位置矢量运动方程轨迹方程位移新乡学院
DXWL01--第一章质点运动学
第一章
质点运动学
重点和难点：
本章重点是：运用运动方程求质点的位置、 速度和加速度；以及已知质点运动的加速度和初 始条件求速度和运动方程的方法. 本章难点是：圆周运动中切向加速度的理解.
教学手段和方法：
教师（课堂）讲授、多媒体辅助教学
教学时间安排：
青岛科技大学
大学物理教案 WXJ-V2.0
平均速度 v
与r 同方向.
§1-1 质点运动的描述
2.瞬时速度: 当 t 0 时平均速度的极限值叫做瞬时速度, 简称速度
当质点做曲线运动时, 质点在某一点的速度方向 就是沿该点曲线的切线方向.
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当 t 0 时, dr ds ds v et dt
6
t 2s
-6 -4 -2
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4 2 0
t0
2 4
t 2s
x/m
6
大学物理教案 WXJ-V2.0
§1-1 质点运动的描述 [例2] 如图所示, A、B 两物体由一长为 l 的刚
性细杆相连, A、B 两物体可在光滑轨道上滑行. 如 物体A以恒定的速率 v 向左滑行, 当 60 时, 物体 B的速率为多少？
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§1-1 质点运动的描述
v v 吗？ 讨论 b v a v v(t t ) v(t ) c v(t ) v v(t t ) v(t ) v(t t )
解 （1）由题意可得速度分量分别为
1 1 t 3 s 时速度为 v (1m s )i (1.5m s ) j
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3、角加速度 为了描述角速度变化的快慢，引进角 加速度概念。 （1）平均角加速度： 设在 t 内，质点角速度增量为 定义： （2-12） t 称为时间间隔内质点的平均角加速度 瞬时角加速度： d d 定义： lim lim t dt dt （2-13） 称为 t 时刻质点的瞬时角加速度，简称 角加速度。 d d （2-14） dt dt
y B , t t
O
A, t
x
图 1-11
2、角速度 平均角速度： 定义： （2-9） t 称为平均角速度。平均角速度粗略地描述 了物体的运动。为了描述运动细节，需要引 进瞬时角速度。 d lim lim t dt 定义： （ 2-10 ） d （2-11） dt 结论：角速度等于角坐标对时间的一阶导 数 说明：角速度是矢量,方向与角位移 方向一致。
此时0?nar????????????000000dvdvdvdtdvat匀速曲线运动减速曲线运动加速曲线运动?????????????????????斜抛平抛竖直下抛抛体运动匀速圆周运动减速圆周运动加速圆周运动圆周运动曲线运动特例1角坐标如图111t时刻质点在a处tt时刻质点在b处是oa与x轴正向夹角是ob与x轴正向夹角称为t时刻质点角坐标为t时间间隔内角坐标增量称为在时间间隔内的角位移
加速圆周运动 圆周运动 减速圆周运动 匀速圆周运动 曲线运动特例 竖直下抛 抛体运动 平抛 斜抛
⑷
三、圆周运动的角量描述
1、角坐标 如图1-11，t时刻质点在A处，t+Δt 时刻质点在B处，θ是OA与x轴正向 夹角， θ+ Δ θ是OB与x轴正向夹角， 称θ为t时刻质点角坐标， Δ θ为Δt时 间间隔内角坐标增量，称为在时间 间隔内的角位移。
00大学物理(A1)知识点、重点、难点
《大学物理》（上）知识点、重点及难点质点运动学知识点：1．参考系为了确定物体的位置而选作参考的物体称为参考系。
要作定量描述，还应在参考系上建立坐标系。
2．位置矢量与运动方程位置矢量（位矢）：是从坐标原点引向质点所在的有向线段，用矢量r表示。
位矢用于确定质点在空间的位置。
位矢与时间t的函数关系：称为运动方程。
位移矢量：是质点在时间△t内的位置改变，即位移：3．速度与加速度速率，是质点路程对时间的变化率：dtυ=加速度，是质点速度对时间的变化率：dtv d a =4． 法向加速度与切向加速度加速度 τˆa n ˆa dt vd a t n +== 法向加速度ρ=2n v a ，方向沿半径指向曲率中心（圆心），反映速度方向的变化。
切向加速度dt dva t =，方向沿轨道切线，反映速度大小的变化。
在圆周运动中，角量定义如下： 角速度 dtd θ=ω角加速度 dt d ω=β而R v ω=，22n R Rv a ω==，β==R dt dv a t5． 相对运动对于两个相互作平动的参考系，有 'kk 'pk pk r r r +=，'kk 'pk pk v v v +=，'kk 'pk pk a a a +=重点：1. 掌握位置矢量、位移、速度、加速度、角速度、角加速度等描述质点运动和运动变化的物理量，明确它们的相对性、瞬时性和矢量性。
2. 确切理解法向加速度和切向加速度的物理意义；掌握圆周运动的角量和线量的关系，并能灵活运用计算问题。
3. 理解伽利略坐标、速度变换，能分析与平动有关的相对运动问题。
难点：1．法向和切向加速度 2．相对运动问题牛 顿 运 动 定 律知识点：1． 牛顿定律 第一定律：任何物体都保持静止的或沿一直线作匀速运动的状态，直到作用在它上面的力迫使它改变这种状态为止。
第二定律：运动的变化与所加的动力成正比，并且发生在这力所沿的直线方向上。
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大学物理智慧树知到课后章节答案2023年下仲恺农业工程学院仲恺农业工程学院第一章测试1.某质点的运动学方程x=6+3t-5t3，则该质点作（）。
A:变加速直线运动，加速度为正值 B:变加速直线运动，加速度为负值 C:匀加速直线运动，加速度为正值 D:匀加速直线运动，加速度为负值答案:变加速直线运动，加速度为负值2.质点以速度作直线运动，沿质点运动直线作Ox轴，并已知t=3s时，质点位于x=9m处，则该质点的运动学方程为（）。
A: B: C: D:答案:3.半径的飞轮缘上一点A的运动学方程为（t以s为单位，S以m为单位）,则当A点的速度大小时，A点的切向加速度和法向加速度大小为（）。
A:5；1000 B:6；1000 C:5；1500 D:6；1500答案:6；15004.根据瞬时加速度矢量的定义，其用直角坐标和自然坐标的表示形式，它的大小可表示为（）。
A: B: C: D:答案:5.一运动质点在某瞬时位于矢径的端点处，其速度大小为（）。
A: B: C: D:答案:6.一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度，瞬时加速度，则一秒钟后质点的速度（）。
A:等于零 B:等于-2m/s C:等于2m/s D:不能确定。
答案:不能确定。
7.质点作曲线运动，表示位置矢量，表示速度，表示加速度，S表示路程，表示切向加速度，下列表达式中，（）。
① ，② ，③ ，④ ．（）A:只有②是对的． B:只有①、④是对的． C:只有③是对的． D:只有②、④是对的．答案:只有③是对的．8.（）。
A:B:C:D:答案:9.某质点沿直线运动，其加速度是，那么下述结论正确者为（）。
A:B:因为导数有无穷多个原函数，按题给条件，无法确定此质点的速度公式 C:答案:因为导数有无穷多个原函数，按题给条件，无法确定此质点的速度公式10.质点沿半径为R的圆周作匀速率运动，经过时间T转动一圈，那么在2T的时间内，其平均速度的大小和平均速率分别为（）。
理论力学(第7版)第五章 点的运动学
运 动 规 律
[例5-1 ] 已知点的运动方程为x=2sin 4t m，y=2cos 4t m， z=4t m。 求：点运动轨迹的曲率半径 。
解：
vx x 8 cos 4t , ax 32 sin 4t x
r r t
—以矢量表示的 点的运动方程
矢端曲线：动点M在运动过程中，矢 径r的末端绘出的一条连续曲线。 ——动点M的运动轨迹
3
二.点的速度
dr v r dt
方向：沿着矢径r的矢端曲线的切线 方向，且与此点的运动方向一致。
大小：速度矢的模，表明点运动的快慢。
三.加速度
dv d 2r a r 2 dt dt
dv v2 a a a n a a n n n dt
17
5-3 自然法 曲率(1 / ) ：
定义——曲线切线的转角对弧长 一阶导数的绝对值。表示曲线的 弯曲程度。
d lim| | t 0 S dS 1
由于a , an均在密切面内，全加速a必在密切面内。 度
— 与 弧 坐 标 的 正 向 一 致 n — 指 向 曲 线 内 凹 一 侧 b — 与 , n 构 成 右 手 系
b n
[注]：自然坐标系是沿曲 13 线而变动的游动坐标系。
(动画自然坐标轴的几何性质)
曲线在P点的密切面形成
5-3 自然法
二.点的速度
当t 0时，r MM' S
v y y 8 sin 4t , a y 32 cos 4t y
v z z 4, a z 0 z
2 2 2 2 v v x v 2 v z 80 m s , a a x a 2 a z 32m s 2 y y
第二章 质点运动学
五. 直线运动 1.直线运动的描述 直线运动：质点运动轨迹为一直线； 位矢： r xi 直线运动中，用坐标x(代数量)可表 示质点的位置； 运动方程：x x(t )
P2
x2
P1
0
x1
x
§ 1-2圆周运动
本节先讨论圆周运动，之后再推广 到一般曲线运动。 一、自然坐标系 图1-6中，BAC为质点轨迹，t时刻 质点P位于A 点，et、en分别为A点切向及法向 的单位矢量，以A为原点， et切向 和en法向为坐标轴，由此构成的 参照系为自然坐标系（可推广到 三维）
xi yj zk
讨论： a. 路程：质点沿轨迹运动所经历的路径长 度； b. 路程是标量，大小与位移的大小一般不 r s 相等，即； dr ds c. 在极限情况下 ； d. 单方向直线运动时； r s
三. 速度 描述质点运动快慢和运动方向的物量； 1.平均速度
det d v ds v 2 式（2-2）中第二项为： v v en en en dt dt r dt r
该项为矢量，其方向沿半径指向圆心。 称此项为法向加速度，记为
v a n en （2-5） r
2
det
et
et d
大小为 （2-6） 是加速度的法向分量。 结论：法向加速度分量等于速率平方除 以曲率半径 。
⑷
三、圆周运动的角量描述 1、角坐标 如图1-11，t时刻质点在A处，t+Δt时刻质点在 B处，θ是OA与x轴正向夹角， θ+ Δ θ是OB与 x轴正向夹角，称θ为t时刻质点角坐标， Δ θ 为Δt时间间隔内角坐标增量，称为在时间间 隔内的角位移。
大学物理简明教程矢量基础知识
引言概述：在研究物理学时，矢量是一个非常重要的概念，广泛应用于各个领域。
本文将以大学物理为基础，介绍矢量的基础知识，包括矢量的定义、性质以及运算法则等。
通过学习这些知识，读者将能够更好地理解和应用矢量概念。
正文内容：1.矢量的定义和性质1.1定义：矢量是具有大小和方向的量，用箭头表示，并且满足平行四边形法则。
1.2强调大小和方向：矢量的大小由模和单位来表示，方向由箭头指向表示。
1.3矢量的分类：自由矢量和定向矢量。
1.4坐标系：在空间中表示矢量，一般采用直角坐标系、极坐标系等。
1.5矢量的性质：平移性、相等性、零矢量等。
2.矢量的运算法则2.1矢量的加法法则：满足三角形法则和平行四边形法则。
2.2矢量的减法法则：将减法转化为加法，即AB=A+(B)。
2.3矢量与标量的乘法：数乘，即矢量的模与数的乘积。
2.4矢量的数量积：点乘，模乘以夹角的余弦值。
2.5矢量的向量积：叉乘，模乘以夹角的正弦值。
3.极坐标表示下的矢量3.1极坐标系：用极径和极角来表示矢量。
3.2极坐标系下的加法法则：将加法转化为直角坐标系下的加法。
3.3极坐标系下的减法法则：将减法转化为直角坐标系下的减法。
3.4极坐标系下的数量积和向量积：类似于直角坐标系下的计算方法。
4.平面矢量的应用4.1矢量和标量的关系：矢量可以表示位移、速度、加速度等。
4.2位移矢量：表示物体从一个位置到另一个位置的矢量。
4.3速度矢量：表示物体在单位时间内位移的矢量。
4.4加速度矢量：表示物体在单位时间内速度的变化率的矢量。
4.5矢量和矢量的关系：矢量可以相加、相减、求量积和向量积等。
5.矢量的应用实例5.1力的分解与合成：将力分解为两个矩形方向上的力，合成为一个合力。
5.2刚体平衡问题：通过矢量的平衡条件，求解物体的平衡问题。
5.3物体运动问题：通过矢量的运算法则，分析物体在平面运动中的速度、加速度等。
5.4牛顿定律问题：利用矢量的知识，解决物体的牛顿定律问题。
Lecture02
v v r = rer
注意：与直角坐标的单位矢量不同， 注意：与直角坐标的单位矢量不同，沿位矢方向的单 v 是一个变化的量。 位矢量 er 是一个变化的量。 2. 速度与加速度的表示+ r v= = dt dt dt v v 2v 2 d er dr der v dv d r v a= = 2 er + 2 +r 2 dt dt dt dt dt
于是有： 于是有：
r A ∆r v v r1 r2
∆s
B
o
x
v 2 2 2 | dr |= dx + dy + dz ds = dx + dy + dz v | dr |= ds
2 2 2
在高等数学中， 在高等数学中，我们知道曲线弧长的微分元为
得
青岛科技大学
大学物理讲义
当质点运动时， 而变化。 当质点运动时，其位置矢量也随时间 t 而变化。位矢对 时间 t 的微分 v ：位矢变 ev v v dr dr ds v v 化方向的 = ⋅ = ev ⋅ v = v 单位矢量
2
加速度也可以分为切向分量(tangential component)和 加速度也可以分为切向分量 和 法向分量(normal component)，如何分？ 法向分量 ，如何分？ 速度能不能分为切向分量和法向分量？有没有必要？ 速度能不能分为切向分量和法向分量？有没有必要？
青岛科技大学 大学物理讲义
v ∆r ≠| ∆r |
青岛科技大学
大学物理讲义
位移与路程的区别 （A）位移是矢量 路程是标量。 ）位移是矢量, 路程是标量。 （B） 一般情况 ） 一般情况,
v 位移大小不等于路程。 位移大小不等于路程。 ∆r ≠ ∆s
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1、切向加速度
如图1-7，质点做半径为r的圆周运动，t时刻，质点速
度 V=vet v为速率。
v
et
A,t
en r
O
图 1-7
加速度为 a=dv/dt=dv/dtet+vdet/dt（2-2）
式（2-2）中，第一项是由质点运动速率变化引 起的，方向与et共线，称该项为切向加速度， 记为 at= dv/dtet =atet（2-3）
t t t t
vxi vy j vzk
大小： v r 方向：r
t
的方向；
2.瞬时速度
v lim r dr t0 t dt
v
dx
i
dy
j
dz
k
dt dt dt
vxi vy j vzk
A
B6B5B4
r
B3
B2B1B
r(t)
r(t t)
0
大 方小 向： ：drv的v方 向v-x2--轨vy道2 切vz线2 方向；
t
t
（见图1-4）
称为Δt时间间隔内质点的平 均加速度
y
A, t
1
（2 平移） r1
r2
o
B,t t
2
x
图 1-4
2、瞬时加速度
为了描述质点运动速度变化的细节，引进瞬时加
速度。 定义：
a
lim
v
t0 t
dv
dt
d 2r dt 2
称为质点在t时刻的瞬时加速度，简称加速度。
结论：加速度等于速度对时间的一阶导数或位矢
说明：
（1）比较平均速率与平均速度：二者均为过程量； 前者为标量，后者为矢量。
（2）比较速率与速度：二者均为瞬时量；前者为 标量，后者为矢量。
（3）一般，平均速率不等于平均速度的大小。速 率不等于速度的大小。
四、加速度
为了描述质点速度变化的快
慢，从而引进加速度的概 念。
1、平均加速度
定义a：平v均(t加速t度) v(t) v
可有det= en
d
式（2-2）中第二项为：
v
det dt
v
d dt
en
v r
ds dt
en
v2 r
en
该项为矢量，其方向沿半径指向圆心。
称此项为法向加速度，记为
an
v2 r
en
（2-5）
大小为
an
v2 r
（2-6）
是加速度的法向分量。
et
det
d
et
图 1-9
结论：法向加速度分量等于速率平方除
一、自然坐标系
图1-6中，BAC为质点轨迹，t时刻 质点P位于A
点，et、en分别为A点切向及法向 的单位矢量，以A为原点， et切 向和en法向为坐标轴，由此构成 的参照系为自然坐标系（可推广 到三维）
C e（n 法向）
et (切向）
A ,t P
B 图 1-6
二、圆周运动的切向加速度及法向加速度
讨论：⑴如图1-10，a总是指向曲线的凹侧。 ⑵an 0 时，r ，质点做直线运动。此时
0,加速直线运动（dv 0)
xi yj zk
❖ 讨论：
❖ a. 路程：质点沿轨迹运动所经历的路径长 度；
❖ b. 路程是标量，大小与位移的大小一般 ❖ 不 c. 相在等极，限即情；况r下s；dr ds ❖ d. 单方向直线运动时；r s
三. 速度 描述质点运动快慢和运动方向的物量；
1.平均速度
v
r
x
i
y
j
z
k
矢量形式：
r(t)
x(t)i
y(t)
j
z(t)k
分量形式：
x x(t)
y
y(t)
z z(t)
消去t 可得轨迹方程： f (x,y,z) = 0
3.位移 位移：质点一段时间内位置的改变；
r r(t t) r(t)
(xBi
yB
j
z
B
k
)
(
xAi
yA
j
zAk )
(xB xA )i ( yB y A ) j (zB z A )k
对时间的二阶导数。 说明：一般情况下与 力的斜上抛运动）。
v方向不同（如不计空气阻
五. 直线运动 1.直线运动的描述 直线运动：质点运动轨迹为一直线；
位矢： r xi直线运动中，用坐标x(代数量)可表示质
点的位置；
运动方程： x x(t)
P2 x2 0
P1 x
x1
§ 1-2圆周运动
本节先讨论圆周运动，之后再推广 到一般曲线运动。
at为加速度的切向分量。 结论：切向加速度分量等于速率对时间的一阶导
数。
2、法向加速度
B,t dt et
ds A,t
d r
O
式（2-2）中，第二项是由质点运
动方向改变引起的。
图 1-8
如e等t图夹于1角-8为，。质（因点见为由图ddeA1td点垂-8运直）动e当t，到所B趋点以于d，由0时有A点d，e指t有=向ed’圆te-et 心t的, eO大’t，与小
以曲率半径 。
3、总加速度
a
at
an
at et
an en
dv dt
et
v2 r
en
大小：
a
at2 an2
dv dt
2
v2 r
2
方向：a与et夹角（见图1-10）满足
a
at
O
A,t
an
图 1-10
（2-7） （2-8）
4、一般曲线运动
圆周运动的切向加速度和法向加速度也适用于 一般曲线运动，只要把曲率半径看作变量即可。
§1-1 质点运动的描述
一、参考系 坐标系 质点 1、参考系 为描述物体运动而选择的 参考物体叫参考系。 2、坐标系 为了定量地研究物体的运 动，要选择一个与 参考系相 对静止的坐标系。如图1-1。 说明：参考系、坐标系是任 意选择的，视处理问题方便 而定。
z
参考系
o
y
坐标系
x
图 1-1
3、质点 忽略物体的大小和形状，而把它看作一个具有质 量、占据空间位置的物体，这样的物体称为质点。 说明： ⑴质点是一种理想模型，而不真实存在（物理中 有很多理想模型）。 ⑵质点突出了物体三个基本性质： 1）具有质量； 2）占有位置； 3） 无体积。 ⑶物体能否视为质点是有条件的、相对的。视研 究问题的性质和精确度而定.
3、平均速率与瞬时速率
定义：平均速率=Δs/Δt
称为质点在Δt时间段内的平均速率。为了描 述运动细节，引进瞬时速率。
定义：v=ds/dt
称为t时刻质点的瞬时速率，简称速率.当Δt趋 于零时， Δr=dr, Δs=ds,所以，瞬时速率=瞬时速 度的大小。
结论：质点速率等于其速度大小或等于路程对时 间的一阶导数。
二、位置矢量 运动方程 轨迹方程 位移
1.位矢：表征空间某点P的位置，由原点0到P 的矢量；如 图1-2
z
z
r
op
xi
yj
zk
r r x2 y2 z2
cos x , cos y , cos z
r
r
r
x
rP
y
y
x
图 1-2
2、运动方程 质点的位置坐标与时间的函数关系，称为运 动方程。 运动方程