《集合》公式汇总
高中数学必备必考公式大全
高考数学必备必考公式大全一、集合1.并集的运算A∪B={x|x∈A,或x∈B}2. 并集的运算性质(1) A∪A=A(2)A∪∅=A(3)A∪B=B∪A(4) A∪B=A⇔B⊆A3. 交集的运算A∩B={x|x∈A,且x∈B}4. 交集的运算性质(1)A∩A=A(2)A∩∅=∅(3)A∩B=B∩A(4)A∩B=A⇔A⊆B5. 补集的运算∁U A={x|x∈U,且x∉A}6. 补集的运算性质(1) ∁U (∁U A)=A(2) ∁U U=∅,∁U∅=U(3)A∪(∁U A)=U,A∩(∁U A)=∅(4) ∁U (A∩B)=( ∁U A)∪(∁U B), ∁U (A∪B)=( ∁U A)∩(∁U B)二、函数与导数公式1. 有理数指数幂的运算性质（1）a r a s=a r+s(a>0,r,s∈Q)（2）=a r-s(a>0,r,s∈Q)（3）(a r)s=a rs(a>0,r,s∈Q)（4）(ab)r=a r b r(a>0,b>0,r∈Q)2.对数运算公式（1）对数的运算性质如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:log a(M·N)=log a M+log a N;log a=log a M-log a N;log a M n=n log a M(n∈R)（2）对数恒等式a log aN =N(a>0,且a≠1,N>0)（3）对数运算的换底公式log a b=(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0)（4）换底公式的变形log a b·log b a=1,即log a b=lo b n=log a blog N M==（5）换底公式的推广log a b·log b c·log c d=log a d3.求导公式及运算法则(1)基本初等函数的导数公式a.若f(x)=c(c为常数),则f'(x)=0.b.若f(x)=x n(n∈Q*),则f'(x)=nx n-1.c.若f(x)=sin x,则f'(x)=cos x.d.若f(x)=cos x,则f'(x)=-sin x.e.若f(x)=a x,则f'(x)=a x ln a.f.若f(x)=e x,则f'(x)=e x.g.若f(x)=log a x,则f'(x)=.h.若f(x)=ln x,则f'(x)=.（2）导数运算法则a.[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)b.[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)c.[]'=(g(x)≠0)（3）复合函数的导数(理)设y=f(u),u=φ(x),则y'x=y'u u'x或记作f '[φ(x)]=f '(u)φ'(x).特别地，[f (ax +b )] '=a f' (ax+b).4.定积分的运算性质（理）（1）b a ⎰kf (x )d x=k b a ⎰f (x )d x (k 为常数)(2) b a ⎰[f (x )±g (x )]d x=b a ⎰f (x )d x±b a ⎰g (x )d x (3)b a ⎰f (x )d x=-a b ⎰f (x )d x(4）c a ⎰f (x )d x=b a ⎰f (x )d x+cb ⎰f (x )d x (a<b<c )三、三角函数1. 同角关系：(1)平方关系:sin 2α+cos 2α=1.(2)商的关系:=tan α(α≠+k π,k ∈Z ). 2. 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
集合数学知识点高一公式
集合数学知识点高一公式高一数学公式集合一、集合的基本概念在数学中，集合是指由若干个元素组成的事物的总体。
集合中的元素可以是具体的数、点、线，也可以是抽象的概念、命题等。
以下是一些高一数学常见的集合相关的基本概念和符号：1.1 集合的表示方式一般来说，集合可以通过列举元素、描述特性或使用图形等方式进行表示。
例如，集合A={1, 2, 3, 4}表示集合A中包含元素1, 2, 3, 4。
1.2 集合的关系运算集合之间常见的关系运算有并集、交集、差集和补集。
假设集合A={1, 2, 3, 4}，集合B={3, 4, 5, 6}，则它们的关系运算如下所示：- 并集：A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 6}- 交集：A∩B={3, 4}- 差集：A-B={1, 2}- 补集：A'={(所有不属于A的元素)}1.3 集合的基数与空集以集合A为例，A中元素的个数称为集合A的基数，用符号|A|表示。
若集合A中没有任何元素，则称集合A为空集，用符号Ø表示。
例如，集合A={1, 2, 3}的基数为3，而空集的基数为0。
二、集合的运算法则在集合论中，有一些常见的运算法则，包括交换律、结合律、分配律等。
2.1 交换律对于并集和交集运算来说，交换律成立。
也就是说，对于任意的集合A和B，有A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。
2.2 结合律对于并集和交集运算来说，结合律成立。
也就是说，对于任意的集合A、B和C，有(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
2.3 分配律对于并集和交集运算来说，分配律成立。
也就是说，对于任意的集合A、B和C，有A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。
三、常用的集合相关公式除了集合的基本概念和运算法则外，高一数学中还有一些常用的集合相关公式，包括排列组合公式、二项式定理等。
3.1 排列公式排列是从n个不同的元素中取出m个元素按照一定的顺序排列的方法数。
集合的知识点公式归纳总结
集合的知识点公式归纳总结集合的知识点公式归纳总结一、引言集合是数学中重要的基础概念之一，广泛应用于各个数学分支以及其他学科领域。
本文旨在对集合的基本性质、运算、特殊集合等知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和应用集合相关的知识。
二、集合的基本定义1. 集合的概念：集合是由一些元素组成的整体或集合。
2. 集合的表示方法：通常用大写字母A、B、C等表示集合，元素用小写字母a、b、c等表示，集合的元素用花括号{}括起来。
3. 集合的元素：一个元素要么属于集合，要么不属于集合，元素与集合的关系用属于符号∈表示，不属于用∉表示。
三、集合的基本性质1. 集合的相等性：两个集合A和B相等，当且仅当A的所有元素都是B的元素，而B的所有元素也都是A的元素。
记作A = B。
2. 集合的包含关系：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，那么称A是B的子集，记作A ⊆ B。
3. 空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅。
4. 全集：包含所有可能元素的集合称为全集，通常用大写字母U表示。
四、集合的运算1. 交集：集合A和集合B的交集是同时属于A和B的元素的集合，记作A ∩ B。
2. 并集：集合A和集合B的并集是属于A或B的元素的集合，记作A ∪ B。
3. 差集：集合A和集合B的差集是属于A但不属于B的元素的集合，记作A - B。
4. 补集：集合A相对于全集U的补集是全集U中不属于A的元素的集合，记作A'或A的补集。
五、集合的特殊集合1. 自然数集：包含0和正整数的集合，记作N。
2. 整数集：包括负整数、0和正整数的集合，记作Z。
3. 有理数集：包括所有能表示为两个整数的比值的数的集合，记作Q。
4. 无理数集：不能表示为两个整数的比值的数的集合。
5. 实数集：包括有理数和无理数的集合，记作R。
六、集合的常用公式1. 交换律：A ∩ B = B ∩ A，A ∪ B = B ∪ A2. 结合律：(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)，(A ∪ B) ∪C = A ∪ (B ∪ C)3. 分配律：A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)，A ∪(B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)4. 德摩根定律：(A ∩ B)' = A' ∪ B'，(A ∪ B)' = A' ∩ B'七、集合的应用举例1. 集合的分类：- 奇数集合：包含所有奇数的集合，记作O = {x | x ∈ Z, x为奇数}。
三集合 常识公式
三集合常识公式三集合常识公式在数学中，我们经常会遇到集合的概念和运算。
而三集合常识公式就是描述了集合之间的关系和运算规则。
下面，我们将详细介绍三集合常识公式的相关内容。
一、并集运算并集是指将两个或多个集合中的所有元素合并成一个新的集合。
并集运算的符号是∪。
例如，对于集合A={1,2,3}和集合B={3,4,5}，它们的并集为A∪B={1,2,3,4,5}。
并集运算满足以下常识公式：1. A∪B=B∪A （交换律）2. (A∪B)∪C=A∪(B∪C) （结合律）3. A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) （分配律）二、交集运算交集是指两个或多个集合中共有的元素组成的集合。
交集运算的符号是∩。
例如，对于集合A={1,2,3}和集合B={3,4,5}，它们的交集为A∩B={3}。
交集运算满足以下常识公式：1. A∩B=B∩A （交换律）2. (A∩B)∩C=A∩(B∩C) （结合律）3. A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) （分配律）三、差集运算差集是指从一个集合中去掉另一个集合中的元素所得到的集合。
差集运算的符号是-。
例如，对于集合A={1,2,3}和集合B={3,4,5}，它们的差集为A-B={1,2}。
差集运算满足以下常识公式：1. A-B≠B-A （差集不满足交换律）2. (A-B)-C=A-(B∪C) （结合律）3. A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C) （分配律）除了上述常识公式之外，还有一些特殊的关系和运算规则：1. 空集和任何集合的并集为该集合本身，即∅∪A=A。
2. 空集和任何集合的交集为空集，即∅∩A=∅。
3. 任何集合与它的补集的并集为全集，即A∪A'=U。
4. 任何集合与它的补集的交集为空集，即A∩A'=∅。
三集合常识公式是描述集合之间关系和运算规则的重要工具。
通过掌握并运用这些常识公式，我们可以更好地理解和应用集合论的知识，在解决实际问题时能够得到准确的结果。
数学集合公式
数学集合公式集合是数学中一种重要的概念，它是由一些特定的对象组成的整体。
在集合中，我们所关心的是元素，也就是集合中的每一个对象。
下面，我们将介绍一些常用的集合公式，帮助读者更深入地理解集合的概念和运算方式。
一、基本概念1. 集合的定义：将具有共同性质的事物组成的整体称为集合。
2. 元素：一个集合中的每一个对象都称为该集合的元素。
3. 相等：当且仅当两个集合的元素相同，它们才相等。
二、集合运算1. 并集：两个集合的所有元素的总和称为它们的并集，用符号“∪”表示，例如：A∪B。
2. 交集：两个集合公共拥有的元素称为它们的交集，用符号“∩”表示，例如：A∩B。
3. 差集：从一个集合中减去另一个集合中的元素所得到的新集合称为差集，用符号“-”表示，例如：A-B。
4. 补集：对于一个集合，不属于该集合的所有元素构成的集合称为该集合的补集，常用符号“c”表示，例如：A的补集为A的补。
三、集合公式1. 并集公式：对于任意集合A、B和C，以下公式成立：（1）交换律：A∪B=B∪A。
（2）结合律：A∪（B∪C）=（A∪B）∪C。
（3）分配律：A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）。
2. 交集公式：对于任意集合A、B和C，以下公式成立：（1）交换律：A∩B=B∩A。
（2）结合律：A∩（B∩C）=（A∩B）∩C。
（3）分配律：A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）。
3. 差集公式：对于任意集合A、B和C，以下公式成立：（1）交换律：A-B=B-A。
（2）结合律：A-(B-C)=(A-B)∪(A∩C)。
（3）分配律：A∩（B-C）=(A∩B)-(A∩C)。
4. 补集公式：对于任意集合A和B，以下公式成立：（1）均衡律：（A的补）的补=A。
（2）德摩根定律：（A∩B）的补=A的补∪B的补，（A∪B）的补=A的补∩B的补。
以上为常用的集合公式，它们可以帮助我们更好地理解数学中集合运算的概念和运算法则。
在实际应用中，我们可以通过运用这些公式，以及更进一步的集合运算方法，解决各种问题，为我们的科学研究和生活带来便利和效益。
高一数学集合知识点及公式
高一数学集合知识点及公式高一数学是学习数学的重要阶段，其中集合是数学的一个重要概念。
本文将介绍高一数学集合的知识点和常用公式，帮助高一学生更好地掌握这一知识。
1. 集合的概念和表示方法集合是指一群具有共同特征的事物的总体。
通常用大写字母表示集合，例如A、B、C等。
集合的元素是指属于该集合的个体，用小写字母表示，例如a、b、c等。
集合中的元素可以是数字、字母、符号或其他表示对象。
2. 集合的基本运算2.1 并集：表示将两个或多个集合中的所有元素组合成一个新的集合。
可以用符号“∪”表示，例如A∪B表示集合A和集合B 的并集。
2.2 交集：表示两个或多个集合中共有的元素构成的集合。
可以用符号“∩”表示，例如A∩B表示集合A和集合B的交集。
2.3 差集：表示从一个集合中去掉另一个集合中的元素。
可以用符号“-”表示，例如A-B表示从集合A中去掉集合B中的元素所得到的差集。
3. 集合的特殊表示方法3.1 空集：不包含任何元素的集合称为空集，用符号“∅”表示。
3.2 全集：包含所有可能元素的集合称为全集。
3.3 子集：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，则称这个集合为另一个集合的子集。
可以用符号“⊆”表示，例如集合A是集合B的子集可以表示为A⊆B。
3.4 真子集：如果一个集合是另一个集合的子集，并且不等于该集合，则称这个集合为另一个集合的真子集。
可以用符号“⊂”表示，例如集合A是集合B的真子集可以表示为A⊂B。
4. 集合的常用公式4.1 元素个数：集合中元素的个数称为该集合的基数。
用符号“|A|”表示集合A的基数。
4.2 幂集：集合A的幂集是指A的所有子集所构成的集合。
幂集的元素个数为2的n次方，其中n为集合A的元素个数。
4.3 补集：对于给定的全集U和集合A，不属于A的全集U中的元素组成的集合称为A的补集，用符号“A'”表示。
5. 集合的应用集合在数学中有着广泛的应用。
在概率论、统计学以及数理逻辑等领域，都离不开集合的应用。
集合公式汇总
集合公式汇总Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】《集合》公式汇总集合（简称集）是数学中一个基本概念，它是的研究对象，集合论的基本理论直到19世纪才被创立。
最简单的说法，即是在最原始的集合论——中的定义，集合就是“一堆东西”。
集合里的“东西”，叫作元素。
由一个或多个元素所构成的叫做集合。
若x是集合A的元素，则记作x∈A。
集合中的元素有三个特征：1.确定性（集合中的元素必须是确定的） 2.互异性（集合中的元素互不相同。
例如：集合A={1，a}，则a不能等于1） 3.无序性（集合中的元素没有先后之分。
）并交集并集定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。
并集越并越多。
交集定义：由属于A且属于B的相同元素组成的集合，记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。
交集越交越少。
若A包含B，则A∩B=B，A∪B=A补集相对补集定义：由属于A而不属于B的元素组成的集合，称为B关于A的相对补集，记作A-B或A\B，即A-B={x|x ∈A，且xB'}绝对补集定义：A关于全集合U的相对补集称作A的绝对补集，记作A'或u（A）或~A。
·U'=Φ；Φ‘=U （一）元素与集合、1、元素与集合的关系：∈∉若a是集合A的元素，就说a属于A，记作：a A∈，读作“a属于A”若a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作：a A∉，读作“a不属于A”。
2、集合的表示：列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. 形如：{1,2,3,5}描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素. 形如：{x|x2＋2x －3＞0}}图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.3、常见数集的符号表示：自然数集（非负整数集）N；正整数集N或N*；+整数集Z；有理数集Q；实数集R；正实数集R+符号法N：非负整数集合或自然数集合{0,1,2,3,…}N*或N+：正整数集合{1,2,3,…}Z：集合{…,-1,0,1,…}Q：集合Q+：正有理数集合Q-：负有理数集合R：集合(包括有理数和无理数）R+：正实数集合R-：负实数集合C：集合：空集合（不含有任何元素的集合称为空集合，又叫空集）（二）集合间的基本关系概念写法含义相等子集读作“A包含于B”或“B包含A”（1）（2）A=∅（3）A B=真子集读作“A真包含于B”或“B真包含A”（1）（2）A=∅注：1、任何集合都是它本身的子集、空集是任何集合的子集。
《集合》公式汇总
《集合》公式汇总1. 并集公式：设 A 和 B 是两个集合，则它们的并集表示为 A ∪ B，其元素包括 A 和 B 中的所有元素。
公式为A ∪ B = {x | x ∈ A 或x ∈ B}。
2. 交集公式：设 A 和 B 是两个集合，则它们的交集表示为 A ∩ B，其元素同时属于 A 和 B。
公式为A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B}。
3. 差集公式：设 A 和 B 是两个集合，则 A 与 B 的差集表示为A B，其元素属于 A 但不属于 B。
公式为 AB = {x | x ∈ A 且 x ∉ B}。
4. 对称差集公式：设 A 和 B 是两个集合，则 A 与 B 的对称差集表示为A △ B，其元素属于 A 或 B 但不同时属于 A 和 B。
公式为A △ B = (A B) ∪ (B A)。
5. 德摩根定律：德摩根定律描述了集合运算中的补集和并集、交集之间的关系。
公式如下：(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c(A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c6. 幂集公式：设 A 是一个集合，则 A 的幂集表示为 P(A)，其元素是 A 的所有子集。
公式为 P(A) = {X | X ⊆ A}。
7. 卡特兰积公式：设 A 和 B 是两个集合，则它们的卡特兰积表示为A × B，其元素是由 A 和 B 中元素组成的有序对。
公式为 A × B = {(a, b) | a ∈ A 且b ∈ B}。
8. 集合的基数公式：设 A 是一个有限集合，则 A 的基数表示为|A|，即 A 中元素的个数。
公式为 |A| = n，其中 n 为 A 中元素的个数。
《集合》公式汇总1. 并集公式：设 A 和 B 是两个集合，则它们的并集表示为 A ∪ B，其元素包括 A 和 B 中的所有元素。
公式为A ∪ B = {x | x ∈ A 或x ∈ B}。
2. 交集公式：设 A 和 B 是两个集合，则它们的交集表示为 A ∩ B，其元素同时属于 A 和 B。
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《集合》公式汇总集合（简称集）是数学中一个基本概念，它是集合论的研究对象，集合论的基本理论直到19世纪才被创立。
最简单的说法，即是在最原始的集合论——朴素集合论中的定义，集合就是“一堆东西”。
集合里的“东西”，叫作元素。
由一个或多个元素所构成的叫做集合。
若x是集合A的元素，则记作x∈A。
集合中的元素有三个特征：1.确定性（集合中的元素必须是确定的） 2.互异性（集合中的元素互不相同。
例如：集合A={1，a}，则a不能等于1）3.无序性（集合中的元素没有先后之分。
）并交集并集定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。
并集越并越多。
交集定义：由属于A且属于B的相同元素组成的集合，记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。
交集越交越少。
若A包含B，则A∩B=B，A∪B=A补集相对补集定义：由属于A而不属于B的元素组成的集合，称为B关于A的相对补集，记作A-B或A\B，即A-B={x|x∈A，且x∉B'} 绝对补集定义：A关于全集合U的相对补集称作A的绝对补集，记作A'或∁u（A）或~A。
·U'=Φ；Φ‘=U（一）元素与集合、1、元素与集合的关系：∈∉∈，读作“a属于A”若a是集合A的元素，就说a属于A，记作：a A∉，读作“a不属于A”。
若a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作：a A2、集合的表示：列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. 形如：{1,2,3,5}描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素. 形如：{x|x2＋2x－3＞0}}图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.3、常见数集的符号表示：自然数集（非负整数集）N；或N*；正整数集N+整数集Z；有理数集Q；实数集R；正实数集R+符号法N：非负整数集合或自然数集合{0,1,2,3,…}N*或N +：正整数集合{1,2,3,…}Z：整数集合{…,-1,0,1,…}Q：有理数集合Q+：正有理数集合Q-：负有理数集合R：实数集合(包括有理数和无理数）R+：正实数集合R-：负实数集合C：复数集合∅：空集合（不含有任何元素的集合称为空集合，又叫空集）（二）集合间的基本关系概念写法含义相等A B=A(B)⊆子集A B（1）读作“A包含于B”或“B包含A”（2）A=∅=（3）A B真子集（1）A B读作“A真包含于B”或“B真包含A”（2）A=∅非空真子集A B且A≠∅空集∅空集是任何集合的子集1、任何集合都是它本身的子集、空集是任何集合的子集。
2、集合个数：★★★★★集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集有（2n）个，真子集有（21n-）个，非空真子集有（22n-）个 元素 子集真子集非空子集非空真子集n 2n 21n - 21n - 22n -（三）集合的基本运算及运算法则集合 韦恩图数轴表示交集在画数轴时，要注意层次感和实心空心！并集只要是线下面的部分都要！ 补集UUAA注：1、集合运算法则：从括号内开始，由内而外 Cu （A ∩B ）=Cu A ∩Cu B Cu （A ∪B ）=Cu A ∪Cu B2、常见结论： 若A ∪B=B ，则A B ⊆ 若A B A =，则A B ⊆一．知识归纳：1．集合的有关概念。
1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互异性（若a?A，b?A，则a≠b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3）集合的分类：有限集，无限集，空集。
4）常用数集：N，Z，Q，R，N*2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1）子集：若对x∈A都有x∈B，则A B（或A B）；2）真子集：A B且存在x0∈B但x0 A；记为A B（或，且）3）交集：A∩B={x| x∈A且x∈B}4）并集：A∪B={x| x∈A或x∈B}5）补集：CUA={x| x A但x∈U}注意：①? A，若A≠?，则? A ；②若，，则；③若且，则A=B（等集）3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1）与、?的区别；（2）与的区别；（3）与的区别。
4．有关子集的几个等价关系①A∩B=A A B；②A∪B=B A B；③A B C uA C uB；④A∩CuB = 空集 CuA B；⑤CuA∪B=I A B。
5．交、并集运算的性质①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A；③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB；6．有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n－1个非空子集，2n－2个非空真子集。
二．例题讲解：【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，则M,N,P满足关系A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M分析一：从判断元素的共性与区别入手。
解答一：对于集合M：{x|x= ,m∈Z}；对于集合N：{x|x= ,n∈Z}对于集合P：{x|x= ,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以M N=P，故选B。
分析二：简单列举集合中的元素。
解答二：M={…，，…}，N={…， , , ，…}，P={…， , ，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。
= ∈N，∈N，∴M N，又 = M，∴M N，= P，∴N P 又∈N，∴P N，故P=N，所以选B。
点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。
变式：设集合，，则（ B ）A．M=N B．M N C．N M D．解：当时，2k+1是奇数，k+2是整数，选B【例2】定义集合A*B={x|x∈A且x B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，则A*B的子集个数为A）1 B）2 C）3 D）4分析：确定集合A*B子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解。
解答：∵A*B={x|x∈A且x B}，∴A*B={1,7}，有两个元素，故A*B的子集共有22个。
选D。
变式1：已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若a∈M，则6?a∈M，那么集合M的个数为A）5个 B）6个 C）7个 D）8个变式2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.解：由已知，集合中必须含有元素a,b.集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.评析本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有个 .【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求实数p,q,r的值。
解答：∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3.∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1，∴∴变式：已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求实数b,c,m的值.解：∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+m?2+6=0,m=-5∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴又∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4∴b=-4,c=4,m=-5【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B满足：A∪B={x|x>-2}，且A∩B={x|1分析：先化简集合A，然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于B。
解答：A={x|-21}。
由A∩B={x|1-2}可知[-1,1] B，而(-∞,-2)∩B=ф。
综合以上各式有B={x|-1≤x≤5}变式1：若A={x|x3+2x2-8x>0}，B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4}，A∩B=Φ,求a,b。
（答案：a=-2，b=0）点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。
变式2：设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，求所有满足条件的a的集合。
解答：M={-1,3} , ∵M∩N=N, ∴N M①当时，ax-1=0无解，∴a=0 ②综①②得：所求集合为{-1，0， }【例5】已知集合，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q，若P∩Q≠Φ，求实数a的取值范围。
分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在有解，再利用参数分离求解。
解答：（1）若，在内有有解令当时，所以a>-4,所以a的取值范围是变式：若关于x的方程有实根,求实数a的取值范围。
解答：点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。