2014年高考一轮复习数学教案：9.2 直线与平面平行

9.2 直线与平面平行

●知识梳理

1.直线与平面的位置关系有且只有三种，即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内.

2.直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.

3.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行.

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1.设有平面α、β和直线m、n，则m∥α的一个充分条件是

m

A.α⊥β且m⊥β

B.α∩β=n且m∥n

C.m∥n且n∥α

D.α∥β且

答案：D

2.（2004年北京，3）设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是

①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

A.①②

B.②③

C.③④

D.①④

解析：①②显然正确.③中m与n可能相交或异面.④考虑长方体的顶点，α与β可以相交.

答案：A

3.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是

A.异面

B.相交

C.平行

D.不能确定

解析：设α∩β=l，a∥α，a∥β，

过直线a作与α、β都相交的平面γ，

记α∩γ=b，β∩γ=c，

则a∥b且a∥c，

∴b∥c.

又b⊂α，α∩β=l，∴b∥l.∴a∥l.

答案：C

4.（文）设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS=8，BS=9，CD=34，①当S在α、β之间时，SC=_____________，②当S不在α、β之间时，

SC =_____________.

解析：∵AC ∥BD ，∴△SAC ∽△SBD ，①SC =16，②SC =272. 答案：①16 ②272

（理）设D 是线段BC 上的点，BC ∥平面α，从平面α外一定点A （A 与BC 分居平面两侧）作AB 、AD 、AC 分别交平面α于E 、F 、G 三点，BC =a ，AD =b ，DF =c ，则EG =_____________.

解析：解法类同于上题.

答案：

b

ac

ab - 5.在四面体ABCD 中，M 、N 分别是面△ACD 、△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________.

B

解析：连结AM 并延长，交CD 于E ，连结BN 并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由

MA EM =NB EN =2

1

得MN ∥AB ， 因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD . 答案：平面ABC 、平面ABD ●典例剖析

【例1】 如下图，两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB 且AM =FN ，求证：MN ∥平面BCE .

证法一：过M 作MP ⊥BC ，NQ ⊥BE ，P 、Q 为垂足（如上图），连结PQ . ∵MP ∥AB ，NQ ∥AB ，∴MP ∥NQ .

又NQ =

22 BN =2

2CM =MP ，∴MPQN 是平行四边形. ∴MN ∥PQ ，PQ ⊂平面BCE . 而MN ⊄平面BCE

， ∴MN ∥平面BCE .

证法二：过M 作MG ∥BC ，交AB 于点G （如下图），连结NG .

∵MG ∥BC ，BC ⊂平面BCE ，

MG ⊄平面BCE ， ∴MG ∥平面BCE . 又

GA BG =MA CM =NF

BN

， ∴GN ∥AF ∥BE ，同样可证明GN ∥平面BCE . 又面MG ∩NG =G ，

∴平面MNG ∥平面BCE .又MN ⊂平面MNG .∴MN ∥平面BCE . 特别提示

证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.

【例2】 如下图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1、BC 1上分别有两点E 、F ，且B 1E =C 1F .求证：EF ∥平面ABCD .

A

A D

B B

C

D

1

1

1

1

E

F

G

M

N

证法一：分别过E 、F 作EM ⊥AB 于点M ，FN ⊥BC 于点N ，连结MN . ∵BB 1⊥平面ABCD ， ∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC .

∴EM ∥BB 1，FN ∥BB 1.∴EM ∥FN . 又B 1E =C 1F ，∴EM =FN .

故四边形MNFE 是平行四边形.

∴EF ∥MN .又MN 在平面ABCD 中， ∴EF ∥平面ABCD .

证法二：过E 作EG ∥AB 交BB 1于点G ，连结GF ，则

A B E B 11=B

B G

B 11. ∵B 1E =

C 1F ，B 1A =C 1B ，∴

B C F C 11=B

B G

B 11. ∴FG ∥B 1

C 1∥BC .

又∵EG ∩FG =G ，AB ∩BC =B ，

∴平面EFG ∥平面ABCD .而EF 在平面EFG 中， ∴EF ∥平面ABCD .

评述：证明线面平行的常用方法是：证明直线平行于平面内的一条直线；证明直线所在的平面与已知平面平行.

【例3】 已知正四棱锥P —ABCD 的底面边长及侧棱长均为13，M 、N 分别是P A 、BD 上的点，且PM ∶MA =BN ∶ND =5∶8.