北京市101中学2018届高三数学3月月考试题文

如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！ 北京101中学2018届下学期高三年级3月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，共40分。

1. 已知集合A={x| x （x-2）<0}，B={x| lnx>0}，则A B 是 A. {x| x>0}B. {x| x>2}C. {x | 1<x<2}D. {x | 0<x<2}2. 已知i 为虚数单位，设复数z 满足z+i=3，则|z|= A. 3B. 10C. 4D. 103. 某便利店记录了100天某商品的日需求量（单位：件），整理得下表：试估计该商品日平均需求量为 A. 16 B. 16.2C. 16.6D. 16.84. “sin α=22”是“cos2α=0”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 下列函数中，是奇函数且在（0，1）内是减函数的是 ①f （x ）=-x 3②f （x ）=（21）|x|③f （x ）=-sinx ④f （x ）=||x ex A. ①③B. ①④C. ②③D. ③④6. 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为l ，则该四棱锥的体积为A.34B. 4C.324 D. 427. 阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k （k>0且k ≠1）的点的轨迹是圆。

后人将这个圆称为阿氏圆。

若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 距离之比为2，当P ，A ，B 不共线时，△PAB 面积的最大值是A. 22B. 2C.322 D.32 8. 如图，△PAD 为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD 。

若点M 为平面ABCD 内的一个动点，且满足MP=MC ，则点M 在正方形ABCD 及其内部的轨迹为A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 一段圆弧D. 一条线段二、填空题：本大题共6小题。

共30分。

9. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为___________.10. 已知双曲线C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线y 2=8x 的焦点重合，一条渐近线方程为x+y=0，则双曲线C 的方程是___________。

11. 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD=60°，则AB ·BC =___________。

12. 若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+,045,045,04y x y x y x 则x 2+y 2的最小值为___________。

13. 高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题。

一位同学受到启发，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：（1）左图矩形中白色区域面积等于右图矩形中白色区域面积； （2）左图阴影区域面积用a ，b ，c ，d 表示为__________；（3）右图中阴影区域的面积为BAD d c b a ∠++sin 2222；（4）则柯西不等式用字母a ，b ，c ，d 可以表示为（ac+bd ）2≤（a 2+b 2）（c 2+d 2）。

请简单表述由步骤（3）到步骤（4）的推导过程：_____________。

14. 已知函数f （x ）=⎩⎨⎧≥<<,,,0,sin ππx x x x x g （x ）=f （x ）-kx （k ∈R ）。

①当k=l 时，函数g （x ）有__________个零点；②若函数g （x ）有三个零点，则k 的取值范围是___________。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。

15. （本小题满分13分）已知函数f （x ）=（sinx+cosx ）2-cos2x 。

（I ）求f （x ）的最小正周期； （II ）求证：当x ∈[0，2π]时，f （x ）≥0。

16. （本小题满分13分）已知由实数构成的等比数列{a n }满足a 1=2，a 1+ a 3+ a 5=42。

（I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）求a 2+ a 4+ a 6+…+ a 2n 。

17. （本小题满分13分）2017年，世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行。

整个比赛精彩纷呈，参赛选手展现出很高的竞技水平，为观众奉献了多场精彩对决。

图1（扇形图）和表1是其中一场关键比赛的部分数据统计。

两位选手在此次比赛中击球所使用的各项技术的比例统计如图1。

在乒乓球比赛中，接发球技术是指回接对方发球时使用的各种方法。

选手乙在比赛中的接发球技术统计如表1，其中的前4项技术统称反手技术，后3项技术统称为正手技术。

图1选手乙的接发球技术统计表技术反手拧球反手搓球反手拉球反手拨球正手搓球正手拉球正手挑球使用次数20 2 2 4 12 4 1得分率55% 50% 0% 75% 41.7% 75% 100%表1（I）观察图1，在两位选手共同使用的8项技术中，差异最为显著的是哪两项技术?（II）乒乓球接发球技术中的拉球技术包括正手拉球和反手拉球。

从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率是多少?（III）如果仅从表1中选手乙接发球得分率的稳定性来看（不考虑使用次数），你认为选手乙的反手技术更稳定还是正手技术更稳定?（结论不要求证明）18. （本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC。

已知D是BC 的中点，AB=AA1=2。

（I ）求证：平面AB 1D ⊥平面BB 1C 1C ； （II ）求证：A 1C ∥平面AB 1D ； （III ）求三棱锥A 1-AB 1D 的体积。

19. （本小题满分14分）已知椭圆C ：152222=+by b x （b>0）的一个焦点坐标为（2，0）。

（I ）求椭圆C 的方程；（II ）已知点E （3，0），过点（1，0）的直线l （与x 轴不重合）与椭圆C 交于M ，N 两点，直线ME 与直线x=5相交于点F ，试证明：直线FN 与x 轴平行。

20. （本小题满分13分）已知函数f （x ）=xcos+a ，a ∈R 。

（I ）求曲线y=f （x ）在点x=2π处的切线的斜率； （II ）判断方程f '（x ）=0（f '（x ）为f （x ）的导数）在区间（0，1）内的根的个数，说明理由；（III ）若函数F （x ）=xsinx+cosx+ax 在区间（0，1）内有且只有一个极值点，求a 的取值范围。

参考答案一、选择题：本大题共8小题，共40分。

二、填空题：本大题共6小题，共30分。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。

15. 解：（I ）因为f （x ）=sin 2x+cos 2x+sin2x-cos2x =1+sin2x-cos2x=2sin （2x-4π）+1。

所以函数f （x ）的最小正周期为π。

…………………………7分 （II ）由（I ）可知，f （x ）=2sin （2x-4π）+1。

当x ∈[0，2π]时，2x-4π∈[-4π，43π]，sin （2x-4π）∈[-22，1]，2sin （2x-4π）+1∈[0，2+l]。

当2x-4π=-4π，即x=0时，f （x ）取了最小值0。

所以当x ∈[0，2π]时，f （x ）≥0。

…13分16. 解：（I ）由⎩⎨⎧=++=4225311a a a a 可得2（1+q 2+q 4）=42。

由数列{a n }各项为实数，解得q 2=4，q=±2。

所以数列{a n }的通项公式为a n =2n或a n =（-1）n-1·2n………………7分（II ）当a n =2n时，a 2+ a 4+ a 6+…+ a 2n =3441)41(4=--n ·（4n-1）；当a n =（-1）n-1·2n时，a 2+ a 4+ a 6+…+ a 2n =3441)41()4(=--⋅-n ·（1-4n）。

. . . . 13分 17. 解：（I ）根据所给扇形图的数据可知，差异最为显著的是正手搓球和反手拧球两项技术。

……………2分（II ）根据表1的数据可知，选手乙的反手拉球2次，分别记为A ，B ，正手拉球4次，分别记为a,b ，c,d 。

则从这六次拉球中任取两次，共15种结果，分别是：AB ，Aa,Ab ，Ac ，Ad,Ba ，Bb ，Bc,Bd,ab ，ac ，ad,bc,bd,cd 。

其中至少抽出一次反手拉球的共有9种，分别是：AB,Aa ，Ab ，Ac,Ad,Ba ，Bb ，Bc,Bd 。

则从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率53159==P 。

………………10分 （III ）正手技术更稳定。

……………………13分18. （I ）证明：由已知△ABC 为正三角形，且D 是BC 的中点，所以AD ⊥BC 。

因为侧棱AA 1⊥底面ABC ，AA 1∥BB 1，所以BB 1⊥底面ABC 。

又因为AD ⊂底面ABC ，所以BB 1⊥AD 。

而B 1B BC=B ，所以AD ⊥平面BB 1C 1C 。

因为AD ⊂平面AB 1D ，所以平面AB 1D ⊥平面BB 1C 1C 。

…5分（II ）证明：连接A 1B ，设A 1B AB 1=E ，连接DE 。

由已知得，四边形A 1ABB 1为正方形，则E 为A 1B 的中点. 因为D 是BC 的中点，所以DE ∥A 1C 。

又因为DE ⊂平面AB 1D ，A 1C ⊄平面AB 1D ， 所以A 1C ∥平面AB 1D 。

………………………10分（III ）由（II ）可知A 1C ∥平面AB 1D ，所以A 1与C 到平面AB 1D 的距离相等，所以D AB C D AB A V V 111--=。

由题设及AB=AA 1=2，得BB 1=2，且23=∆ACD S 。

所以ACD B D AB C V V --=11=31×33223311=⨯⨯=⨯∆BB S ACD ，所以三棱锥A 1-AB 1D 的体积为3311=-D AB A V 。

…………………………14分 19. 解：（I ）由题意可知⎩⎨⎧==.5,222b a c 所以a 2=5，b 2=1。

所以椭圆C 的方程为225y x +=1 ………3分 （II ）①当直线l 的斜率不存在时，此时MN ⊥x 轴。

设D （1，0），直线x=5与x 轴相交于点G ，易得点E （3，0）是点D （1，0）和点G （5，0）的中点，又因为|MD|=|DN|，所以|FG|=|DN|。