《数值分析》试卷2016级专硕

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2005-2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷）科目名称：数值分析学生所在院： _______ 学号： _________ 姓名： _______ 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。

一、（15分）设求方程12-3x + 2cosx = 0根的迭代法（1）证明对0兀0 w /?,均有lim 林，其中T 为方程的根.kT8 （2）此迭代法收敛阶是多少？证明你的结论.二、（12分）讨论分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组的收敛性。

x } + 2X 2 - 2X 3 = 1,v 兀］+ 兀2 +兀3 = _1，2兀］+ 2兀2 +兀3 = °・a 0、a 0 ,说明对任意实数。

工0,方程组AX=b 都是0 Q,非病态的。

（范数用||・|L ）四、（15分）已知y = f （x ）的数据如下:求/（%）的Hermite 插值多项式H 3 （%）,并给出截断误差/?（兀）=f （x ） - H 3 （x ）。

五、（10分）在某个低温过程屮，函数y 依赖丁•温度兀（°C ）的试验数据为已知经验公式的形式为『=仮+方兀2 ,试用最小二乘法求出a , b o 六、（12分）确定常数a, b 的值，使积分(2a 三、（8分）若矩阵A = 0J(a, /?) = !] [ax2取得最小值。

七、（14分）已知Legendre （勒让德）止交多项式厶（x ）有递推关系式:'L 曲（兀）=^77 心（兀）一 -—Ln-1（兀）（斤=1, 2,…）试确定两点的高斯一勒让德（G —L ）求积公式£ f （x ）djc = £ f\x ｝） + A 2 .f （兀2）的求积系数和节点，并用此公式近似计算积分go ） = y （）儿+1 =儿+力（^心+-^2） k\=f （Xn ，yJ 忍=fg + h,y n +hk ｛）（1）验证它是二阶方法；（2）确定此单步法的绝对稳定域。

河海大学2015-2016学年硕士生《数值分析》试题

河海大学2015-2016学年硕士生《数值分析》试题(A)任课教师姓名1、若 X >:>1，改变计算式 In & - J x 2-1 )=2、设s(x) = [x :X ,2O^x^1 ,是以0,1,2为节点的三次样条函数，则[2x 3 +bx 2+cx-1, 1 <x <23、已知契比雪夫多项式 T 3(X )=4X 3-3X ,则f(x)=2x 3 + x 2+2X —1在［—1,1］上的二次最佳一致逼近多项式是 4、已知离散数据(X k , y k )(k =1,2,…，n)，用直线y=a+bx 拟合这n 个点，则参数a 、b 满足的法方程组是326、设f(x)=(x+2)(x -3x +3x-1)=0，用牛顿迭代法解此方程的根x^ -2具有二阶，求根X 2 =1具有二阶收敛的迭代格式为7、如果求解常微分方程初值问题的显式单步法局部截断误差是Tn+ = y(X n 十)—y n 十=O(h 4)，则称此单步法具有《数值分析》2015级(A)第1页共6页二、(本题10分)已知数据表姓名 _____________ 专业 ____一、填空题(每空2分，共20分)学号成绩，使计算结果更为准确。

5、给定矩阵胃一21|1d O , ，则A 的谱半径P(A) = 卜13」(),A 的条件数Cond^A)-收敛的迭代格式为阶精度。

11，写出迭代两步的结果（计算结果保留到小数后第四位）。

九、（本题8分）给定常微分方程初值问题（1）求f （X ）的三次Lagrange （拉格朗日）插值多项式；（2）计算差商表，并写出三次 Newton （牛顿）插值多项式。

在区间［_1,1］上给定函数f （x ）=4x ' +1 ,求其在①=S pan{1,x, X 2}中关于权函数p （x ） =1的二次最佳平方逼近多项式。

（可用勒让德多项式P 0（x ）=1 , P 1（X ）=X ,F 2(X )=2(3X 2—1))《数值分析》2015级（A ）第2页共6页四、（本题10分）用下列方法计算积分 1dy。

《数值分析》考试试卷-2016

《数值分析》考试试卷（A）参考答案（研 2016 级）
一、判断题（18 分） 1（），2（），3（），4（），5（），6（）
二、填空题（20 分）
1
1 2 3
1.
4， 2.
A
1
1
4 0 1
2 1 ， 3. 404.01，4. 3， 5. -2 3
三、见书 P38 例题 7，P40 例题 10.
， c1*
88 135
，
（6 分）
最佳平方逼近元素 p*(x) 10 88 x 0.37037 0.65185x, (1 x 1) ，（2 分）
27 135
4
f
,
f
1
ck*
k 0
f
,k
15 32
c0*
7 12
c1*
31 80
1.08104
.
（2 分）
八、见书 P152 定理 6.3.
（2 分）
H
3
x
(x
0.5)
a
(
x
2
2x
),
H
3
(1)
1
a
0.5.
H3 x 0.5x3 x 2 1.5x 1.
R3
x
1 4!
f
4
x
0
x
12
x
2
.
（3 分）（3 分）（2 分）
七、 f (x)
x ，0 (x) 1，1(x) x ，则 (0 ,0 )
1 dx 3 ，
1 4
（10 分）
七、定义内积 f , g
1 1
f x g x dx ，试在 H1 Span1, x 中寻求对于函数

2016年湘潭大学数值分析研究生考试A卷

湘潭大学2016年下学期
研究生《数值分析》课程考试试卷
适用专业非数学类各专业适用年级2016
考试形式闭卷试卷类别A考试时间120分钟
学院专业班级
学号姓名
题
号
一
二
三
四
五
六
七
总分
阅卷
教师
得
分
………………………………………………………………………………………………………………
得
分
一、（10分）当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时,一般要经历哪几个阶段?将有哪些误差产生?
得
分
6、（15分）.取初始向量，用反乘幂法求矩阵的按模最小特征值及相应的特征向量，要求特征值误差不超过0.3.
得
分
七、（15分）应用Newton法求方程在区间内的一个实根，取初始值，要求误差不超过足条件的Lagrange
插值多项式和Newton插值多项式，并估计误差。
得
分
三、（15分）试给出上复化梯形求积公式,并描述其自适应算法。
得
分
四、（15分）用列主元Gauss消去法解方程组
得
分
五、（15分）试给出求解方程组
的Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式，并讨论两种数值方法的收敛性。

数值分析习题集及答案[1](精)

数值分析习题集（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》）长沙理工大学第一章绪论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -= ( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字≈27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2?10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小.11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b c s a b c ∆∆∆∆≤++第二章插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n nn n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nk kj jj x l x x k n =≡=∑ii) 0()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若用二次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少? 9. 若2nn y =,求4n y ∆及4n y δ. 10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆. 12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()b aS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =. 3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式. 4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式. 5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一?9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nTx 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若nf L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差.15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26.2y a bx =+.27.用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1)101()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰;(4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分10x e dx-⎰并计算误差. 5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2baf f x dx b a f b b a 'η=---⎰; (3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰. 6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1x e dx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin3!5!n n nnππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误()f x第五章常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。

《数值分析》练习题及答案解析

《数值分析》练习题及答案解析第一章绪论主要考查点：有效数字，相对误差、绝对误差定义及关系；误差分类；误差控制的基本原则；。

1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（）和（）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和4 答案：A2. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x=___________ .答案：2.31503.若近似数2*103400.0-⨯=x 的绝对误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。

4 . 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。

第二章非线性方程求根主要考查点：二分法N 步后根所在的区间，及给定精度下二分的次数计算；非线性方程一般迭代格式的构造，（局部）收敛性的判断，迭代次数计算；牛顿迭代格式构造；求收敛阶；1.用二分法求方程012=--x x 的正根，要求误差小于0.05。

（二分法）解：1)(2--=x x x f ，01)0(<-=f ，01)2(>=f ，)(x f 在[0，2]连续，故[0，2]为函数的有根区间。

"（1）计算01)1(<-=f ，故有根区间为[1，2]。

（2）计算041123)23()23(2<-=--=f ，故有根区间为]2,23[。

（3）计算0165147)47()47(2>=--=f ，故有根区间为]47,23[。

（4）计算06411813)813()813(2>=--=f ，故有根区间为]813,23[。

数值分析试题库与答案解析

模拟试卷（一）一、填空题（每小题3分，共30分）1．有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是次的.2．设152210142-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，342⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭x ，则 ∞A = .， 1x = ______.3．已知y =f (x )的均差（差商）01214[,,]3f x x x =，12315[,,] 3f x x x =，23491[,,]15f x x x =，0238[,,] 3f x x x =, 那么均差423[,,]f x x x = .4．已知n =4时Newton －Cotes 求积公式的系数分别是：,152,4516,907)4(2)4(1)4(0===C C C 则)4(3C ＝ .5．解初始值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进的Euler 方法是阶方法；6．求解线性代数方程组123123123530.13260.722 3.51x x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩的高斯—塞德尔迭代公式为，若取(0)(1,1,1)=-x, 则(1)=x .7．求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 . 8．1(), (),, ()n x x x 是以整数点01, ,, ,n x x x 为节点的Lagrange 插值基函数，则()n kjk k xx =∑= .9．解方程组=Ax b 的简单迭代格式(1)()k k +=+xBx g 收敛的充要条件是 .10．设(-1)1,(0)0,(1)1,(2)5f f f f ====，则()f x 的三次牛顿插值多项式为，其误差估计式为 .二、综合题（每题10分，共60分）1．求一次数不超过4次的多项式()p x 满足：(1)15p =，(1)20p '=，(1)30p ''=(2)57p =，(2)72p '=.2．构造代数精度最高的形式为10101()()(1)2xf x dx A f A f ≈+⎰的求积公式，并求出其代数精度.3．用Newton 法求方程2ln =-x x 在区间) ,2(∞内的根, 要求8110--<-kk k x x x .4．用最小二乘法求形如2y a bx =+的经验公式拟合以下数据：5．用矩阵的直接三角分解法解方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡71735 30103421101002014321x x x x .6 试用数值积分法建立求解初值问题0(,)(0)y f x y y y '=⎧⎨=⎩的如下数值求解公式1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-=+++，其中(,),1,,1i i i f f x y i n n n ==-+.三、证明题（10分）设对任意的x ，函数()f x 的导数()f x '都存在且0()m f x M '<≤≤,对于满足20Mλ<<的任意λ，迭代格式1()k k k x x f x λ+=-均收敛于()0f x =的根*x .参考答案一、填空题1．5； 2. 8, 9 ; 3.9115； 4. 1645； 5. 二； 6. (1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(330.1)/5(220.7)/6(12)*2/7k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪=+-⎨⎪=--⎩, ，，0.1543)7. 1()1()k k k k k x f x x x f x +-=-'-; 8. j x ; 9. ()1B ρ<; 10.32(4)11,()(1)(1)(2)/24(1,2)66x x x f x x x x ξξ+-+--∈-二、综合题 1．差商表：233234()1520(1)15(1)7(1)(1)(2)5432p x x x x x x x x x x =+-+-+-+--=++++其他方法：设233()1520(1)15(1)7(1)(1)()p x x x x x ax b =+-+-+-+-+ 令(2)57p =，(2)72p '=，求出a 和b. 2．取()1,f x x =，令公式准确成立，得：0112A A +=,011123A A +=, 013A =, 116A =. 2()f x x =时，公式左右14=；3()f x x =时，公式左15=, 公式右524=∴ 公式的代数精度2=.3．此方程在区间) ,2(∞内只有一个根s ，而且在区间（2，4）内。

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2009-2010数值分析第一章绪论 (1)第二章函数插值 (2)第三章函数逼近 (5)第四章数值积分与数值微分 (10)第五章解线性方程组的直接解法 (12)第六章解线性方程组的迭代解法 (16)第七章非线性方程求根 (19)第九章常微分方程初值问题的数值解法 (21)第一章绪论1.1要使胸的相对误差不超过0.1%,应取几位有效数字？解：面的首位数字％=4。

设/有n位有效数字，由定理知相对误差限k(.r*)|<—xlO1^ =-xl0^1 r 1 2x4 84-xio1-" <0.1%, 8解得〃Z3.097,即需取四位有效数字.1.2 序列｛/｝满足关系式y,,=10y,_]-l(n = l,2,...),若y0=V2«1.41,计算到M。

，误差有多大？这个算法稳定吗？解：y0 = V2,y* =1.41,|y0 -y*| <^-xl0-2=5 ,于是|/i 一川=|1。

》0 —IT。

〉；+1| = 1。

|光 - 司 < 1。

5卜2-》；| = |10》1一1一10》；+1| = 10卜1一酣〈10逆, 一般地|儿一司<103 因此计算到Mo其误差限为1010^，可见这个计算过程是不稳定的。

1. 3计算球的体积，要使相对误差限为1%,问测量半径R时允许的相对误差限是多少?解:5,、九兀K ~-7tK R_R* R2+R*R + R*2R_R* 37?2R_R*。

，“ ,(v)= _2 ---------- 2 «■«.____________ = _____ 3 = 1% ' 4 f RR- R R 2 R-7lR 3》=一' ,即测量半径R 时允许的相对误差限是一、。

R 300300第二章函数插值2.1、利用如下函数值表构造差商表，并写出牛顿插值多项式。

进而得牛顿多项式为地⑴=f (.%) + /■氏次』吼⑴+ /[.r (p x 1,.r 2]<»2(.r) + /[.r (p x 1,.r 2,.r 3]<»3(.r)1 1 33A^3 (x) = 3 + — (x -1) + — (x -1)(尤)-2(x- l)(x )x2. 2、已知f(-2) = 2, f(-1) = 1, f (0) = 2, f (0.5) = 3试选用合适的插值节点利用Lagrange 二次插值多项式计算f (-o.5)的近似值，使之精度尽可能高。

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河海大学2016~2017学年第一学期
《数值分析》试卷(A)
（供港航16级、交通16级、水文16级等相关专业研究生使用）
2016年12月 18 日
学院专业班级学号姓名成绩
题号一二三四五六七八九十成绩得分
一．（本题满分共24分）填空题
1. 3.1415作为π的近似值，有
位有效数字。

2．设)(x l i )...,,2,1,0(n i =是插值基函数，01,,n x x x ⋅⋅⋅为两两互异的节点，则
40
(3)n
i i i x l ==∑ )4(≥n 。

3．计算9)(2-=x x f 的零点的牛顿迭代格式为
；
阶收敛。

4．已知⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=01.11
11A , 则=∞||||A ；=
-1A ;
=
∞)(A Cond ；是
态矩阵。

5．⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=0320
A ，则=)(A ρ 。

6．计算积分
⎰
9
1
)(dx x f , 梯形公式为
；Simpson 公式为；Simpson 公式代数精度为。

二．（8分）
1. 计算圆面积的相对误差限为1%，问半径R 所允许的相对误差限是多少？
2. 求次数小于等于3的多项式，使满足条件
4)2(,2)2(,2)1(,1)1(='=='=P P P P
三．（8分）用改进的Euler 方法解初值问题
101
)0(2
2≤≤⎩⎨
⎧=+='x y y x y
取步长1.0=h ，计算到2y （计算过程中保留到小数点后两位）。

四.(8分)
当x =1, -1, 2 时，f (x )=3, 4, 6, 求f (x )的二次Lagrang 插值多项式和Newton 插值多项式。

五．（8分）已知实验数据
x
1 2
3 4 y
e 2
e 2.5
e e 1.5
求bx
y ae 的经验公式。

六．（8分）用龙贝格算法计算积分
⎰
+3
21dx x x （要求二分三次，每次计算
保留到小数点后两位）。

七．（10分）用Doolittle 分解解方程组。

⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛---6151511
11381332
1321x x x
的解，并计算系数矩阵行列式。

八．（8分）设线性方程组为
⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=++-=++3
10322024-12
25321
321321x x x x x x x x x
1) 分别写出解此方程组的Jacobi ，G-S ，SOR （取ω>0.5）的迭代公式。

给定
初值)1,1,1(),,()0(3)0(2)0(1=x x x ，分别计算),,()
1(3)1(2)1(1x x x 。

2) 判断用Jacobi, G-S 解此方程组的收敛性，并说明理由。

九．（10分）
设⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛=13
3364
-34-3
A ，取），，（11100==u v , 用规范幂法计算到，，22u v 并求A 的按模最大特征值和相应特征向量。

十．（8分）用迭代公式32
11k k x x +=+解方程0123=--x x 的根，判断此公式
在区间[1.3, 1.6]上的收敛性，并说明理由。