《空间中直线与直线的位置关系》习题
2.1.2直线和直线位置关系2
(3)解决问题
思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角 (或夹角).
o o
异面直线所成的角的范围( 0 , 90 ]
课本例题3：如图，已知正方体中， （1）哪些棱所在的直线与直线BA1是 异面直线？ （2）直线BA1与直线CC1的夹角为多 少？ （3）哪些棱所在的直线与直线AA1垂 D1 C1 直？
A1 B1
D
A B
C
例题4： 如图所示，在空间四边形ABCD 中，AD＝BC＝2，E、F分别是AB、CD 的中点．若EF＝ 2 ，求AD、BC所成的 角．
求异面直线所成的角的步骤是:
一作(找)：作（或找）平行线
二证：证明所作的角为所求的异 面直
线所成的角。
三求：在一恰当的三角形中求出角
BACK
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三.课堂练习
如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB = 2 (1)求BC 和EG 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度? 解答： (1)∵GF∥BC 2 E
如果两条异面直线 a , b 所成的角为直 角，我们就称这两 条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位
置不同时, 这一角的大小是否改变?
b′ b
a′ ″
O
BACK
NEXT
1、异面两直线所成交的大小与0点的位置无关。
o o
2、异面直线所成的角的范围( 0 , 90 ] 3、在求作异面直线所成的角时,O点常选在其 中的一条直线上 (如线段的端点,线段的中点等)
2.4.1空间中直线与直线之间的位置关系
A F B
空间两直线的位置关系
相交直线 平行直线 异面直线 ：不同在任何一个 平面内的两条直线
公理4：在空间平行于同一条直线的两条直
线互相平行．（平行线传递性） 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补． 异面直线所成的角：平移，转化为相交直线所成的角
异面直线所成角的求法: 一作(找) 二证 三求
D1
G
A1
E B1
C1
D
F
C B
求异面直线所成的角的步骤是: 一作：作（或找）平行线 二证：证明所作的角为所求的异面 直线所成的角 三算：在一恰当的三角形中求出角
2 5 5
A
例3 四边形ABCD是空间四边形，E、 G分别是边AB、 CD的中点，H、F分别是边AD、CB的中点，求证：四 边形EFGH是平行四边形. A
A B F G C E
D G
C
A D B
H
H
E F
二、异面直线的画法
说明: 画异面直线时,为了体现它们不共面的特点， 常借助一个或两个平面来衬托. 如图：
b A b
(2)
a
a b
(3)
a
(1)
在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行,那么 这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢? 观察: 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, …之间有何关系？
600
A
A H E E G
D
C B
D G H C
B
注意：在求作异面直线所成角的平移过程中，经 常移到其中一条线段的端点或线段的中点处。
练习 1如图, 长方体ABCD-EFGH中, AB =2 3 , AD = 2 3 , AE = 2
高中数学第二章空间中直线与直线之间的位置关系课时作业含解析新人教A版必修2
高中数学课时分层作业：课时作业9 空间中直线与直线之间的位置关系——基础巩固类——1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(C)A．一定平行B．一定异面C．相交或异面D．一定相交解析：在空间中分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是异面或相交．故选C．2．两等角的一组对应边平行，则(D)A．另一组对应边平行B．另一组对应边不平行C．另一组对应边不可能垂直D．以上都不对解析：另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直．注意和等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别．3．长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有(C)A．2对B．3对C．6对D．12对解析：如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，∴与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，∴长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对．故选C．4．若直线a，b与直线l所成的角相等，则a，b的位置关系是(D)A．异面B．平行C．相交D．相交、平行、异面均可能解析：若a∥b，显然直线a，b与直线l所成的角相等；若a，b相交，则a，b确定平面α，若直线l⊥α，则l⊥a，l⊥b，此时直线a，b与直线l所成的角相等；当直线a，b异面时，同样存在直线l与a，b都垂直，此时直线a，b与直线l所成的角相等．故选D．5．如下图所示，若G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有(D)A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④解析：①中GH ∥MN ；③中GM ∥HN 且GM ≠HN ，故GH ，MN 必相交，所以①③中GH ，MN 共面，故选D ．6．在四面体ABCD 中，AD ＝BC ，且AD ⊥BC ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，则EF 与BC 所成的角为( B )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 解析：如图，取BD 的中点G ，连接EG ，GF ，则∠EFG 即为异面直线EF 与BC 所成的角．因为EG ＝12AD ，GF ＝12BC ，且AD ＝BC ，所以EG ＝GF .因为AD ⊥BC ，EG ∥AD ，GF ∥BC ，所以EG ⊥GF ，所以△EGF 为等腰直角三角形，所以∠EFG ＝45°.7．已知空间两个角α，β，且α与β的两边对应平行，α＝60°，则β为60°或120°. 解析：根据“等角定理”可知，α与β相等或互补，故β为60°或120°. 8．如图所示，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，AA 1的中点．(1)直线AB 1和CC 1所成的角为45°； (2)直线AB 1和EF 所成的角为60°.解析：如图．(1)因为BB1∥CC1，所以∠AB1B即为异面直线AB1与CC1所成的角，∠AB1B＝45°.(2)连接B1C，易得EF∥B1C，所以∠AB1C即为异面直线AB1和EF所成的角．连接AC，则△AB1C为正三角形，所以∠AB1C＝60°.9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．其中正确结论的序号是①③.解析：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN为异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，所以只有①③正确．10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1的中点．求证：(1)GB∥D1F；(2)∠BGC＝∠FD1E.证明：(1)因为E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点，所以CE綊GD1，BF綊GD1，所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形．所以GC∥D1E，GB∥D1F.(2)因为∠BGC 与∠FD 1E 两边的方向都相同，所以∠BGC ＝∠FD 1E .11.如图，在三棱锥A -BCD 中，O ，E 分别是BD ，BC 的中点，AO ⊥OC ，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝2，求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值．解：如图，取AC 的中点M ，连接OM ，ME ，OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB ，OE ∥DC ，所以直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角．EM ＝12AB ＝22，OE ＝12DC ＝1，因为OM 是Rt △AOC 斜边AC 上的中线， 所以OM ＝12AC ＝1，取EM 的中点H ，连接OH ，则OH ⊥EM ，在Rt △OEH 中，所以cos ∠OEM ＝EH OE ＝12×221＝24.——能力提升类——12．已知在空间四边形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，且AC ＝4，BD ＝6，则( A )A ．1<MN <5B ．2<MN <10C ．1≤MN ≤5D ．2<MN <5解析：取AD 的中点H ，连接MH ，NH ，则MH 綊12BD ，NH 綊12AC ，且M ，N ，H 三点构成三角形．由三角形中三边关系可得|MH －NH |<MN <|MH ＋NH |，即1<MN <5.13．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1上有一只蚂蚁从A 点出发沿正方体的棱前进，若它走进的第(n ＋2)条棱与第n 条棱是异面的，则这只蚂蚁走过第 2 018条棱之后的位置可能在( D )A ．点A 1处B ．点A 处C ．点D 处 D ．点B 1处解析：由图形(如图)结合正方体的性质知，与直线AB异面的直线有A1D1，B1C1，CC1，DD1，共4条．蚂蚁从A点出发，走进的第(n＋2)条棱与第n条棱是异面的，如AB→BC→CC1→C1D1→D1A1→A1A，按照此走法，每次要走6条棱才回到起点．∵2 018＝6×336＋2，∴这只蚂蚁走过第2 018条棱之后的位置与走过第2条棱之后的位置相同．而前2条棱的走法有以下几种情况：AB→BB1，AB→BC，AD→DC，AD→DD1，AA1→A1B1，AA1→A1D1.故走过第2条棱之后的位置可能有以下几种情况：B1，C，D1.故选D．14．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1与DM所成的角为90°.解析：如图所示，连接BC1，则BC1∥AD1，则异面直线AD1与DM所成的角为直线BC1与DM 所成的角．∵M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，∴BC1∥MN.∵∠CMN＝90°，∴BC1⊥MC，又MC是斜线DM在平面BCC1B1上的射影，∴DM⊥BC1，∴直线BC1与DM所成的角为90°，则异面直线AD1与DM所成的角为90°.15．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB ＝BC＝23，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，求AA1的长．解：如图，连接CD1，AC．由题意得在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC＝23，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1，∴∠AD1C为A1B和AD1所成的角．∵异面直线A1B和AD1所成的角为90°，∴∠AD1C＝90°.∵在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，且底面是菱形，∴△ACD1是等腰直角三角形，∴AD1＝22AC．∵底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝23，∠ABC＝120°，∴AC＝23×sin60°×2＝6，∴AD1＝22AC＝32，∴AA1＝AD21－A1D21＝ 6.。
空间中直线与直线的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系[新知初探]1．异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．(2)异面直线的画法：2．空间两条直线的位置关系位置关系特点相交同一平面内，有且只有一个公共点平行同一平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点[点睛](1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a⊂α，b⊂β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．3．平行公理(公理4)(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．a∥b b∥c⇒a∥c.(2)符号表述：}4．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．5．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°.(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.[点睛](1)异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°，所以垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直．(2)公理4也称为平行公理，表明空间的平行具有传递性，它在直线、平面的平行关系中得到了广泛的应用．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条直线无公共点，则这两条直线平行()(2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行()(3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线()(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是()A．共面B．平行C．异面D．平行或异面解析：选D空间中两直线的位置关系有：①相交；②平行；③异面．两条直线平行和两条直线异面都满足两条直线没有公共点，故a与b的位置关系是平行或异面．3．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于()A．30°B．30°或150°C．150°D．以上结论都不对解析：选B由等角定理可知∠PQR与∠ABC相等或互补，故∠PQR＝30°或150°.两直线位置关系的判定[典例]如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．[解析](1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1綊BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．[答案](1)平行(2)异面(3)相交(4)异面(1)判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．(2)判定两条直线是异面直线的方法①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．[活学活用]1．在空间四边形ABCD中，E，F分别为对角线AC，BD的中点，则BE与CF() A．平行B．异面C．相交D．以上均有可能解析：选B假设BE与CF是共面直线，设此平面为α，则E，F，B，C∈α，所以BF，CE⊂α，而A∈CE，D∈BF，所以A，D∈α，即有A，B，C，D∈α，与ABCD为空间四边形矛盾，所以BE与CF是异面直线，故选B.2．若a，b为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．异面或相交解析：选D由空间直线的位置关系，知c与b可能异面或相交．平行公理与等角定理的应用[典例]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.[证明](1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴A1M1綊AM，∴四边形AMM1A1是平行四边形，∴A1A綊M1M.又∵A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.(1)空间两条直线平行的证明：①定义法：即证明两条直线在同一个平面内没有公共点；②利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．(2)“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，这是两种情况都有可能．[活学活用]如图，已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.证明：(1)如图，连接AC，在△ACD中，∵M，N分别是CD，AD的中点，∴MN是△ACD的中位线，∴MN∥AC，MN＝12AC.由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1.∴MN∥A1C1，且MN＝12A1C1，即MN≠A1C1，∴四边形MNA1C1是梯形．(2)由(1)可知MN∥A1C1.又∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，∴∠DNM＝∠D1A1C1.异面直线所成角[典例] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，1111的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．[解] 法一：如图1所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.图1法二：如图2所示，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，则HE綊12DB1，于是∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．连接HF，设AA1＝1，则EF＝22，HE＝32，取A1D1的中点I，连接HI，IF，则HI⊥IF，∴HF2＝HI2＋IF2＝5 4，∴HF2＝EF2＋HE2，∴∠HEF＝90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.图2法三：如图3，连接A1C1，分别取AA1，CC1的中点M，N，连接MN. ∵E，F分别是A1B1，B1C1的中点，∴EF∥A1C1，又MN∥A1C1，∴MN∥EF.连接DM，B1N，MB1，DN，则B1N綊DM，∴四边形DMB1N为平行四边形，∴MN与DB1必相交，设交点为P，则∠DPM为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．设AA1＝k(k>0)，则MP＝22k，DM＝52k，DP＝32k，∴DM2＝DP2＋MP2，∴∠DPM＝90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.法四：如图4，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连接B1Q，易得B1Q∥EF，∴∠DB1Q就是异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．设AA1＝k(k>0)，则B1D＝3k，DQ＝5k，B1Q＝2k，∴B1D2＋B1Q2＝DQ2，∴∠DB1Q＝90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2)证：证明作出的角就是要求的角；(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角范围是0°＜θ≤90°.[活学活用]如图所示，点A是△BCD所在平面外一点，AD＝BC，E，F分别是AB，CD的中点，当EF＝22AD时，求异面直线AD和BC所成的角．解：如图所示，设G为AC的中点，连接EG，FG. ∵E，F，G分别为AB，CD，AC的中点．∴EG∥BC，且EG＝12BC；FG∥AD，且FG＝12AD.又AD＝BC，∴EG＝FG＝12AD.∴EG与GF所成的锐角(或直角)即为AD与BC所成的角．在△EFG中，∵EG＝FG＝12AD，又EF＝22AD，∴EG2＋FG2＝EF2，即EG⊥FG.∴∠EGF＝90°.故AD与BC所成角为90°.层级一学业水平达标1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c()A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．一定垂直解析：选D因为a⊥b，b∥c，则a⊥c，故选D.2．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条()A．相交B．异面C．相交或异面D．平行解析：选C如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1相交，与BC异面．3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是() A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：选C如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故选C.4．已知直线a，b，c，下列三个命题：①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.其中，正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选A①不正确如图；②不正确，有可能相交也有可能异面；③不正确．可能平行，可能相交也可能异面．5．异面直线a，b，有a⊂α，b⊂β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是()A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交解析：选D若c与a，b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由公理4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．6.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是________．解析：连接AD1，则AD1∥BC1.∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，∴∠CAD1＝60°，即AC与BC1所成的角为60°.答案：60°7．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS是异面直线的一个图是________(填序号)．解析：①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．答案：③8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．解析：如图，过点M作ME∥DN交CC1于点E，连接A1E，则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角)．设正方体的棱长为a，则A1M＝32a，ME＝54a，A1E＝414a，所以A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，即异面直线A1M与DN所成的角为90°. 答案：90°9.如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1-ABCD的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．证明：设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ綊A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，∴EQ綊B1C1(平行公理)．∴四边形EQC1B1为平行四边形．∴B1E綊C1Q.又∵Q，F是DD1，C1C两边的中点，∴QD綊C1F.∴四边形QDFC1为平行四边形．∴C1Q綊DF.∴B1E綊DF.∴四边形B1EDF为平行四边形．10.如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角．解：如图所示，取BD的中点G，连接EG，FG.∵E，F分别为BC，AD的中点，AB＝CD，∴EG∥CD，GF∥AB，且EG＝12CD，GF＝12AB.∴∠GFE就是EF与AB所成的角，EG＝GF.∵AB⊥CD，∴EG⊥GF.∴∠EGF＝90°.∴△EFG为等腰直角三角形．∴∠GFE＝45°，即EF与AB所成的角为45°.层级二应试能力达标1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，C1D的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：选A如图所示，连接BD1，CD1，CD1与C1D交于点F，由题意可得四边形A1BCD1是平行四边形，在平行四边形A1BCD1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，所以EF∥BD1，所以直线A1B与直线EF相交，故选A.2．在三棱锥A-BCD中，AC⊥BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH 是( )A ．菱形B ．矩形C ．梯形D ．正方形解析：选B 如图，在△ABD 中，点H ，E 分别为边AD ，AB 的中点，所以HE 綊12BD ，同理GF 綊12BD ，所以HE 綊GF ，所以四边形EFGH 为平行四边形．又AC ⊥BD ，所以HG ⊥HE ，所以四边形EFGH 是矩形，故选B.3．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与BC 1所成的角的大小是( )A ．60°B ．75°C ．90°D ．105°解析：选C 设BB 1＝1，如图，延长CC 1至C 2，使C 1C 2＝CC 1＝1，连接B 1C 2，则B 1C 2∥BC 1，所以∠AB 1C 2为AB 1与BC 1所成的角(或其补角)．连接AC 2，因为AB 1＝3，B 1C 2＝3，AC 2＝6，所以AC 22＝AB 21＋B 1C 22，则∠AB 1C 2＝90°.4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所成的角θ的取值范围是( )A ．0°<θ<60°B ．0°≤θ<60°C ．0°≤θ≤60°D ．0°<θ≤60°解析：选D 如图，连接CD 1，AC ，因为CD 1∥BA 1，所以CP 与BA 1所成的角就是CP 与CD 1所成的角，即θ＝∠D 1CP .当点P 从D 1向A 运动时，∠D 1CP 从0°增大到60°，但当点P 与D 1重合时，CP ∥BA 1，与CP 与BA 1为异面直线矛盾，所以异面直线CP 与BA 1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°.5.如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，则异面直线EF 与B 1D 1所成的角为__________．解析：连接BC 1，AD 1，AB 1，则EF 为△BCC 1的中位线，∴EF ∥BC 1.又∵AB 綊CD 綊C 1D 1，∴四边形ABC 1D 1为平行四边形．∴BC 1∥AD 1.∴EF ∥AD 1.∴∠AD 1B 1为异面直线EF 和B 1D 1所成的角或其补角．在△AB 1D 1中，易知AB 1＝B 1D 1＝AD 1，∴△AB 1D 1为正三角形，∴∠AD 1B 1＝60°.∴EF 与B 1D 1所成的角为60°.答案：60°6.如图，空间四边形ABCD 的对角线AC ＝8，BD ＝6，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，并且异面直线AC 与BD 所成的角为90°，则MN 等于________．解析：取AD 的中点P ，连接PM ，PN ，则BD ∥PM ，AC ∥PN ，∴∠MPN 即异面直线AC 与BD 所成的角，∴∠MPN ＝90°，PN ＝12AC ＝4，PM ＝12BD ＝3，∴MN ＝5. 答案：57．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1与AC ，AB 所成的角均为60°，∠BAC ＝90°，且AB ＝AC ＝AA 1，求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值．解：如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC -A 1B 1D 1C 1，连接BD 1，A 1D 1，AD ， 由四棱柱的性质知BD 1∥AC 1，则∠A 1BD 1就是异面直线A 1B 与AC 1所成的角．设AB ＝a ，∵AA 1与AC ，AB 所成的角均为60°，且AB ＝AC ＝AA 1，∴A 1B ＝a ，BD 1＝AC 1＝2AA 1·cos 30°＝3a .又∠BAC ＝90°，∴在矩形ABCD 中，AD ＝2a ，∴A 1D 1＝2a ，∴A 1D 21＋A 1B 2＝BD 21，∴∠BA 1D 1＝90°， ∴在Rt △BA 1D 1中，cos ∠A 1BD 1＝A 1B BD 1＝a 3a ＝33.8.正三棱锥S -ABC 的侧棱长与底面边长都为a ，E ，F 分别是SC ，AB 的中点，求直线EF 和SA 所成的角．解：如图，取SB 的中点G ，连接EG ，GF ，SF ，CF .在△SAB 中，F ，G 分别是AB ，SB 的中点，∴FG ∥SA ，且FG ＝12SA . 于是异面直线SA 与EF 所成的角就是直线EF 与FG 所成的角．在△SAB 中，SA ＝SB ＝a ，AF ＝FB ＝12a ，∴SF⊥AB，且SF＝3 2a.同理可得CF⊥AB，且CF＝3 2a.在△SFC中，SF＝CF＝32a，SE＝EC，∴FE⊥SC且FE＝SF2－SE2＝2 2a.在△SAB中，FG是中位线，∴FG＝12SA＝a2.在△SBC中，GE是中位线，∴GE＝12BC＝a2.在△EGF中，FG2＋GE2＝a22＝FE2，∴△EGF是以∠FGE为直角的等腰直角三角形，∴∠EFG＝45°.∴异面直线SA与EF所成的角为45°.。
空间两条直线之间的位置关系
3. 如图,已知长方体ABCD-EFGH中,
AB = 2 3 , AD = 2 3 , AE = 2
(1)求BC 和EG 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度?
(1)∵GF∥BC H E 2 A
2 3 D 2 3
G F C B
∴∠EGF（或其补角）为所求.
a与b是异面直线
a与b是相交直线
a与b是平行直线
4.空间直线与直线之间的位置关系
相交直线 同在一个平面内 按是否在 同一平面内分 平行直线
不同在任何一个平面内: 异面直线 有一个公共点: 相交直线 按公共点个数分 无公共点 平行直线 异面直线
(1)在如图所示的正方体中，指出哪些 棱所在的直线与直线BA1是异面直线？
Rt△EFG中，求得∠EGF = 45 (2) ∵BF∥AE ∴∠FBG（或其补角）为所求, Rt△BFG中，求得∠FBG = 60o
o
6.小结：
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线. 相交直线 空间两直线的位置关系 平行直线 异面直线 异面直线的画法 异面直线所成的角 辅助平面衬托法 平移，转化为相交直线所成的角
温故知新
判断下列命题对错： 1.如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这 条直线上的所有点都在这个平面内。（ ） 2.将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课 桌所在平面只有一个公共点。 （） 3.四个点中如果有三个点在同一条直线上，那么 这四个点必在同一个平面内。 （ ） 4.一条直线和一个点可以确定一个平面。（ ） 5.如果一条直线和另两条直线都相交，那么这三 条直线可以确定一个平面。 （ ）
空间中直线与直线之间的位置关系(附答案)
空间中直线与直线之间的位置关系[学习目标] 1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题.知识点一空间中两条直线的位置关系1.异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.要点分析：①异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交，也不平行.②不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图中，虽然有a⊂α，b⊂β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线.(2)画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感.如图所示，a与b为异面直线.(3)判断方法方法内容定义法依据定义判断两直线不可能在同一平面内定理法过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用)反证法假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设“两条直线不是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线2.空间中两条直线位置关系的分类(1)按两条直线是否共面分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点平行直线：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)按两条直线是否有公共点分类⎩⎨⎧有且仅有一个公共点——相交直线无公共点⎩⎪⎨⎪⎧平行直线异面直线思考 (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ (2)两条垂直的直线必相交吗？ 答 (1)不一定.可能相交、平行或异面. (2)不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直. 知识点二 公理4(平行公理)知识点三 空间等角定理 1.定理判断或证明两个角相等或互补2.推广如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 思考 如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？ 答 不一定.这两条直线可能相交、平行或异面 知识点四 异面直线所成的角1.概念：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).2.异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°.3.如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b.4.异面直线所成的角的两种求法(1)在空间任取一点O，过点O分别作a′∥a，b′∥b，则a′与b′所成的锐角(或直角)为异面直线a与b所成的角，然后通过解三角形等方法求角.(2)在其中一条直线上任取一点(如在b上任取一点)O，过点O作另一条直线的平行线(如过点O作a′∥a)，则两条直线相交所成的锐角(或直角)为异面直线所成的角(如b与a′所成的角)，然后通过解三角形等方法求角(如图).题型一空间两条直线的位置关系的判定例1若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A.平行B.异面C.相交D.平行、相交或异面答案 D解析可借助长方体来判断.如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面.跟踪训练1如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是________； (4)直线AB 与直线B 1C 的位置关系是________. 答案 (1)平行 (2)异面 (2)相交 (4)异面 解析 序号 结论 理由(1) 平行 因为A 1D 1綊BC ，所以四边形A 1BCD 1为平行四边形，所以A 1B ∥D 1C(2) 异面 A 1B 与B 1C 不同在任何一个平面内(3) 相交 D 1D ∩D 1C ＝D 1(4) 异面AB 与B 1C 不同在任何一个平面内题型二 公理4、等角定理的应用例2 E ，F 分别是长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱A 1A ，C 1C 的中点，求证：四边形B 1EDF 是平行四边形.证明 设Q 是DD 1的中点， 连接EQ ，QC 1. 因为E 是AA 1的中点， 所以11//D A EQ .又因为在矩形A 1B 1C 1D 1中，1111//C B D A ， 所以11//C B EQ .所以四边形EQC 1B 1为平行四边形.所以Q C E B 11//. 又因为Q ，F 分别是矩形DD 1C 1C 两边D 1D ，C 1C 的中点， 所以F C QD 1//.所以四边形DQC 1F 为平行四边形. 所以FD Q C //1.又因为Q C E B 11//，所以FD E B //1. 所以四边形B 1EDF 为平行四边形.跟踪训练2 如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)若四边形EFGH 是矩形，求证：AC ⊥BD . 证明 (1)在△ABD 中，∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴EH ∥BD .同理FG ∥BD ，则EH ∥FG . 故E ，F ，G ，H 四点共面.(2)由(1)知EH ∥BD ，同理AC ∥GH . 又∵四边形EFGH 是矩形， ∴EH ⊥GH .故AC ⊥BD .题型三 异面直线所成的角例3 如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 和AB 所成的角. 解 如图，取BD 的中点G ，连接EG ，FG . 因为E ，F 分别为BC ，AD 的中点， AB ＝CD ，所以EG ∥CD ，GF ∥AB ， 且EG ＝12CD ，GF ＝12AB .所以∠GFE 就是EF 与AB 所成的角或其补角，EG ＝GF . 因为AB ⊥CD ，所以EG ⊥GF .所以∠EGF ＝90°. 所以△EFG 为等腰直角三角形.所以∠GFE ＝45°，即EF 与AB 所成的角为45°.跟踪训练3 空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 与AB 所成角的大小. 解 取AC 的中点G ，连接EG ，FG ， 则EG //12AB ，GF //12CD .故直线GE ，EF 所成的锐角即为AB 与EF 所成的角， 直线GE ，GF 所成的锐角即为AB 与CD 所成的角. ∵AB 与CD 所成的角为30°，∴∠EGF ＝30°或150°. 由AB ＝CD ，知EG ＝FG ，∴△EFG 为等腰三角形. 当∠EGF ＝30°时，∠GEF ＝75°； 当∠EGF ＝150°时，∠GEF ＝15°. 故EF 与AB 所成的角为15°或75°.转化与化归思想例5 在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2a ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，EF ＝3a ，求异面直线AD ，BC 所成的角.分析 要求异面直线AD ，BC 所成的角，可在空间中找一些特殊点，将AD ，BC 平移至一个三角形中.此题已知E ，F 分别为AB ，CD 的中点，故可寻找一边中点，如BD 的中点M ，则∠EMF (或其补角)为所求角.解 如图，取BD 的中点M .由题意，知EM 为△BAD 的中位线， 所以EM ∥AD 且EM ＝12AD .同理，MF ∥BC 且MF ＝12BC .所以EM ＝a ，MF ＝a ，且∠EMF (或其补角)为所求角. 在等腰△MEF 中，取EF 的中点N ， 连接MN ，则MN ⊥EF . 又因为EF ＝3a ， 所以EN ＝32a . 故有sin ∠EMN ＝EN EM ＝32.所以∠EMN ＝60°，所以∠EMF ＝2∠EMN ＝120°. 因为∠EMF ＝120°＞90°，所以AD ，BC 所成的角为∠EMF 的补角， 即AD 和BC 所成的角为60°.反证法的合理应用例6 如图，三棱锥P －ABC 中，E 是PC 上异于点P 的点.求证：AE 与PB 是异面直线.分析利用定义直接证明，即从不同在任何一个平面内中的“任何”开始入手，一个平面一个平面地寻找是不可能实现的，因此必须找到一个间接证法来证明，反证法即是一种行之有效的方法.证明假设AE与PB不是异面直线，设AE与PB都在平面α内，因为P∈α，E∈α，所以PE⊂α.又因为C∈PE，所以C∈α.所以点P，A，B，C都在平面α内.这与P，A，B，C不共面(P－ABC是三棱锥)矛盾.于是假设不成立，所以AE与PB是异面直线.1.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A.共面B.平行C.异面D.平行或异面2.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交3.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线()A.有无数条B.有两条C.至多有两条D.有一条4.如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN 是异面直线的图形有________.(填序号)5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为________.一、选择题1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A.一定平行B.一定相交C.一定异面D.相交或异面2.已知空间两个角α，β，α与β的两边对应平行，且α＝60°，则β等于()A.60°B.120°C.30°D.60°或120°3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线BA1与CC1所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°4.下面四种说法：①若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；②若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交；③若a∥b，则a、b与c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中正确的个数是()A.4B.3C.2D.15.空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是()A.梯形B.矩形C.平行四边形D.正方形6.若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8,12，则过AB的中点E且平行于BD，AC的截面四边形的周长为()A.10B.20C.8D.47.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()1与B1E是异面直线B.C1C与AE共面C.AE与B1C1是异面直线D.AE与B1C1所成的角为60°二、填空题8.在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对.9.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论中正确的序号为________.10.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角为______.三、解答题11.如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA ＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值.12.如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且有AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.(1)证明：E，F，G，H四点共面；(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD，试证明：EG＝FH.当堂检测答案1.答案 D解析 若直线a 和b 共面，则由题意可知a ∥b ；若a 和b 不共面，则由题意可知a 与b 是异面直线.2.答案 B解析 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1与BC 是异面直线，又AA 1∥BB 1，AA 1∥DD 1，显然BB 1∩BC ＝B ，DD 1与BC 是异面直线，故选B.3.答案 A解析 我们现在研究的平台是锥空间.如图所示，过点P 作直线l ′∥l ，以l ′为轴，与l ′成30°角的圆锥面的所有母线都与l 成30°角.4.答案 ②④解析 ①中，∵G ，M 是中点，∴AG 綊BM ，∴GM 綊AB 綊HN ，∴GH ∥MN ，即G ，H ，M ，N 四点共面；②中，∵H ，G ，N 三点共面，且都在平面HGN 内，而点M 显然不在平面HGN 内，∴H ，G ，M ，N 四点不共面，即GH 与MN 异面；③中，∵G ，M 是中点，∴GM 綊12CD ，∴GM 綊12HN ，即GMNH 是梯形，则HG ，MN 必相交，∴H ，G ，M ，N 四点共面；④中，同②，G ，H ，M ，N 四点不共面，即GH 与MN 异面.5.答案 13解析 设棱长为1，因为A 1B 1∥C 1D 1，所以∠AED 1就是异面直线AE 与A 1B 1所成的角.在△AED 1中，cos ∠AED 1＝D 1E AE ＝1232＝13.课时精练答案一、选择题1.答案D解析 可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾).2.答案 D解析 由等角定理，知β与α相等或互补，故β＝60°或120°.3.答案 B解析 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1∥CC 1，故∠B 1BA 1就是异面直线BA 1与CC 1所成的角，故为45°.4.答案 D解析 若a 、b 异面，b 、c 异面，则a 、c 相交、平行、异面均有可能，故①不对.若a 、b 相交，b 、c 相交，则a 、c 相交、平行、异面均有可能，故②不对.若a ⊥b ，b ⊥c ，则a 、c 平行、相交、异面均有可能，故④不对.③正确.5.答案 D解析 如图，因为BD ⊥AC ，且BD ＝AC ，又因为E ，F ，G ，H 分别为对应边的中点，所以FG //EH //12BD ，HG //EF //12AC .所以FG ⊥HG ，且FG ＝HG .所以四边形EFGH 为正方形.6.答案 B解析 设截面四边形为EFGH ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，∴EF ＝GH ＝12AC ＝4，FG ＝HE ＝12BD ＝6，∴周长为2×(4＋6)＝20. 7.答案 C解析 由于CC 1与B 1E 都在平面C 1B 1BC 内，故C 1C 与B 1E 是共面的，所以A 错误；由于C 1C 在平面C 1B 1BC 内，而AE 与平面C 1B 1BC 相交于E 点，点E 不在C 1C 上，故C 1C 与AE 是异面直线，B 错误；同理AE 与B 1C 1是异面直线，C 正确；而AE 与B 1C 1所成的角就是AE 与BC 所成的角，E 为BC 中点，△ABC 为正三角形，所以AE ⊥BC ，D 错误.综上所述，故选C.二、填空题8.答案 8解析 以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD 是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线.9.答案 ①③解析 把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，AB ⊥EF ，EF 与MN 是异面直线，AB ∥CM ，MN ⊥CD ，只有①③正确.10.答案 60°解析 连接BC 1，A 1C 1，∵BC 1∥AD 1，∴异面直线A 1B 与AD 1所成的角即为直线A 1B 与BC 1所成的角.在△A 1BC 1中，A 1B ＝BC 1＝A 1C 1，∴∠A 1BC 1＝60°，故异面直线A 1B 与AD 1所成的角为60°.三、解答题11.解 取AC 的中点F ，连接EF ，BF ，在△ACD 中，E ，F 分别是AD ，AC 的中点，∴EF ∥CD ，∴∠BEF 即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角(或其补角).在Rt △ABC 中，BC ＝2，AB ＝AC ，∴AB ＝AC ＝1，在Rt △EAB 中，AB ＝1，AE ＝12AD ＝12，∴BE ＝52. 在Rt △AEF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，∴EF ＝22. 在Rt △ABF 中，AB ＝1，AF ＝12，∴BF ＝52. 在等腰三角形EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010， ∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010.12.(1)证明 因为AE ∶EB ＝AH ∶HD ，所以EH ∥BD .又因为CF ∶FB ＝CG ∶GD ，所以FG ∥DB .所以EH ∥FG .所以E ，F ，G ，H 四点共面.(2)解 当且仅当EH ∥FG ，EH ＝FG 时，四边形EFGH 为平行四边形.因为EH BD ＝AE AE ＋EB ＝m m ＋1，所以EH ＝m m ＋1BD . 同理FG ＝n n ＋1BD ，由EH ＝FG ，得m ＝n . 故当m ＝n 时，四边形EFGH 为平行四边形.(3)证明 当m ＝n 时，AE ∶EB ＝CF ∶FB ，所以EF ∥AC .又因为AC ⊥BD ，而∠FEH 是AC 与BD 所成的角，所以∠FEH ＝90°，从而平行四边形EFGH 为矩形，所以EG ＝FH .。
空间直线与直线的位置关系
A H E D G
1 同理， 同理，FG ∥BD且FG = 2 BD 且
∴EH ∥FG且EH =FG 且 ∴EFGH是一个平行四边形 是一个平行四边形
B F C 空间几何问题转化为平面几何 评析： 把所要解的空间几何问题转化为平面几何的问题 评析： 把所要解的空间几何问题转化为平面几何的问题 ——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。 解立体几何时最主要 的一种方法。 解立体几何时最主要、最常用的一种方法
小结 作业
4. 如图 长方体 如图,长方体 长方体ABCD-EFGH中, AB = 2 3 , AD = 2 中 (1)求BC 和EG 所成的角是多少度 求 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度 求 所成的角是多少度? 解答： (1)∵GF∥BC ∵ ∥ ∴∠EGF即为所求 即为所求. ∴∠ 即为所求 Rt△EFG中，求得∠EGF = 45 △ 中 求得∠ (2) ∵BF∥AE ∥ ∴∠FBG即为所求 即为所求, ∴∠ 即为所求 Rt△BFG中，求得∠FBG = 60 △ 中 求得∠
H F D A B
G
C
C G H E F
A D B
EF与HG、 AB与HG、 AB与CD 与 、 与 、 与
4.异面直线所成的角 异面直线所成的角
(1)复习回顾 复习回顾 平面内两条直线交成4个角 其中不大于 平面内两条直线交成 个角,其中不大于 0 个角 其中不大于90 的角称为它们的夹角， 的角称为它们的夹角，夹角刻画了一条直线 相对于另一条直线的倾斜的程度。 相对于另一条直线的倾斜的程度。 (2)问题提出 问题提出 在空间,如图所示 直线 在空间 如图所示,直线 相对于直 如图所示 直线a相对于直 的倾斜程度怎样来刻画呢? 线b的倾斜程度怎样来刻画呢 的倾斜程度怎样来刻画呢
§2.1.2-3空间中直线与直线之间的位置关系(三)
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D
A B
C
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13
§2.1.2-3空间中直线与直线之间的位置关系(三)
求异面直线间的距离的方法:
——找异面直线的公垂线段(既垂直,又相交) 求异面直线间的距离的步骤: (1)找(作)异面直线的公垂线段——作; (2)证(说)此即为所求的距离——证; (3)求距离——算.
(1)求证:MN⊥AC
(2)当AB=CD=a,BD=b,
B M α
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A N C
16
AC=c时,求MN的长.
D
§2.1.2-3空间中直线与直线之间的位置关系(三)
课堂练习 <<教材>> P.5
练习1.2
书面作业
<<教材>> P.20 习题1.1 A组1
§2.1.2-3空间中直线与直线之间的位置关系(三)
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§2.1.2-3空间中直线与直线之间的位置关系(三)
教学目的：
1. 理解两条异面直线垂直的概念； 2.了解两条异面直线的公垂线、公垂线段 3.会求两条异面直线间的距离及主要方法。
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§2.1.2-3空间中直线与直线之间的位置关系(三)
教学重点：
异面直线间的距离。
教学难点：
两条异面直线的距离的求法.
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《空间中直线与直线的位置关系》习题
一、选择题
1. 一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条的位置关系是 ( )
A .相交．
B .异面
C .平行．
D .相交或异面．
2.a 、b 是两条异面直线，c 、d 小也是两条异面直线，则a 、c 的位置关系是( )
A .相交、平行或异面．
B .相交或平行．
C .异面
D .平行或异面．
3.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各侧面对角线所在的直线中与B 1D 成异面直线的条数是()
A .3．
B .4．
C .5．
D .6．
4.异面直线a 、b 分别在平面α和β内，若l =βα 则直线l 必定( )
A .分别与a 、b 相交．
B .与a 、b 都不相交．
C .至多与a 、b 中的一条相交．
D .至少与a 、b 中的一条相交．
5. 空间四边形ABCD 中AB =CD ，且AB 与CD 成60°角，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，则EF 与AB 所成角的度数为
( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．30°或60°
二、填空题
6.在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线．②若两条直线没有共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是______．(把符合要求的命题序号都填上)
7.异面直线a ，b 所成角为80º，过空间一点作与直线a ，b 所成角都为θ的直线只可以作2条，则θ的取值范围为_________.
8.如果把两条异面直线看成“一对”，那么在正方体的十二条棱所在的直线中，共有_____对异面直线． 9. 正四棱锥ABCD V -的侧棱长与底面边长相等，E 是V A 中点，O 是底面中心，则异面直线EO 与BC 所成的角是___________.
10. 已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 ①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是__________________(写出所有正确结论的编号)．
三、解答题
11.已知直线a 和b 是异面直线，直线c ∥a ，直线b 与c 不相交，求证b 和c 是异面直线． =132，AC
12.空间四边形ABCD ，已知AD =1，BD =3，且AD ⊥BC ，对角线BD
=32，求AC 和BD 所成的角。
答案与解析
1.D
2.A
3.D
4.D
5.D
6.②
7.40º<θ<50º
8.24.
9.3
π 10.对于命题①，经过两条平行直线分别作两个平面垂直于平面α，则在这两个平面内可以作出两条不垂直的异
面直线．所以①为真．
对于命题②，过平面α内两条互相垂直的直线分别作两个垂直于平面α的平面，则在这两个平面内也可以作出两条异面但不垂直的直线，即②亦真．
对于命题③，当射影为同一条直线时，两条直线同在过这条直线并与平面口垂直的平面內，即共面．故③为假． 同样可推知④为真．
答案：①②④
11.证明：假设b 和c 不是异面直线，则b 和c 共面，∵直线b 与c 不相交，∴b ∥c .
又直线c ∥a ，∴b ∥a .这与已知直线a 和b 是异面直线与矛盾.故b 和c 是异面直线．
12.解：取AB 、AD 、DC 、BD 中点为E 、F 、G 、M ，连EF 、FG 、GM 、ME 、EG .
则
MG 1
2
BC EM 12AD
∵AD ⊥BC ∴EM ⊥MG
在R t △EMG 中，有EG =在RFG 中，∵EF =12BD = ∴EF 2 +FG 2 = EG 2
∴EF ⊥FG ，即AC ⊥BD
∴AC 和BD 所成角为90°. ∥ ＝ ∥ ＝。