高中数学学案课件第三章 §3.2.2 (新人教A版必修1)
最新人教A版高中数学必修一课件：3.2.2 奇偶性
[方法技巧] 巧用奇函数、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称． (2)求解：根据奇函数、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇 函数、偶函数图象的问题．
题型三 利用函数的奇偶性求解析式
【学透用活】
[典例3] (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a ＝________，b＝________.
(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________. [解析] (1)因为偶函数的定义域关于原点对称，
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)f(x)是定义在R上的函数，若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是偶函数． ( )
(2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函
数．
()
(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
D．无法确定
解析：∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1.
答案：C
4 ． 函 数 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 当 x>0 时 ， f(x) ＝ － x ＋ 1 ， 则 当 x<0 时 ， f(x) ＝ ________.
解析：当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝－f(x)，所以f(x)＝－x
【对点练清】 1．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
高中数学人教A版 必修1《3.2.2函数的奇偶性》课件（16张PPT）
一看
二找
三判断
看定义域 是否关于 原点对称
找 f x与
f x的
下结
关系
论
函数奇偶性的判断
变式训练1 判断下列函数的奇偶性：——定义法
（1）f x 4 x2 （2）f x x2x 1
x 1
（3）f x 0
按照奇偶性将函数分类为：
①奇函数 ②偶函数 ③非奇非偶函数 ④既奇又偶函数
函数奇偶性的判断 ——图象直观感知
利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以 及复合函数的奇偶性判断.
f x
偶
偶
奇
奇
gx
偶
奇
奇
偶
f x gx
f x gx
f x gx
f g(x)
研究题 借助几何画板绘制大量函数图象并归纳函数的单调
性与函数的奇偶性的关系。来自f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)
不同点
图象关于y轴对称 图象关于原点对称
补充：奇偶性是函数在其定义域上的整体性质
函数奇偶性的判断
例6 判断下列函数的奇偶性： ——定义法
（1）f x x4
偶函数 （2） f x x5 奇函数
（3）f x x 1
x
奇函数
（4）
f
x
1 x2
偶函数
归纳： 根据定义判断函数的奇偶性的步骤：
f x x2
…
9
4
1
0
14
…
9
gx 2 | x | … -1
0
1
2
1
0
…
-1
f 3 9 f 3 f 2 4 f 2 f 1 1 f 1
几何画板
当自变量取一对相反数时， 相应的两个函数值相等
2020高中数学A版新教材必修1学案导学案 第三章 3.2.2 奇偶性
－3 B.f(2)<f 2 <f(－1)
－3 C.f(2)<f(－1)<f 2
－3 D.f(－1)<f 2 <f(2) 解析 ∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，
∴f(2)＝f(－2).
又 f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2<－3<－1. 2
－x2－x，x<0， 综上可知 f(x)＝
x2－x，x≥0. (2)设 x<0，－x>0， 则 f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1， 又 f(x)在 R 上为偶函数，∴当 x∈(－∞，0)时，f(x)＝f(－x)＝x2－x－1. 题型四 函数单调性与奇偶性的应用 方向 1 比较大小问题 【例 4－1】 若对于任意实数 x 总有 f(－x)＝f(x)，且 f(x)在区间(－∞，－1]上是 增函数，则( )
－∞，－5 5，＋∞
单调递减区间是
2和2
.
4.(1)中的函数在区间(－∞，－2]与[2，＋∞)上单调性相反，(2)中的函数在区间
－5，0 0，5 2 与 2 上单调性相同.
1.函数的奇偶性 奇、偶函数的定义域关于原点对称
奇偶性
定义
图象特点
设函数 f(x)的定义域为 I，如果 x∈I，都有－x∈I，且
为________________________________________________________.
解析 因为函数 f(x)在区间[－3，－1]上是减函数，所以 f(－1)<f(－2)<f(－3).
又函数 f(x)是偶函数，则 f(－x)＝f(x).即 f(－1)＝f(1)，f(－2)＝f(2)，
2021年高中数学第三章导数及其应用3.2.2导数的运算法则学案含解析人教A版选修1_1.doc
3.2.2 导数的运算法则自主预习·探新知情景引入如何求得下列函数的导数呢？ 1．y ＝x 5＋x 3－x 2＋3； 2．y ＝e x－sin x ＋ln x ； 3．y ＝cos 2x2－sin 2x2.新知导学 导数的运算法则和差的导数 [f (x )±g (x )]′＝__f ′(x )±g ′(x )__积的导数[f (x )·g (x )]′＝__f ′(x )g (x )＋f (x )·g ′(x )__ 商的导数[f xg x]′＝__f ′xg x －f x g ′xg 2x__(g (x )≠0)预习自测1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( A ) A ．1 B ． 2 C ．－1D ．0[解析] ∵f (x )＝ax 2＋c ，∴f ′(x )＝2ax ， 又∵f ′(1)＝2a ，∴2a ＝2，∴a ＝1. 2．已知f (x )＝e xln x ，则f ′(x )＝( C ) A ．e xxB ．e x＋1xC ．e xx ln x ＋1xD ．1x＋ln x[解析] f ′(x )＝(e x)′ln x ＋e x(ln x )′＝e xln x ＋exx＝exx ln x ＋1x.3．(2020·全国卷Ⅰ理，6)函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( B )A ．y ＝－2x －1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝2x －3D ．y ＝2x ＋1[解析] ∵f (x )＝x 4－2x 3，∴f ′(x )＝4x 3－6x 2，∴f ′(1)＝－2，又f (1)＝1－2＝－1， ∴所求的切线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1.故选B ．4．(2020·全国卷Ⅲ文，15)设函数f (x )＝e xx ＋a .若f ′(1)＝e 4，则a ＝__1__.[解析] 由于f ′(x )＝exx ＋a －e x x ＋a 2，故f ′(1)＝e a1＋a2＝e4，解得a ＝1.5．求下列函数的导数： (1)y ＝sin x －2x 2； (2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)； (3)y ＝excos x.[解析] (1)y ′＝(sin x －2x 2)′ ＝(sin x )′－(2x 2)′ ＝cos x －4x .(2)y ′＝(2x 2＋3)′(3x －2)＋(2x 2＋3)(3x －2)′ ＝4x (3x －2)＋3(2x 2＋3) ＝12x 2－8x ＋6x 2＋9 ＝18x 2－8x ＋9.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e xcos x ′＝ex′·cos x －cos x ′·excos 2x ＝excos x ＋sin xcos 2x互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶导数的四则运算法则的应用典例1 求下列函数的导数：(1)y ＝(x ＋1)2(x －1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝1x ＋2x 2＋3x3；(4)y ＝x tan x －2cos x. [解析] (1)解法一：y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′＝2(x ＋1)(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1.解法二：y ＝(x 2＋2x ＋1)(x －1)＝x 3＋x 2－x －1，y ′＝(x 3＋x 2－x －1)′＝3x 2＋2x －1.(2)y ′＝(x 2sin x )′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2x 2＋3x 3′＝(x －1＋2·x －2＋3·x －3)′＝－x －2－4x －3－9x －4＝－1x 2－4x 3－9x4.(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x cos x －2cos x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x －2cos x ′＝x sin x －2′cos x ＋x sin x －2sin xcos 2x＝sin x ＋x cos xcos x ＋x sin 2x －2sin xcos 2x＝sin x cos x ＋x －2sin x cos 2x ＝tan x ＋x cos 2 x －2tan xcos x. 『规律方法』 1.符合导数运算法则形式特点的函数求导可直接用公式，注意不要记错用混积商的导数运算法则．①[f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x )；②⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′≠f ′x g ′x .2．公式[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )的推广为[f 1(x )·f 2(x )·f 3(x )…f n (x )]′＝f 1′(x )f 2(x )f 3(x )…f n (x )＋f 1(x )f 2′(x )f 3(x )f 4(x )…f n (x )＋…＋f 1(x )f 2(x )…f n ′(x )3．较为复杂的求导运算，一般要先将函数化简，再求导． ┃┃跟踪练习1__■ 求下列函数的导数． (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝x －1x ＋1. [解析] (1)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x cos x ′＝x sin x ′cos x －x sin x cos x ′cos 2x＝sin x ＋x cos x cos x ＋x sin 2xcos 2x ＝sin x cos x ＋xcos 2x. (2)解法一：y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′ ＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2＝3x 2＋12x ＋11；解法二：∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11； (3)解法一：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝x －1′x ＋1－x －1x ＋1′x ＋12＝x ＋1－x －1x ＋12＝2x ＋12；解法二：∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋1′＝2x ＋12.命题方向❷利用导数求参数典例2 (2020·云南昆明高二调研)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 过点(1,5)，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，求f (x )的解析式．[思路分析] 本题主要考查利用导数求解参数问题，观察y ＝f ′(x )的图象可知y ＝f ′(x )过点(1,0)、(2,0)，即f ′(1)＝0，f ′(2)＝0.[解析] ∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，且f ′(1)＝0、 f ′(2)＝0、 f (1)＝5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＋c ＝012a ＋4b ＋c ＝0a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－9c ＝12.∴函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝2x 3－9x 2＋12x .『规律方法』 1.导数的应用中，求导数是一个基本解题环节，应仔细分析函数解析式的结构特征，根据导数公式及运算法则求导数，不具备导数运算法则的结构形式时，先恒等变形，然后分析题目特点，探寻条件与结论的联系，选择解题途径．2．求参数的问题一般依据条件建立参数的方程求解． ┃┃跟踪练习2__■偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f (x )的解析式．[解析] ∵f (x )的图象过点P (0,1)， ∴e ＝1.又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e . ∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2， ∴切点为(1，－1)．∴a ＋c ＋1＝－1. ∵f ′(x )|x ＝1＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1. ∴a ＝52，c ＝－92.∴函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.命题方向❸导数的综合应用典例3 已知曲线y ＝f (x )＝x 2a－1(a >0)在x ＝1处的切线为l ，求l 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值．[解析] ∵f (1)＝1a －1，∴切点坐标为(1，1a－1)．由已知，得f ′(x )＝(x 2a －1)′＝2xa，∴切线的斜率k ＝f ′(1)＝2a，∴切线l 的方程为y －(1a －1)＝2a(x －1)，即2x －ay －a －1＝0. 令y ＝0，得x ＝a ＋12；令x ＝0，得y ＝－a ＋1a. ∴切线l 与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×a ＋12×a ＋1a＝14(a ＋1a )＋12≥14×2a ×1a ＋12＝1，当且仅当a ＝1a，即a ＝1时取等号，∴S min ＝1.故l 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值为1.『规律方法』 求曲线的切线方程要注意分清点是否是切点．若已知点是切点，则可通过点斜式直接写方程，若已知点不是切点，则需设出切点．┃┃跟踪练习3__■函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1的图象上有两点A (0,1)和B (1,0)，在区间(0,1)内求实数a ，使得函数f (x )的图象在x ＝a 处的切线平行于直线AB ．[解析] 直线AB 的斜率k AB ＝－1，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(a )＝－1 (0<a <1)， 即3a 2－2a －1＝－1，解得a ＝23.学科核心素养 综合应用问题灵活运用导数的运算法则，求解复合函数的导数，或与其他知识结合解决相关问题；利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何问题与实际问题．典例4 已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋b 在点P (2，－6)处的切线方程是13x －y －32＝0.(1)求a ，b 的值；(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线l ：y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．[思路分析] (1)由f (x )在点P 处的切线方程可知f ′(2)，及f (2)＝－6，得到a 、b 的方程组，解方程组可求出a 、b ；(2)由曲线y ＝f (x )的切线与l 垂直，可得切线斜率k ＝f ′(x 0)，从而解出x 0，求得切点坐标和k .[解析] (1)∵f (x )＝x 3＋ax ＋b 的导数f ′(x )＝3x 2＋a ， 由题意可得f ′(2)＝12＋a ＝13, f (2)＝8＋2a ＋b ＝－6， 解得a ＝1，b ＝－16.(2)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1.由f (x )＝x 3＋x －16，可得y 0＝1＋1－16＝－14，或y 0＝－1－1－16＝－18. 则切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.『规律总结』 处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解．┃┃跟踪练习4__■(天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为__1__.[解析] ∵f ′(x )＝a －1x，∴f ′(1)＝a －1.又∵f (1)＝a ，∴切线l 的斜率为a －1，且过点(1，a )， ∴切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)． 令x ＝0，得y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1.易混易错警示 准确应用公式典例5 若f (x )＝cos xx，求f ′(π)．[错解] ∵f (x )＝cos xx，∴f ′(x )＝cos x ′x ＋cos x ·x ′x 2＝－x sin x ＋cos xx2，∴f ′(π)＝－πsin π＋cos ππ2＝－1π2.[错解分析] 应用商的求导法则时，分子应是“分子的导数乘分母－分子乘分母的导数”，解题时错误的写成了“＋”．[正解]∵f (x )＝cos xx，∴f ′(x )＝cos x ′x －cos x ·x ′x 2＝－x sin x －cos xx2， ∴f ′(π)＝－πsin π－cos ππ2＝1π2.。
2016-2017学年人教A版高一数学必修一书本讲解课件：第三章 3.2 3.2.2 函数模型的应用
将 c＝1.01×105 代入 0.90×105＝ce1 000k 中得 0.90×105＝1.01×105e1 000k， ∴k＝1 0100×ln01..9001.由计算器算得 k＝－1.15×10－4， ∴y＝1.01×105×e－1.15×10－4x. 将 x＝600 代入上述函数关系式得 y＝1.01×105×e－1.15×10－4×600， 由计算器算得 y＝0.943×105 Pa. 答：600 m 高空的大气压强约为 0.943×105 Pa.
的产量为________． 解析：∵y＝a·0.5x＋b，且当 x＝1 时，y＝1，当 x＝2 时 y＝1.5，则有：
1＝a×0.5＋b， 1.5＝a×0.52＋b，
解得ab＝ ＝－ 2，2，
∴y＝－2×0.5x＋2，
当 x＝3 时，
y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)． 答案：1.75 万件
[解析] (1)P(x)＝R(x)－C(x)＝(3 000x－20x2)－(500x＋4 000)＝－20x2＋2 500x
－4 000.(1≤x≤100，x∈N)．
M1(x)＝P(x＋1)－P(x)＝2 480－40x，(1≤x≤100，x∈N)
(2)∵P(x)＝－20(x－1225)2＋74 125
解析：设今年绿地面积为 a，则有 ay＝(1＋10%)x·a， ∴y＝1.1x，故选 D. 答案：D
第六页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
3．已知某工厂生产某种产品的月产量 y 与月份 x 满足关系 y＝a·(0.5)x＋b，现已
知该厂今年 1 月、2 月生产该产品分别为 1 万件、1.5 万件．则此厂 3 月份该产品
第二十页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
人教A版高中学案数学必修第一册精品课件 第三章 函数的概念与性质 函数的概念-第2课时函数概念的应用
[解析]由ቊ
得 > ,且 ≠ .故选C.
− ≠ ,
2.函数() =
1
(
2 +1
∈ )的值域是() B
A.(−∞, 1]B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]
[解析]因为
(, ].故选B.
+ ≥ ,所以 <
+
≤ ,故函数() =
为函数 = − 2 + 4 + 1的图象开口向下,对称轴方程为 = 2 ∈ [0, +∞),所以当 = 2时,
函数 = − 2 + 4 + 1取到最大值,max = 5,所以原函数的值域为(−∞, 5].
1.知识清单：（1）求函数的定义域.
（2）求简单函数的值域.
2.方法归纳:配方法、换元法、基本不等式法、数形结合、转化与化归.
=
=2+
,
−3
−3
−3
7
7
2 +1
∵
≠ 0,∴ 2 +
≠ 2,∴ =
的值域为(−∞, 2)
−3
−3
−3
∪ (2, +∞).
（4） = 2 − − 1.
1
4
解 令 − 1 = ,则 ≥ 0且 = 2 + 1,∴ = 2( 2 + 1) − = 2 2 − + 2 = 2( − )2 +
1
4
则当 = 时,min =
15
,∴
8
15
, +∞).
8
= 2 − − 1的值域为[
15
,
新人教版高中数学必修第一册3.2.2函数的奇偶性(课件)
奇(偶)函数的性质及应用
【拓展】（2）奇偶函数的运算性质及符合函数的奇偶性： 设 ， 的定义域分别是A和B，在公共定义域上有：
偶
偶
偶
奇
偶
偶
偶
奇
偶
偶
【注】上表中不考虑
和
中需
，
.
奇
奇
奇
偶
奇
奇
偶
奇
奇
偶
的情况；
【1】已知 是偶函数， 是奇函数，将下面的图像补充完整.
【解】根据奇偶函数的对称性，分别将偶函数沿着y轴作对称； 把奇函数沿着原点作中心对称，答案见图上.
【解】(1)首先判断定义域为R，关于y轴对称，再判断：
所以此函数是偶函数；
【解】(2)首先判断定义域为R，关于y轴对称，再判断： 所以此函数是奇函数；
【解】(3)首先判断定义域为
，关于y轴对称，再判断：
判断函数奇 偶性，首先 要看定义域.
【解】(3)首先判断定义域为
所以此函数是奇函数； ，关于y轴对称，再判断： 所以此函数是偶函数.
“ THANKS ”
【2】几何法，函数的图像关于y轴对称，那么函数就是偶函数
要证明某个函数不是偶函数，只需要列举出一个反例x0，证明f(-x0)≠f(x0)即可
偶函数 偶函数
图像关于y轴对称
本资料分享自高中数学 同步资源千人教师QQ群 483122854 本群专注同 代数特步入征资与源分收享集 期待你的加
几何特征
定义中，
函数奇偶性的判断
利用定义判断函数奇偶性的方法： 【1】一看定义域：奇函数和偶函数的定义域一定关于y轴对称，如果一个函数的定
义域关于y轴对称，那么它才有可能是奇函数或者偶函数，否则就没有探究下 去的必要.
新教材高中数学第三章函数的概念与性质 单调性与最大小值第2课时函数的最大小值课件新人教A版必修第一册
巩固训练2 求函数y＝x−21在区间[2,6]上的最大值和最小值．
解析：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x1<x2,则
f(x1)－f(x2)＝x12−1
−
2＝
x2−1
2 x2−x1 x1−1 x2−1
由于2<x1<x2<6, 得x2－ x1>0,(x1－1)(x2－1)>0,于是f(x1)－f(x2)>0,f(x1)>f(x2)
当a
2
≤
12,即a≤1时,f(x)的最大值为f(1)＝2－a；
当2a>12,即a>1时,f(x)的最大值为f(0)＝1.
综上f(x)max＝ቊ2
− 1,
a, a ≤ a>1
1.
方法归纳
求二次函数最值问题的解题策略 一般都是讨论函数的定义域与对称轴的位置关系,往往分三种情况： (1)定义域在对称轴左侧；(2)对称轴在定义域内；(3)定义域在对称轴 右侧．在讨论时可结合函数图象,便于分析、理解．
所以,函数y＝x−21在区间[2,6]上单调递减．
x＝2时取最大值,最大值是2,在x＝6时取最小值,最小值为2.
5
题型 3 求二次函数的最值 例3 (1)已知函数f(x)＝x2－2x－3,若x∈[0,2],求函数f(x)的最值．
解析：∵函数f(x)＝x2－2x－3开口向上,对称轴x＝1,∴f(x)在 [0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,且f(0)＝f(2)．
方法归纳
图象法求最值的一般步骤
巩固训练1 的最大值为(
A．2 C．－1
若x∈R,f(x)是y＝2－x2,y＝x这两个函数中的较小者,则f(x)
) B．1 D．无最大值
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指数型函数模型的应用
例3 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的 变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在 1798 年， 英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y
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＝y0ert，其中 t 表示经过的时间，y0 表示 t＝0 时的人口数，r 表 示人口的年平均增长率． 下表是 1950～1959 年我国的人口数据 资料：
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问题情境：我们已经学过一次函数、二次函数、幂函数、指数 函数、对数函数等等，它们在实际生活中有着广泛的应用．今 天我们尝试一下，怎样从实际问题入手，运用已学过的函数知 识来解决一个实际问题．
探究点一 例1
一次、二次函数模型的应用
某列火车从北京西站开往石家庄，全程 277 km.火车出
a＞0且a≠1)
f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a＞ 0 且 a≠1) f(x)＝ axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2.面临实际问题，自己建立函数模型的步骤 (1)收集数据；
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(2)画散点图； (3)选择函数模型； (4)求函数模型； (5)检验； (6)用函数模型解释实际问题.
发 10 min 开出 13 km 后，以 120 km/h 的速度匀速行驶．试 写出火车行驶的总路程 S 与匀速行驶的时间 t 之间的关系，
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并求火车离开北京 2 h 内行驶的路程．
11 解 因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷ 120 ＝ 5 (h)， 11 所以 0≤t≤ 5 . 因为火车匀速行驶时间 t h 所行驶路程为 120t，
解 设可获得总利润为 R(x)万元，
x2 则 R(x)＝40x－y＝40x－ 5 ＋48x－8 000 x2 ＝－ 5 ＋88x－8 000 1 ＝－5(x－220)2＋1 680 (0≤x≤210)．
∵R(x)在[0,210]上是增函数，
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1 ∴x＝210 时，R(x)有最大值为－5(210－220)2＋1 680＝1 660.
0≤t<1， 1≤t<2， 2≤t<3， 3≤t<4， 4≤t≤5.
这个函数的图象如图所示．
小结
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(1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不
同， 可以先将其当作几个问题， 将各段的变化规律分别找出来， 再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值； (2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重 不漏．
跟踪训练 1
某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产
品，其生产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的函数关系式 x2 可以近似地表示为 y＝ －48x＋8 000， 已知此生产线年产量最 5
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大为 210 吨．若每吨产品平均出厂价为 40 万元，那么当年产 量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
解
(1)阴影部分的面积为 50×1＋80×1＋90×1＋75×1
＋65×1＝360.
阴影部分的面积表示汽车在这 5 小时内行驶的路程为 360 km.
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50t＋2 004， 80t－1＋2 054， (2)根据图，有 s＝90t－2＋2 134， 75t－3＋2 224， 65t－4＋2 299，
∴年产量为 210 吨时，可获得最大利润 1 660 万元．
探究点二 例 2 示．
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分段函数模型的应用
一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所
(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数 s km 与时 间 t h 的函数解析式，并作出相应的图象．
跟踪训练 2 某游乐场每天的盈利额 y 元 与售出的门票数 x 张之间的关系如图所示， 试问盈利额为 750 元时，当天售出的门票
本 课 解 根据题意，每天的盈利额 y 元与售出的门 时 3.75x0≤x≤400 栏 . 目 票数 x 张之间的函数关系是：y＝ 1.25x＋1 000400<x≤600 开 关
3.2.2
【学习要求】
本 课 时 栏 目 开 关
函数模型的应用实例
1.能根据数据的特点，建立函数模型解决实际问题； 2.通过函数知识的应用， 复习巩固已学过的基本初等函数的知识； 3.通过实例了解函数模型的广泛应用．进一步巩固函数的应用问 题，进一步熟悉用函数解题的步骤和方法． 【学法指导】 通过将实际问题转化为数学问题的过程，培养数学应用意识；通 过对开放性问题的讨论过程，培养创新精神.
1.几类函数模型 函数模型
本 课 时ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ栏 目 开 关
函数解析式 f(x)＝ ax＋b(a、b为常数，a≠0) k f(x)＝x＋b(k，b 为常数且 k≠0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) f(x)＝ bax＋c(a，b，c为常数，b≠ 0，
一次函数模型 反比例函数模型 二次函数模型 指数型函数模型 对数型函数模型 幂函数型模型
所以，火车运行总路程 S 与匀速行驶时间 t 之间的关系是 11 S＝13＋120t(0≤t≤ 5 ). 11 2 h 内火车行驶的路程 S＝13＋120× 6 ＝233 (km)．
小结
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在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次
函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于 0)或直 线下降(自变量的系数小于 0)，构建一次函数模型，利用一次 函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解．
数为多少？
①当 0≤x≤400 时，由 3.75x＝750，得 x＝200.
②当 400<x≤600 时， 由 1.25x＋1 000＝750， 得 x＝－ 200(舍去)．
综合①和②，盈利额为 750 元时，当天售出的门票数为 200 张．
答
当天售出的门票数为 200 张时盈利额为 750 元．
探究点三