位置矢量运动方程轨迹方程位移新乡学院

二、位置矢量 运动方程 轨迹方程 位移
1.位矢：表征空间某点P的位置，由原点0到P 的矢量；如 图1-2
z
z
r
op
xi
yj
zk
r r x2 y2 z2
cos x , cos y , cos z
r
r
r
x
rP
y
y
x
图 1-2
2、运动方程 质点的位置坐标与时间的函数关系，称为运 动方程。 运动方程
1、切向加速度
如图1-7，质点做半径为r的圆周运动，t时刻，质点速
度 V=vet v为速率。
v
et
A,t
en r
O
图 1-7
加速度为 a=dv/dt=dv/dtet+vdet/dt（2-2）
式（2-2）中，第一项是由质点运动速率变化引 起的，方向与et共线，称该项为切向加速度， 记为 at= dv/dtet =atet（2-3）
§1-1 质点运动的描述
一、参考系 坐标系 质点 1、参考系 为描述物体运动wenku.baidu.com选择的 参考物体叫参考系。 2、坐标系 为了定量地研究物体的运 动，要选择一个与 参考系相 对静止的坐标系。如图1-1。 说明：参考系、坐标系是任 意选择的，视处理问题方便 而定。
z
参考系
o
y
坐标系
x
图 1-1
3、质点 忽略物体的大小和形状，而把它看作一个具有质 量、占据空间位置的物体，这样的物体称为质点。 说明： ⑴质点是一种理想模型，而不真实存在（物理中 有很多理想模型）。 ⑵质点突出了物体三个基本性质： 1）具有质量； 2）占有位置； 3） 无体积。 ⑶物体能否视为质点是有条件的、相对的。视研 究问题的性质和精确度而定.
t
t
（见图1-4）
称为Δt时间间隔内质点的平 均加速度
y
A, t
1
（2 平移） r1
r2
o
B,t t
2
x
图 1-4
2、瞬时加速度
为了描述质点运动速度变化的细节，引进瞬时加
速度。 定义：
a
lim
v
t0 t
dv
dt
d 2r dt 2
称为质点在t时刻的瞬时加速度，简称加速度。
结论：加速度等于速度对时间的一阶导数或位矢
说明：
（1）比较平均速率与平均速度：二者均为过程量； 前者为标量，后者为矢量。
（2）比较速率与速度：二者均为瞬时量；前者为 标量，后者为矢量。
（3）一般，平均速率不等于平均速度的大小。速 率不等于速度的大小。
四、加速度
为了描述质点速度变化的快
慢，从而引进加速度的概 念。
1、平均加速度
定义a：平v均(t加速t度) v(t) v
3、平均速率与瞬时速率
定义：平均速率=Δs/Δt
称为质点在Δt时间段内的平均速率。为了描 述运动细节，引进瞬时速率。
定义：v=ds/dt
称为t时刻质点的瞬时速率，简称速率.当Δt趋 于零时， Δr=dr, Δs=ds,所以，瞬时速率=瞬时速 度的大小。
结论：质点速率等于其速度大小或等于路程对时 间的一阶导数。
矢量形式：
r(t)
x(t)i
y(t)
j
z(t)k
分量形式：
x x(t)
y
y(t)
z z(t)
消去t 可得轨迹方程： f (x,y,z) = 0
3.位移 位移：质点一段时间内位置的改变；
r r(t t) r(t)
(xBi
yB
j
z
B
k
)
(
xAi
yA
j
zAk )
(xB xA )i ( yB y A ) j (zB z A )k
可有det= en
d
式（2-2）中第二项为：
v
det dt
v
d dt
en
v r
ds dt
en
v2 r
en
该项为矢量，其方向沿半径指向圆心。
称此项为法向加速度，记为
an
v2 r
en
（2-5）
大小为
an
v2 r
（2-6）
是加速度的法向分量。
et
det
d
et
图 1-9
结论：法向加速度分量等于速率平方除
一、自然坐标系
图1-6中，BAC为质点轨迹，t时刻 质点P位于A
点，et、en分别为A点切向及法向 的单位矢量，以A为原点， et切 向和en法向为坐标轴，由此构成 的参照系为自然坐标系（可推广 到三维）
C e（n 法向）
et (切向）
A ,t P
B 图 1-6
二、圆周运动的切向加速度及法向加速度
对时间的二阶导数。 说明：一般情况下与 力的斜上抛运动）。
v方向不同（如不计空气阻
五. 直线运动 1.直线运动的描述 直线运动：质点运动轨迹为一直线；
位矢： r xi直线运动中，用坐标x(代数量)可表示质
点的位置；
运动方程： x x(t)
P2 x2 0
P1 x
x1
§ 1-2圆周运动
本节先讨论圆周运动，之后再推广 到一般曲线运动。
xi yj zk
❖ 讨论：
❖ a. 路程：质点沿轨迹运动所经历的路径长 度；
❖ b. 路程是标量，大小与位移的大小一般 ❖ 不 c. 相在等极，限即情；况r下s；dr ds ❖ d. 单方向直线运动时；r s
三. 速度 描述质点运动快慢和运动方向的物量；
1.平均速度
v
r
x
i
y
j
z
k
at为加速度的切向分量。 结论：切向加速度分量等于速率对时间的一阶导
数。
2、法向加速度
B,t dt et
ds A,t
d r
O
式（2-2）中，第二项是由质点运
动方向改变引起的。
图 1-8
如e等t图夹于1角-8为，。质（因点见为由图ddeA1td点垂-8运直）动e当t，到所B趋点以于d，由0时有A点d，e指t有=向ed’圆te-et 心t的, eO大’t，与小
以曲率半径 。
3、总加速度
a
at
an
at et
an en
dv dt
et
v2 r
en
大小：
a
at2 an2
dv dt
2
v2 r
2
方向：a与et夹角（见图1-10）满足
a
at
O
A,t
an
图 1-10
（2-7） （2-8）
4、一般曲线运动
圆周运动的切向加速度和法向加速度也适用于 一般曲线运动，只要把曲率半径看作变量即可。
讨论：⑴如图1-10，a总是指向曲线的凹侧。 ⑵an 0 时，r ，质点做直线运动。此时
0,加速直线运动（dv 0)
t t t t
vxi vy j vzk
大小： v r 方向：r
t
的方向；
2.瞬时速度
v lim r dr t0 t dt
v
dx
i
dy
j
dz
k
dt dt dt
vxi vy j vzk
A
B6B5B4
r
B3
B2B1B
r(t)
r(t t)
0
大 方小 向： ：drv的v方 向v-x2--轨vy道2 切vz线2 方向；