生活中的优化问题举例(一)

思考 2: (课本习题 A 组第 3 题) 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应
怎样选取，才能使所用的材料最省？
分析: “所用材料最省”用什么量来刻划?
表面积
设半径为R,则高为
h R
表面积写成R的函数,问题就转化求函数 的最值问题
答案
变式训练
思考 2: (课本习题 A 组第 3 题)
生活中的优化问题举例(一)
课本例1
一句话引入
思考1
思考 2
本课小结
生活中的优化问题举例(一)
生活中经常遇到求利润最大、用 料最省、效率最高等问题，这些问题 通常称为优化问题．通过前面的学习， 我们知道，导数是求函数最大（小） 值的强有力工具．这一节，我们利用 导数，解决一些生活中的优化问题．
问题1 海报版面尺寸设计问题
得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有
利的工具，其基本思路如以下流程图所示:
建立数学模型
优化问题
用函数表示数学问题
解决数学模型
优化问题的答案 作答 用导数解决数学问题
思考1
思考 2
思考 1：在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角 切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)， 做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时， 箱的容积最大？最大容积是多少？
s s 表示汽油行驶的路程（单位：km）．这样，求“每千米路程的 汽油消耗量最少”，就是求 G 的最小值的问题．
具体问题 具体问题分析
问题：通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究， 人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率 g（即每 小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度 v
（单位：km/h）之间有如图所示的函数关系 g f v ．
因此，x=16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点。所以， 当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。
答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。
解法二：由解法(一)得
S(x) 2x 512 8 x
2
2x 512 8 x
232 8 72
当且仅当4x 256 ,即x 8(x 0)时S取最小值
当r (0,2)时, f '(x) 0
当r (2,6)时, f '(x) 0
当半径r＞２时，f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增， 即半径越大，利润越高； 当半径r＜２时，f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减， 即半径越大，利润越低．
例 1．汽油的使用效率何时最高 我们知道，汽油的消耗量 w （单位：L）与汽
１）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的 利润最大？
２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润 最小？
解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是
y f (r) 0.2 4 r3 0.8r 2
0.8 ( r3
3 r 2 ),
0r6
3
令 f '(x) 0.8(r2 2r) 0
当 r 2时, f '(r) 0
60-2x
x
60-2x
面同解法一，略）.
60
注:由题意可知，当 x 过小或过大时箱子容积很小，所以最 大值出现在极值点处．事实上，可导函数
V ( x) x2h 60 x2 x3 、V ( x) (60 2 x)2 x 在各自的定义 2
域中都只有一个极值点，从图象角度理解是单峰的，因而
这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值 新疆 王 1：在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切
去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做
成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底
的容积最大？最大容积是多少？
解法一：设箱底边长为 xcm，则箱高 h 60 x cm，得箱 2
子容积V ( x) x2h 60x2 x3 (0 x 60)． 2
[例1] ：学校或班级举行活动，通常需要张贴海
报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张 贴的海报，要求版心面积为 128dm2 , 上、下两 边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海 报的尺寸，才能使四周空心面积最小？
x 解：设版心的高为 dm，则版心的宽为 128 dm,此时四周
空白面积为 :
∴V ( x) 60x 3x2 (0 x 60)令V ( x) 60x 3x2 ＝0，
2
2
解得 x=0（舍去），x=40， 并求得 V(40)=16 000
由题意可知，当 x 过小（接近 0）或过大（接近 60）时，
箱子容积很小，因此，16 000 是最大值 新疆 王新敞 奎屯
答：当 x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是 16 000cm3
率．进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在
此切点处速度约为 90 km / h ．从数值上看，每千米的耗油
量就是图中切线的斜率，即 f 90 ，约为
L．
小结刚才解决问题的思想方法
方法小结
解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的
统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过
研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题
试利用图像中的数 据信息，解决汽油使 用效率最高的问题．
分析：从图中不能直 接解决汽油使用效率 最高的问题．因此， 我们首先需要将问题 转化为汽油平均消耗率 g 与汽车行驶的平均速度 v 之 间关系的问题.
w
解：因为 G w s
t s
g, v
t
这样,问题就转化为求 g v
的最小值.
从图象上看， g 表示经过原点与曲线上点的直线的斜 v
x
128
512
S(x) (x 4)( 2) 128 2x 8, x 0
求导数，得
S
'
(
x
x)
2
512 x2
x
令S ' ( x)
2
512 x2
0
解得 x 16(x 16 舍去）。
于是宽为 128 128 8
x
16
当 x(0,16) 时，S ' (x) <0；当 x (16, )时，S ' (x) >0.
圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应
怎样选取，才能使所用的材料最省？ 解：设圆柱的高为 h，底半径为 R，则表面
积
S=2πRh+2πR2 由
V=πR2h，得 h
V
R2
，
则 S(R)= 2πR V + 2πR2= 2V +2πR2
R2
R
h R
令
s( R)
2V R2
+4πR=0,
解得，R= 3
建立数学模型
优化问题
用函数表示数学问题
解决数学模型
优化问题的答案 作答 用导数解决数学问题
2.解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建 立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质， 提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数 往往是一个有利的工具。
作业:课本 P37 习题 A 组第 1、2 题
思考 1：在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切
去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做
成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底
的容积最大？最大容积是多少？
60-2x
x
解法二：设箱高为 xcm，则箱底长为 (60-2x)cm ， 则 得 箱 子 容 积60 60-2x V ( x) (60 2x)2 x (0 x 30) ．（后
积最大?
提示： S 2 Rh+ 2 R2 h S 2 R2
h
2 R
R
V(R)= S 2 R2 R2 = 1 (S 2 R2 )R 1 SR R3
2 R
2
2
令V '(R) =0 S 6 R2
6 R2 2 Rh 2 R2 h 2R ．
回顾总结:
1.利用导数解决优化问题的基本思路：
V
2
，
从而 h= V = V = 3 4V =2 3 V 即 h=2R
R2 (3 V )2
2
2
∵S(R)只有一个极值，所以它是最小值 新疆 王新敞 奎屯
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省 新疆 王新敞 奎屯
变式题:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时，
它的高与底面半径应怎样选取，才能使饮料罐的容
x
此时y=
128 8
16
答：应使用版心宽为8dm，长为16dm，四周空白面积最小
问题2 饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?
• 你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一 般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的 道理吗?
• 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
[例2]某制造商制造并出售球形瓶装饮料. 瓶子制造成本是0.8πr2分.已知每出售 1ml的饮料,可获利0.2分,且瓶子的最大 半径为6cm.
车的速度 v （单位：km/h）之间有一定的关系， 汽油的消耗量 w 是汽车速度 v 的函数．根据你的 生活经验，思考下面两个问题： ⑴是不是汽车的速度越快，汽油的消耗量越大？ ⑵“汽油的使用效率最高”的含义是什么？
分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m）就是研究汽油 消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用 G 表示每千米平均的汽 油消耗量，那么 G w ，其中，w 表示汽油消耗量（单位：L），