114222x x x --=--，解得：03x =；当03x =时，()3,4P ，此时22122226441322x y k k x y --=⋅=--；∴当()3,4P 时，124k k =为定值.方法二：设()()()112200,,,,,M x y N x y P x y ，直线()():420MN y k x k =-+≠，由()22424y k x x y ⎧=-+⎨-=⎩得：()224240x k x ⎡⎤--+-=⎣⎦，12,x x 为方程()224240x k x ⎡⎤--+-=⎣⎦的两根，()()()()222124241x k x k x x x x ⎡⎤∴--+-=---⎣⎦，则()()()()222001024241x k x k x x x x --+-=---⎡⎤⎣⎦，由()42y k x =-+得：24y x k-=+，由22244y x k x y -⎧=+⎪⎨⎪-=⎩可得：222440y y k -⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，同理可得：()()()()222220001022441y k k y k k y y y y -+--=---，则()()()()()()()()()()201020102122121211k y y y y y y y y k k x x x x k x x x x -----==-----()()2222002200244424y k k y k x k x -+--=--+-⎡⎤⎣⎦()()()()2220000222000012816448164168y k y k y y x x k x k x -++-+-+=-+-+-++-，若12k k 为定值，则必有22000022000012816448164168y y y y x x x x -+--+==-+--+-，解得：0034x y =⎧⎨=⎩或00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又点P 在直线1y x =+上，∴点P 坐标为()3,4；当直线MN 斜率为0时，,M N坐标为()2±，若()3,4P ，此时124k k ==；当直线MN 斜率不存在时，,M N坐标为(4,±，若()3,4P ，此时124443434k k -+=--；综上所述：当()3,4P 时，124k k =为定值.21．（2023·贵州黔西·校考一模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>(3,P -在双曲线C 上．(1)求双曲线C 的方程；(2)设()1,0A -，M 为C 上一点，N 为圆221x y +=上一点（,M N 均不在x 轴上）．直线,AM AN 的斜率分别记为12,k k ，且2140k k +=，判断：直线MN 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【解析】（1）由双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>可得222225,4c a b b a a a+=∴=∴=，又点(3,P -在双曲线C 上，即2293214a a-=，解得221,4a b ==，故双曲线C 的方程为2214y x -=.（2）由题意可知120,0k k ≠≠，且AM 的方程为11y k x k =+，联立112214y k x k y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得2222111(4)240k x k x k ----=，2140k -≠，Δ640=>，设11(,)M x y ，由题意可知该方程有一根为1-，故221111221144(1),44k k x x k k --+-=∴=--，则111112184k y k x k k =+=-，AN 的方程为22y k x k =+，联立22221y k x k x y =+⎧⎨+=⎩，可得2222222(1)210k x k x k +++-=，40'∆=>，设2221(,),N x y x x ≠，由题意可知该方程有一根为1-，故222222222211(1),11k k x x k k ---=∴=++，则222222221k y k x k k =+=+，由于2140k k +=，即124k k =-，由于2140k -≠，故224160k -≠，故22122164416k x k +=-，212232416k y k -=-，所以直线MN 的斜率为222221222222212222232141611641416MNk k y y k k k k k x x k k ---+-==-+--+-2222222222222222222(416)(1)(32)401(1)(416)(1)(164)40k k k k k k k k k k k --+-===----++-，故直线MN 的方程为1121()y y x x k -=--，即22222222321641()416416k k y x k k k ++=----，即222(164)(1)0k x k y -+-=，由于224160k -≠，故210x k y +-=，即直线MN 过定点(1,0).22．（2023·上海宝山·统考二模）已知抛物线Γ：24y x =．(1)求抛物线Γ的焦点F 的坐标和准线l 的方程；(2)过焦点F 且斜率为12的直线与抛物线Γ交于两个不同的点A 、B ，求线段AB 的长；(3)已知点()1,2P ，是否存在定点Q ，使得过点Q 的直线与抛物线Γ交于两个不同的点M 、N （均不与点Р重合），且以线段MN 为直径的圆恒过点P ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）∵抛物线Γ：24y x =，则2p =，且焦点在x 轴正半轴，故抛物线Γ的焦点()1,0F ，准线:1l x =-.（2）由（1）可得：()1,0F ，可得直线()1:12AB y x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程()21124y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y 得21810x x -+=，可得()212184113200,18x x ∆=--⨯⨯=>+=，故1220AB x x p =++=.（3）存在，理由如下：设直线()()3443:,,,,MN x my n M x y N x y =+，联立方程24x my n y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y my n --=，则()23434160,4,4m n y y m y y n ∆=+>+==-，可得()()33441,2,1,2PM x y PN x y =--=--uuu r uuu r，若以线段MN 为直径的圆恒过点P ，则PM PN ⊥，。

圆锥曲线高考真题江苏卷(解析版)-2021年高考数学圆锥曲线中必考知识专练

专题22：圆锥曲线高考真题江苏卷（解析版）一、填空题1．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y =. 【分析】根据条件求b ，再代入双曲线的渐近线方程得出答案. 【详解】由已知得222431b-=，解得b =b =因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =. 【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.2．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=2x ，则该双曲线的离心率是____. 【答案】32【分析】根据渐近线方程求得a ，由此求得c ，进而求得双曲线的离心率. 【详解】双曲线22215x y a -=，故b =由于双曲线的一条渐近线方程为y x =，即22b a a =⇒=，所以3c ===，所以双曲线的离心率为32c a =.故答案为：32【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.3．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(c,0)F 到一，则其离心率的值是________．【答案】2 【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率. 详解：因为双曲线的焦点(c,0)F 到渐近线,by x a=±即0bx ay ±=的距离为,bcb c ==所以b =，因此22222231,44a c b c c c =-=-=1, 2.2a c e ==点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a .4．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1 ，F 2 ，则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是________．【答案】【解析】右准线方程为10x ==，渐近线方程为3y x =±，设(1010P ，则(1010Q，1(F，2F，则10S == 点睛:（1）已知双曲线方程22221x y a b -=求渐近线：22220x y b y x a b a -=⇒=±；（2）已知渐近线y mx =可设双曲线方程为222m x y λ-=；（3）双曲线的。

微专题-圆锥曲线中的最值问题(解析版)

专题30 圆锥曲线中的最值问题【考情分析】与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。

江苏高考试题结构平稳，题量均匀．每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广．虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。

圆锥曲线中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体．俗话说：他山之石可以攻玉．在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性．比如2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解．再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展【备考策略】与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。

（4）利用代数基本不等式。

代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；【激活思维】1．已知双曲线12222=-by a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是[2,)+∞2． P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为73．抛物线y=-x 2上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是434．已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 32 .5．已知点M (-2，0)，N (2,0)，动点P 满足条件||||22PM PN -=.记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.解：（Ⅰ）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，所求方程为：22x y 122－＝（x >0）（Ⅱ）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0，此时A （x 0，2x 2－），B （x 0，－20x 2－），OAO B ⋅ ＝2当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，代入双曲线方程22x y 122－＝中，得：(1－k 2)x 2－2kbx －b 2－2＝0 依题意可知方程1︒有两个不相等的正数根，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则2222122212244(1)(2)0201201k b k b kb x x k b x x k ⎧⎪∆=--∙--≥⎪⎪+=>⎨-⎪⎪+=>⎪-⎩解得|k |>1，又OA OB ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋（kx 1＋b ）（kx 2＋b ）＝（1＋k 2）x 1x 2＋kb （x 1＋x 2）＋b 2＝2222k 242k 1k 1＋＝＋－－>2 综上可知OA OB ⋅的最小值为2【典型示例】求抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值? 分析一：设抛物线上任一点坐标为P(0x ,-x20)，由点到直线的距离公式得P 到直线的距离d(0x )=5|834|200--x x =5320)32(320+-x 34≥，当0x =32时，d(0x )取得最大值34,分析二：设抛物线上点P(0x ,-x20)到直线4x+3y-8=0距离最小，则过P 且与抛物线相切的直线与4x+3y-8=0平行，故y '( 0x )=-2 0x =-34,∴0x =32,∴P(32,-94), 此时d=5|8943324|--⨯+⨯）（=34，. 分析三：设直线方程为4x+3y+C=0则当l 与抛物线相切时l 与4x+3y-8=0间的距离为所求最小，由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=0342C y x y x 得4x-3x 2+C=0，∴△=16+12C=0, ∴c=-34,此时d=345|348|=---）（【分类解析】例1:已知椭圆221259x y +=，A （4，0），B （2，2）是椭圆内的两点，P 是椭圆上任一点，求：（1）求5||||4PA PB +的最小值；（2）求||||PA PB +的最小值和最大值分析：（1）A 为椭圆的右焦点。

专题08 圆锥曲线部分(原卷版)-2020年江苏高考数学试卷名师分析与预测

专题八圆锥曲线部分一、近几年江苏高考1、（1）（2019年江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)yx b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.（2）（2019年江苏卷）.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．2、（1）（2018年江苏卷）. 在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．（2）（2018年江苏卷）如图，在平面直角坐标系中，椭圆C 过点，焦点，圆O 的直径为．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于两点．若的面积为，求直线l 的方程．3、（1）（2017年江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．（2）（2017年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2. (1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．4、（1）（2016年江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________．（2）（2016年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．5、（1）（2015年江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．（2）（2015年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，且右焦点F到左准线l的距离为3.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程．二、近几年高考试卷分析圆锥曲线线分为两个部分椭圆及双曲线和抛物线，从近几年江苏高考中不难看出，考查的形式一是填空题，一个是解答题，在填空题中主要是以圆锥曲线的性质为主，如离心率以及双曲线和抛物线的渐近线、离心率、焦距等问题。

专题08 圆锥曲线部分(解析版)-2020年江苏高考数学试卷名师分析与预测

专题八圆锥曲线部分一、近几年江苏高考1、（1）（2019年江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)yx b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____. 【答案】2y x =±.【解析】由已知得222431b-=，解得2b =或2b =-，因为0b >，所以2b =.因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为2y x =±.【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.（2）（2019年江苏卷）.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．【解析】1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1.又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2222211253()222DF F F -=-=，因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2.由b2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4.因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由()2222116y x x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得256110x x +-=，解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得125y =-，因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由223(1)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ，从而∠BF 1E =∠B.因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ，所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221143x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.2、（1）（2018年江苏卷）. 在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．【答案】2【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率. 详解：因为双曲线的焦点到渐近线即的距离为所以，因此点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a . （2）（2018年江苏卷）如图，在平面直角坐标系中，椭圆C 过点，焦点，圆O 的直径为．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．【答案】（1）椭圆C的方程为；圆O的方程为（2）①点P的坐标为；②直线l的方程为【解析】分析：（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a,b，即得椭圆方程；（2）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.详解：解：（1）因为椭圆C的焦点为，可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，所以，解得因此，椭圆C的方程为．因为圆O的直径为，所以其方程为．（2）①设直线l与圆O相切于，则，所以直线l的方程为，即．由，消去y ，得．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以．因为，所以．因此，点P 的坐标为．②因为三角形OAB 的面积为，所以，从而．设，由（*）得，所以．因为，所以，即，解得舍去），则，因此P 的坐标为．综上，直线l 的方程为．3、（1）（2017年江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．答案：23思路分析四边形F 1PF 2Q 关于x 轴对称，其面积S ＝2S △PF 1F 2＝F 1F 2·|y P |.双曲线的渐近线方程为x 23－y 2＝0，其中一条渐近线方程为x －3y ＝0.双曲线的右准线方程为x ＝a 2c ，即x ＝32.所以P ⎝⎛⎭⎫32，32.又F 1F 2＝2c ＝4，所以S ＝23.解后反思本题用一般到特殊的思想方法可能更好．双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，右准线方程为x ＝a 2c ，所以|y P |＝abc ，从而S ＝2ab .本题中，a ＝3，b ＝1.（2）（2017年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2. (1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．思路分析 (2) 设P (x 0，y 0)，易得PF 1，PF 2的斜率，得l 1，l 2的方程，求出点Q 的坐标用(x 0，y 0)表示．再利用P ，Q 均在椭圆上，求出x 0，y 0. 解：(1) 设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以c a ＝12，2a 2c ＝8，解得a ＝2，c ＝1，于是b ＝a 2－c 2＝3，因此椭圆E 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2) 由(1)知，F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设P (x 0，y 0)，由于P 为第一象限内的点，故x 0＞0，y 0＞0. 当x 0＝1时，l 2与l 1相交于F 1，与题设不符．当x 0≠1时，直线PF 1的斜率为y 0x 0＋1，直线PF 2的斜率为y 0x 0－1.因为l 1⊥PF 1，l 2⊥PF 2，所以直线l 1的斜率为－x 0＋1y 0，直线l 2的斜率为－x 0－1y 0，从而直线l 1的方程为y ＝－x 0＋1y 0(x ＋1)，① 直线l 2的方程为y ＝－x 0－1y 0(x －1)．②由①②，解得x ＝－x 0，y ＝x 20－1y 0，所以Q ⎝⎛⎭⎫－x 0，x 20－1y 0. 因为点Q 在椭圆E 上，由点P ，Q 的对称性，得x 20－1y 0＝±y 0，即x 20－y 20＝1或x 20＋y 20＝1. 又P 在椭圆E 上，故x 204＋y 23＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 20－y 20＝1，x 204＋y 203＝1，解得x 0＝477，y 0＝377；由⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝1，x 204＋y 203＝1，无解．因此点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫477，377.解后反思用直线方程解题时，分注意斜率是否存在，必须讨论．若用向量来处理，就没有这些麻烦．请对比上面的解法，体会下面的解法．设Q (x 1，y 1)．由PF 1⊥QF 1，得F 1P →·F 1Q →＝0，即(x 0＋1)(x 1＋1)＋y 0y 1＝0. 同理可得(x 0－1)(x 1－1)＋y 0y 1＝0. 两式相减，得x 1＝－x 0，所以x 20－y 0y 1＝1. 以下略．4、（1）（2016年江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________．【答案】. 210【解析】因为双曲线方程为x 27－y 23＝1，所以a 2＝7，b 2＝3，从而c ＝7＋3＝10，故焦距为210.（2）（2016年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案：.63解析：由题意得y ＝b 2与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的交点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫±32a ，b2，因为F (c,0)，且∠BFC ＝90°，所以FB →·FC →＝0，即⎝⎛⎭⎫c －32a ⎝⎛⎭⎫c ＋32a ＋b 24＝0，即3c 2＝2a 2，所以e ＝63.5、（1）（2015年江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．答案：22思路分析1 设出点P 的坐标，求出点P 到直线的距离d ，从而将问题转化为求距离d 的取值范围．解法1 设点P(x ，±x 2－1)(x≥1)，不妨以点P(x ，x 2－1)为例，则点P 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|x －x 2－1＋1|2，令u ＝x －x 2－1＝1x ＋x 2－1，它在区间[1，＋∞)上单调递减，所以u>0，且当x→＋∞时，u→0，所以d>22，故c max ＝22. 思路分析2 注意到双曲线的图像与它的渐近线无限接近，而直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，因而，点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于两条平行线x －y ＋1＝0与x －y ＝0的距离．解法2 双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x±y ＝0，而直线x －y ＋1＝0与x －y ＝0平行，它们之间的距离为d ＝12＝22，又当x→＋∞时，点P 到渐近线x －y ＝0的距离无限接近于0，故点P 到x －y ＋1＝0的距离d′>22，从而c max ＝22. （2）（2015年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1) 求椭圆的标准方程；(2) 过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．规范解答 (1) 由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2) 当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1,2＝2k 2±2(1＋k 2)1＋2k 2，故C 的坐标为2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝22(1＋k 2)1＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为－2，5k 2＋2k (1＋2k 2)，从而PC ＝2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2).因为PC ＝2AB ，所以2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2)＝42(1＋k 2)1＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.解后反思本题考查了解析几何的基本解题策略，即通过联立曲线的方程，通过方程组来研究曲线的性质，体现了江苏高考命题在解析几何中命题的“回归”，由此来突出解析几何的两个研究核心问题：一是研究曲线的方程；二是通过方程来研究曲线的性质．二、近几年高考试卷分析圆锥曲线线分为两个部分椭圆及双曲线和抛物线，从近几年江苏高考中不难看出，考查的形式一是填空题，一个是解答题，在填空题中主要是以圆锥曲线的性质为主，如离心率以及双曲线和抛物线的渐近线、离心率、焦距等问题。

高考十分项版专题09 圆锥曲线(江苏专版)(原卷版)

一．基础题组1. 【2005江苏，理6】抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（）（A ）1716 （B ）1516（C ）78 （D ）02. 【2005江苏，理11】点P （-3,1）在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）（A ）33 （B ）13 (C)22 （D ）123. 【2006江苏，理17】已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）. （Ⅰ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ，求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程。

4. 【2007江苏，理3】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y 轴上，一条渐近线的方程为x -2y =0，则它的离心率为（） A. 5 B.25C. 3D. 2 5. 【2007江苏，理15】在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A （－4，0）和C （4，0），顶点B 在椭圆92522y x +=1上，则BC A sin sin sin +＝__________. 6. 【2008江苏，理12】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径作圆M ，若过20a P c ⎛⎫⎪⎝⎭，作圆M 的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 .7. 【2010江苏，理6】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22412x y －＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为__________．8. 【2012江苏，理8】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率为5，则m 的值为__________．9. 【2013江苏，理3】双曲线22=1169x y -的两条渐近线的方程为__________． 10. 【2013江苏，理12】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为2222=1x y a b+(a ＞0，b ＞0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l的距离为d 2.若216d d =，则椭圆C 的离心率为__________．11. 【2014江苏，理17】如图在平面直角坐标系xoy 中，12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，顶点B 的坐标是(0,)b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1F C .（1）若点C 的坐标为41(,)33，且22BF =，求椭圆的方程；（2）若1F C AB ⊥，求椭圆离心率e 的值.12. 【2016年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是 .13.【2016年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0的右焦点，直线2by = 与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠= ，则该椭圆的离心率是 .(第10题) 二．能力题组1. 【2007江苏，理19】如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点C （0，c ）任作一直线，与抛物线y =x 2相交于A 、B 两点.一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线l ：y =-c 交于点P 、Q .（1）若·=2，求c 的值；（5分）（2）若P 为线段AB 的中点，求证：Q A 为此抛物线的切线；（5分）（3）试问（2）的逆命题是否成立?说明理出（4分） 2. 【2008江苏，理13】满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值 .3. 【2009江苏，理13】如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 .4. 【2014江苏，理18】如图：为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任一点的距离均不少于80m ，经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处，（OC 为河岸），4tan 3BCO ∠=. （1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？5. 【2015江苏高考，18】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程.三．拔高题组1. 【2010江苏，理18】在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆2295x y +＝1的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F .设过点T (t ，m )的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，其中m ＞0，y 1＞0，y 2＜0.(1)设动点P 满足PF 2－PB 2＝4，求点P 的轨迹； (2)设x 1＝2，x 2＝13，求点T 的坐标； (3)设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)．2. 【2011江苏，理18】如图，在平面直角坐标系xoy 中，M,N 分别是椭圆12422=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P,A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C 。

江苏高考中的圆锥曲线(解答题型)

即 4x21＋9y21＝36,4x22＋9y22＝36.
故 4x2＋9y2＝4(x21＋λ2x22＋2λx1x2)＋9(y21＋λ2y22＋2λy1y2)＝
(4x
2 1
＋
9y
2 1
)
＋
λ2(4x
2 2
＋
9y
2 2
)
＋
2λ(4x1x2
＋
9y1y2)
＝
36
＋
36λ2
＋
2λ(4x1x2＋9y1y2)．
所以 4x2＋9y2＝36＋36λ2，即9＋x29λ2＋4＋y24λ2＝1，
又离心率为 22，即ac＝ 22，
bc＝2，由ac＝ 22，
a2＝b2＋c2，
解得 a2＝4，b2＝c2＝2，
∴所求椭圆的方程为x42＋y22＝1.
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(2)由(1)知 F2(
2，0)，∴kMF2＝－2
＝－ 2
2，
∴直线 l 的斜率等于 22，直线 l 的方程为 y＝ 22x＋2.
所以点 P 是椭圆9＋x29λ2＋4＋y24λ2＝1 上的点．
设该椭圆的左、右焦点分别为 M，N，则由椭圆的定义 PM
＋PN＝18 得 18＝2 9＋9λ2，所以 λ＝±2 2，
所以 M(－3 5，0)，N(3 5，0)．
即存在符合题意的 λ＝±2 2，M(－3 5，0)，N(3 5，0)．
解题反思： 1.变量的选择是点还是直线的斜率。 2.求最值方法-----基本不等式（找和，积是否为定值） 3.体会点在椭圆上的应用。 4.记住一个小结论（点差法推导）
解题反思： 1.构建等式的方法。（线段长相等) 2.构建不等式的方法（判别式） 3.条件的等价应用。 4.设斜率时应注意的问题（分类思想）。

2025数学大一轮复习讲义苏教版第八章圆锥曲线中求值与证明问题

跟踪训练 2 (2023·新高考全国Ⅱ)已知双曲线 C 的中心的方程；
设双曲线 C 的方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，由焦点坐标可知 c＝2 5，则由 e＝ac＝ 5，可得 a＝2，b＝ c2－a2＝4，所以双曲线 C 的方程为x42－1y62 ＝1.
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由于
A－1，－
22，B1，
22两点关于原点对称，必在椭圆上，
则a12＋21b2＝1，且43a2＋41b2<1，
∴C(0,1)必在椭圆上，
即有b12＝1，则 b＝1，a2＝2， ∴椭圆 T 的方程为x22＋y2＝1.
1234
(2)动直线y＝
2 2x
＋t(t≠0)与椭圆交于E，F两点，EF的中点为M，连接
且 Δ＝64(4m2＋3)>0，
则 y1＋y2＝4m322－m 1，y1y2＝4m428－1，直线 MA1 的方程为 y＝x1y＋1 2(x＋2)，直线 NA2 的方程为 y＝x2y－2 2(x－2)，联立直线MA1与直线NA2的方程可得 xx＋－22＝yy21xx12＋－22＝yy21mmyy12－－26
y＝kx＋1，
联立方程y42＋x2＝1
⇒(k2＋4)x2＋2k2x＋k2－4＝0，
∴xA＋xP＝－k2＋2k42，xA·xP＝kk22－＋44，
∴xP＝4k2－＋k42，∴yP＝k(xP＋1)＝k28＋k 4，
∴P4k2－＋k42，k28＋k 4， ∵MN⊥AP，∴则直线 lMN：y＝－1kx＋k，
由题易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立直线l与双曲线C的方程，消y整理得(2k2－1)x2＋4kmx＋2m2＋2＝0，

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第10讲圆锥曲线历年高考分析：回顾2009～20XX 年的高考题，在填空题中主要考查了椭圆的离心率和定义的运用，在解答题中2010、2011、20XX 年连续三年考查了直线与椭圆的综合问题，难度较高．在近四年的圆锥曲线的考查中抛物线和双曲线的考查较少且难度很小，这与考试说明中A 级要求相符合．预测在20XX 年的高考题中：(1)填空题依然是以考查圆锥曲线的几何性质为主，三种圆锥曲线都有可能涉及．(2)在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程的求解．题型分类：(1)圆锥曲线的几何性质，如a ，b ，c ，p 的几何性质以及离心率的值或范围的求解； (2)解答题中简单的直线与椭圆位置关系问题；(3)以椭圆为背景考查直线方程、圆的方程以及直线和圆的几何特征的综合问题； (4)综合出现多字母等式的化简，这类问题难度较高．例1：若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值是________．解析：当m >5时，105＝m －5m ，解得m ＝253；当m <5时，105＝5－m 5，解得m ＝3. 答案：3或253例2：若抛物线y 2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为________．解析：设M 的坐标为(x ，±2x )(x >0)，则x 2＋2x ＝3，解得x ＝1，所求距离为1＋12＝32.例3：双曲线2x 2－y 2＋6＝0上一个点P 到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为________．解析：双曲线方程化为y 26－x 23＝1.设P 到另一焦点的距离为d ，则由|4－d |＝26得d ＝4＋26，或d ＝4－26(舍去)．例4：(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．解析：由题意得m ＞0，∴a ＝m ，b ＝m 2＋4， ∴c ＝m 2＋m ＋4，由e ＝ca ＝5得m 2＋m ＋4m＝5，解得m ＝2. 例5：已知椭圆()222210x y a b a b+= >>的离心率32e =，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，则椭圆的方程为．例6：在平面直角坐标系xOy 中，椭圆1:C ()222210x y a b a b+= >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，其中2F 也是抛物线22:4C y x =的焦点，点M 为1C 和2C 在第一象限的交点，且253MF =,则1C 的方程为．例7：(2011·重庆)设双曲线的左准线与两条渐近线交于A ，B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为________．例8：(2013南京二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22143x y -=．设过点M(0,1)的直线与双曲线C 交于A 、B 两点，若2AM MB =，则直线的斜率为_____．例9：已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积．解：(1) 由已知得c ＝22，c a ＝63.解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1. (2) 设直线l 的方程为y ＝x ＋m.由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m4；因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB.所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2. 所以|AB|＝3 2.此时，点P(－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离 d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB 的面积S ＝12|AB|·d ＝92.例10：(2011南京一模)直角坐标系xOy 中，中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点(22，1)到两焦点的距离之和为4 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 与椭圆C 分别交于A 、B 两点，其中点A 在x 轴下方，且AF →＝3FB →.求过O 、A 、B 三点的圆的方程．解：(1) 由题意，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则2a ＝43，a ＝2 3.因为点(22，1)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，所以812＋1b 2＝1，解得b ＝3，故所求椭圆方程为x 212＋y 23＝1.(2) 如图设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(y 1＜0，y 2＞0)．点F 的坐标为F(3,0)．由AF→＝3FB→，得⎩⎨⎧3－x 1＝3(x 2－3)，－y 1＝3y 2，即⎩⎨⎧x 1＝－3x 2＋12，y 1＝－3y 2，①又A 、B 在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－3x 2＋12)212＋(－3y 2)23＝1，x 2212＋y 223＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝103，y 2＝23.所以B ⎝⎛⎭⎫103，23，代入①得A 点坐标为(2，－2)．因为OA →·AB →＝0，所以OA ⊥AB.所以过O 、A 、B 三点的圆就是以OB 为直径的圆，其方程为x 2＋y 2－103x －23y ＝0.典例1：(1)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左顶点为A ，过双曲线E 的右焦点F 作与实轴垂直的直线交双曲线E 于B ，C 两点，若ABC ∆为直角三角形，则双曲线E 的离心率为．(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得PF 1PF 2＝e ，则该椭圆离心率e 的取值范围是________．解析：(1)2 (2)∵PF 1PF 2＝e ，∴PF 1＝ePF 2＝e (2a －PF 1)，PF 1＝2ae1＋e. 又a －c ≤PF 1≤a ＋c ，∴a －c ≤2ae 1＋e ≤a ＋c ，a (1－e )≤2ae 1＋e ≤a (1＋e )，1－e ≤2e1＋e≤1＋e ，解得e ≥2－1.又0<e <1，∴2－1≤e ＜1. 答案：[2－1,1)演练1：设12,F F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+= >>的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B两点，直线l 的倾斜角为60ο，1F 到直线l 的距离为23.如果222AF F B =,则椭圆C 的方程为．典例2：(1)(2012·四川高考)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B .当△F AB 的周长最大时，△F AB的面积是________．(2)(2011·福建高考)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于________．[解析] (1)法一：依题意得知，点F (－1,0)，不妨设点A (2cos θ，3sin θ)(sin θ>0)，则有B (2cos θ，－3sin θ)，|F A |＝|FB |＝2cos θ＋12＋3sin 2θ＝2＋cos θ，|AB |＝23sin θ，|F A |＋|FB |＋|AB |＝4＋2cos θ＋23sin θ＝4＋4sin ()θ＋π6，当θ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即θ＝2k π＋π3，k ∈Z ，2cos θ＝1，3sin θ＝32时，△F AB 的周长最大，此时△F AB 的面积等于12×(1＋1)×3＝3.法二：椭圆右焦点为F ′(1,0)．由椭圆定义|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a .则△F AB 的周长l ＝|AF |＋|BF |＋|AB |＝4a －(|F ′A |＋|F ′B |)＋|AB |＝4a －||F ′A |＋|F ′B |－|AB ||≤4a . 所以△F AB 周长最大时，直线x ＝m 经过F ′(1,0)，这时|AB |＝3，此时S △F AB ＝12×2×3＝3.(2)由题意可设：|PF 1|＝4m ，|F 1F 2|＝3m ，|PF 2|＝2m ，当圆锥曲线是椭圆时，长轴长为2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝4m ＋2m ＝6m ，焦距为2c ＝|F 1F 2|＝3m ，离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝3m 6m ＝12；当圆锥曲线是双曲线时，实轴长为2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝4m －2m ＝2m ，焦距为2c ＝|F 1F 2|＝3m ，离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝3m 2m ＝32.[答案] (1)3 (2)12或32解决圆锥曲线上的点与焦点的距离问题，一般考虑用定义，在椭圆和双曲线的方程中要注意a ，b ，c 之间关系的区别．演练2：(1)已知双曲线x 2a －y 22＝1的一个焦点坐标为(－3，0)，则其渐近线方程为________；(2)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________．解析：(1)由a ＋2＝3，可得a ＝1， ∴双曲线方程为x 2－y 22＝1，其渐近线方程为x ±y2＝0，即y ＝±2x . (2)由y 2＝4x 可知l 2：x ＝－1是抛物线的准线，所以P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1,0)的距离．动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值即为点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离d ＝|4＋6|42＋32＝2.答案：(1)y ＝±2x (2)2典例3：(2012·北京高考)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为22.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为103时，求k的值．[解](1)由题意得⎩⎨⎧a＝2，ca＝22，a2＝b2＋c2，解得b＝2，所以椭圆C的方程为x24＋y22＝1.(2)由⎩⎨⎧y＝k x－1，x24＋y22＝1得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝4k21＋2k2，x1x2＝2k2－41＋2k2，所以MN＝x2－x12＋y2－y12＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝2 1＋k24＋6k21＋2k2.又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝|k|1＋k2，所以△AMN的面积为S＝12MN·d＝|k| 4＋6k21＋2k2.由|k| 4＋6k21＋2k2＝103，化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系．解决直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，一般是联立方程消元后转化为二次方程的问题．演练3：已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且AB＝9.求该抛物线的方程．解：直线AB的方程是y＝22()x－p2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝5p4.由抛物线定义得AB＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.典例4：已知点P(4,4)，圆C：(x－m)2＋y2＝5(m<3)与椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)有一个公共点A(3,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．(1) 求m的值与椭圆E的方程；(2) 设Q为椭圆E上的一个动点，求AP→·AQ→的取值范围．解：(1) 点A坐标代入圆C方程，得(3－m)2＋1＝5.∵ m＜3，∴ m＝1.圆C ：(x －1)2＋y 2＝5.设直线PF 1的斜率为k ，则PF 1：y ＝k(x －4)＋4，即kx －y －4k ＋4＝0. ∵ 直线PF 1与圆C 相切，∴|k －0－4k ＋4|k 2＋1＝ 5.解得k ＝112或k ＝12.当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为3611，不合题意，舍去．当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为－4，∴ c ＝4，F 1(－4,0)，F 2(4,0). 2a ＝AF 1＋AF 2＝52＋2＝62，a ＝32，a 2＝18，b 2＝2. 椭圆E 的方程为：x 218＋y 22＝1.(2) AP →＝(1,3)，设Q(x ，y)，AQ →＝(x －3，y －1)， AP →·AQ →＝(x －3)＋3(y －1)＝x ＋3y －6. ∵ x 218＋y 22＝1，即x 2＋(3y)2＝18，而x 2＋(3y)2≥2|x|·|3y|，∴ －3≤xy ≤3.则(x ＋3y)2＝x 2＋(3y)2＋6xy ＝18＋6xy 的取值范围是[0,36]. x ＋3y 的取值范围是[－6,6]．∴ AP →·AQ →＝x ＋3y －6的取值范围是[－12,0]. (注：本题第二问若使用椭圆的参数方程或线性规划等知识也可解决)典例5：(2012·南师大信息卷)已知双曲线x 2－y 23＝1，椭圆与该双曲线共焦点，且经过点(2,3)．(1)求椭圆方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，直线l 为椭圆的右准线，N 为l 上的一动点，且在x 轴上方，直线AN 与椭圆交于点M .①若AM ＝MN ，求∠AMB 的余弦值；②设过A ，F ，N 三点的圆与y 轴交于P ，Q 两点，当线段PQ 的中点为(0,9)时，求这个圆的方程． [解] (1)双曲线焦点为(±2,0)，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．则⎩⎨⎧a 2－b 2＝4，4a 2＋9b 2＝1.解得a 2＝16，b 2＝12.故椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(2)①由已知，A (－4,0)，B (4,0)，F (2,0)，直线l 的方程为x ＝8.设N (8，t )(t >0)． ∵AM ＝MN ，∴M ()2，t2.由点M 在椭圆上，得t ＝6.故点M 的坐标为M (2,3)．所以MA ＝(－6，－3)，MB ＝(2，－3)，MA ·MB ＝－12＋9＝－3. cos ∠AMB ＝MA ·MB | MA |·|MB |＝－336＋9·4＋9＝－6565.②设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A ，F ，N 三点坐标代入，得 ⎩⎪⎨⎪⎧16－4D ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，64＋t 2＋8D ＋Et ＋F ＝0，得⎩⎨⎧D ＝2，E ＝－t－72t ，F ＝－8.圆的方程为x 2＋y 2＋2x －()t ＋72t y －8＝0，令x ＝0，得y 2－()t ＋72t y －8＝0.设P (0，y 1)，Q (0，y 2)，由线段PQ 的中点为(0,9)，得y 1＋y 2＝t ＋72t＝18. 此时，所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x －18y －8＝0.本题是直线、双曲线、椭圆、圆的综合问题，主要考查待定系数法求曲线方程．演练5：如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (0,1)，Q (0,2)．设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T ．求证：点T 在椭圆C 上．解：(1)由题意知椭圆C 的短半轴长为圆心到切线的距离，即b ＝22＝ 2. 因为离心率e ＝c a ＝32，所以ba ＝1－()c a2＝12，解得a ＝2 2. 所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)证明：由题意可设M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，① 直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2. ② 设T 点的坐标为(x ，y )．联立①②解得x 0＝x2y －3，y 0＝3y －42y －3.因为x 208＋y 202＝1，所以18⎝⎛⎭⎫x 2y －32＋12⎝⎛⎭⎫3y －42y －32＝1.整理得x 28＋3y －422＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y ＋9，即x 28＋y 22＝1.所以点T 的坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．典例6：已知抛物线D 的顶点是椭圆C ：x 216＋y 215＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合． (1)求抛物线D 的方程；(2)过椭圆C 右顶点A 的直线l 交抛物线D 于M 、N 两点． ①若直线l 的斜率为1，求MN 的长；②是否存在垂直于x 轴的直线m 被以MA 为直径的圆E 所截得的弦长为定值？如果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由．[解] (1)由题意，可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)．由a 2－b 2＝16－15＝1，得c ＝1. ∴抛物线的焦点为(1,0)，∴p ＝2. ∴抛物线D 的方程为y 2＝4x . (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．①直线l 的方程为：y ＝x －4，联立⎩⎨⎧y ＝x －4，y 2＝4x ，整理得x 2－12x ＋16＝0，则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16，所以MN ＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝410.②设存在直线m ：x ＝a 满足题意，则圆心E ⎝⎛⎭⎫x 1＋42，y 12，过E 作直线x ＝a 的垂线，垂足为H ，设直线m 与圆E 的一个交点为G .可得GH 2＝EG 2－EH 2，即GH 2＝EA 2－EH 2＝x 1－42＋y 214－⎝⎛⎭⎫x 1＋42－a 2＝14y 21＋x 1－42－x 1＋424＋a (x 1＋4)－a 2＝x 1－4x 1＋a (x 1＋4)－a 2＝(a －3)x 1＋4a －a 2.当a ＝3时，GH 2＝3，此时直线m 被以MA 为直径的圆E 所截得的弦长恒为定值2 3. 因此存在直线m ：x ＝3满足题意．以探究“是否存在”为目标的开放性问题，是高考的一个热点，解决此类问题的方法类似于反证法，即先假设存在并设出参数．建立方程，若有符合题意的解，则说明存在，否则说明不存在．演练6：已知椭圆C 的离心率e ＝22，一条准线方程为x ＝4，P 为准线上一动点，直线PF 1、PF 2分别与以原点为圆心、椭圆的焦距F 1F 2为直径的圆O 交于点M 、N .(1)求椭圆的标准方程；(2)探究是否存在一定点恒在直线MN 上？若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意得c a ＝22，a 2c ＝4，解得c ＝2，a ＝22，则b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)由(1)易知F 1F 2＝4，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4. 设P (4，t )，则直线PF 1方程为y ＝t6(x ＋2)，由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4，y ＝t6x ＋2，得(t 2＋36)x 2＋4t 2x ＋4(t 2－36)＝0，解得x 1＝－2，x 2＝－2t 2－36t 2＋36，所以M ⎝⎛⎭⎫－2t 2－36t 2＋36，24t t 2＋36，同理可得N ⎝⎛⎭⎫2t 2－4t 2＋4，－8t t 2＋4. ①若MN ⊥x 轴，则－2t 2－36t 2＋36＝2t 2－4t 2＋4，解得t 2＝12，此时点M ，N 的横坐标都为1，故直线MN 过定点(1,0)；②若MN 与x 轴不垂直，即t 2≠12，此时k MN ＝－8t t 2＋4－24tt 2＋362t 2－4t 2＋4＋2t 2－36t 2＋36＝－8tt 2－12，所以直线MN 的方程为y －－8t t 2＋4＝－8t t 2－12⎝⎛⎭⎫x －2t 2－4t 2＋4，即y ＝－8tt 2－12(x －1)，所以直线MN 过定点(1,0)．综上，直线MN 过定点(1,0)．专题技法归纳：(1)求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法．而对于双曲线和椭圆在不明确焦点坐标的情况下可以统一设成mx 2＋ny 2＝1(mn ≠0)，这样可以避免对参数的讨论．(2)求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca 的值．(3)在双曲线中由于e 2＝1＋b 2a2，故双曲线的渐近线与离心率密切相关．课后练习(十)1．已知方程x 2m －1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________；若该方程表示双曲线，则m 的取值范围是________．解析：若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，2－m >0，2－m >m －1，解得1<m <32；若方程表示双曲线，则(m －1)(2－m )<0，解得m <1或m >2.答案：()1，32 (－∞，1)∪(2，＋∞)2．点P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，如果∠PF 1F 2＝75°，∠PF 2F 1＝15°，则椭圆的离心率为________．解析：由题意得∠F 1PF 2＝90°，PF 1＝2c cos 75°，PF 2＝2c sin 75°，所以2c (sin 75°＋cos 75°)＝2a ，e ＝1sin 75°＋cos 75°＝63. 3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．解析：直线AB 的方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p2，代入y 2＝2px 得，y 2－2py －p 2＝0.则y A ＋y B ＝2p ＝4，p ＝2，准线方程为x ＝－1.4．(2011·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为________．解析：由题设可得双曲线方程满足3x 2－y 2＝λ(λ>0)，即x 2λ3－y 2λ＝1.于是c 2＝λ3＋λ＝4λ3. 又抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，因为双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则c 2＝4λ3＝36，于是λ＝27.所以双曲线的方程x 29－y 227＝1.5．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF ＝2FD ，则C 的离心率为________．解析：不妨设椭圆C 的焦点在x 轴上，中心在原点，B 点为椭圆的上顶点，F (c,0)(c ＞0)为右焦点，则由BF ＝2FD ，得D 点到右准线的距离是B 点到右准线距离的一半，则D 点横坐标x D ＝a 22c ，由BF ＝2FD 知，c ＝2()a 22c －c ，得3c 2＝a 2，e ＝33. 6．(2011·江西高考)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点()1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是____ ____．解析：由题可设斜率存在的切线的方程为y －12＝k (x －1)(k 为切线的斜率)，即2kx －2y －2k ＋1＝0，由|－2k ＋1|4k 2＋4＝1，解得k ＝－34，所以圆x 2＋y 2＝1的一条切线方程为3x ＋4y －5＝0，求得切点A ()35，45，易知另一切点B (1,0)，则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋2.令y ＝0得右焦点为(1,0)，令x ＝0得上顶点为(0,2)．∴a 2＝b 2＋c 2＝5，故得所求椭圆方程为x 25＋y 24＝1.7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为___ _____．解析：由题意知，椭圆的焦点坐标是(±7，0)，离心率是74.故在双曲线中c ＝7，e ＝274＝ca，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，故所求双曲线的方程是x 24－y 23＝1.8．已知双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点、右焦点分别为A 、F,它的左准线与x 轴的交点为B ，若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为 .9．设P 点在圆x 2＋(y －2)2＝1上移动，点Q 在椭圆x 29＋y 2＝1上移动，则PQ 的最大值是________．解析：圆心C (0,2)，PQ ≤PC ＋CQ ＝1＋CQ ，于是只要求CQ 的最大值．设Q (x ，y )， ∴CQ ＝x 2＋y －22＝91－y 2＋y －22＝－8y 2－4y ＋13，∵－1≤y ≤1，∴当y ＝－14时，CQ max ＝ 272＝362， ∴PQ max ＝1＋362. 10．(2012·辽宁高考)已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，因为PF 1⊥PF 2，所以(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，又因为|PF 1|－|PF 2|＝2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＝4，可得2|PF 1|·|PF 2|＝4，则(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2 3.11．(2011·四川高考)过点C (0,1)的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32.椭圆与x 轴交于两点A (a ,0)、B (－a,0)．过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q .(1)当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长；(2)当点P 异于点B 时，求证：OP ·OQ 为定值．解：(1)由已知得b ＝1，c a ＝32，解得a ＝2，所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1. 椭圆的右焦点为(3，0)，此时直线l 的方程为y ＝－33x ＋1，代入椭圆方程化简得7x 2－83x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝837，代入直线l 的方程得y 1＝1，y 2＝－17，所以D 点坐标为⎝⎛⎭⎫837，－17. 故|CD |＝⎝⎛⎭⎫837－02＋()－17－12＝167. (2)证明：当直线l 与x 轴垂直时与题意不符．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1()k ≠0且k ≠12.代入椭圆方程化简得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－8k 4k 2＋1，代入直线l 的方程得y 1＝1，y 2＝1－4k 24k 2＋1，所以D 点坐标为⎝⎛⎭⎫－8k 4k 2＋1，1－4k 24k 2＋1.又直线AC 的方程为x 2＋y ＝1，直线BD 的方程为y ＝1＋2k 2－4k(x ＋2)，联立解得⎩⎨⎧ x ＝－4k ，y ＝2k ＋1.因此Q 点坐标为(－4k,2k ＋1)．又P 点坐标为()－1k ，0，所以OP ·OQ ＝()－1k ，0·(－4k,2k ＋1)＝4. 故OP ·OQ 为定值．12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，一条准线l ：x ＝2. (1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，M 是l 上的点，F 为椭圆C 的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆D 交于P ，Q 两点．①若PQ ＝6，求圆D 的方程；②若M 是l 上的动点，求证点P 在定圆上，并求该定圆的方程．解：(1)由题设：⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝22，a 2c ＝2，∴⎩⎨⎧ a ＝2c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)①由(1)知：F (1,0)，设M (2，t )，则圆D 的方程：(x －1)2＋()y －t 22＝1＋t 24，直线PQ 的方程：2x ＋ty －2＝0， ∵PQ ＝6，∴2()1＋t 24－⎝ ⎛⎭⎪⎫||2＋t 22－24＋t 22＝6， ∴t 2＝4，∴t ＝±2. ∴圆D 的方程：(x －1)2＋(y －1)2＝2或(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. ②证明：法一：设P (x 0，y 0)，由①知⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－12＋()y 0－t 22＝1＋t 24，2x 0＋ty 0－2＝0即⎩⎨⎧x 20＋y 20－2x 0－ty 0＝0，2x 0＋ty 0－2＝0，消去t 得x 20＋y 20＝2 ∴点P 在定圆x 2＋y 2＝2上．法二：设P (x 0，y 0)，则直线FP 的斜率为k FP ＝y 0x 0－1. ∵FP ⊥OM ，∴直线OM 的斜率为k OM ＝x 0－1y 0， ∴直线OM 的方程为y ＝－x 0－1y 0x ，点M 的坐标为M ⎝⎛⎭⎫2，－2x 0－1y 0. ∵MP ⊥OP ，∴OP ·MP ＝0， ∴x 0(x 0－2)＋y 0⎣⎡⎦⎤y 0＋2x 0－1y 0＝0 ∴x 20＋y 20＝2，∴点P 在定圆x 2＋y 2＝2上．。