浙江省宁波市余姚市2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷 (有解析)
浙江省宁波市余姚市2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列汽车标志中不是轴对称图形的是()A. B.C. D.2.在△ABC中，∠A+∠B=130°，则∠C的度数为()A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°3.以下各组线段为边长能组成直角三角形的是()A. 4、5、6B. 2、√2、4C. 11、12、13D. 5，12，134.下列句子中，是命题的是()A. 今天的天气好吗B. 作线段AB//CDC. 连接A、B两点D. 正数大于负数5.等腰三角形的两边长分别为5cm和10cm，则此三角形的周长是()A. 15cmB. 20cmC. 25cmD. 20cm或25cm6.下列说法中：①三条线段组成的图形叫做三角形；②三角形的角平分线是射线；③三角形的三条高所在的直线相交于一点，这一点不在三角形的内部，就在三角形的外部；④三角形的三条中线相交于一点，且这点一定在三角形的内部．其中正确的有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个7.如图，已知∠CAB=∠DAB，则添加下列一个条件不能使△ABC≌△ABD的是()A. AC=ADB. BC=BDC. ∠C=∠DD. ∠ABC=∠ABD8.如图，在△ABC中，AB=3cm、AC=4cm、BC=5cm，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画的条数为()A. 3B. 4C. 5D. 69.如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=6，BC=10，则△EFM的面积是()A. 6B. 8C.12 D. 3010.如图，已知直线l1//l2//l3//l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则正方形ABCD的面积为()A. 4B. 5C. 9D. 245二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.如图，点O是△ABC内一点，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，则∠BOC=______．12.如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，那么∠1与∠3也互余，此命题是______命题(填“真”或“假”)13.△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD把三角形的周长分为9cm和12cm两部分，则此三角形的腰长是______．14.如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，BE的中点．且S△ABC=8cm2，则图中△CEF的面积=______．15.如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC=10厘米，AB=8厘米，求CE的长______．BC，AB=2√2，那么△ABC的周16.如图，等腰△ABC底边上的高AD=12长为______．三、计算题（本大题共1小题，共12.0分）17.(8分)如图，已知△ABC中，∠B=90º，AB=16cm，BC=12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A 方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．(1)出发2秒后，求PQ的长；(2)当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？(3)当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．四、解答题（本大题共6小题，共54.0分）18.如图，AB//ED，点F、C在AD上，AB=DE，AC=DF.求证：BC//EF．19.如图所示，在△ABC中，AB=AC，用尺规作BC边上的中线AD.(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，并写出作法)20.如图，点E、F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O.试判断△OEF的形状，并说明理由．21.正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点。
(1)在网格中，画一个顶点都在格点上的△ABC，使AB=√5，AC=√10，BC=√13；(2)已知点C到AB的距离为7√5，求点A到BC的距离。
522.如图，已知：AB=AC，BD=CD，E为AD上一点．求证：(1)△ABD≌△ACD；(2)∠BED=∠CED．23.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC的延长线上，连接AD，过B作BE⊥AD，垂足为E，交AC于点F，连接CE．(1)求证：△BCF≌△ACD；(2)猜想∠BEC的度数，并说明理由；(3)探究线段AE，BE，CE之间满足的等量关系，并说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选B．根据轴对称图形的概念求解．本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2.答案：C解析：本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键，根据三角形内角和等于180°，列式即可求解．解：∵△ABC中，∠A+∠B=130°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°−(∠A+∠B)=180°−130°=50°.故选C．3.答案：D解析：解：A、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故选项错误；B、22+(√2)2≠42，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故选项错误；C、112+122≠132，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故选项错误；D、52+122=132，符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故选项正确．故选D．根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：a2+b2=c2时，则三角形为直角三角形．此题考查的知识点是勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足：a2+b2=c2时，则三角形ABC是直角三角形．解答时，只需看两较小数的平方和是否等于最大数的平方．4.答案：D解析：【分析】本题主要考察命题的概念。
对一件事情做出判断的语句叫做命题。
应当注意的关键点是疑问句、感叹句和作图语言均不属于命题．【解答】解：命题是一个完整的句子，对事情做出肯定或否定的判断，D.正数大于负数是命题，故选D．5.答案：C解析：解：5cm是腰长时，三角形的三边分别为5cm、5cm、10cm，∵5+5=10，∴不能组成三角形，10cm是腰长时，三角形的三边分别为5cm、10cm、10cm，能组成三角形，周长=5+10+10=25cm，综上所述，此三角形的周长是25cm．故选：C．分5cm是腰或底边两种情况进行讨论．本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形．6.答案：D解析：本题考查了三角形的定义，以及三角形的角平分线、高线、中线，是基础题，需熟记.根据三角形的定义，三角形的角平分线、高线、中线对各选项分析判断后利用排除法求解．解：①应为三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形，故本小题错误；②三角形的角平分线是线段，故本小题错误；③三角形的三条高所在的直线相交于一点，这一点不在三角形的内部，就在三角形的外部，也有可能是直角三角形的直角顶点，故本小题错误；④三角形的三条中线相交于一点，且这点一定在三角形的内部正确，综上所述，正确的只有④，共1个．故选D．7.答案：B解析：解：A、∵在△ABC和△ABD中{AC=AD∠CAB=∠DAB AB=AB∴△ABC≌△ABD(SAS)，正确，故本选项错误；B、根据BC=BD，AB=AB和∠CAB=∠DAB不能推出两三角形全等，错误，故本选项正确；C、∵在△ABC和△ABD中{∠C=∠D∠CAB=∠DAB AB=AB∴△ABC≌△ABD(AAS)，正确，故本选项错误；D、∵在△ABC和△ABD中{∠CAB=∠DAB AB=AB∠DBA=∠CBA∴△ABC≌△ABD(ASA)，正确，故本选项错误；故选：B．全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，已知有∠DAB=∠CAB和隐含条件AB=AB，看看再添加的条件和以上两个条件是否符合全等三角形的判定定理即可．本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．8.答案：D解析：此题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论是解题关键．首先根据勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，再根据等腰三角形的性质分别利用AC、BC为腰以及AB为底得出符合题意的图形即可．解：BC=5，AC=4，AB=3，∵32+42=52，∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°．如图所示：当CC1=CA=4，BA=BC2=3，AB=AC3=3，AB=AC4=3，C5C=C5B，C6A=C6C都能得到符合题意的等腰三角形．故能得到符合题意的直线有6条．故选D．9.答案：C解析：解：∵CF⊥AB，M为BC的中点，∴MF是Rt△BFC斜边上的中线，∴FM=12BC=12×10=5，同理可得，ME=12BC=12×10=5，∴△EFM是等腰三角形，过M作MN⊥EF，又∵EF=6，∴EN=12EF=3，∴MN=√EM2−EN2=4，∴△EFM的面积=12EF⋅MN=12×6×4=12，故选：C．根据CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM和ME的长，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理即可求解．本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的面积，勾股定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．10.答案：B解析：【分析】此题主要考查了正方形的性质和面积计算和勾股定理，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键，再根据勾股定理即可得到正方形面积．过D点作直线EF与平行线垂直，与l1交于点E，与l4交于点F.易证△ADE≌△DFC，得CF=1，DF=2.根据勾股定理可求CD2得正方形的面积．解：如图，过点D作EF⊥l2，交l1于点E，交l4于点F．∵l1//l2//l3//l4，EF⊥l2，∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠AED=∠DFC=90°．∵四边形ABCD为正方形．∴∠ADC=90°．∴∠ADE+∠CDF=90°．又∵∠ADE+∠DAE=90°，∴∠CDF=∠DAE．在△ADE和△DCF中，{∠DEA=∠CFD,∠EAD=∠FDC, AD=DC,∴△ADE≌△DCF，∴CF=DE=1．∵DF=2，∴CD2=12+22=5，即正方形ABCD的面积为5．故选B．11.答案：135°解析：本题考查了三角形的外角性质，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．连接AO并延长，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BOC=∠A+∠1+∠2，然后代入数据进行计算即可求解．解：如图，连接AO并延长，∵∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，∴∠BOC=∠A+∠1+∠2，=80°+15°+40°，=135°．故答案为135°．12.答案：假解析：解：∵∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，∴如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，那么∠1与∠3也互余，此命题是假命题；故答案为：假．由题意得出∠1=∠3，即可得出命题是假命题．本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．13.答案：8cm或6cm解析：解：根据题意画出图形，如图，设等腰三角形的腰长AB=AC=2x，BC=y，∵BD是腰上的中线，∴AD=DC=x，若AB+AD的长为12，则2x+x=12，解得x=4cm，则x+y=9，即4+y=9，解得y=5cm；若AB+AD的长为9，则2x+x=9，解得x=3cm，则x+y=12，即3+y=12，解得y=9cm；所以等腰三角形的腰长为8cm或6cm．故答案为：8cm或6cm．等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9厘米和12厘米两部分，但已知没有明确等腰三角形被中线分成的两部分的长，哪个是9cm，哪个是12cm，因此，有两种情况，需要分类讨论．本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错；利用三角形三边关系判断能否组成三角形是正确解答本题的关键．14.答案：2cm2解析：解：如图，∵E为AD的中点，∴S△ABC：S△BCE=2：1，同理可得，S△BCE：S△EFC=2：1，∵S△ABC=8cm2，∴S△EFC=1S△ABC=1×8=2(cm2).故答案为：2cm2．由点E为AD的中点，可得△ABC与△BCE的面积之比，同理可得，△BCE和△EFC的面积之比，即可解答出；本题主要考查了三角形面积及三角形面积的等积变换，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．15.答案：3厘米解析：解：设EC的长为xcm，∴DE=(8−x)cm．∵△ADE折叠后的图形是△AFE，∴AD=AF，∠D=∠AFE，DE=EF．∵AD=BC=10cm，∴AF=AD=10cm．又∵AB=8cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AB2+BF2=AF2∴82+BF2=102，∴BF=6cm．∴FC=BC−BF=10−6=4cm．在Rt△EFC中，根据勾股定理，得：FC2+EC2=EF2∴42+x2=(8−x)2，即16+x2=64−16x+x2，化简，得16x=48．∴x=3．故EC的长为3cm．故答案为：3cm．想求得EC长，利用勾股定理计算，需求得FC长，那么就需求出BF的长，利用勾股定理即可求得BF长．考查了图形的翻折的知识，翻折中较复杂的计算，需找到翻折后相应的直角三角形，利用勾股定理求解所需线段．16.答案：4+4√2解析：解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC，BC，∵AD=12∴AD=BD=DC，∴∠B=45°，AB=2，∴BD=√22∴BC=2BD=4，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=4+4√2，故答案为：4+4√2．根据等腰三角形的性质得到BD=DC，根据题意得到AD=BD=DC，根据等腰直角三角形的性质计算即可．本题考查的是等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．17.答案：解：(1)∵BQ=2×2=4(cm)，BP=AB−AP=16−2×1=14(cm)，∠B=90°，∴PQ=√42+142=√212=2√53(cm)；(2)BQ=2t，BP=16−t，根据题意得：2t=16−t，，解得：t=163秒钟后，△PQB能形成等腰三角形；即出发163(3)①当CQ=BQ时，如图1所示，则∠C =∠CBQ ， ∵∠ABC =90°，∴∠CBQ +∠ABQ =90°．∠A +∠C =90°，∴∠A =∠ABQ ，∴BQ =AQ ，∴CQ =AQ =10，∴BC +CQ =22，∴t =22÷2=11秒．②当CQ =BC 时，如图2所示，则BC +CQ =24，∴t =24÷2=12秒．③当BC =BQ 时，如图3所示，过B 点作BE ⊥AC 于点E ，则BE =AB·BCAC =12×1620=485， ∴CE =√BC 2−BE 2=√122−(485)2=365，∴CQ =2CE =14.4，∴BC +CQ =26.4，∴t =26.4÷2=13.2秒．综上所述：当t 为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ 为等腰三角形．解析：本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用．(1)根据点P 、Q 的运动速度求出AP ，再求出BP 和BQ ，用勾股定理求得PQ 即可；(2)设出发t秒钟后，△PQB能形成等腰三角形，则BP=BQ，由BQ=2t，BP=8−t，列式求得t 即可；(3)当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当CQ=BQ时，则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；②当CQ=BC时，则BC+CQ=12，易求得t；③当BC=BQ时，过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．18.答案：证明：∵AB//ED，∴∠A=∠D，在△ABC与△DEF中，{AB=DE ∠A=∠D AC=DF,∴△ABC≌△DEF(SAS)，∴∠EFD=∠ACB，∴BC//EF．解析：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由已知AB//ED可以得出∠A=∠D，又因为AB=DE，AC=DF，则我们可以运用SAS来判定△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得∠EFD=∠ACB，再由平行线的判定可得．19.答案：解：如图所示：作法：①以点A为圆心，以小于等于AB的长为半径画弧，分别交AB，AC于E，F两点，②分别以E，F为圆心，以大于12EF的长为半径画弧，两弧交于点G，③作射线AG，交BC于点D.则线段AD为BC边上的中线，AD即为所求．解析：此题主要考查了作三角形的中线，关键是作线段CB的垂直平分线找到BC的中点.作BC的垂直平分线，交BC于点D，再连接AD即可．20.答案：解：△OEF为等腰三角形理由如下：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE．在△ABF和△DCE中，{∠A=∠D ∠B=∠C BF=CE，∴△ABF≌△DCE(AAS)，∴∠AFB=∠DEC，∴OE=OF，∴△OEF为等腰三角形．解析：本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形对应角相等的性质及等腰三角形的判定；根据BE=CF得到BF=CE是证明三角形全等的关键．根据三角形全等得∠AFB=∠DEC，所以是等腰三角形．21.答案：解：(1)如图所示：(2)设点A到BC的距离为x，S△ABC=12×√13x=12×√5×7√55得：x=7√1313，答：点A到BC的距离为7√1313．解析：本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．(1)根据勾股定理画出△ABC即可；(2)设点A到BC的距离为x，由12×√13x=12×√5×7√55，即可求得答案．22.答案：证明：(1)在△ABD和△ACD中，{AB=AC BD=CD AD=AD，∴△ABD≌△ACD(SSS)．(2)∵△ABD≌△ACD，∴∠ADB=∠ADC，在△EDB和△EDC中，{DB=DC∠BDE=∠CDE DE=DE，∴△EDB≌△EDC(SAS)，∴∠BED=∠CED．解析：(1)根据SSS即可证明△ABD≌△ACD；(2)只要证明△EDB≌△EDC(SAS)，即可推出∠BED=∠CED；本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23.答案：(1)证明：∵BE⊥AD，∠ACB=90°，∴∠1=∠2=90°−∠D，在△BCF和△ACD中，∴△BCF≌△ACD(ASA)；(2)∠BEC=45°．理由：作CM⊥BE于点M，作CN⊥AD于点N，∵△BCF≌△ACD，∴BF=AD，∴12·BF·CM=12·AD·CN，∴CM=CN，又∵CM⊥BE，CN⊥AD，∴EC平分∠BED，∴∠BEC=∠CED=45°；(3)(BE−AE)2=2CE2．理由：如图，作CG⊥CE交BE于点G，∵∠BEC=45°，∴∠CGE=∠BEC=45°，CG=CE，∴∠BGC=135°=∠AEC，∵∠ECG=90°，∴由勾股定理得：EG2=2CE2，在△BCG和△ACE中，{∠BGC=∠AEC∠1=∠2BC=AC,∴△BCG≌△ACE(AAS)，∴BG=AE，∴(BE−AE)2=2CE2．解析：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．(1)由垂直的定义得到∠ACB=90°，根据ASA证明△BCF≌△ACD即可得到结论；(2)作CM⊥BE于点M，作CN⊥AD于点N，由(1)中全等的性质得到BF=AD，结合三角形面积易得CM=CN，继而根据角平分线的判定可得EC平分∠BED，由此可得结论；(3)作CG⊥CE交BE于点G，根据等腰直角三角形性质和判定易证CG=CE，由勾股定理可得EG2= 2CE2，利用AAS证明△BCG≌△ACE，得到BG=AE，利用等量代换和线段的和差关系可得结论．。
2019-2020学年浙江省宁波市余姚市八年级(上)期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年浙江省宁波市余姚市八年级（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．（3分）下面四个图是“余姚阳明故里LOGO 征集大赛”的四件作品，其中是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．（3分）在平面直角坐标系中，点(1,2)-在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（3分）已知一个等腰三角形的底角为50︒，则这个三角形的顶角为( ) A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．100︒4．（3分）下列选项错误的是( ) A ．若a b >，b c >，则a c > B ．若a b >，则33a b ->- C ．若a b >，则22a b ->-D ．若a b >，则2323a b -+<-+5．（3分）下列平面直角坐标系中的图象，不能表示y 是x 的函数是( )A ．B．C．D．6．（3分）下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线，②作一个角等于已知角．③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是()A．①②B．①③C．②③D．①②③7．（3分）能说明命题“对于任意正整数n，则22n n”是假命题的一个反例可以是() A．1n=n=D．3 n=-B．1n=C．28．（3分）若a，b，c为ABC∆是直角三角形的∆的三边长，则下列条件中不能判定ABC是()A． 1.5a=，2b=， 2.5c=B．::3:4:5a b c=C．A B C∠+∠=∠D．::3:4:5A B C∠∠∠=9．（3分）如图，有一张直角三角形纸片，90ACB∠=︒，5AB cm=，3AC cm=，现将ABC∆折叠，使边AC与AB重合，折痕为AE，则CE的长为()A．1cm B．2cm C．32cm D．52cm10．（3分）如图，ABC∆是等边三角形，D是边BC上一点，且ADC∠的度数为(520)x-︒，则x的值可能是()A．10B．20C．30D．4011．（3分）某天，某同学早上8点坐车从余姚图书馆出发去宁波大学，汽车离开余姚图书馆的距离S（千米）与所用时间t（分)之间的函数关系如图所示．已知汽车在途中停车加油一次，则下列描述不正确的是()A．汽车在途中加油用了10分钟B．若//OA BC，则加满油以后的速度为80千米/小时C．若汽车加油后的速度是90千米/小时，则25a=D．该同学8:55到达宁波大学12．（3分）如图，点A，B，C，D顺次在直线l上，以AC为底边向下作等腰直角三角形ACE，AC a=．以BD为底边向上作等腰三角形BDF，BD b=，56FB FD b==，记CDE∆与ABF∆的面积的差为S，当BC的长度变化时，S始终保持不变，则a，b满足()A．43a b=B．65a b=C．53a b=D．2a b=二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）“两直线平行，内错角相等”的逆命题是．14．（3分）余姚市2020年1月1日的气温是t C︒，这天的最高气温是12C︒，最低气温是5C︒，则当天我市气温()t C︒的变化范围可用不等式表示为．15．（3分）若一次函数(0)y ax b a=+≠的图象经过(3,2)和(3,1)--两点，则方程1ax b+=-的解为．16．（3分）在正方形网格中，AOB∠的位置如图所示，点P，Q，M，N是四个格点，则这四个格点中到AOB∠两边距离相等的点是点．17．（3分）如图，已知直线10y x=-+与x轴和y轴分别交于A，B两点，点C为线段AB的中点，点D在直线34y x=上，连结BD，CD．当90ODB∠=︒时，CD的长为．18．（3分）如图，在ABC∆中，13AC BC==，24AB=，D是AB边上的一个动点，点E与点A关于直线CD对称，当ADE∆为直角三角形时，则AD的长为．三、解答题（第19、20、21题各6分，第22、23题各8分，第24、25题各10分，第26题12分，共66分）19．（6分）解不等式组3(2)2513212x xxx++⎧⎪⎨+-<⎪⎩，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．20．（6分）已知α∠，β∠和线段a，用直尺和圆规作ABC∆，使Aα∠=∠，Bβ∠=∠，AB a=．（不写作法，只保留作图痕迹）21．（6分）如图，已知//AB DE，B E∠=∠，BC EF=，求证：AF CD=．22．（8分）如图，在直角坐标系中，长方形ABCD的三个顶点的坐标为(1,1)A，(6,1)B，(1,4)D，且//AB x轴，点(,2)P a b-是长方形内一点（不含边界）．（1）求a，b的取值范围．（2）若将点P向左移动8个单位，再向上移动2个单位到点Q，若点Q恰好与点C关于y 轴对称，求a，b的值．23．（8分）如图，AD是ABC∆的高线，且12BD AC=，E是AC的中点，连结BE，取BE的中点F，连结DF，求证：DF BE⊥．24．（10分）宁波至绍兴城际列车已于2019年7月10日运营，这是国内首条利用既有铁路改造开行的跨市域城际铁路．其中余姚至绍兴的成人票价12元/人，学生票价6元/人．余姚某校801班师生共计50人坐城际列车去绍兴秋游．（1）设有x名老师，求801班师生从余姚到绍兴的城际列车总费用y关于x的函数表达式．（2）若从余姚到绍兴的城际列车总费用y不超过330元，问至少有几名学生？25．（10分）如图，在ABC∆中，D是BC的中点，E是边BC上一动点，连结AE，取AE 的中点F，连结BF．小梦根据学习函数的经验，对ADE∆的面积与BE的长度之间的关系进行了探究：（1）设BE的长度为x，ADE∆的面积1y，通过取BC边上的不同位置的点E，经分析和计算，得到了1y与x的几组值，如下表：x01234561y3a10b23根据上表可知，a = ，b = ．（2）在平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象．（3）在（1）的条件下，令BEF ∆的面积为2y ． ①用x 的代数式表示2y ．②结合函数图象．解决问题：当12y y <时，x 的取值范围为 ．26．（12分）定义：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边平方的三角形叫做“和谐三角形”．如图1在ABC ∆中，若222AB AC AB AC BC +-=，则ABC ∆是“和谐三角形”． （1）等边三角形一定是“和谐三角形”，是 命题（填“真”或“假” )．（2）若Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB c =，AC b =，BC a =，且b a >，若ABC ∆是“和谐三角形”，求::a b c ．（3）如图2，在等边三角形ABC 的边AC ，BC 上各取一点D ，E ，且AD CD <，AE ，BD 相交于点F ，BG 是BEF ∆的高，若BGF ∆是“和谐三角形”，且BG FG >．①求证：AD CE =．②连结CG ，若GCB ABD ∠=∠，那么线段AG ，FE ，CD 能否组成一个“和谐三角形”？若能，请给出证明：若不能，请说明理由．参考答案一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下面四个图是“余姚阳明故里LOGO征集大赛”的四件作品，其中是轴对称图形的是()A．B．C．D．解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：B．2．（3分）在平面直角坐标系中，点(1,2)-在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：点(1,2)-在第二象限．故选：B．3．（3分）已知一个等腰三角形的底角为50︒，则这个三角形的顶角为() A．40︒B．50︒C．80︒D．100︒解：180502︒-︒⨯=︒-︒180100=︒．80故这个三角形的顶角的度数是80︒．故选：C．4．（3分）下列选项错误的是()A ．若a b >，b c >，则a c >B ．若a b >，则33a b ->-C ．若a b >，则22a b ->-D ．若a b >，则2323a b -+<-+解：a b >，b c >，则a c >， ∴选项A 不符合题意；a b >，则33a b ->-， ∴选项B 不符合题意；a b >，则22a b -<-， ∴选项C 符合题意；a b >， 22a b ∴-<-， 2323a b ∴-+<-+， ∴选项D 不符合题意．故选：C ．5．（3分）下列平面直角坐标系中的图象，不能表示y 是x 的函数是( )A ．B ．C．D．解：A、能表示y是x的函数，故此选项不合题意；B、不能表示y是x的函数，故此选项符合题意；C、能表示y是x的函数，故此选项不合题意；D、能表示y是x的函数，故此选项不合题意；故选：B．6．（3分）下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线，②作一个角等于已知角．③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是()A．①②B．①③C．②③D．①②③解：①作一个角的平分线的作法正确；②作一个角等于已知角的方法正确；③作一条线段的垂直平分线，缺少另一个交点，故作法错误；故选：A．7．（3分）能说明命题“对于任意正整数n，则22n n”是假命题的一个反例可以是()A ．1n =-B ．1n =C ．2n =D ．3n =解：328=，239=， 则3223<，∴当3n =时，可以说明命题“对于任意正整数n ，则22n n ”是假命题，故选：D ．8．（3分）若a ，b ，c 为ABC ∆的三边长，则下列条件中不能判定ABC ∆是直角三角形的是( )A ． 1.5a =，2b =， 2.5c =B ．::3:4:5a b c =C ．A B C ∠+∠=∠D ．::3:4:5A B C ∠∠∠=解：A 、2221.52 2.5+=，符合勾股定理的逆定理，能够判定ABC ∆为直角三角形； B 、222345+=，符合勾股定理的逆定理，能够判定ABC ∆为直角三角形； C 、A B C ∠+∠=∠，此时C ∠是直角，能判定ABC ∆是直角三角形；D 、::3:4:5A B C ∠∠∠=，那么45A ∠=︒、60B ∠=︒、75C ∠=︒，不能判定ABC ∆是直角三角形． 故选：D ．9．（3分）如图，有一张直角三角形纸片，90ACB ∠=︒，5AB cm =，3AC cm =，现将ABC ∆折叠，使边AC 与AB 重合，折痕为AE ，则CE 的长为( )A ．1cmB ．2cmC ．32cmD ．52cm解：90ACB ∠=︒，5AB =，3AC =，22534BC ∴=-=，由折叠的性质得：3AD AC ==，90ADE C ∠=∠=︒， 90BDE ∴∠=︒，2BD AB AD =-=，设CE x =，则4BE x =-，在Rt BDE ∆中，由勾股定理得：2222(4)x x +=-解得，32x=，32CE∴=；故选：C．10．（3分）如图，ABC∆是等边三角形，D是边BC上一点，且ADC∠的度数为(520)x-︒，则x的值可能是()A．10B．20C．30D．40解：ABC∆是等边三角形，D是边BC上一点，ADC∠的度数为(520)x-︒，60520120x∴-，解得：1628x，∴只有20适合，故选：B．11．（3分）某天，某同学早上8点坐车从余姚图书馆出发去宁波大学，汽车离开余姚图书馆的距离S（千米）与所用时间t（分)之间的函数关系如图所示．已知汽车在途中停车加油一次，则下列描述不正确的是()A．汽车在途中加油用了10分钟B．若//OA BC，则加满油以后的速度为80千米/小时C．若汽车加油后的速度是90千米/小时，则25a=D．该同学8:55到达宁波大学解：A、图中加油时间为25至35分钟，共10分钟，故本选项正确；B、因为//OA BC，所以602520a a-=，解得1003a=，所以加满油以后的速度1003802560==千米/小时，故本选项正确．C、由题意：60902060a-=，解得30a=，本选项错误．D、该同学8:55到达宁波大学，正确．故选：C．12．（3分）如图，点A，B，C，D顺次在直线l上，以AC为底边向下作等腰直角三角形ACE，AC a=．以BD为底边向上作等腰三角形BDF，BD b=，56FB FD b==，记CDE∆与ABF∆的面积的差为S，当BC的长度变化时，S始终保持不变，则a，b满足() A．43a b=B．65a b=C．53a b=D．2a b=解：过点F作FH AD⊥于点H，过点E作EG AD⊥于GACE∆是等腰直角三角形，AC a=122aEG AC∴==BD b=，56FB FD b==，FH AD⊥122b BH BD ∴== 在Rt BHF ∆中23FH b ===设BC x = 则112()223ABF S AB FH a x b ∆==-⨯ 11()222CDE aS CD EG b x ∆==-⨯112()()2223CDE ABF a S S b x a x b ∆∆∴-=-⨯--⨯ ()3412b a ab x =--当BC 的长度变化时，S 始终保持不变 ∴034b a-= 43a b ∴=故选：A ．二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）“两直线平行，内错角相等”的逆命题是 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 ．解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两直线平行，结论是：内错角相等． 将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．故答案为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 14．（3分）余姚市2020年1月1日的气温是t C ︒，这天的最高气温是12C ︒，最低气温是5C ︒，则当天我市气温()t C ︒的变化范围可用不等式表示为 512t ．解：由题意可得，当天我市气温()t C ︒的变化范围可用不等式表示为：512t ． 故答案为：512t ．15．（3分）若一次函数(0)y ax b a =+≠的图象经过(3,2)和(3,1)--两点，则方程1ax b +=-的解为 3x =- ．解：由题意可知，当3x =-时，函数值为1-； 因此当3x =-时，1ax b +=-，即方程1ax b +=-的解为：3x =-． 故答案是：3x =-．16．（3分）在正方形网格中，AOB ∠的位置如图所示，点P ，Q ，M ，N 是四个格点，则这四个格点中到AOB ∠两边距离相等的点是 M 点．解：由图形可知，点M 在AOB ∠的角平分线上， ∴点M 到AOB ∠两边距离相等，故答案为：M ．17．（3分）如图，已知直线10y x =-+与x 轴和y 轴分别交于A ，B 两点，点C 为线段AB 的中点，点D 在直线34y x =上，连结BD ，CD ．当90ODB ∠=︒时，CD 的长为 2 ．解：作DE OB ⊥于点E ，设点D 为(4,3)a a ，则4DE a =，3OE a =，103BE a =-，222DE BE BD +=，222OB OD BD -=，5OD a =， 2222(4)(103)10(5)a a a ∴+-=-165a ∴=，20a =（舍去）， ∴点D 的坐标为2418(,)55， 又直线10y x =-+与x 轴和y 轴分别交于A ，B 两点，点C 为线段AB 的中点， ∴点(10,0)A ，点(0,10)B ，∴点C 为(5,5)，222418(5)(5)255CD ∴=-+-=， 故答案为：2．18．（3分）如图，在ABC ∆中，13AC BC ==，24AB =，D 是AB 边上的一个动点，点E 与点A 关于直线CD 对称，当ADE ∆为直角三角形时，则AD 的长为 7或17 ．解：作CF AB ⊥于F ，在ABC ∆中，13AC BC ==，24AB =， 12AF ∴=，225CF AC AF ∴=-=，①如图1，当点D 在AF 上时， 90ADE ∠=︒，(36090)2135ADC EDC ∴∠=∠=︒-︒÷=︒． 45CDF ∴∠=︒． CF DF ∴=．1257AD AF DF AF CF ∴=-=-=-=．②如图2，当点D 在BF 上时， 90ADE ∠=︒， 45CDF ∴∠=︒． CF DF ∴=．12517AD AF DF AF CF ∴=+=+=+=．三、解答题（第19、20、21题各6分，第22、23题各8分，第24、25题各10分，第26题12分，共66分）19．（6分）解不等式组3(2)2513212x x xx ++⎧⎪⎨+-<⎪⎩，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．解：()322513212x x xx ++⎧⎪⎨+-<⎪⎩①②， 解不等式①，得：1x -， 解不等式②，得：3x <， 则不等式组的解集为13x -<， 将不等式组的解集表示在数轴上如下：20．（6分）已知α∠，β∠和线段a ，用直尺和圆规作ABC ∆，使A α∠=∠，B β∠=∠，AB a =．（不写作法，只保留作图痕迹）解：21．（6分）如图，已知//AB DE ，B E ∠=∠，BC EF =，求证：AF CD =．【解答】证明：//AB DE ，A D ∴∠=∠．在ABC ∆和DEF ∆中， A D B E BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABC DEF AAS ∴∆≅∆． AC DF ∴=．AC CF DF CF ∴+=+． AF CD ∴=．22．（8分）如图，在直角坐标系中，长方形ABCD 的三个顶点的坐标为(1,1)A ，(6,1)B ，(1,4)D ，且//AB x 轴，点(,2)P a b -是长方形内一点（不含边界）．（1）求a，b的取值范围．（2）若将点P向左移动8个单位，再向上移动2个单位到点Q，若点Q恰好与点C关于y 轴对称，求a，b的值．解：（1）(1,1)A，(6,1)B，(1,4)D，且(,2)P a b-是长方形ABCD内一点，16a∴<<，124b<-<．36b∴<<；（2）由题意可得，点Q的坐标为(8,)a b-．点(8,)Q a b-与点(6,4)C关于y轴对称，860a∴-+=，4b=．2a∴=．2a∴=，4b=．23．（8分）如图，AD是ABC∆的高线，且12BD AC=，E是AC的中点，连结BE，取BE的中点F，连结DF，求证：DF BE⊥．【解答】证明：连结DE，AD是ABC∆的高线，E是AC的中点，∴12DE AC=，又12BD AC=，DE BD∴=．又F是BE的中点，DF BE∴⊥．24．（10分）宁波至绍兴城际列车已于2019年7月10日运营，这是国内首条利用既有铁路改造开行的跨市域城际铁路．其中余姚至绍兴的成人票价12元/人，学生票价6元/人．余姚某校801班师生共计50人坐城际列车去绍兴秋游．（1）设有x名老师，求801班师生从余姚到绍兴的城际列车总费用y关于x的函数表达式．（2）若从余姚到绍兴的城际列车总费用y不超过330元，问至少有几名学生？解：（1）设有x名老师，则有(50)x-学生，依题意，得：126(50)6300(050)y x x x x=+-=+<<．（2）330y，6300330x∴+，解得：5x，5045x∴-．答：至少有45名学生．25．（10分）如图，在ABC∆中，D是BC的中点，E是边BC上一动点，连结AE，取AE 的中点F，连结BF．小梦根据学习函数的经验，对ADE∆的面积与BE的长度之间的关系进行了探究：（1）设BE的长度为x，ADE∆的面积1y，通过取BC边上的不同位置的点E，经分析和计算，得到了1y与x的几组值，如下表：根据上表可知，a=2，b=．（2）在平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象．（3）在（1）的条件下，令BEF ∆的面积为2y ．①用x 的代数式表示2y ．②结合函数图象．解决问题：当12y y <时，x 的取值范围为 ．解：（1）根据表格数据可知：2a =，1b =．故答案为：2，1．（2）如图所示，即为所求作的函数图象；（3）①由题意可得在ABC ∆，边BC 上的高为2．∴122ABE S x x ∆==． ∴21122ABE y S x ∆==． ②根据函数图象可知：当12y y <时，x 的取值范围为：26x <<．故答案为：26x <<．26．（12分）定义：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边平方的三角形叫做“和谐三角形”．如图1在ABC ∆中，若222AB AC AB AC BC +-=，则ABC ∆是“和谐三角形”．（1）等边三角形一定是“和谐三角形”，是真命题（填“真”或“假”)．（2）若Rt ABC=，且b a∆是“和谐=，BC a>，若ABC ∆中，90=，AC bC∠=︒，AB c三角形”，求::a b c．（3）如图2，在等边三角形ABC的边AC，BC上各取一点D，E，且AD CD<，AE，BD 相交于点F，BG是BEF∆的高，若BGF>．∆是“和谐三角形”，且BG FG①求证：AD CE=．②连结CG，若GCB ABD∠=∠，那么线段AG，FE，CD能否组成一个“和谐三角形”？若能，请给出证明：若不能，请说明理由．解：（1）当ABC==，∆为等边三角形时，AB AC BC22222∴+-=+-=，AB AC AB AC BC BC BC BC BC∴等边三角形一定是“和谐三角形”，故答案为：真；（2）90=，=，BC aC∠=︒，AB c=，AC b222a b c∴+=，当222+-=时，则0a b ab c-=（舍去）；ab当222+-=-，a c ac c a+-=时，则2222a c ac b2ac a∴=，2∴=．c a2∴=；::32a b c当222b c bc c b+-=-，+-=时，则2222b c bc a2∴=，得2bc b2=．c b∴=；（舍去），a b c::32综上可知，ABCa b c=；∆是“和谐三角形”时，::32（3）①ABC ∆为等边三角形，AB BC AC ∴==，60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒， BG 是BEF ∆的高，BGF ∆是“和谐三角形”，::2FG BG BF ∴=，60BFG ∴∠=︒，60FAB FBA BFG ∴+∠=∠=︒，60FAB EAC BAC ∠+∠=∠=︒，FBA EAC ∴∠=∠，在ABD ∆和CAE ∆中，BAD ACE BA ACDBA EAC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ABD CAE ASA ∴∆≅∆，AD CE ∴=；②GCB ABD ∠=∠，AB AC =，6060FAB ABD GCB ACG ∴∠=︒-∠=︒-∠=∠，在ABF ∆和CAG ∆中，FAB GCA AB CAABF CAG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ABF CAG ASA ∴∆≅∆AG BF ∴=，AB BC =，AD CE =，BE CD ∴=，设FG x =，EG y =，则BG =，2BF x =，2224AG BF x ∴==，2222()2EF x y x xy y =+=++，22222)3CD y x y =+=+， 2222222422()3AG EF AG EF x x xy y x x y x y ∴+-=+++-+=+， 222AG EF AG EF CD ∴+-=，∴线段AG ，FE ，CD 能组成一个和谐三角形．。
2019-2020学年浙江省宁波七中八年级(上)期中数学试卷(附答案详解)
2019-2020学年浙江省宁波七中八年级（上）期中数学试卷1.下列图形中，不是轴对称图形的是()A. B. C. D.2.若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是()A. 6B. 3C. 2D. 113.已知x>y，则下列不等式成立的是()A. x−1<y−1B. 3x<3yC. −x<−yD. x2<y24.能说明命题“对于任何实数a，|a|>−a”是假命题的一个反例可以是()A. a=−2B. a=13C. a=1D. a=√25.点M(−3,2)关于y轴对称的点的坐标为()A. (−3,−2)B. (3,−2)C. (−3,2)D. (3,2)6.已知等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为10cm，则这个等腰三角形的周长为()A. 20cmB. 25cmC. 20cm或25cmD. 无法确定7.已知点P(2a+1,1−a)在第一象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是()A. B.C. D.8.学习了角平分线及其性质后，某校数学兴趣小组的同学尝试只用一副带刻度的三角板作∠AOB的角平分线，根据提供的条件，无法判断OP是角平分线的是()A. OC=OD P为CD中点B. CD//OB OC=CPC. OC=OD OE=OFD. CD⊥OB P为CD中点9.在平面直角坐标系中，点P(x,y)经过某种变换后得到点P′(−y+1,x+2)，我们把点P′(−y+1,x+2)叫做点P(x,y)的好点．已知P1的好点为P2，点P2的好点为P3，点P3的好点为P4，这样依次得到P1，P2，P3…P n，若点P1的坐标为(2,0)，则点P2019的坐标为()A. (2,0)B. (1,4)C. (−3,3)D. (−2,−1)10.如图是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形．画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画出()个．A. 3B. 4C. 5D. 611.在平面直角坐标系中，点P(−√5,2)到x轴的距离是______．12.命题“若a，b互为倒数，则ab=1”的逆命题是______．13.“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为______．14.一个三角形的三边的比是3：4：5，它的周长是36，则它的面积是______．15.直角三角形中两边长分别是5和3，则斜边上中线长为______．16.如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF//OB，EC⊥OB，若EC=2，则EF=______．17.当三角形中一个内角β是另一个内角α的12时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中α称为“希望角”，如果一个“希望三角形”中有一个内角为36°，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为______．18.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为______．19.解下列不等式(组)．(1)解不等式3x−2(1−2x)≥1；(2)解不等式组：{2x−6>−x x3≤11−32x．20.如图，在平面直角坐标系中，A(−2,2)，B(−3,−2)，点A向右平移2个单位，向下平移3个单位得到点C．(1)在坐标系中画出点C并求出点C的坐标；(2)求△ABC的面积．21.如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB//DE．22.某社区为了更好地开展“垃圾分类，美丽宁波”活动，需购买A、B两种类型垃圾桶，用1600元可购进A型垃圾桶14个和B型垃圾桶8个，且购买3个A型垃圾桶的费用与购买4个B型垃圾桶的费用相同，请解答下列问题：(1)求出A型垃圾桶和B型垃圾桶的单价；(2)若社区欲用不超过3250元购进两种垃圾桶共45个，其中A型垃圾桶至少25个，求有哪几种购买方案？23.定义：如图，等腰△ABC中，点E，F分别在腰AB，AC上，连结EF，若AE=CF，则称EF为该等腰三角形的逆等线．(1)如图1，EF是等腰△ABC的逆等线，若EF⊥AB，AB=AC=7，AE=3，求逆等线EF的长；(2)如图2，若等腰直角△DEF的直角顶点D恰好为等腰直角△ABC底边BC上的中点，且点E，F分别在AB，AC上，求证：EF为等腰△ABC的逆等线．24.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在x轴上，A、B、C三点的坐标分别为A(0,m)，B(−12,0)，C(n,0)，且(n−10)2+|3m−15|=0，一动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BO匀速运动，设点P运动时间为t秒．(1)求A、C两点的坐标；(2)若点P恰好在∠BAO的角平分线上，求此时t的值；(3)当点P在线段BO上运动时，在y轴上是否存在点Q，使△POQ与△AOC全等？若存在，请求出t的值并求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．(4)连结PA，若△PAB为等腰三角形，请直接写出点P的坐标．25.如图，△ABC为正三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求CD的长．26.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点C(0,3)，点Q在x轴的负半轴上，且S△CQA=18，分别以AC、CQ为腰，点C为直角顶点在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，连接MN交y轴于P点，则OP的值为______．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项符合题意；B、是轴对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．此题主要考查了轴对称图形，确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断．【解答】解：设第三边为x，则7−3<x<7+3，即4<x<10，所以符合条件的整数为6，故选A．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查不等式的性质：(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析即可．【解答】解：A、根据不等式的基本性质不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变，故本选项错误；B、不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，故本选项错误；C、不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，正确；D、不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号方向不变．故本选项错误．故选：C．4.【答案】A【解析】解：说明命题“对于任何实数a，|a|>−a”是假命题的一个反例可以是a=−2，故选：A．反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项．本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．【解答】解：点M(−3,2)关于y轴对称的点的坐标为(3,2)．故选D．6.【答案】B【解析】解：分两种情况：当腰为5时，5+5=10，所以不能构成三角形；当腰为10时，5+10>10，所以能构成三角形，周长是：10+10+5=25cm ． 故选：B ．题目给出等腰三角形有两条边长为5cm 和10cm ，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，根据题意准确列出不等式组，求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．根据点在坐标系中位置得关于a 的不等式组，解不等式组求得a 的范围，即可判断．【解答】解：根据题意，得：{2a +1>0①1−a >0②， 解不等式①，得：a >−12，解不等式②，得：a <1，∴该不等式组的解集为：−12<a <1，故选：C ．8.【答案】D【解析】解：A.由OC=OD，PC=PD，则根据等腰三角形的性质得到OP平分∠COD，所以A选项不符合题意；B.由CO=CP，则∠COP=∠CPO，而CD//OB，则∠CPO=∠BOP，所以COP=∠BOP，所以B选项不符合题意；C.由OC=OD，∠COF=∠DOE，OF=OE，则△OCF≌△ODE，所以∠OCF=∠ODE，再证明△PCE≌△PDF得到PE=PF，然后证明△POE≌△POF得到∠POE=∠POF，所以C选项不符合题意；D.PC=PD，PD⊥OB，则P点到OB的距离大于P点到OA的距离，则OP不是∠AOB的平分线，所以D选项符合题意．故选：D．根据等腰三角形的性质对A选项进行判断；根据等腰三角形的性质和平行线的性质对B 选项进行判断；利用全等三角形的判定与性质对C选项进行判断；根据角平分线的性质定理的逆定理对D选项进行判断．本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．9.【答案】C【解析】解：点P1的坐标为(2,0)，由题意得：点P2的坐标为(0+1,2+2)，即(1,4)，点P3的坐标为(−4+1,1+2)，即(−3,3)，点P4的坐标为(−3+1,−3+2)，即(−2,−1)，点P5的坐标为(1+1,−2+2)，即(2,0)，∵2019÷4=504……3，∴点P2019的坐标为(−3,3)，故选：C．根据题意分别求出点P2、点P3、点P4、点P5的坐标，总结规律，根据规律解答即可．本题考查的是点的坐标的变化规律，从前几个坐标的变化情况正确总结规律是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等．以AB为公共边可画出三个三角形△ABG，△ABM，△ABH和原三角形全等．所以可画出6个．故选：D．可以以AB和BC为公共边分别画出3个，AC不可以，故可求出结果．本题考查全等三角形的性质，三条对应边分别相等，以及格点的概念，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．11.【答案】2【解析】解：点P(−√5,2)到x轴的距离是|2|=2，故答案为：2．根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，可得答案．本题考查了点的坐标，利用点到x轴的距离是纵坐标的绝对值是解题关键．12.【答案】若ab=1，则a，b互为倒数【解析】解：“若a，b互为倒数，则ab=1”的逆命题是若ab=1，则a，b互为倒数．故答案为：若ab=1，则a，b互为倒数．先根据原命题中的题设与结论，写出其逆命题，本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．13.【答案】x−5≥3x【解析】解：“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为x−5≥3x，故答案为：x−5≥3x．根据x与5的差不小于x的3倍，可知x与5的差大于等于x的3倍，从而可以用相应的不等式表示出来．本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式．14.【答案】54【解析】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积的计算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.根据勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：设三角形的三边是3x：4x：5x，∵(3x)2+(4x)2=(5x)2，∴此三角形是直角三角形，∵它的周长是36，∴3x+4x+5x=36，∴x=3，∴3x=9，4x=12，∴三角形的面积=1212×9×12=54．故答案为54．15.【答案】2.5或√342【解析】解：直角三角形中两边长分别是5和3，当3为直角边，5为斜边时，由直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，可知斜边上中线长为2.5；当3、5都为直角边时，斜边长为√32+ 52=√34，斜边上中线长为√342．故答案为2.5或√342由直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，可得斜边上中线长；本题要分两种情况讨论：①当3为直角边，5为斜边时，可求得中线长；②当3、5都为直角边时，此时由勾股定理求得斜边长，即可得出中线长．本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的运用和直角三角形的性质以及分类讨论思想．16.【答案】4【解析】解：作EG⊥OA于G，如图所示：∵EF//OB，∠AOE=∠BOE=15°∴∠OEF=∠COE=15°，EG=CE=2，∵∠AOE=15°，∴∠EFG=15°+15°=30°，∴EF=2EG=4．故答案为：4．作EG⊥OA于G，根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到∠OEF=∠COE=15°，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG=30°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半求出EF．本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握角平分线的性质，证出∠EFG=30°是解决问题的关键．17.【答案】36°或72°或96°【解析】解：①36°角是α，则希望角度数为36°；α=β=36°，②36°角是β，则12所以，希望角α=72°；③36°角既不是α也不是β，则α+β+36°=180°，所以，α+12α+36°=180°，解得α=96°，综上所述，希望角度数为36°或72°或96°．故答案为：36°或72°或96°．分54°角是α、β和既不是α也不是β三种情况，根据希望角的定义以及三角形的内角和定理列式计算即可得解．本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解希望角的定义是解题的关键，难点在于分情况讨论．18.【答案】10【解析】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=16，解得AD=8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最小值=(CM+MD)+CD=AD+12BC=8+12×4=8+2=10．故答案为：10．连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．19.【答案】解：(1)去括号，得：3x−2+4x≥1，移项，得：3x+4x≥2+1，合并同类项，得：7x≥3，系数化为1，得：x≥37；(2)解不等式2x−6>−x，得：x>2，解不等式x3≤11−32x，得：x≤6，则不等式组的解集为2<x≤6．【解析】(1)去括号，移项、合并同类项，系数化为1即可得；(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．20.【答案】解：(1)如图所示即为所求，点C的坐标为(0,−1)；(2)如图，S△ABC=S四边形BDEF−S△ADB−S△AEC−S△BCF=3×4−12×1×4−12×2×3−12×1×3=112．【解析】(1)根据平移的规律可得出点C 的位置；(2)将△ABC 的面积转化为矩形面积减去三个直角三角形的面积即可．本题主要考查了作图−平移变换，网格中求三角形面积的方法，属于基础题．21.【答案】证明：∵BE =CF ，∴BE +EC =CF +EC ，∴BC =EF ，在△ABC 与△DEF 中，{AB =DE AC =DF BC =EF, ∴△ABC≌△DEF(SSS)，∴∠ABC =∠DEF ，∴AB//DE ．【解析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定有关知识，根据等式的性质可得BC =EF.运用SSS 证明△ABC 与△DEF 全等，得到∠ABC =∠DEF ，利用同位角相等，两直线平行得到结论．22.【答案】解：(1)设A 型垃圾桶的单价是x 元，B 型垃圾桶的单价是y 元，依题意得：{14x +8y =16003x =4y， 解得：{x =80y =60． 答：A 型垃圾桶的单价是80元，B 型垃圾桶的单价是60元．(2)设购买A 型垃圾桶m 个，则购买B 型垃圾桶(45−m)个，依题意得：{80m +60(45−m)≤3250m ≥25， 解得：25≤m ≤552．又∵m 为正整数，∴m 可以为25，26，27，∴共有3种购买方案，方案1：购买A型垃圾桶25个，B型垃圾桶20个；方案2：购买A型垃圾桶26个，B型垃圾桶19个；方案3：购买A型垃圾桶27个，B型垃圾桶18个．【解析】(1)设A型垃圾桶的单价是x元，B型垃圾桶的单价是y元，根据“用1600元可购进A型垃圾桶14个和B型垃圾桶8个，且购买3个A型垃圾桶的费用与购买4个B型垃圾桶的费用相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出A，B两种类型垃圾桶的单价；(2)设购买A型垃圾桶m个，则购买B型垃圾桶(45−m)个，利用总价=单价×数量，结合“社区欲用不超过3250元购进两种垃圾桶共45个，其中A型垃圾桶至少25个”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案．本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．23.【答案】解：(1)∵EF是等腰△ABC的逆等线，∴CF=AE=2，∴AF=AC−CF=5−2=3，∵EF⊥AB，∴∠AEF=90°，∴EF=√AF2−AE2=√32−22=√5；(2)连接AD，∵△ABC是等腰直角三角形，点D是BC上的中点，BC=CD，AD⊥BC，∴AD=12∵∠EDF=90°，∴∠EDA=∠FDC，在△ADE和△CDF中，{∠EAD=∠FCD=45°AD=CD∠EDA=∠FDC，∴△ADE≌△CDF(ASA)，∴AE=CF，即EF为等腰△ABC的逆等线．【解析】(1)根据等腰三角形的逆等线的定义得到CF=AE，根据勾股定理计算；(2)连接AD，根据等腰直角三角形的性质得到AD=12BC=CD，AD⊥BC，证明△ADE≌△CDF，根据全等三角形的性质得到AE=CF，根据等腰三角形的逆等线的定义证明．本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的逆等线的定义，掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24.【答案】解：(1)∵(n−10)2+|3m−15|=0，∴n=10，m=5，∴点A(0,5)，点C(10,0)；(2)如图1，过点P作PE⊥AB于E，∵点A(0,5)，点C(10,0)，B(−12,0)，∴OA=5，OB=12，OC=10，∴AB=√AO2+BO2=√25+144=13，∵AP平分∠BAO，PE⊥AB，PO⊥AO，∴PO=PE，∵S△ABO=S△ABP+S△APO，∴12×12×5=12×13×PE+12×5×PO，∴PO=103，∴t=12−10 32=133；(3)当△QOP≌△AOC时，OP=OC=10，OQ=OA=5，∴BP=2，∴t=1，则t=1，点Q的坐标为(0,5)或(0,−5)；当△POQ≌△AOC时，OP=OA=5，OQ=OC=10，∴BP=7或17(舍去)，点Q的坐标为(0,10)或(0,−10)，则t=72，点Q的坐标为(0,10)或(0,−10)．综上所述：t=1，点Q的坐标为(0,5)或(0,−5)；t=72(4)如图2，当AP=BP时，∵AP2=PO2+AO2，∴(12−OP)2=PO2+25，∴OP=119，24,0)，∴点P(−11924当AB=BP′=13时，∴OP′=1，∴点P′(1,0)，当AB=AP′′时，∵AO⊥BP′′，∴BO=P′′O=12，∴点P′′(12,0)，,0)或(1,0)或(12,0)．综上所述：点P坐标为(−11924【解析】(1)由非负性可求m，n的值，即可求解；(2)由勾股定理可求AB的长，由面积法可求OP的长，即可求解；(3)分△QOP≌△AOC和△POQ≌△AOC两种情况，根据全等三角形的性质解答；(4)分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．25.【答案】解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE．∵∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD=∠ACE，在△BCD和△ACE中，{AC=BC∠ACE=∠BCD CD=CE，∴△BCD≌△ACE(SAS)，∴BD=AE．又∵∠ADC=30°，∴∠ADE=90°．在Rt△ADE中，AE=5，AD=3，∴DE=√AE2−AD2=√52−32=4，∴CD=DE=4．【解析】以CD为边作等边△CDE，连接AE，利用全等三角形的判定得出△BCD≌△ACE，进而求出DE的长即可．此题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知得出∠ADE=90°是解题关键．26.【答案】9【解析】解：过N作NH//CM，交y轴于H，则∠CNH+∠MCN=180°，∵等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，∴∠MCQ+∠ACN=180°，∴∠ACQ+∠MCN=360°−180°=180°，∴∠CNH=∠ACQ，又∵∠HCN+∠ACO=90°=∠QAC+∠ACO，∴∠HCN=∠QAC，在△HCN和△QAC中，{∠CNH=∠ACQ CN=AC∠HCN=∠QAC，∴△HCN≌△QAC(ASA)，∴CH=AQ，HN=QC，∵QC=MC，∴HN=CM，∵点C(0,3)，S△CQA=18，∴12×AQ×CO=18，即12×AQ×3=18，∴AQ=12，∴CH=12，∵NH//CM，∴∠PNH=∠PMC，在△PNH和△PMC中，{∠HPN=∠CPM ∠PNH=∠PMC HN=CM，∴△PNH≌△PMC(AAS)，∴CP=PH=1CH=6，2又∵CO=3，∴OP=CP+OC=6+3=9．故答案为9．N作NH//CM，交y轴于H，再△HCN≌△QAC(ASA)，得出CH=AQ，HN=QC，然后根据点C(0,3)，S△CQA=18，求得AQ=12，最后判定△PNH≌△PMC(AAS)，得出CP= PH=1CH=6，即可求得OP的值．2本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算以及等腰直角三角形的性质的综合应用．证明△HCN≌△QAC及△PNH≌△PMC是解题的关键．。
2019-2020学年八年级上学期期中考试数学试卷含解析
2019-2020学年八年级上学期期中考试数学试卷一．选择题（共10小题）1．计算：＝（）A．2 B．﹣2 C．D．2．下列分式是最简分式的是（）A．B．C．D．3．下列长度的各组线段中可组成三角形的是（）A．1，2，3 B．2，5，8 C．6，2，2 D．3，5，34．把分式中的x和y都扩大2倍，则分式的值（）A．扩大4倍B．扩大2倍C．缩小2倍D．不变5．方程＝1的解是（）A．无解B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x＝16．化简a÷b•的结果是（）A．B．a C．ab2D．ab7．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C，D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝（）A．30°B．20°C．15°D．100°8．下列命题的逆命题是真命题的是（）A．对顶角相等B．同一三角形内等角对等边C．同角的余角相等D．全等三角形对应角相等9．某公司承担了制作600套校服的任务，原计划每天制作x套，实际上平均每天比原计划多制作了5套，因此提前6天完成任务．根据题意，下列方程正确的是（）A．B．C．D．10．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连结CF和DE，若∠A＝70°，∠DCF＝50°，BC＝8．则AB长为（）A．4 B．2C．8 D．4二．填空题（共5小题）11．H7N9病毒的直径为30纳米（1纳米10﹣9米），30纳米用科学记数法可表示为米．12．计算（﹣）3的结果是．13．如图，已知AE＝BE，DE是AB的垂直平分线，BF＝12，CF＝3，则AC＝．14．已知x﹣＝6，求x2+的值为．15．如图，△ABC中，AB＝BD，点D，E分别是AC，BD上的点，且∠ABD＝∠DCE，若∠BEC ＝105°，则∠A的度数是．三．解答题（共8小题）16．计算：（2m2n﹣3）2•3m﹣3n4．17．计算：+﹣118．解方程：．19．如图，△ABC中，BD＝EC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：△ABE≌△ACD20．如图，点E在△ABC的外部，点D在BC上，DE交AC于点F，∠1＝∠2＝∠3，AB＝AD．求证：△ABC≌△ADE．21．节能环保的油电混合动力汽车，既可用油做动力行驶，也可用电做动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元．（1）求汽车行驶中每千米用电费用是多少元？（2）甲、乙两地的距离是多少千米？22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，PD＝PA，（1）尺规作图：作BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）所作的图中，连接DE，求证：DE⊥DP．23．如图，在等边△ABC的顶点B、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别都以每分钟1个单位的速度由C向A和由B向C爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、P处，请问：（1）在爬行过程中，BD和AP始终相等吗？（2）在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA有变化吗？若无变化是多少度？参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．计算：＝（）A．2 B．﹣2 C．D．【分析】根据负整数指数幂解答即可．【解答】解：＝2，故选：A．2．下列分式是最简分式的是（）A．B．C．D．【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．【解答】解：A、该分式的分子、分母中含有公因数a，则它不是最简分式．故本选项错误；B、该分式的分子、分母中含有公因数3，则它不是最简分式．故本选项错误；C、该分式符合最简分式的定义．故本选项正确．D、分母为（x+1）（x﹣1），所以该分式的分子、分母中含有公因式（x+1），则它不是最简分式．故本选项错误；故选：C．3．下列长度的各组线段中可组成三角形的是（）A．1，2，3 B．2，5，8 C．6，2，2 D．3，5，3【分析】根据三角形的三边满足两边之和大于第三边来进行判断．【解答】解：A、2+1＝3，不能构成三角形，故不符合题意；B、2+5＝7＜8，不能构成三角形，故不符合题意；C、2+2＝4＜6，不能构成三角形，故不符合题意；D、3+3＞5，可以构成三角形，故符合题意；故选：D．4．把分式中的x和y都扩大2倍，则分式的值（）A．扩大4倍B．扩大2倍C．缩小2倍D．不变【分析】先根据题意列出算式，再根据分式的性质进行化简，即可得出选项．【解答】解：＝，即分式的值不变，故选：D．5．方程＝1的解是（）A．无解B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x＝1【分析】移项可得﹣1＝＝0，可得x＝0；【解答】解：＝1，∴移项可得﹣1＝＝0，∴x＝0，经检验x＝0是方程的根，∴方程的根是x＝0；故选：C．6．化简a÷b•的结果是（）A．B．a C．ab2D．ab【分析】分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．【解答】解：a÷b•＝a••＝，故选：A．7．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C，D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝（）A．30°B．20°C．15°D．100°【分析】由于△ABC是等边三角形，那么∠B＝∠1＝60°，而CD＝CG，那么∠CGD＝∠2，而∠1是△CDG的外角，可得∠1＝2∠2，同理有∠2＝2∠E，等量代换有4∠E＝60°，解即可求∠E．【解答】解：如右图所示，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠1＝60°，∵CD＝CG，∴∠CGD＝∠2，∴∠1＝2∠2，同理有∠2＝2∠E，∴4∠E＝60°，∴∠E＝15°．故选：C．8．下列命题的逆命题是真命题的是（）A．对顶角相等B．同一三角形内等角对等边C．同角的余角相等D．全等三角形对应角相等【分析】先交换原命题的题设与结论得到四个逆命题，然后判断它们的真假．【解答】解：A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题；B、同一三角形内等角对等边的逆命题是同一三角形内等边对等角，是真命题；C、同角的余角相等的逆命题是余角相等的角是同角，也可以是等角，是假命题；D、全等三角形对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题；故选：B．9．某公司承担了制作600套校服的任务，原计划每天制作x套，实际上平均每天比原计划多制作了5套，因此提前6天完成任务．根据题意，下列方程正确的是（）A．B．C．D．【分析】设原计划每天制作x套，实际平均每天制作（x+5）套，根据实际提前6天完成任务，列方程即可．【解答】解：设原计划每天制作x套，实际平均每天制作（x+5）套，由题意得，﹣＝6．故选：C．10．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连结CF和DE，若∠A＝70°，∠DCF＝50°，BC＝8．则AB长为（）A．4 B．2C．8 D．4【分析】根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据线段垂直平分线的性质得到FB＝FC，得到∠FCB＝∠CBD，根据三角形内角和定理得到∠BCA＝∠A，根据等腰三角形的判定定理解答．【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵EF是BC的垂直平分线，∴FB＝FC，∴∠FCB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠CBD＝∠FCB，∠ABD+∠CBD+∠FCB+∠A+∠DCF＝180°，解得，∠FCB＝20°，∴∠BCA＝70°，∴∠BCA＝∠A，∴AB＝BC＝8，故选：C．二．填空题（共5小题）11．H7N9病毒的直径为30纳米（1纳米10﹣9米），30纳米用科学记数法可表示为3×10﹣8米．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：30纳米＝30×10﹣9米＝3×10﹣8米．故答案为：3×10﹣8．12．计算（﹣）3的结果是﹣．【分析】根据分式的乘方法则计算，得到答案．【解答】解：（﹣）3＝﹣＝﹣，故答案为：﹣．13．如图，已知AE＝BE，DE是AB的垂直平分线，BF＝12，CF＝3，则AC＝15 ．【分析】利用垂直平分线的性质得出AF＝BF，从而求出AC的长．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AF＝BF∴AC＝AF+CF＝BF+CF＝12+3＝15．14．已知x﹣＝6，求x2+的值为38 ．【分析】把x﹣＝6两边平方后化简整理解答即可．【解答】解：将x﹣＝6两边平方，可得：，解得：，故答案为：38．15．如图，△ABC中，AB＝BD，点D，E分别是AC，BD上的点，且∠ABD＝∠DCE，若∠BEC ＝105°，则∠A的度数是85°．【分析】设∠A＝∠BDA＝x，∠ABD＝∠ECD＝y，构建方程组即可解决问题．【解答】解：∵BA＝BD，∴∠A＝∠BDA，设∠A＝∠BDA＝x，∠ABD＝∠ECD＝y，则有，解得x＝85°，故答案为85°．三．解答题（共8小题）16．计算：（2m2n﹣3）2•3m﹣3n4．【分析】先算乘方，再根据单项式乘单项式的运算法则进行计算即可得出答案．【解答】解：（2m2n﹣3）2•3m﹣3n4＝（4m4n﹣6）（3m﹣3n4）＝12mn﹣2＝．17．计算：+﹣1【分析】先把要求的式子进行变形，再根据分式的加减法则进行计算即可得出答案．【解答】解：+﹣1＝﹣﹣1＝1﹣1＝0．18．解方程：．【分析】去分母，将分式方程转化为整式方程，即可解决问题．【解答】解：∵，∴1440﹣1260＝6x，即180＝6x，解得：x＝30．经检验：x＝30是原方程的解．19．如图，△ABC中，BD＝EC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：△ABE≌△ACD【分析】利用SAS证明△ABE和△ACD全等即可．【解答】证明：∵BD＝CE，∴BE＝CD，在△ABE和△ACD中，∵，∴△ABE≌△ACD（SAS）．20．如图，点E在△ABC的外部，点D在BC上，DE交AC于点F，∠1＝∠2＝∠3，AB＝AD．求证：△ABC≌△ADE．【分析】根据角的和差和三角形的内角和得到∠BAC＝∠DAE，∠C＝∠E，然后根据全等三角形的判定定理即可得到结论．【解答】证明：∵∠1＝∠2＝∠3，∠AFE＝∠CFD，∴∠1+∠DAF＝∠2+∠DAF，∠C＝180°﹣∠3﹣∠DFC，∠E＝180°﹣∠2﹣∠AFE，∴∠BAC＝∠DAE，∠C＝∠E，在△ABC与△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（AAS）．21．节能环保的油电混合动力汽车，既可用油做动力行驶，也可用电做动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元．（1）求汽车行驶中每千米用电费用是多少元？（2）甲、乙两地的距离是多少千米？【分析】（1）直接利用行驶的路程不变得出方程进而得出答案；（2）利用（1）中所求即可得出答案．【解答】解：（1）设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则每千米用油费用为（x+0.5）元，根据题意可得：＝，解得：x＝0.3，经检验得：x＝0.3是原方程的解，答：汽车行驶中每千米用电费用是0.3元；（2）甲、乙两地的距离是：30÷0.3＝100（千米）．22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，PD＝PA，（1）尺规作图：作BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）所作的图中，连接DE，求证：DE⊥DP．【分析】（1）利用基本作图作BD的垂直平分线EF；（2）先由PA＝PD得到∠A＝∠PDA，再根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，则∠B ＝∠EDB，从而得到∠PDA+∠EDB＝90°，从而可判断PD⊥DE．【解答】（1）解：如图，EF为所作；（2）证明：∵PA＝PD，∴∠A＝∠PDA，∵EF垂直平分BD，∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠PDA+∠EDB＝90°，∴∠PDE＝180°﹣∠PDA﹣∠EDB＝90°，∴PD⊥DE．23．如图，在等边△ABC的顶点B、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别都以每分钟1个单位的速度由C向A和由B向C爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、P处，请问：（1）在爬行过程中，BD和AP始终相等吗？（2）在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA有变化吗？若无变化是多少度？【分析】（1）根据等边三角形性质得出∠CAB＝∠C＝∠ABP＝60°，AB＝BC，根据SAS 推出△BDC≌△APB即可．（2）根据△BDC≌△APB得出∠CBD＝∠BAP，根据三角形外角性质求出∠DQA＝∠ABC，即可求出答案．【解答】解：（1）在爬行过程中，BD和AP始终相等，理由是：∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝∠C＝∠ABP＝60°，AB＝BC，在△BDC和△APB中，，∴△BDC≌△APB（SAS），∴BD＝AP．（2）蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小无变化，理由：∵△BDC≌△APB，∴∠CBD＝∠BAP，∴∠DQA＝∠DBA+∠BAP＝∠DBA+∠CBD＝∠ABC＝60°，即蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小无变化，始终是60°．。
2019-2020学年八年级上学期期中考试数学试卷附参考答案
2019-2020学年八年级上学期期中考试数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1．若分式的值不存在，则x的取值是（）A．x＝﹣2 B．x≠﹣2 C．x＝3 D．x≠32．若分式的值等于0，则x的取值是（）A．x＝0 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝3或x＝﹣3 3．下列式子变形，正确的是（）A．＝B．＝﹣C．＝D．＝4．下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．5．用科学记数法表示：0.00002018是（）A．2.018×10﹣5B．2.018×10﹣4C．201.8×10﹣7D．2018×10﹣56．计算：（）﹣3的结果是（）A．﹣B．C．D．﹣7．如图，图中三角形的个数共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个8．如图，CD是△ABC的角平分线，∠A＝30°，∠B＝66°，则∠BDC的度数是（）A．96°B．84°C．76°D．72°9．下列语句：①你叫什么名字；②负数的绝对值等于它的相反数；③相等的角是对顶角；④明天下雨吗？属于命题的是（）A．①②B．②③C．③④D．①②③④10．在△ABC和△DEF中，下列条件不能判断这两个三角形全等的是（）A．AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D B．∠A＝∠D，∠B＝∠E，AB＝DEC．AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E D．AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF11．如图，∠CAB＝60°，CD垂直平分AB，垂足为点D，∠CAB的平分线交CD于点E，连接EB，则∠BEC的度数是（）A．120°B．110°C．100°D．90°12．如图，∠ADB＝∠ACB＝90°，AC与BD相交于点O，且OA＝OB，下列结论：①AD＝BC；②AC＝BD；③∠CDA＝∠DCB；④CD∥AB，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分13．若分式的值为0，则x的值是．14．分式，，的最简公分母是．15．若3x＝10，3y＝5，则3x﹣y＝．16．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是．17．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝70°，EF是AC边的垂直平分线，垂足为E，交BC 于点F，则∠AFE的度数等于．18．已知ab＝1，m＝+，则﹣m2018的值等于．三、解答题：本大题共8小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19．先约分，再求值：，其中x＝﹣2，y＝﹣．20．计算：（1）•（2）÷（3）（）2（4）（）321．计算（1）（）3•（）2•（）2（2）（）4•（）3÷（）522．计算：（1）+﹣（2）﹣﹣23．如图，已知AB∥ED，CD∥BF，AE＝CF．求证：AB＝ED．24．如图，AB＝CD，AD＝BC，E、F分别是AC上的点，且AE＝CF（1）求证：AB∥CD；（2）求证：BE＝DF．25．如图，已知AD∥BC，点E是CD上一点，AE平分∠BAD，BF平分∠ABC，延长BE交AD 的延长线于点F（1）求证：△ABE≌△AFE；（2）若AD＝2，BC＝6，求AB的长．26．甲种污水处理器处理25吨的污水与乙种污水处理器处理35吨的污水所用的时间相同，已知乙种污水处理器每小时比甲种污水处理器多处理20吨的污水．（1）分别求甲、乙两种污水处理器的污水处理效率；（2）若某厂每天同时开甲、乙两种污水处理器处理污水共4小时，且甲、乙两种污水处理器处理污水每吨需要的费用分别30元和50元，问该厂每个月（以30天计）需要污水处理费多少？参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．若分式的值不存在，则x的取值是（）A．x＝﹣2 B．x≠﹣2 C．x＝3 D．x≠3【分析】直接利用分式有意义的条件得出x的值，进而得出答案．【解答】解：∵分式的值不存在，∴2x+4＝0，解得：x＝﹣2，则x的取值是：﹣2．2．若分式的值等于0，则x的取值是（）A．x＝0 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝3或x＝﹣3 【分析】直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零，进而得出答案．【解答】解：∵分式的值等于0，∴|x|﹣3＝0，2x﹣6≠0，解得：x＝﹣3，故选：C．3．下列式子变形，正确的是（）A．＝B．＝﹣C．＝D．＝【分析】根据分式的基本性质解答．【解答】解：A、原式＝，故本选项错误；B、原式＝﹣，故本选项正确；C、原式＝，故本选项错误；D、原式＝，故本选项错误；故选：B．4．下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分，判断的方法是把分子、分母分解因式，然后对每一选项进行整理，即可得出答案．【解答】解：A．＝，不符合题意；B．＝，不符合题意；C．＝，不符合题意；D．是最简分式，符合题意；5．用科学记数法表示：0.00002018是（）A．2.018×10﹣5B．2.018×10﹣4C．201.8×10﹣7D．2018×10﹣5【分析】根据科学记数法的形式选择即可．【解答】解：0.00002018＝2.018×10﹣5，故选：A．6．计算：（）﹣3的结果是（）A．﹣B．C．D．﹣【分析】先根据负整数指数幂的定义进行变形，再求出即可．【解答】解：（）﹣3＝（）3＝，故选：B．7．如图，图中三角形的个数共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】根据三角形的定义，找出图中所有的三角形，数出其个数即可得出结论．【解答】解：图中是三角形的有：△AOC、△BOD、△AOB、△ABC、△ABD．故选：C．8．如图，CD是△ABC的角平分线，∠A＝30°，∠B＝66°，则∠BDC的度数是（）A．96°B．84°C．76°D．72°【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再根据CD是△ABC的角平分线，即可求出∠ACD的度数；再根据三角形内角和外角的关系即可求出∠BDC的度数．【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝66°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣66°＝84°，∵CD是△ABC的角平分线，∴∠ACD＝∠ACB＝×84°＝42°．∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝30°+42°＝72°．故选：D．9．下列语句：①你叫什么名字；②负数的绝对值等于它的相反数；③相等的角是对顶角；④明天下雨吗？属于命题的是（）A．①②B．②③C．③④D．①②③④【分析】根据命题是判断性语句，可得答案．【解答】解：①你叫什么名字，没有作出判断，不是命题；②负数的绝对值等于它的相反数，正确，是命题；③相等的角是对顶角，正确，是命题；④明天下雨吗？是疑问句，不是命题，故选：B．10．在△ABC和△DEF中，下列条件不能判断这两个三角形全等的是（）A．AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D B．∠A＝∠D，∠B＝∠E，AB＝DEC．AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E D．AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF【分析】根据题意画出图形，再由全等三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：如图所示，A、AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D，符合SAS定理，∴△ABC≌△DEF，故本选项正确；B、∠A＝∠D，∠B＝∠E，AB＝DE，符合ASA定理，∴△ABC≌△DEF，故本选项正确；C、∵AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，不符合全等三角形的判定定理，故本选项错误；D、∵AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，符合SSS定理，∴△ABC≌△EFD，故本选项正确．故选：C．11．如图，∠CAB＝60°，CD垂直平分AB，垂足为点D，∠CAB的平分线交CD于点E，连接EB，则∠BEC的度数是（）A．120°B．110°C．100°D．90°【分析】根据三角形的外角的性质可知：∠BEC＝∠B+∠EDB，想办法求出∠B，∠EDB即可解决问题；【解答】解：∵AE平分∠CAB，∠CAB＝60°，∴∠EAD＝∠CAB＝30°，∵CD垂直平分线段AB，∴EA＝EB，∠EDB＝90°，∴∠B＝∠EAD＝30°，∴∠BEC＝∠EDB+∠B＝90°+30°＝120°，故选：A．12．如图，∠ADB＝∠ACB＝90°，AC与BD相交于点O，且OA＝OB，下列结论：①AD＝BC；②AC＝BD；③∠CDA＝∠DCB；④CD∥AB，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由△ABC≌△BAD（AAS），推出AD＝BC，AC＝BD，故①②正确，再证明CO＝OD，可得∠CDA＝∠DCB，故③正确，由∠CDO＝∠OAB，可得CD∥AB，故④正确；【解答】解：∵OA＝OB，∴∠DAB＝∠CBA，∵∠ACB＝∠BDA＝90°，AB＝BA，∴△ABC≌△BAD（AAS），∴AD＝BC，AC＝BD，故①②正确，∵BC＝AD，BO＝AO，∴CO＝OD，∴∠CDA＝∠DCB，故③正确，∵∠COD＝∠AOB，∴∠CDO＝∠OAB，∴CD∥AB，故④正确，故选：D．二．填空题（共6小题）13．若分式的值为0，则x的值是0 ．【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．【解答】解：∵分式的值为0，∴x＝0．将x＝0代入x+1＝1≠0．当x＝0时，分式分式的值为0．故答案为：0．14．分式，，的最简公分母是12a2b2c．【分析】根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式确定；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．【解答】解：因为三分式中的常数项系数的最小公倍数是12，a的最高次幂是2，b的最高次幂是2，c的最高次幂是1，所以三分式的最简公分母是12a2b2c．故答案为：12a2b2c．15．若3x＝10，3y＝5，则3x﹣y＝ 2 ．【分析】先根据同底数幂的除法进行变形，再代入求出即可．【解答】解：∵3x＝10，3y＝5，∴3x﹣y＝3x÷3y＝10÷5＝2，故答案为：2．16．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是两个角相等三角形是等腰三角形．【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”．17．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝70°，EF是AC边的垂直平分线，垂足为E，交BC 于点F，则∠AFE的度数等于50°．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠B＝70°，根据三角形的内角和得到∠C ＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝40°，根据线段垂直平分线的性质得到CF＝AF，EF⊥AC，于是得到结论．【解答】解：∵AC＝BC，∠B＝70°，∴∠CAB＝∠B＝70°，∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝40°，∵EF是AC边的垂直平分线，∴CF＝AF，EF⊥AC，∴∠EAF＝∠C＝40°，∴∠AFE＝90°﹣40°＝50°，故答案为：50°．18．已知ab＝1，m＝+，则﹣m2018的值等于﹣1 ．【分析】先利用异分母分式的加减法法则，计算m的值，再求出﹣m2018的值．【解答】解：m＝+＝＝∵ab＝1，∴m＝＝1∴﹣m2018＝﹣12018＝﹣1故答案为：﹣1三．解答题（共8小题）19．先约分，再求值：，其中x＝﹣2，y＝﹣．【分析】先把分子分母因式分解，再约分得到原式＝，然后把x、y的值代入计算即可．【解答】解：原式＝＝，当x＝﹣2，y＝﹣时，原式＝＝．20．计算：（1）•（2）÷（3）（）2（4）（）3【分析】（1）先分解因式，再根据分式的乘法法则求出即可；（2）先把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则求出即可；（3）根据分式的乘方法则求出即可；（4）根据分式的乘方法则求出即可．【解答】解：（1）•＝•＝﹣2x（x+1）＝﹣2x2﹣2x；（2）原式＝•＝；（3）（）2＝；（4）（）3＝﹣＝﹣．21．计算（1）（）3•（）2•（）2（2）（）4•（）3÷（）5【分析】（1）先算乘方，再算乘法即可；（2）先算乘方，把除法变成乘法，再算乘法即可．【解答】解：（1）原式＝••＝；（2）原式＝••＝﹣．22．计算：（1）+﹣（2）﹣﹣【分析】（1）直接通分进而利用分时加减运算法则计算得出答案；（2）直接通分进而利用分时加减运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）+﹣＝+﹣＝；（2）﹣﹣＝﹣﹣＝＝﹣．23．如图，已知AB∥ED，CD∥BF，AE＝CF．求证：AB＝ED．【分析】根据平行线性质得到∠A＝∠DEC，∠C＝∠AFB，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：∵AB∥ED，CD∥BF，∴∠A＝∠DEC，∠C＝∠AFB，∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，在△ABF与△EDC中，∴△ABF≌△EDC，（ASA），∴AB＝ED．24．如图，AB＝CD，AD＝BC，E、F分别是AC上的点，且AE＝CF（1）求证：AB∥CD；（2）求证：BE＝DF．【分析】（1）由全等三角形的判定定理SSS证得△ABD≌△CDB，则该全等三角形的对应角相等，即∠ABD＝∠CDB，故AB∥CD；（2）欲证明BE＝DF，只需推知△ABE≌△CDF即可．【解答】证明：（1）在△ABD与△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SSS），∴∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD；（2）由（1）知，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，又AB＝CD，AE＝CF，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE＝DF．25．如图，已知AD∥BC，点E是CD上一点，AE平分∠BAD，BF平分∠ABC，延长BE交AD 的延长线于点F（1）求证：△ABE≌△AFE；（2）若AD＝2，BC＝6，求AB的长．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BAE＝∠EAF，∠ABF＝∠EBC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EBC＝∠F，然后求出∠ABF＝∠F，再利用“角角边”证明△ABE 和△AFE全等即可；（2）根据全等三角形对应边相等可得BE＝FE，然后利用“角边角”证明△BCE和△FDE 全等，根据全等三角形对应边相等可得BC＝DF，然后根据AD+BC整理即可得证．【解答】证明：（1）∵AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，∴∠BAE＝∠EAF，∠ABF＝∠EBC，∵AD∥BC，∴∠EBC＝∠F，∠ABF＝∠F，在△ABE和△AFE中，，∴△ABE≌△AFE（AAS）；（2）∵△ABE≌△AFE，∴BE＝EF，在△BCE和△FDE中，，∴△BCE≌△FDE（ASA），∴BC＝DF，∴AD+BC＝AD+DF＝AF＝AB，即AD+BC＝AB．∵AD＝2，BC＝6，∴AB＝8．26．甲种污水处理器处理25吨的污水与乙种污水处理器处理35吨的污水所用的时间相同，已知乙种污水处理器每小时比甲种污水处理器多处理20吨的污水．（1）分别求甲、乙两种污水处理器的污水处理效率；（2）若某厂每天同时开甲、乙两种污水处理器处理污水共4小时，且甲、乙两种污水处理器处理污水每吨需要的费用分别30元和50元，问该厂每个月（以30天计）需要污水处理费多少？【分析】（1）首先设甲种污水处理器每小时处理污水x吨，则设乙种污水处理器每小时处理污水（x+20）吨，根据题意可得等量关系：甲种污水处理器处理25吨的污水＝乙种污水处理器处理35吨的污水所用时间，根据等量关系，列出方程，再解即可．（2）根据题意列出计算式解答即可．【解答】解：（1）设甲种污水处理器每小时处理污水x吨，由题意得，，解之得，x＝50，经检验，x＝50是原方程的解，所以x＝50，x+20＝70，答，甲种污水处理器每小时处理污水50吨，乙种污水处理器每小时处理污水70吨．（2）30×4×50×30+30×4×70×50＝180000+420000＝600000（元），答：该厂每个月（以30天计）需要污水处理费600000元．。
2019-2020学年浙教版八年级上学期期中考试数学试卷含解析
2019-2020学年浙教版八年级上学期期中考试数学试卷一．选择题（共10小题）1．剪纸是我国最古老的民间艺术之一，被列入第四批《人类非物质文化遗产代表作名录》，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（）A．B．C．D．2．在下列各图形中，分别画出了△ABC中BC边上的高AD，其中正确的是（）A．B．C．D．3．一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（）A．12 B．16 C．20 D．16或204．一元一次不等式2x+1≥3的解在数轴上表示为（）A．B．C．D．5．如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（）A．A点B．B点C．C点D．D点6．下列命题：①若ab＝0，则P（a，b）在坐标原点；②在平面直角坐标系中，若A（﹣1，﹣2），且AB平行于x轴，AB＝5，则B点的坐标为（4，﹣2）；③在平面直角坐标系中点，P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，﹣2）；④若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是a＞1，其中真命题的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD＝8，则CP的长为（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.58．如图，一系列等腰直角三角形（编号分别为①、②、③、④、…）组成了一个螺旋形，其中第1个三角形的直角边长为1，则第n个等腰直角三角形的面积为（）A．2n﹣3B．2n﹣2C．2n﹣1D．2n9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AD是△ABC的角平分线，若P，Q 分别是AD和AC边上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．B．2 C．D．10．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，点D是△ABC内一点，若AC＝AD，∠CAD＝30°，连接BD，则∠ADB的度数为（）A．120°B．135°C．150°D．165°二．填空题（共6小题）11．若一个三角形的两边长分别为5和8，则下列长度：①14；②10；③3；④2．其中，可以作为第三边长的是（填序号）12．在△ABC中，∠A＝24°，∠C＝46°，则∠B相邻的外角的度数为．13．将点P（﹣2，y）先向下平移4个单位，再向左平移2个单位，然后把点关于x轴对称得到点Q（x，﹣1）、则x+y＝．14．如图，在△ABC中，E为AC的中点，点D为BC上一点，BD：CD＝2：3，AD、BE交于点O，若S△AOE﹣S△BOD＝1，则△ABC的面积为．15．如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．若方程9﹣x＝2x，3+x＝2（x+）都是关于x的不等式组的关联方程，求出m的取值范围．16．已知△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，若∠EBC＝42°，则∠BAC的度数为．三．解答题（共7小题）17．解下列不等式（组）（1）﹣5≥（2），并写出不等式组的整数解．18．如图，已知，在△ABC中，求作△BED，使点D落在AC上，点E落在BC上，且∠CBD ＝∠ABC，BE＝BC．（不写作法，保留作图痕迹）19．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）在图中作出△ABC关于m（直线m上的横坐标都为﹣2）的对称图形△A1B1C1；（2）线段上有一点P（﹣，），直接写出点P关于直线m对称的点的坐标．（3）线段BC上有一点M（a，b），点M关于直线m的对称点N（c，d），请直接写出a，c的关系：；b，d的关系：．20．已知，如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CG＝EG（1）求证：CD＝AE；（2）若AD＝BD，CD＝2，则求△ABD的面积．21．杭州某游乐园门票价格为每人100元，20人以上（含20人）的团体票8折优惠．（1）建兰中学初二年级一等奖学金获得者共有18人，学校奖励他们去游玩，你认为学校买18张门票，还是多买2张（买20张）购团体票更合算？（2）如果获奖的学生不足20人，那么人数达到多少人时购买团体票比买普通票更合算．22．定义：如图①，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM，MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．（1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AM＝2，MN＝3，求BN的长；（2）如图2，在Rt△ABC中，AC＝BC，点M，N在斜边AB上，∠MCN＝45°，求证：点M，N是线段AB的勾股分割点（提示：把△ACM绕点C逆时针旋转90°）（3）在（2）的前提下，若∠BCN＝15°，BN＝1．求AN的长．23．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF ⊥AE且AF＝AE．（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC；（2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点；（3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交于G点，若BC＝4，BE＝3，则＝（直接写出结果）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．剪纸是我国最古老的民间艺术之一，被列入第四批《人类非物质文化遗产代表作名录》，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故错误；B、是轴对称图形，故正确；C、不是轴对称图形，故错误；D、不是轴对称图形，故错误．故选：B．2．在下列各图形中，分别画出了△ABC中BC边上的高AD，其中正确的是（）A．B．C．D．【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可知．【解答】解：过点A作直线BC的垂线段，即画BC边上的高AD，所以画法正确的是B．故选：B．3．一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（）A．12 B．16 C．20 D．16或20【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．【解答】解：①当4为腰时，4+4＝8，故此种情况不存在；②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．故此三角形的周长＝8+8+4＝20．故选：C．4．一元一次不等式2x+1≥3的解在数轴上表示为（）A．B．C．D．【分析】先移项、合并同类项、化系数为1即可求出x的取值范围，再把x的取值范围在数轴上表示出来即可．【解答】解：2x+1≥32x≥2x≥1，故选：A．5．如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（）A．A点B．B点C．C点D．D点【分析】以每个点为原点，确定其余三个点的坐标，找出满足条件的点，得到答案．【解答】解：当以点B为原点时，A（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），则点A和点C关于y轴对称，符合条件，故选：B．6．下列命题：①若ab＝0，则P（a，b）在坐标原点；②在平面直角坐标系中，若A（﹣1，﹣2），且AB平行于x轴，AB＝5，则B点的坐标为（4，﹣2）；③在平面直角坐标系中点，P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，﹣2）；④若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是a＞1，其中真命题的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据点的坐标特征、一元一次不等式判断即可．【解答】解：①若ab＝0，则P（a，b）在坐标原点或坐标轴上，错误；②在平面直角坐标系中，若A（﹣1，﹣2），且AB平行于x轴，AB＝5，则B点的坐标为（4，﹣2）或（﹣6，﹣2），错误；③在平面直角坐标系中点，P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，﹣2），正确；④若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是a≥1，错误；故选：B．7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD＝8，则CP的长为（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5【分析】由题意推出BD＝AD，然后在Rt△BCD中，CP＝BD，即可推出CP的长度．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠DBA＝30°，∴BD＝AD，∵AD＝6，∴BD＝6，∵P点是BD的中点，∴CP＝BD＝4，故选：C．8．如图，一系列等腰直角三角形（编号分别为①、②、③、④、…）组成了一个螺旋形，其中第1个三角形的直角边长为1，则第n个等腰直角三角形的面积为（）A．2n﹣3B．2n﹣2C．2n﹣1D．2n【分析】分别写出几个直角三角形的直角边的长，找到规律，从而写出第n个等腰三角形的直角边的长，从而求得直角三角形的面积即可．【解答】解：第①个直角三角形的边长为1＝（）0，第②个直角三角形的边长为＝（）1，第③个直角三角形的边长为2＝（）2，第④个直角三角形的边长为2＝（）3，…第n个直角三角形的边长为（）n﹣1，面积为：×（）n﹣1×（）n﹣1＝2n﹣2．故选：B．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AD是△ABC的角平分线，若P，Q 分别是AD和AC边上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．B．2 C．D．【分析】由轴对称的性质可知：PC＝PC′，所以QP+PC＝QP+PC′，由垂线段最短可知：当C′Q⊥AC时，C′Q有最小值，然后利用锐角三角函数的定义即可求得QC′的长．【解答】解：如图所示：将△ACD沿AD翻折得到△ADC′，连接DC′，过点C′作C′Q ⊥AC．∵AD是∠CAB的角平分线，∴△ACD与△ADC′关于AD对称．∴点C′在AB上．由翻折的性质可知：AC′＝AC＝3，．PC＝PC′．∴QP+PC＝QP+PC′．由垂线段最短可知：当C′Q⊥AC时，C′Q有最小值．在Rt△ACB中，AB＝＝＝5．∴sin∠CAB＝．在Rt△AQC′中，sin∠QAC′＝，即．∴QC′＝．故选：C．10．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，点D是△ABC内一点，若AC＝AD，∠CAD＝30°，连接BD，则∠ADB的度数为（）A．120°B．135°C．150°D．165°【分析】先根据△ABC是等腰直角三角形得：∠CAB＝∠ABC＝45°，作辅助线，构建全等三角形，证明△CDB≌△AED，则∠ADE＝∠CBD，ED＝BD，设∠CBD＝x，则∠ADE＝x，∠DEB＝∠DBE＝15+x，根据∠ABC＝45°列方程可求x的值，根据三角形内角和得∠BDC ＝150°，最后由周角得出结论．【解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∵AC＝AD，∴AD＝BC，∵∠CAD＝30°，∴∠ACD＝∠ADC＝75°，∠DAB＝45°﹣30°＝15°，∴∠DCB＝90°﹣75°＝15°，∴∠EAD＝∠DCB，在AB上取一点E，使AE＝CD，连接DE，在△CDB和△AED中，∵，∴△CDB≌△AED（SAS），∴∠ADE＝∠CBD，ED＝BD，∴∠DEB＝∠DBE，设∠CBD＝x，则∠ADE＝x，∠DEB＝∠DBE＝15+x，∵∠ABC＝45°，∴x+15+x＝45，x＝15°，∴∠DCB＝∠DBC＝15°，∴∠BDC＝180°﹣15°﹣15°＝150°，∴∠ADB＝360°﹣75°﹣150°＝135°；故选：B．二．填空题（共6小题）11．若一个三角形的两边长分别为5和8，则下列长度：①14；②10；③3；④2．其中，可以作为第三边长的是②（填序号）【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断．【解答】解：设第三边为x，则8﹣5＜x＜5+8，即3＜x＜13，所以符合条件的整数可以为10，故答案为：②．12．在△ABC中，∠A＝24°，∠C＝46°，则∠B相邻的外角的度数为70°．【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，根据三角形外角性质求解即可．【解答】解：与∠B相邻的外角的度数＝∠A+∠C＝24°+46°＝70°，故答案为：70°．13．将点P（﹣2，y）先向下平移4个单位，再向左平移2个单位，然后把点关于x轴对称得到点Q（x，﹣1）、则x+y＝ 1 ．【分析】利用平移规律表示出平移后的点的坐标，再利用平面直角坐标系中任意一点P （x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．【解答】解：∵将点P（﹣2，y）先向下平移4个单位，再向左平移2个单位，∴平移后的坐标为：（﹣4，y﹣4），∵把点关于x轴对称得到点Q（x，﹣1），∴x＝﹣4，y﹣4＝1，解得：x＝﹣4，y＝5，则x+y＝1．故答案为：1．14．如图，在△ABC中，E为AC的中点，点D为BC上一点，BD：CD＝2：3，AD、BE交于点O，若S△AOE﹣S△BOD＝1，则△ABC的面积为10 ．【分析】根据E为AC的中点可知，S△ABE＝S△ABC，再由BD：CD＝2：3可知，S△ABD＝S，进而可得出结论．△ABC【解答】解：∵点E为AC的中点，∴S△ABE＝S△ABC．∵BD：CD＝2：3，∴S△ABD＝S△ABC，∵S△AOE﹣S△BOD＝1，∴S△ABE＝S△ABC﹣S△ABC＝1，解得S△ABC＝10．故答案为：10．15．如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．若方程9﹣x＝2x，3+x＝2（x+）都是关于x的不等式组的关联方程，求出m的取值范围1≤m＜2 ．【分析】解不等式组得出m＜x≤m+2，再解一元一次方程得出方程的解，根据不等式组整数解的确定可得答案．【解答】解；解不等式①，得：x＞m，解不等式②，得：x≤m+2，所以不等式组的解集为m＜x≤m+2．方程9﹣x＝2x的解为x＝3，方程3+x＝2（x+）的解为x＝2，所以m的取值范围是1≤m＜2．故答案为1≤m＜2．16．已知△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，若∠EBC＝42°，则∠BAC的度数为32°或152°或88°．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，根据线段垂直平分线的性质得到EA ＝EB，得到∠ABE＝∠A，根据三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：如图1，∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠ACB，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∵DE垂直且平分AB，∴EA＝EB，∴∠ABE＝∠A，∴∠EBC+∠ACB＝∠AEB，42°+（180°﹣∠A）＝180°﹣2∠A，解得∠BAC＝32°．如图2，同理可得∠BAC＝152°，如图3，同理可得∠BAC＝88°，综上所述∠BAC＝32°或152°或88°，故答案为：32°或152°或88°．三．解答题（共7小题）17．解下列不等式（组）（1）﹣5≥（2），并写出不等式组的整数解．【分析】（1）根据一元一次不等式的解法：去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，进行计算，解题过程中一定要注意符号问题．（2）首先分别解出两个不等式，再根据：大大取大，小小取小，大小小大取中，大大小小取不着，确定出两个不等式的公共解集即可【解答】解：（1）﹣5≥2x﹣30≥4x+1﹣212x﹣4x≥1﹣21+30﹣2x≥10x≤﹣5；（2），解不等式①得：x≥﹣2，解不等式②得：x＜4，所以不等式组的解集为：﹣2≤x＜4，整数解为：﹣2，﹣1，0，1，2，3．18．如图，已知，在△ABC中，求作△BED，使点D落在AC上，点E落在BC上，且∠CBD ＝∠ABC，BE＝BC．（不写作法，保留作图痕迹）【分析】作∠ABC的平分线，与AC的交点为点D，作线段BC的中垂线，与BC的交点为点E，连接DE即可得．【解答】解：如图所示，△BED即为所求．19．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）在图中作出△ABC关于m（直线m上的横坐标都为﹣2）的对称图形△A1B1C1；（2）线段上有一点P（﹣，），直接写出点P关于直线m对称的点的坐标（﹣，）．（3）线段BC上有一点M（a，b），点M关于直线m的对称点N（c，d），请直接写出a，c的关系：a+c＝﹣4 ；b，d的关系：b＝d．【分析】（1）分别作出△ABC关于直线m的对称点，再顺次连接即可得；（2）根据轴对称的性质，可得点P关于直线m对称的点的坐标；（3）根据轴对称的性质知M、N两点的纵坐标相等，横坐标的平均数等于﹣2可得．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）线段上有一点P（﹣，），由轴对称的性质可得，点P关于直线m对称的点的横坐标为﹣2×2﹣（﹣）＝﹣，纵坐标为，∴点P关于直线m对称的点的坐标是（﹣，），故答案为：（﹣，）；（3）由轴对称的性质知：b＝d，（a+c）＝﹣2，即a+c＝﹣4，故答案为：a+c＝﹣4，b＝d．20．已知，如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CG＝EG（1）求证：CD＝AE；（2）若AD＝BD，CD＝2，则求△ABD的面积．【分析】（1）根据直角三角形的性质得到DE＝AE，根据题意证明即可；（2）根据直角三角形的性质求出AB，根据等腰三角形的性质得到DE⊥AB，根据三角形面积公式计算．【解答】（1）证明：∵DG⊥CE，CG＝EG，∴DE＝DC，∵AD是BC边上的高线，∴∠ADB＝90°，又AE＝BE，∴DE＝AE，∴AE＝CD；（2）解：∵AE＝CD＝2，AB＝2DE，∴AB＝4，∵AD＝BD，AE＝BE，∴DE⊥AB，∴△ABD的面积＝×AB×DE＝4．21．杭州某游乐园门票价格为每人100元，20人以上（含20人）的团体票8折优惠．（1）建兰中学初二年级一等奖学金获得者共有18人，学校奖励他们去游玩，你认为学校买18张门票，还是多买2张（买20张）购团体票更合算？（2）如果获奖的学生不足20人，那么人数达到多少人时购买团体票比买普通票更合算．【分析】（1）根据题意分别算出两种情况所需的费用即可；（2）设人数达x人时购买团体票比买普通票更合算时，列出不等式即可求出答案；【解答】解：（1）18×100＝1800元，20×100×0.8＝1600元，（2）设人数达x人时购买团体票比买普通票更合算，∴100x≥100×0.8×20，∴x≥16，答：人数达到16人时购买团体票比买普通票更合算22．定义：如图①，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM，MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．（1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AM＝2，MN＝3，求BN的长；（2）如图2，在Rt△ABC中，AC＝BC，点M，N在斜边AB上，∠MCN＝45°，求证：点M，N是线段AB的勾股分割点（提示：把△ACM绕点C逆时针旋转90°）（3）在（2）的前提下，若∠BCN＝15°，BN＝1．求AN的长．【分析】（1）分两种情况讨论，根据勾股分割点定义可求BN的长；（2）过点A作AD⊥AB，且AD＝BN，由题意可证△ADC≌△BNC，可得CD＝CN，∠ACD＝∠BCN，可求∠MCD＝∠MCN，则可证△MDC≌△MNC，可得MN＝DM，根据勾股定理可得BN2+AM2＝MN2，则点M，N是线段AB的勾股分割点；（3）过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据等腰直角三角形的性质可得AD＝CD＝BD，∠DBC ＝∠DCB＝45°，可求∠DCN＝∠DCB﹣∠NCB＝30°，可得CD＝DN＝BD，即可求DN＝，则可求AN的长．【解答】解：（1）分两种情况：①当MN为最大线段时，∵点M、N是线段AB的勾股分割点，∴BN＝＝＝，②当BN为最大线段时，∵点M、N是线段AB的勾股分割点，∴BN＝＝＝，综上所述：BN的长为或．（2）如图，过点A作AD⊥AB，且AD＝BN，∵AD＝BN，∠DAC＝∠B＝45°，AC＝BC，∴△ADC≌△BNC（SAS），∴CD＝CN，∠ACD＝∠BCN，∵∠MCN＝45°，∴∠DCA+∠ACM＝∠ACM+∠BCN＝45°∴∠MCD＝∠MCN，且CD＝CN，CM＝CM，∴△MDC≌△MNC（SAS），∴MN＝DM，在Rt△MDA中，AD2+AM2＝DM2，∴BN2+AM2＝MN2，∴点M，N是线段AB的勾股分割点．（3）如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴AD＝CD＝BD，∠DBC＝∠DCB＝45°，∵∠BCN＝15°，∴∠DCN＝∠DCB﹣∠NCB＝30°，∵tan∠DCN＝＝，∴CD＝DN，∴DB＝DN，∵NB＝DB﹣DN＝DN﹣DN＝1，∴DN＝，∴AD＝DB＝DN＝，∴AN＝AD+DN＝＝2+．23．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF ⊥AE且AF＝AE．（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC；（2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点；（3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交于G点，若BC＝4，BE＝3，则＝或（直接写出结果）【分析】（1）证明△AFD≌△EAC，根据全等三角形的性质得到DF＝AC，等量代换证明结论；（2）作FD⊥AC于D，证明△FDG≌△BCG，得到DG＝CG，求出CE，CB的长，得到答案；（3）过F作FD⊥AG的延长线交于点D，根据全等三角形的性质得到CG＝GD，AD＝CE＝7，代入计算即可．【解答】（1）证明：∵FD⊥AC，∴∠FDA＝90°，∴∠DFA+∠DAF＝90°，同理，∠CAE+∠DAF＝90°，∴∠DFA＝∠CAE，在△AFD和△EAC中，，∴△AFD≌△EAC（AAS），∴DF＝AC，∵AC＝BC，∴FD＝BC；（2）作FD⊥AC于D，由（1）得，FD＝AC＝BC，AD＝CE，在△FDG和△BCG中，，∴△FDG≌△BCG（AAS），∴DG＝CG＝1，∴AD＝2，∴CE＝2，∵BC＝AC＝AG+CG＝4，∴E点为BC中点；（3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，BC＝AC＝4，CE＝CB+BE＝7，由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，∴CG＝GD，AD＝CE＝7，∴CG＝DG＝1.5，∴＝＝，同理，当点E在线段BC上时，＝＝，故答案为：或．。
浙江省余姚八年级上学期期中考试数学试卷有答案
浙江省余姚市八年级上学期期中考试数学试卷（满分120分，时间100分钟）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1、下列图形是轴对称图形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2、下列不等式，其中属于一元一次不等式的是( ) A ．x ≥5xB ．2x >1－x 2C ．x +2y <1D ．2x +1≤3x 3、下列说法正确的是( )A ．直角三角形只有一条高B ．三角形的外角大于任何一个内角C ．三角形的角平分线是射线D ．三角形的中线都平分它的面积 4、下列语句中，不是命题的是( )A ．内错角相等B ．如果a+b =0，那么a 、b 互为相反数C ．已知a 2=4，求a 的值D ．玫瑰花是红的 5、满足下列条件的△ABC ，不是．．直角三角形的是（ ） A ．b 2 = a 2 －c 2 B ．a ∶b ∶c =3∶4∶5 C ．∠C =∠A －∠B D ．∠A ∶∠B ∶∠C =3∶4∶5 6、使两个直角三角形全等的条件是( )A ．两条边分别相等B ．一条直角边和一个锐角分别相等C ．一条斜边和一个锐角分别相等D ．两个锐角分别相等7、若等腰三角形的两边长分3cm 和6cm 两部分，则这个等腰三角形的周长（ ） A ．12cm B ．15cm C ．12cm 或15cm D ．15cm 8、不等式组⎩⎨⎧><m x x 8有解，m 的取值范围是（ ） A 、8>m B 、m ≥8 C 、8<m D 、m ≤89、如图所示，正方形ABCD 的面积为4，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（ ）A 、2B 、3 C、 D10．如图，O 是正△ABC 内一点，OA =3，OB =4，OC =5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO ′，下列结论：①△BO ′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到；②点O 与O ′的距离为4；③∠AOB =150°；④S 四边形AOBO ′=6+3；⑤S △AOC +S △AOB =6+．其中正确的结论是 ( )二、填空题（本题共10小题，每题3分，共30分）11、木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的AB 和CD ），这样做的根据是 。
2019-2020学年浙教新版八年级(上)期中数学试卷(原卷)
2019-2020学年浙教新版八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）已知△ABC的三边长分别是3cm、4cm、5cm，则△ABC的面积是（）A．6cm2B．7.5cm2C．10cm2D．12cm22．（3分）下列选项中的三条线段的长度，能组成三角形的是（）A．，1，B．5，12，18C．1.5，1.4，2D．2，1，3．（3分）三角形内到三角形各边的距离都相等的点是三角形的（）A．三条中线的交点B．三个内角的角平分线交点C．三条高线的交点D．不能确定4．（3分）能说明命题“若x（x+1）（x﹣2）＝0，则x＝0”是假命题的反例是（）A．x＝0B．x＝﹣2C．x＝1D．x＝﹣15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，过点D作直线EF∥BC，交AB于E，交AC于F，图中等腰三角形的个数共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个6．（3分）三角形分别满足下列条件：（1）一个内角等于另外两个内角之和；（2）三边分别为1，，；（3）三个内角之比为3：4：5；（4）一边上的中线等于这条边的一半；其中直角三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（3分）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝7，BC ＝10，则△EFM的周长是（）A．17B．21C．24D．278．（3分）如图所示，已知D为BC上一点且AB＝AC＝BD，那么∠1与∠2之间满足的关系是（）A．∠1＝2∠2B．∠1+3∠2＝180°C．2∠1+∠2＝180°D．3∠1﹣∠2＝180°9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△P AB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A．4个B．5个C．6个D．7个10．（3分）如图所示，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，其中∠ABC＝∠CDE＝90°，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，连接CM，BM，DM．下列结论：①S+S△CDE≥S△ACE；②CM＝AE；③BM⊥DM；④BM＝DM．其中，结论正确的个△ABC数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（每题4分，共24分）11．（4分）如图：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D在BC的延长线上，则∠ACD ＝度．12．（4分）如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为10cm，那么它的底边长为．13．（4分）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：，使△AEH≌△CEB．14．（4分）命题“等腰三角形底边上的高线与中线重合”的逆命题是．15．（4分）如图，边长为2的等边三角形△ABC，P为边BC上一个动点，PE⊥AB，PD⊥AC，则PE+PD＝．16．（4分）在等腰△ABC中，∠A＝30°，AB＝6，则AB边上的高CD的长是．三、解答题（共66分）17．（6分）如图，AB、CD相交于点O，AO＝BO，AC∥DB．求证：AC＝BD．18．（8分）（1）如图，在Rt△ABC中，BD为斜边AC上的中线，若∠A＝35°，求∠BDC 的度数；（2）在等腰三角形△ABC中，若∠A＝4∠B，求∠C的度数．19．（8分）如图，已知线段a．（1）只用直尺（没有刻度的尺）和圆规作Rt△ABC，使∠C＝Rt∠，AB＝a，BC＝a （要求保留作图痕迹，不必写出作法）；（2）若在（1）作出的Rt△ABC中，AB＝2cm，求AB边上的高．20．（10分）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，D在AB上，且AD＝AC，AG平分∠CAB，过点D作BC的平行线交AG于点F，连接CF并延长交AB于点E．求证：（1）△ACF≌△ADF；（2）CF＝CG；（3）CE⊥AB．21．（10分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，小明用尺规作图的方法在边BC上确定一点P，请你根据如图所示作图方法分别求出图1，图2中线段PC的长．22．（12分）已知：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点F在射线CA上，延长BC至点D，使CD＝CF，点E是射线BF与射线DA的交点．（1）如图1，若点F在边CA上．①求证：BE⊥AD；②小敏在探究过程中发现∠BEC＝45°，于是她想：若点F在CA的延长线上，是否也存在同样的结论？请你在图2上画出符合条件的图形并通过测量猜想∠BEC的度数．（2）选择图1或图2两种情况中的任一种，证明小敏或你的猜想．23．（12分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．（1）操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是．（2）猜想论证：当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，BD＝CD＝6，DE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使S△DCF＝S△BDE，请求出相应的BF的长．。
浙江省宁波七中2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷 (有解析)
浙江省宁波七中2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. 1.下列各组数中，能构成三角形的是()A. 1，3，5B. 2，2，6C. 6，8，14D. a+2，a+3，a+5(a>0)2.已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的底角的度数为()A. 100°B. 70°C. 40°或70°D. 40°或100°3.若a>b成立，则下列不等式成立的是()A. −a>−bB. −a+1>−b+1C. −(a−1)>−(b−1)D. a−1>b−14.下列图形中，不一定是轴对称图形的是()A. 线段B. 角C. 等腰三角形D. 直角三角形5.下列命题中，真命题是()．A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等B. 如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2C. 三角形的一个外角大于任何一个内角D. 如果a≠b，b≠c，那么a≠c6.如图，直线a，b，c表示三条互相交叉的公路．现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有()处．A. 1B. 2C. 3D. 47.一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则x2为()A. 5B. 25C. 7D. 7或258.如图，在△ABC中，AB=4，AC=6，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过O作BC的平行线交AB于点M，交AC于点N，则△AMN的周长为()A. 7B. 8C. 9D. 109.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的中线，点E在AB上，若点P是AD上一动点，则PB+PE的最小值为()A. 线段BC的长B. 线段CE的长C. 线段AD的长D. 无法确定10.如图，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC上的高，且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是()A. 150°B. 130°C. 120°D. 100°二、填空题（本大题共9小题，共28.0分）11.把命题“对顶角相等”写成“如果┉，那么┉。
2019-2020学年浙教新版八年级(上)期中数学试卷(解析卷)
一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）已知△ABC的三边长分别是3cm、4cm、5cm，则△ABC的面积是（）A．6cm2B．7.5cm2C．10cm2D．12cm2【答案】A【分析】首先根据勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半进行计算．【解答】解：∵32+42＝25＝52，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积是×3×4＝6（cm2）．故选：A．2．（3分）下列选项中的三条线段的长度，能组成三角形的是（）A．，1，B．5，12，18C．1.5，1.4，2D．2，1，【答案】C【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求解．【解答】解：A、+＝1，不能构成三角形，故此选项不合题意；B、5+12＜18，不能构成三角形，故此选项不合题意；C、1.5+1.4＞2，能构成三角形，故此选项符合题意；D、1+＜2，不能构成三角形，故此选项不合题意．故选：C．3．（3分）三角形内到三角形各边的距离都相等的点是三角形的（）A．三条中线的交点B．三个内角的角平分线交点C．三条高线的交点D．不能确定【答案】B【分析】利用角平分线的性质进行判断．【解答】解：三角形内到三角形各边的距离都相等的点是三角形的三个内角的平分线的交点．故选：B．4．（3分）能说明命题“若x（x+1）（x﹣2）＝0，则x＝0”是假命题的反例是（）A．x＝0B．x＝﹣2C．x＝1D．x＝﹣1【答案】D【分析】要证明一个命题是假命题只要举一个反例即可．【解答】解：当x＝﹣1时，x（x+1）＝0也成立，所以证明命题“若x（x+1）＝0，则x ＝0”是假命题的反例是：x＝﹣1；故选：D．5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，过点D作直线EF∥BC，交AB于E，交AC于F，图中等腰三角形的个数共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】C【分析】先由已知运用角平分线及平行线的性质找出相等的角，再根据等角对等边找出等腰三角形．【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，∴∠ABD＝∠DBC＝∠BCD＝∠DCF，∴△EBD、△DBC、△FDC是等腰三角形，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，且△ABC是等腰三角形，∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠AFE＝∠ABC，∴△AEF是等腰三角形．所以共有△EBD、△DBC、△FDC、△ABC、△AEF5个等腰三角形．故选：C．6．（3分）三角形分别满足下列条件：（1）一个内角等于另外两个内角之和；（2）三边分别为1，，；（3）三个内角之比为3：4：5；（4）一边上的中线等于这条边的一半；其中直角三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】（1）根据三角形的内角和定理和已知求出∠C即可；（2）根据勾股定理的逆定理判断即可；（3）设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，根据三角形的内角和定理求出x，再求出∠C即可；（4）根据等腰三角形的性质得出∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，再根据三角形的内角和定理求出即可．【解答】解：（1）设三角形是△ABC，∵∠C＝∠A+∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，即当三角形的一个内角等于另外两个内角之和时，三角形是直角三角形；（2）∵12+（）2＝（）2，∴此三角形是直角三角形；（3）设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴3x+4x+5x＝180，解得：x＝15，∴∠C＝5x°＝75°，即此时三角形不是直角三角形；（4）如图，∵CD为△ACB的中线，CD＝AB，∴AD＝CD＝BD，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，∵∠A+∠ACD+∠BCD+∠B＝180°，∴2∠ACD+2∠BCD＝180°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，即∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形，即直角三角形有3个，故选：C．7．（3分）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝7，BC ＝10，则△EFM的周长是（）A．17B．21C．24D．27【答案】A【分析】根据CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM和ME的长，即可求解．【解答】解：∵CF⊥AB，M为BC的中点，∴MF是Rt△BFC斜边上的中线，∴FM＝BC＝×10＝5，同理可得，ME＝BC＝×10＝5，又∵EF＝7，∴△EFM的周长＝EF+ME+FM＝7+5+5＝17．故选：A．8．（3分）如图所示，已知D为BC上一点且AB＝AC＝BD，那么∠1与∠2之间满足的关系是（）A．∠1＝2∠2B．∠1+3∠2＝180°C．2∠1+∠2＝180°D．3∠1﹣∠2＝180°【答案】D【分析】由AB＝AC＝BD，可得∠BDA＝∠1，∠B＝∠C，又由三角形的内角和定理，可得2∠C+∠2+∠1＝180°，然后由三角形外角的性质，求得∠C＝∠BDA﹣∠2，即可求得答案．【解答】解：∵AB＝BD，∴∠BDA＝∠1，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴2∠C+∠2+∠1＝180°，∵∠C＝∠BDA﹣∠2，∴3∠1﹣∠2＝180°．故选：D．9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△P AB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【答案】C【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．【解答】解：如图，①AB的垂直平分线交AC一点P1（P A＝PB），交直线BC于点P2；②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有二点P3，P4，交BC有一点P2，（此时AB＝AP）；③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P2，交AC有一点P6（此时BP＝BA）．2+（3﹣1）+（3﹣1）＝6，∴符合条件的点有六个．故选：C．10．（3分）如图所示，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，其中∠ABC＝∠CDE＝90°，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，连接CM，BM，DM．下列结论：①S+S△CDE≥S△ACE；②CM＝AE；③BM⊥DM；④BM＝DM．其中，结论正确的个△ABC数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】①由三角形的面积公式、梯形的面积公式及不等式的基本性质a2+b2≥2ab（a ＝b时取等号）解答；②、③、④通过作辅助线MN，构建直角梯形的中位线，根据梯形的中位线定理及等腰直角三角形的判定定理解答．【解答】解：①如图，设等腰直角三角形△ABC和△CDE的直角边分别为a和b，∴S△ABC＝a2，S△CDE＝b2，S梯形ABDE＝（a+b）2，∴S△ACE＝S梯形ABDE﹣S△ABC﹣S△CDE＝ab，S△ABC+S△CDE＝（a2+b2）≥ab（a＝b时取等号），∴S△ABC+S△CDE≥S△ACE；故本选项正确；②∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∴AB＝BC，CD＝DE，∴∠BAC＝∠BCA＝∠DCE＝∠DEC＝45°，∴∠ACE＝90°，∵点M是AE的中点，∴CM＝AE；故本选项正确；④如图，过点M作MN垂直于BD，垂足为N．∵点M是AE的中点，则MN为梯形中位线，∴N为中点，∴△BMD为等腰三角形，∴BM＝DM；故本选项正确；③又MN＝（AB+ED）＝（BC+CD），∴∠BMD＝90°，即BM⊥DM；故本选项正确．故选：D．二、填空题（每题4分，共24分）11．（4分）如图：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D在BC的延长线上，则∠ACD ＝130度．【答案】见试题解答内容【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和可得．【解答】解：∠ACD＝∠A+∠B＝130°．12．（4分）如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为10cm，那么它的底边长为4cm 或2cm．【答案】4cm或2cm．【分析】已知等腰三角形的周长，求三边，则需要列出所有的组合形式，然后根据三角形的构造条件判断哪些符合．【解答】解：等腰三角形的三边均为整数且它的周长为10cm，三边的组合方式有以下几种：①1cm，1cm，8cm；②2cm，2cm，6cm；③3cm，3cm，4cm；④4cm，4cm，2cm；又因为三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，则③④符合．它的三边长为3cm，3cm，4cm或4cm，4cm，2cm．故它的底边长为4cm或2cm．故答案为：4cm或2cm．13．（4分）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：AH＝CB等（只要符合要求即可），使△AEH≌△CEB．【答案】见试题解答内容【分析】开放型题型，根据垂直关系，可以判断△AEH与△CEB有两对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就可以了．【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，∴∠BEC＝∠AEC＝90°，在Rt△AEH中，∠EAH＝90°﹣∠AHE，又∵∠EAH＝∠BAD，∴∠BAD＝90°﹣∠AHE，在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD＝∠AHE，∴∠EAH＝∠DCH，∴∠EAH＝90°﹣∠CHD＝∠BCE，所以根据AAS添加AH＝CB或EH＝EB；根据ASA添加AE＝CE．可证△AEH≌△CEB．故填空答案：AH＝CB或EH＝EB或AE＝CE．14．（4分）命题“等腰三角形底边上的高线与中线重合”的逆命题是底边上的高线和中线重合的三角形是等腰三角形．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意写出等腰三角形底边上的高线与中线重合的逆命题即可．【解答】解：命题“等腰三角形底边上的高线与中线重合”的逆命题是底边上的高线和中线重合的三角形是等腰三角形，故答案为：底边上的高线和中线重合的三角形是等腰三角形15．（4分）如图，边长为2的等边三角形△ABC，P为边BC上一个动点，PE⊥AB，PD⊥AC，则PE+PD＝．【答案】见试题解答内容【分析】等边三角形的三个内角都是60度，所以通过解直角△BPE和直角△PDC可以求得PE、PD与BP、CP的数量关系．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，边长等于2，∴∠B＝60°，BC＝2．∵PE⊥AB，∴∠PEB＝90°，∴PE＝BP sin B＝BP．同理，PD＝PC，∴PE+PD＝（BP+CP）＝BC＝．故答案是：．16．（4分）在等腰△ABC中，∠A＝30°，AB＝6，则AB边上的高CD的长是3或3或．【答案】3或3或．【分析】此题需先根据题意画出当AB＝AC时，当AB＝BC时，当AC＝BC时的图象，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可．【解答】解：（1）当AB＝AC时，∵∠A＝30°，∴CD＝AC＝×6＝3；（2）当AB＝BC时，则∠A＝∠ACB＝30°，∴∠ACD＝60°，∴∠BCD＝30°，∴CD＝cos∠BCD•BC＝cos30°×6＝3；（3）当AC＝BC时，则AD＝3，∴CD＝tan∠A•AD＝tan30°×3＝．故答案为：3或3或．三、解答题（共66分）17．（6分）如图，AB、CD相交于点O，AO＝BO，AC∥DB．求证：AC＝BD．【答案】见试题解答内容【分析】要证明AC＝BD，只要证明△AOC≌△BOD，根据AC∥DB可得∠A＝∠B，∠C＝∠D，又知AO＝BO，则可得到△AOC≌△BOD，从而求得结论．【解答】证明：（方法一）∵AC∥DB，∴∠A＝∠B，∠C＝∠D．在△AOC与△BOD中∵∠A＝∠B，∠C＝∠D，AO＝BO，∴△AOC≌△BOD．∴AC＝BD．（方法二）∵AC∥DB，∴∠A＝∠B．在△AOC与△BOD中，∵，∴△AOC≌△BOD．∴AC＝BD．18．（8分）（1）如图，在Rt△ABC中，BD为斜边AC上的中线，若∠A＝35°，求∠BDC 的度数；（2）在等腰三角形△ABC中，若∠A＝4∠B，求∠C的度数．【答案】（1）∠BDC＝70°，（2）∠C＝30°或80°．【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线定理得出BD＝CD＝AD，求出∠DBA＝∠A，根据三角形的外角性质求出求出即可．（2）由在等腰三角形ABC中，∠A＝4∠B，分别从①当AB＝AC时，∠B＝∠C，②当AB＝BC时，∠A＝∠C，③当AC＝BC时，∠A＝∠B，去分析求解即可求得答案．【解答】（1）解：∵∠ABC＝90°，BD是斜边AB上的中线，∴BD＝CD＝AD，∴∠A＝∠DBA＝35°，∴∠BDC＝∠A+∠DBA＝35°+35°＝70°，即∠BDC＝70°；（2）解：∵△ABC是等腰三角形，①当AB＝AC时，∠B＝∠C，∵∠A＝4∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，∴6∠C＝180°，∴∠C＝30°；②当AB＝BC时，∠A＝∠C，∵∠A＝4∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，∴9∠B＝180°，∴∠B＝20°，∴∠C＝80°；③当AC＝BC时，∠A＝∠B（此时不符合题意，舍去）．故∠C＝30°或80°．19．（8分）如图，已知线段a．（1）只用直尺（没有刻度的尺）和圆规作Rt△ABC，使∠C＝Rt∠，AB＝a，BC＝a （要求保留作图痕迹，不必写出作法）；（2）若在（1）作出的Rt△ABC中，AB＝2cm，求AB边上的高．【答案】见试题解答内容【分析】（1）过直线l上一点C作直线l的垂线l′，在直线l上截取CB＝a，然后以B点为圆心，a为半径画弧交直线l′于A，则△ABC满足条件；（2）先利用勾股定理计算出AC，然后利用面积法计算AB边上的高．【解答】解：（1）如图，△ABC为所作；（2）设AB边上的高为hcm，∵AB＝2，BC＝AB＝1，∴AC＝＝，∵S△ABC＝•h•AB＝•AC•BC，∴h＝＝，即AB边上的高为cm．20．（10分）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，D在AB上，且AD＝AC，AG平分∠CAB，过点D作BC的平行线交AG于点F，连接CF并延长交AB于点E．求证：（1）△ACF≌△ADF；（2）CF＝CG；（3）CE⊥AB．【答案】（1）证明见解析过程；（2）证明见解析过程；（3）证明见解析过程．【分析】（1）由“SAS”可证△ACF≌△ADF；（2）由全等三角形的性质和平行线的性质可得∠ACF＝∠B，由外角的性质可得∠CFG ＝∠CGF，可得CF＝CG；（3）由直角三角形的性质可证∠ABC+∠BCE＝90°，可得结论．【解答】证明：（1）∵AG平分∠CAB，∴∠CAG＝∠BAG，在△ACF和△ADF中，，∴△ACF≌△ADF（SAS）；（2）∵△ACF≌△ADF，∴∠ACF＝∠ADF，∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠ABC，∴∠ACF＝∠B，∵∠CFG＝∠ACF+∠CAG，∠CGF＝∠B+∠GAB，∴∠CFG＝∠CGF，∴CF＝CG；（2）∵∠ACB＝90°，∴∠ACF+∠BCE＝90°，∴∠ABC+∠BCE＝90°，∴CE⊥AB．21．（10分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，小明用尺规作图的方法在边BC上确定一点P，请你根据如图所示作图方法分别求出图1，图2中线段PC的长．【答案】3．【分析】如图1：连接AP，根据作图痕迹得到PQ垂直平分AB，继而得到AP＝BP，设PC＝x，表示出BP即为AP，在直角三角形ACP中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果；如图2：作PQ垂直于AB，利用角平分线定理得到PQ＝PC，利用面积法求出PC即可．【解答】解：如图1：连接AP，∵由作图痕迹可得：直线PQ垂直平分AB，∴AP＝BP，设PC＝x，则有AP＝BP＝BC﹣PC＝8﹣x，在Rt△ACP中，AC＝6，根据勾股定理得：（8﹣x）2＝x2+62，整理得：64﹣16x+x2＝x2+36，解得：x＝，则PC＝；如图2：过P作PQ⊥AB，交AB于点Q，∵AP平分∠BAC，PC⊥AC，PQ⊥AB，∴PQ＝PC，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，根据勾股定理得：AB＝10，∵S△ABC＝S△ABP+S△CP A，∴AC•BC＝AB•PQ+AC•PC，即×6×8＝×10×PQ+×6×PC，整理得：48＝10PQ+6PC＝16PC，解得：PC＝3．22．（12分）已知：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点F在射线CA上，延长BC至点D，使CD＝CF，点E是射线BF与射线DA的交点．（1）如图1，若点F在边CA上．①求证：BE⊥AD；②小敏在探究过程中发现∠BEC＝45°，于是她想：若点F在CA的延长线上，是否也存在同样的结论？请你在图2上画出符合条件的图形并通过测量猜想∠BEC的度数．（2）选择图1或图2两种情况中的任一种，证明小敏或你的猜想．【答案】见试题解答内容【分析】（1）①证明△BCF≌△ACD（SAS），得出∠CBF＝∠CAD，证出∠CBF+∠D＝90°，得出∠BED＝90°，即可得出BE⊥AD；②若点F在CA的延长线上，也存在同样的结论，∠BEC＝45°；（2）图1中，由等腰直角三角形的性质得出∠BAC＝∠ABC＝45°，证明A、B、C、E 四点共圆，由圆周角定理即可得出∠BEC＝∠BAC＝45°；图2中，同（1）①得出△BCF≌△ACD（SAS），证出∠BED＝90°，得出A、C、B、E 四点共圆，由圆周角定理即可得出∠BEC＝∠BAC＝45°．【解答】（1）①证明：∵∠ACB＝90°，∴∠DCA＝90°，在△BCF和△ACD中，，∴△BCF≌△ACD（SAS），∴∠CBF＝∠CAD，∵∠CAD+∠D＝90°，∴∠CBF+∠D＝90°，∴∠BED＝90°，∴BE⊥AD；②解：若点F在CA的延长线上，也存在同样的结论，∠BEC＝45°；如图2所示：（2）解：图1中，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，由（1）①得：∠AEB＝90°＝∠ACB，∴A、B、C、E四点共圆，∴∠BEC＝∠BAC＝45°；图2中，同（1）①得：△BCF≌△ACD（SAS），∴∠CBF＝∠CAD，∵∠CAD+∠D＝90°，∴∠CBF+∠D＝90°，∴∠BED＝90°，∴∠AEB＝90°＝∠ACB，∴A、C、B、E四点共圆，∴∠BEC＝∠BAC＝45°．23．（12分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．（1）操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是DE∥AC；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是S1＝S2．（2）猜想论证：当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，BD＝CD＝6，DE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使S△DCF＝S△BDE，请求出相应的BF的长．【答案】见试题解答内容【分析】（1）①证明∠EDC＝∠DCA＝60°即可判断．②首先证明AD＝BD，推出△ADC与△BDC的面积相等，再证明△ADC与△ACE的面积相等即可．（2）作AN⊥EC交EC的延长线于N，DM⊥BC于M，证明△ACN≌△DCM（AAS）即可解决问题．（3）分两种情形分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）①如图1中，由旋转可知：CA＝CD，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠CAD＝60°，∴△ADC是等边三角形，∴∠DCA＝60°，∵∠ECD＝90°，∠DEC＝30°，∴∠CDE＝60°，∴∠EDC＝∠DCA，∴DE∥AC，②∵AB＝2AC，AD＝AC，∴AD＝BD，∴S△BDC＝S△ADC，∵DE∥AC，∴S△ADC＝S△ACE，∴S1＝S2．故答案为：DE∥AC，S1＝S2．（2）如图3中，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC＝CE，AC＝CD，∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°，∴∠ACN＝∠DCM，在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN＝DM，∴S△BDC＝S△AEC．（3）如图4中，作DF∥BC交AB于F．延长CD交AB于H．∵DF∥BE，DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形，∴S△BDF＝S△BDE，S△BDF＝S△DFC，∴S△DFC＝S△BDE，∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBE＝30°，∵DF∥BE，∴∠FDB＝30°，∴∠FBD＝∠FDB＝30°，∴FB＝FD，∴四边形DEBF是菱形，∵BD＝CD＝6，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∵∠DEC＝∠ABC＝60°，∴∠CDE＝90°，∴DE＝CD•tan30°＝6×＝2，∴BF＝DE＝2，∵DE∥AB，∴∠BHC＝∠EDC＝90°，∴CH⊥AB，作点F关于CH的对称点F′，连接DF′，易知S△DFC＝S△DF′C，在Rt△DFH中，FH＝HF′＝DF•sin30°＝，∴BF′＝4，综上所述，满足条件的BF的值为2或4．。
2019-2020学年浙江省宁波市鄞州区八年级(上)期中考数学试卷 (解析版)
2019-2020学年浙江省宁波市鄞州区八年级（上）期中考数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（3分）国家宝藏节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是()A．B．C．D．2．（3分）若三角形的两条边长分别为6cm和10cm，则它的第三边长不可能为() A．5cm B．8cm C．10cm D．17cm3．（3分）如果a b>，那么下列不等式中正确的是()A．33a b->+B．22ab<C．ac bc>D．22a b-+<-+4．（3分）下列命题是真命题的是()A．三角形的三条高线相交于三角形内一点B．等腰三角形的中线与高线重合C．三边长为3，4，5的三角形为直角三角形D．到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上5．（3分）某实验室有一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，胡老师想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，胡老师要带的玻璃编号是()A．1B．2C．3D．46．（3分）若等腰三角形的一个内角为80︒，则底角的度数为()A ．20︒B ．20︒或50︒C ．80︒D ．50︒或80︒7．（3分）如图，ABC ∆中，10AB AC ==，8BC =，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ，则CDE ∆的周长为( )A ．20B ．12C ．14D ．138．（3分）现用甲、乙两种运输车将46吨抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排( )A ．4辆B ．5辆C ．6辆D ．7辆9．（3分）如图，折叠长方形纸片ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，已知8AB cm =，10BC cm =，则折痕AE 的长为( )A 125cmB 75cmC ．12cmD ．13 cm10．（3分）关于x 的不等式组23824x x x a <-⎧⎨->⎩有四个整数解，则a 的取值范围是( ) A ．11542a -<- B ．11542a -<- C ．11542a -- D ．11542a -<<- 二.填空题：（每小题3分，共30分）11．（3分）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，65A ∠=︒，则B ∠= ．12．（3分）用不等式表示：x 的两倍与3的差不小于5，则这个不等式是 ．13．（3分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，外角110ACD ∠=︒，则A ∠= ︒．14．（3分）如图，点P 在AOB ∠的平分线上，若使AOP BOP ∆≅∆，则需添加的一个条件是 （只写一个即可，不添加辅助线）．15．（3分）已知关于x 的不等式组221x a b x a b -⎧⎨-<+⎩的解集为35x <，则b 的值为 16．（3分）小颖准备用10元钱买笔记本和作业本，已知每本笔记本1.8元，每本作业本0.6元，她买了3本笔记本，你帮她算一算，她最多还可以买 本作业本．17．（3分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度是2.2米，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到坐墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端距离地面 米．18．（3分）如图，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点G ，过点G 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点G 作GD AC ⊥于D ，下列三个结论：①EF BE CF =+；②1902BGC A ∠=︒+∠；③点G 到ABC ∆各边的距离相等；其中正确的结论有 （填序号）19．（3分）如图，ABC ∆中，D 为AB 的中点，BE AC ⊥，垂足为E ．若4DE =，6AE =，则BE的长度是．20．（3分）如图，30AOB ∠=︒，AOB ∠内有一定点P ，且12OP =，在OA 上有一点Q ，OB 上有一点R ，若PQR ∆周长最小， 则最小周长是三、解答题（本题有6小题，共40分）21．（6分）解不等式组：21512x x x x +>⎧⎪⎨+-⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来．22．（6分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，CD 是ACB ∠的平分线，//DE BC ，交AC 于点E ．（1）求证：DE CE =．（2）若25CDE ∠=︒，求A ∠的度数．23．（6分）对于任意实数a ，b ，定义关于@的一种运算如下：@2a b a b =-，例如：5@31037=-=，(3)@56511-=--=-．（1）若@35x <，求x 的取值范围；（2）已知关于x 的方程2(21)1x x -=+的解满足@5x a <，求a 的取值范围．24．（6分）如图，ABC ∆中，45C ∠=︒，若MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC ，4CQ =，3PQ=，求BC的长．25．（8分）如图，在ABC∆中，AB AC=，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且=，BD CE=．BE CF（1）求证：DEF∆是等腰三角形；（2）当50∠的度数；A∠=︒时，求DEF（3）若A DEF∆是否为等边三角形．∠=∠，判断DEF26．（8分）如图，已知ABCBC cm=，P、Q是ABC∆边上=，6AB cm∆中，90B∠=︒，8的两个动点，其中点P从点A开始沿A B→方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B C A→→方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）从出发几秒钟后，PQB∆第一次能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使BCQ∆成为等腰三角形的运动时间．参考答案一、单项选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）国家宝藏节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．解：A 、是轴心对称图形，故选项符合题意；B 、不是轴心对称图形，故本选项不符合题意；C 、不是轴心对称图形，故选项不符合题意；D 、不是轴心对称图形，故本选项不符合题意．故选：A ．2．（3分）若三角形的两条边长分别为6cm 和10cm ，则它的第三边长不可能为( )A ．5cmB ．8cmC ．10cmD ．17cm 解：三角形的两条边长分别为6cm 和10cm ，∴第三边长的取值范围是：416x <<，∴它的第三边长不可能为：17cm ．故选：D ．3．（3分）如果a b >，那么下列不等式中正确的是( )A ．33a b ->+B ．22a b <C ．ac bc >D ．22a b -+<-+ 解：由a b >，得到22a b -+<-+，故选：D ．4．（3分）下列命题是真命题的是( )A ．三角形的三条高线相交于三角形内一点B ．等腰三角形的中线与高线重合C ．三边长为3，4，5的三角形为直角三角形D ．到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上解：A 、锐角三角形的三条高线相交于三角形内一点，直角三角形三条高线相交于直角顶点，所以A 选项错误；B 、等腰三角形的底边上的中线与与底边上的高重合，所以B 选项错误；C 、因为222(3)(4)(5)+≠，所以三边长为3，4，5不为为直角三角形，所以B 选项错误；D 、到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以D 选项正确．故选：D ．5．（3分）某实验室有一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，胡老师想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，胡老师要带的玻璃编号是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解：因为第2块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用ASA 易证三角形全等，故应带第2块．故选：B ．6．（3分）若等腰三角形的一个内角为80︒，则底角的度数为( )A ．20︒B ．20︒或50︒C ．80︒D ．50︒或80︒解：当80︒是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80︒，底角为1(18080)502︒-︒=︒ 当80︒是等腰三角形的底角时，则顶角是18080220︒-︒⨯=︒．∴等腰三角形的底角为50︒或80︒故选：D ．7．（3分）如图，ABC ∆中，10AB AC ==，8BC =，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ，则CDE ∆的周长为( )A ．20B ．12C ．14D ．13 解：AB AC =，AD 平分BAC ∠，8BC =，AD BC ∴⊥，142CD BD BC ===， 点E 为AC 的中点，152DE CE AC ∴===， CDE ∴∆的周长45514CD DE CE =++=++=．故选：C ．8．（3分）现用甲、乙两种运输车将46吨抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排( )A ．4辆B ．5辆C ．6辆D ．7辆解：设甲种运输车安排x 辆，根据题意得(465)410x x +-÷，解得：6x ，故至少甲要6辆车．故选：C ．9．（3分）如图，折叠长方形纸片ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，已知8AB cm =，10BC cm =，则折痕AE 的长为( )A 125cmB 75cmC ．12cmD ．13 cm解：由题意得：AF AD =，EF DE =（设为)x ， 四边形ABCD 为矩形，10AF AD BC ∴===，8DC AB ==；90ABF ∠=︒；由勾股定理得：22210836BF =-=，6BF ∴=，1064CF =-=；在直角三角形EFC 中，由勾股定理得：2224(8)x x =+-，解得：5x =，222105125AE ∴=+=，)AE cm ∴=．故选：A ．10．（3分）关于x 的不等式组23824x x x a <-⎧⎨->⎩有四个整数解，则a 的取值范围是( ) A ．11542a -<- B ．11542a -<- C ．11542a -- D ．11542a -<<- 解：23824x x x a <-⎧⎨->⎩①②， 解不等式①得：8x >，解不等式②得：24x a <-，∴不等式组的解集是824x a <<-，关于x 的不等式组23824x x x a <-⎧⎨->⎩有四个整数解，是9、10、11、12， 122413a ∴<-，解得：11542a -<-， 故选：B ．二.填空题：（每小题3分，共30分）11．（3分）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，65A ∠=︒，则B ∠= 25︒ ． 解：90C ∠=︒，65A ∠=︒，906525B ∴∠=︒-︒=︒．故答案为：25︒．x-．12．（3分）用不等式表示：x的两倍与3的差不小于5，则这个不等式是235解：x的两倍表示为2x，与3的差表示为23x-，x-，由题意得：235x-．故答案为：23513．（3分）如图，在ABC∠=40︒．∠=︒，则A∆中，AB ACACD=，外角110解：AB AC=，ABC ACB∴∠=∠．而110∠=︒，ACD18011070∴∠=∠=︒-︒=︒，ACB ABCA∴∠=︒-︒-︒=︒．180707040故答案为：40．14．（3分）如图，点P在AOB∠的平分线上，若使AOP BOP∆≅∆，则需添加的一个条件是∠=∠（答案不唯一）（只写一个即可，不添加辅助线）．APO BPO解：APO BPO∠=∠等．理由：点P在AOB∠的平分线上，∴∠=∠，AOP BOP在AOP∆中∆和BOPAOP BOP OP OPOPA OPB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()AOP BOP ASA ∴∆≅∆，故答案为：APO BPO ∠=∠（答案不唯一）．15．（3分）已知关于x 的不等式组221x a b x a b -⎧⎨-<+⎩的解集为35x <，则b 的值为 6 解：221x a b x a b -⎧⎨-<+⎩①②， 解不等式①得：x a b +，解不等式②得：212a b x ++<， ∴不等式组的解集是：212a b a b x +++<， 关于x 的不等式组221x a b x a b -⎧⎨-<+⎩的解集为35x <， ∴32152a b a b +=⎧⎪⎨++=⎪⎩， 解得：3a =-，6b =，16．（3分）小颖准备用10元钱买笔记本和作业本，已知每本笔记本1.8元，每本作业本0.6元，她买了3本笔记本，你帮她算一算，她最多还可以买 7 本作业本． 解：设她还可以买x 本作业本，根据题意得出：10 1.830.6x -⨯，解得：273x ， 故最多还可以买7本作业本．故答案为：7．17．（3分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度是2.2米，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到坐墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端距离地面 2 米．解：如图．在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，0.7BC =米， 2.4AC =米，2220.7 2.4 6.25AB ∴=+=．在Rt △A BD '中，90A DB ∠'=︒， 2.20.7 1.5BD =-=（米)，222BD A D A B +'='， 221.5 6.25A D ∴'+=，24A D ∴'=，0A D '>，2A D ∴'=米，故答案是：2．18．（3分）如图，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点G ，过点G 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点G 作GD AC ⊥于D ，下列三个结论：①EF BE CF =+；②1902BGC A ∠=︒+∠；③点G 到ABC ∆各边的距离相等；其中正确的结论有 ①②③ （填序号）解：在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点G ，EBG CBG ∴∠=∠，FCG BCG ∠=∠，//EF BC ，EGB GBC ∴∠=∠，FGC BCG ∠=∠，EGB EBG ∴∠=∠，FCG FGC ∠=∠，BE EG ∴=，FG CF =，EF EG FG BE CF ∴=+=+，故①正确；180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，180ABC ACB A ∴∠+∠=︒-∠，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点G ， 12CBG ABC ∴∠=∠，12BCG ACB ∠=∠， 111(180)222GBC GCB ABC ACB A ∴∠+∠=∠+∠=︒-∠ 1902A =︒-∠， 180()BGC GBC GCB ∴∠=︒-∠+∠1180(90)2A =︒-︒-∠ 1902A =︒+∠，故②正确；过G 作GQ AB ⊥于Q ，GW BC ⊥于W ，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点G ，GD AC ⊥，GQ GW ∴=，GW GD =，GQ GW GD ∴==，即点G 到ABC ∆各边的距离相等，故③正确；故答案为：①②③．19．（3分）如图，ABC ∆中，D 为AB 的中点，BE AC ⊥，垂足为E ．若4DE =，6AE =，则BE 的长度是 27 ．解：BE AC ⊥，D 为AB 中点，2248AB DE ∴==⨯=，在Rt ABE ∆中，2227BE AB AE =-=，故答案为：27．20．（3分）如图，30AOB ∠=︒，AOB ∠内有一定点P ，且12OP =，在OA 上有一点Q ，OB 上有一点R ，若PQR ∆周长最小， 则最小周长是 12解： 设POA θ∠=，则30POB θ∠=︒-，作PM OA ⊥与OA 相交于M ，并将PM 延长一倍到E ，即ME PM =．作PN OB ⊥与OB 相交于N ，并将PN 延长一倍到F ，即NF PN =．连接EF 与OA 相交于Q ，与OB 相交于R ，再连接PQ ，PR ，则PQR ∆即为周长最短的三角形 ．OA 是PE 的垂直平分线，EQ QP ∴=；同理，OB 是PF 的垂直平分线，FR RP ∴=， PQR ∴∆的周长EF =．12OE OF OP ===，且22(30)60EOF EOP POF θθ∠=∠+∠=+︒-=︒， EOF ∴∆是正三角形，12EF ∴=，即在保持12OP =的条件下PQR ∆的最小周长为 12 ．故答案为： 12三、解答题（本题有6小题，共40分）21．（6分）解不等式组：21512x x x x +>⎧⎪⎨+-⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来．解：21512x x x x +>⎧⎪⎨+-⎪⎩①② 解不等式①得：1x >-，解不等式②得：3x ，则不等式组的解集是：13x -<，不等式组的解集在数轴上表示为：22．（6分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，CD 是ACB ∠的平分线，//DE BC ，交AC 于点E ．（1）求证：DE CE =． （2）若25CDE ∠=︒，求A ∠的度数．【解答】（1）证明：CD 是ACB ∠ 的平分线，BCD ECD ∴∠=∠，//DE BC ，EDC BCD ∴∠=∠，EDC ECD ∴∠=∠，DE CE ∴=．（2）解：25ECD EDC ∠=∠=︒，250ACB ECD ∴∠=∠=︒，AB AC =，50ABC ACB ∴∠=∠=︒，∴∠=︒-︒-︒=︒．A18050508023．（6分）对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下：@2a b a b=-，例如：-=--=-．=-=，(3)@565115@31037（1）若@35x<，求x的取值范围；（2）已知关于x的方程2(21)1x a<，求a的取值范围．-=+的解满足@5x x解：（1）@35x<，235∴-<，x解得：4x<；（2）解方程2(21)1-=+，得：1x xx=，x a a a∴==-<，@1@25解得：3a>-．24．（6分）如图，ABCCQ=，∠=︒，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，4∆中，45CPQ=，求BC的长．3解：MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴=，AQ CQAP BP=，又45∠=︒，C∴∠=︒，90AQCPQ=，由勾股定理得53BP=，∴=++=．BC BP PQ CQ1225．（8分）如图，在ABC∆中，AB AC=，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且=，BD CE=．BE CF（1）求证：DEF∆是等腰三角形；（2）当50∠的度数；A∠=︒时，求DEF（3）若A DEF∆是否为等边三角形．∠=∠，判断DEF解：（1）AB AC =，B C ∴∠=∠，在BDE ∆和CEF ∆中，BE CF B C BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BDE CEF SAS ∴∆≅∆，DE EF ∴=，DEF ∴∆是等腰三角形；（2）DEC B BDE ∠=∠+∠，即DEF CEF B BDE ∠+∠=∠+∠，BDE CEF ∆≅∆，CEF BDE ∴∠=∠，DEF B ∴∠=∠， 又在ABC ∆中，AB AC =，50A ∠=︒，65B ∴∠=︒，65DEF ∴∠=︒；（3）由（1）知：DEF ∆是等腰三角形，即DE EF =， 由（2）知，DEF B ∠=∠，A DEF ∠=∠，A B ∴∠=∠，AB AC =，B C ∴∠=∠，A B C∴∠=∠=∠，ABC∴∆的等边三角形，60B DEF∴∠=∠=︒，DEF∴∆的等边三角形．26．（8分）如图，已知ABC∆中，90B∠=︒，8AB cm=，6BC cm=，P、Q是ABC∆边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A B→方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B C A→→方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）从出发几秒钟后，PQB∆第一次能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使BCQ∆成为等腰三角形的运动时间．解：（1）224BQ cm=⨯=，8216BP AB AP cm=-=-⨯=，90B∠=︒，22224652213PQ BQ BP=+=+==；（2）2BQ t=，8BP t=-1⋯'28t t=-，解得：823t=⋯'；（3）①当CQ BQ=时（图1)，则C CBQ∠=∠，90ABC∠=︒，90CBQ ABQ∴∠+∠=︒，90A C∠+∠=︒，A ABQ∴∠=∠，BQ AQ∴=，5CQ AQ∴==，11BC CQ∴+=，112 5.5t∴=÷=秒．1⋯'②当CQ BC=时（如图2)，则12BC CQ+=1226t∴=÷=秒．1⋯'③当BC BQ=时（如图3)，过B点作BE AC⊥于点E，则6824105AB BCBEAC⨯===，所以185 CE===，故27.2CQ CE==，所以13.2BC CQ+=，13.22 6.6t∴=÷=秒．2⋯'由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，BCQ∆为等腰三角形．。