七年级数学代入法练习.doc
沪科版七年级数学上册 同步课堂练习题作业 第三章 一次方程与方程组 3.3 第2课时 用代入法解二元一次方程组
第2课时 用代入法二元一次方程组一、基础过关1．把下列方程改写成用含x 的代数式表示y 的形式：（1）5x-y=3； （2）2（x-y ）=3；（3）-2x +5y =1； （4）（2x-y ）-3（x-2y ）=12．2．用代入法解方程组310,35 2.x y x y +=⎧⎨-=⎩较简便的步骤是：先把方程________变形为__________，再代入方程___________，求得_________的值，然后再求________的值．3．用代入法解方程组2320,419x y x y +-=⎧⎨+=⎩的正确解法是（ ） A ．先将①变形为x=322y -，再代入② B ．先将①变形为y=223x -，再代入② C ．先将②变形为x=94y-1，再代入① D ．先将②变形为y=9（4x+1），再代入① 4．关于x 、y 的方程组48,326ax y x y -=⎧⎨+=⎩的解中y=0，则a 的取值为（ ） A ．a=4 B ．a>4 C ．a<4 D ．a=-65．关于x 、y 的方程组432,(1)6x y kx k y -=⎧⎨+-=⎩的解x 与y 的值相等，则k 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．16．用代入法解下列方程组：（1）21,731;y xx y=-⎧⎨-=⎩（2）34,25;x yx y=⎧⎨-=-⎩（3）424,22;x yx y-=⎧⎨+=⎩（4）24,228.x yx y+=⎧⎨-=⎩二、综合创新7．（综合题）方程组35,21ax yx by-=⎧⎨+=⎩中，如果1,21xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩是它的一个解，求3（a-b）-a2的值．8．（应用题）（1）取一根绳子测量教室的长度，若把绳子折成5等份来测量，绳子多1米；若把绳子折成4等份来测量，绳子多3米，问绳子和教室各有多长？（2）为了庆祝中国足球队勇夺亚州杯亚军，曙光体育器材厂赠送一批足球给希望中学足球队．若足球队每人领一个则少6个球；若每两人领一个则余6个球．•问这批足球共有多少个？小明领到足球后十分高兴，就仔细研究起足球上的黑白块，结果发现，黑块是五边形，白块是六边形，黑白相间在球体上（如图8-2-1），黑块共12块，问白块有几块？9．（创新题）如果关于x，y的二元一次方程组316,215x ayx by-=⎧⎨+=⎩的解是7,1.xy=⎧⎨=⎩，求关于x，y的方程组的解：（1）3()()16,2()()15;x y a x yx y b x y+--=⎧⎨++-=⎩（2）3(2)16,23(2)15.3x y aybx y y-⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩10．（1）解方程组20, 328; x yx y-=⎧⎨+=⎩（2）解方程组41, 216. x yx y-=-⎧⎨+=⎩三、培优训练11．（探究题）一列快车长168米，一列慢车长184米，如果两车相向而行，从相遇到离开需4秒；如果同向而行，从快车追及慢车到离开需16秒，求两列车的平均速度．四、数学世界欧几里得的数学题古希腊著名数学家欧几里得是欧几里得几何学的创始人，现在中、小学里学的几何学，基本上还是欧几里得几何学体系．下面这道题还与他有关呢！驴子和骡子一同走，它们负担着不同袋数的货物，但每袋货物都是一样重的．驴子抱怨包担太重．“你抱怨啥呢？”骡子说，“如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍，如果我给你一袋，我们的负担恰恰相等．”驴子和骡子各负担着几袋货物？请你也来解解大数学家的这道题．。
(新北师版)七年级数学 代入法训练题(一元一次方程)
代入法训练题（一元一次方程）一．填空题（共40小题）1．已知关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝2，那么关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解为．2．已知x＝2是关于x的一元一次方程1﹣2ax＝x+a的解，则a的值为．3．关于x的方程bx﹣3＝x有解，则b的取值范围是．4．若x＝﹣1是方程2x+a＝0的解，则a＝．5．数学中有很多奇妙现象，比如：关于x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程为“差解方程”．例如：2x＝4的解为2，且2＝4﹣2，则该方程2x＝4是差解方程．若关于x的一元一次方程5x﹣m+1＝0是差解方程，则m＝．6．如果关于x的一元一次方程2x+a＝x﹣1的解是x＝﹣4，那么a的值为．7．若x＝﹣3是方程2（x﹣m）＝6的解，则m的值为．8．请写出一个解为﹣3的一元一次方程．9．已知关于x的方程7﹣kx＝x+2k的解是x＝2，则k＝．10．已知关于x的方程2ax＝（a+1）x+3的解是正整数，则正整数a＝．11．当k＝时，方程kx+4＝3﹣2x无解．12．若关于x一元一次方程x+2018＝2x+m的解为x＝2018，则关于y的一元一次方程（y+1）+2018＝2（y+1）+m的解为．13．若方程3（2x﹣1）＝2+x的解与关于x的方程＝2（x+3）的解互为相反数，则k的值是14．已知关于x的方程kx＝5﹣x，有正整数解，则整数k的值为．15．小明在做作业时，不小心把方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程为：2y﹣y＝﹣■，怎么办？小明想了想，便翻看了书后的答案，此方程的解为y＝，于是，他很快知道了这个常数，他补出的这个常数是．16．如果关于x的方程（m+2）x＝8无解，那么m的取值范围是．17．若x＝2是方程ax+3bx﹣10＝0的解，则3a+9b的值为．18．若x＝0是方程2017x﹣a＝2018x+4的解，则代数式﹣a2﹣a+2的值为．19．已知y＝﹣（t﹣1）是方程2y﹣4＝3（y﹣2 ）的解，那么t的值应该是．20．一列方程如下排列：+＝1的解是x＝2，+＝1的解是x＝3，+＝1的解是x＝4．…根据观察所得到的规律，请你写出其中解是x＝2018的方程是：．21．若关于x的方程3x﹣7＝2x+a的解与方程4x+3a＝7a﹣8的解互为相反数，则a的值为．22．x＝1是方程3x﹣m+1＝0的解，则m的值是．23．已知关于x的方程mx+2＝2（m﹣x）的解满足2x﹣1＝5，那么m的值为．24．若1是方程a（x+1）＝a﹣x的解，则a＝．25．若x＝2是关于x的方程＝x的解，则a的值为．26．关于x的方程3x+a＝x﹣7的根是负数，则实数a的取值范围是．27．已知关于x的方程x﹣3m＝4的解是x＝m，则m的值是．28．若x＝﹣1是关于x的方程﹣3a3x+a+2x＝0的根，则﹣6a3+5﹣2a＝．29．已知关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝2，那么关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解y＝．30．已知一组数列：，记第一个数为a1，第二个数为a2，…，第n个数为a n，若a n是方程的解，则n＝．31．已知关于x的方程kx＝9﹣x有正整数解，则整数k的最大值为．32．若关于x的方程mx+3＝5x+5的解为整数，则整数m＝．33．若方程6x+3＝0与关于y的方程3y+m＝15的解互为相反数，则m＝．34．关于x的方程3x﹣2＝kx+5的解是正整数，则整数k的值为．35．已知关于x的方程3a﹣x＝的解为2，则代数式a2﹣3a﹣1的值是．36．如果关于x的方程ax+2b＝3的解是x＝﹣1，那么代数式a﹣2b＝．37．已知x＝2是关于x的方程2ax+b+5＝0的解，则8a+2b+2027＝．38．已知y＝1是关于y的方程my＝y+2的解，则m2﹣3m+1的值为．39．如果x＝6是方程2x+3a＝6x的解，那么a的值是．40．已知关于x的方程3x﹣2a＝7的解是5，则a的值为．参考答案与试题解析代入法训练题（一元一次方程）一．填空题（共40小题）1．【解答】解：根据题意得y+1＝2，解得y＝1．故答案是y＝1．2．【解答】解：把x＝2代入方程得1﹣4a＝2+a，解得a＝﹣．故答案是：﹣．3．【解答】解：bx﹣3＝x，bx﹣x＝3，（b﹣1）x＝3，∵方程bx﹣3＝x有解，∴b﹣1≠0，即b≠1，故答案为：b≠1．4．【解答】解：把x＝﹣1代入方程得：﹣2+a＝0，解得：a＝2．故答案为：2．5．【解答】解：∵5x﹣m+1＝0，∴5x＝m﹣1，解得：x＝，∵关于x的一元一次方程5x﹣m+1＝0是差解方程，∴m﹣1﹣5＝，解得：m＝，故答案为．6．【解答】解：把x＝﹣4代入方程2x+a＝x﹣1得：﹣8+a＝﹣5，解得：a＝3，故答案为：3．7．【解答】解：将x＝﹣3代入方程得：2（﹣3﹣m）＝6，解得：m＝﹣6．故答案为﹣6．8．【解答】解：根据题意得：x+3＝0，故答案为：x+3＝09．【解答】解：把x＝2代入方程得：7﹣2k＝2+2k，解得：k＝，故答案为：10．【解答】解：方程整理得：（a﹣1）x＝3，解得：x＝，由a为正整数，得到a＝2，4，故答案为：2，411．【解答】解：∵kx+4＝3﹣2x，∴（k+2）x＝﹣1，∴k+2＝0时，方程kx+4＝3﹣2x无解，解得k＝﹣2．故答案为：﹣2．12．【解答】解：设y+1＝x，方程变形得：x+2018＝2x+m，由x+2018＝2x+m的解为x＝2018，得到y+1＝x＝2018，解得：y＝2017．故答案为：y＝2017．13．【解答】解：解3（2x﹣1）＝2+x，得x＝1，∵两方程的解互为相反数，∴将x＝﹣1代入＝2（x+3）得＝4，解得k＝﹣3．故答案为：﹣3．14．【解答】解：由kx＝5﹣x，得x＝．由关于x的方程kx＝5﹣x，有正整数解，得5是（k+1）的倍数，得k+1＝1或k+1＝5．解得k＝0或k＝4，故答案为：0或4．15．【解答】解：∵把y＝代入得：2×﹣×＝﹣■，解得：■＝﹣2，故答案为：﹣2．16．【解答】解∵关于x的方程（m+2）x＝8无解，∴m+2＝0，∴m＝﹣2，故答案为：m＝﹣2．17．【解答】解：把x＝2代入方程ax+3bx﹣10＝0得：2a+6b＝10，即a+3b＝5，所以3a+9b＝3×5＝15，故答案为：15．18．【解答】解：把x＝0代入方程2017x﹣a＝2018x+4得﹣a＝4，解得a＝﹣4，所以﹣a2﹣a+2＝﹣16+4+2＝﹣10．故答案为﹣10．19．【解答】解：将y＝﹣（t﹣1）＝1﹣t代入方程，得：2（1﹣t）﹣4＝3（1﹣t﹣2），解得：t＝﹣1，故答案为：﹣1．20．【解答】解：方程+＝1的解为x＝2018．故答案为+＝1．21．【解答】解：方程3x﹣7＝2x+a的解为：x＝7+a，方程4x+3a＝7a﹣8的解为：x＝a﹣2．因为两个方程的解互为相反数，所以7+a+a﹣2＝0解得a＝﹣．故答案为：﹣．22．【解答】解：∵x＝1是方程3x﹣m+1＝0的解，∴3﹣m+1＝0，解得m＝4．故答案为4．23．【解答】解：解2x﹣1＝5得：x＝3，将x＝3代入方程mx+2＝2（m﹣x），得：3m+2＝2（m﹣3），解得：m＝﹣8，故答案为：﹣8．24．【解答】解：根据题意，将x＝1代入方程，得：2a＝a﹣1，解得：a＝﹣1，故答案为：﹣1．25．【解答】解：把x＝2代入方程＝x得：＝2，解得：a＝4，故答案为：4．26．【解答】解：由3x+a＝x﹣7，解得x＝．由关于x的方程3x+a＝x﹣7的根是负数，得﹣a﹣7＜0．解得a＞﹣7，故答案为：a＞﹣7．27．【解答】解：将x＝m代入方程x﹣3m＝4，得：m﹣3m＝4，解得：m＝﹣2，故答案为：﹣2．28．【解答】解：∵x＝﹣1是关于x的方程﹣3a3x+a+2x＝0的根，∴3a3+a﹣2＝0，∴3a3+a＝2，∴﹣6a3﹣2a＝﹣4，∴﹣6a3+5﹣2a＝5﹣4＝1，故答案为：1．29．【解答】解：把x＝2代入方程x+3＝2x+b得：+3＝4+b，解得：b＝﹣，把b＝﹣代入方程（y+1）+3＝2（y+1）+b得：（y+1）+3＝2（y+1）﹣，解得：y＝1，故答案为：1．30．【解答】解：将方程去分母得：6（1﹣x）＝5（x+1），移项，并合并同类项得：1＝11x，解得x＝，∵a n是方程的解，∴a n＝，则n为11组第一个数，由数列可发现规律：为1组，、、为1组…每组的个数为2n﹣1，n＝1+3+…+19+1＝（1+19）×10÷2+1＝100+1＝101，或n＝1+3+…+21＝（1+21）×11÷2＝121．故答案为：101或121．31．【解答】解：解方程kx＝9﹣x得：x＝，∵关于x的方程kx＝9﹣x有正整数解，k为整数，∴k+1＝9或3或1，解得：k＝8或2或0，k的最大值是8，故答案为：8．32．【解答】解：移项得：mx﹣5x＝5﹣3，合并同类项得：（m﹣5）x＝2，系数化为1得：x＝．∵方程的解为整数，∴m﹣5＝±1或m﹣5＝±2，解得：m＝4或m＝6或m＝3或m＝7．故答案为：4或6或3或7．33．【解答】解：方程6x+3＝0，解得：x＝﹣，把y＝代入3y+m＝15得：+m＝15，解得：m＝，故答案为：34．【解答】解：移项、合并，得（3﹣k）x＝7，解得x＝，∵x为正整数，∴3﹣k＝1或7，解得k＝2或﹣4，故答案为2或﹣4．35．【解答】解：把x＝2代入方程3a﹣x＝得：3a﹣2＝1，解得：a＝1，所以a2﹣3a﹣1＝12﹣3×1﹣1＝﹣3，故答案为：﹣3．36．【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax+2b＝3得﹣a+2b＝3，∴a﹣2b＝﹣3，故答案为：﹣3．37．【解答】解：∵x＝2是方程2ax+b+5＝0的解，∴代入得：4a+b+5＝0，∴4a+b＝﹣5，∴8a+2b+2027＝2（4a+b）+2027＝2×（﹣5）+2027＝2017，故答案为：2017．38．【解答】解：把y＝1代入方程得：m＝3，则原式＝9﹣9+1＝1，故答案为：139．【解答】解：当x＝6时，原方程变形为：12+3a＝36，移项得：3a＝36﹣12，解得：a＝8．故答案为：8．40．【解答】解：∵关于x的方程3x﹣2a＝7的解是5，∴3×5﹣2a＝7，∴a＝4．故答案为：4．。
七年级数学整式整体代入法
七年级数学整式整体代入法好呀，今天我们来聊聊七年级的数学，特别是整式整体代入法。
这个听起来好像有点高深，其实就像我们生活中的小窍门，掌握了就能轻松搞定。
整式是什么呢？想象一下，你在做一道数学题，看到一堆字母像是打成了一团，别担心，这就是整式。
它们就像是你家的调料，可能有点杂乱，但只要用得当，味道就会变得美味可口。
整体代入法，简单来说，就是我们在做题的时候，把某个变量想象成一个“整体”，这样一来，问题看起来就没那么复杂了，仿佛一瞬间让一锅杂烩变成了美味的火锅，嗯，开始流口水了。
好比说，假设我们有一个整式，比如说 (x^2 + 3x + 2)，我们想要解这个方程。
如果把这个 (x) 看作一块大蛋糕，我们可以想象成把蛋糕切成几块，先把它分开，再一个个解决。
整式整体代入法的意思就是，先把这块蛋糕的整体放在脑子里，想象一下，如果我把 (x) 设为某个具体的数，比如 1，哇，立刻算出来的结果就像咬了一口蛋糕，甜得让人心花怒放。
数学就像个迷宫，让人觉得无从下手。
你一头扎进去，转来转去就是找不到出口。
不过整体代入法就像是一把金钥匙，帮你打开那扇通往正确答案的大门。
比如说，你有一个方程 (f(x) = x^2 4)，你想找它的零点，哦，这个时候我们可以把 (x) 代入一些数，看看结果如何。
比如当 (x = 2) 时，哎呀，结果就是 0，这就说明在这儿有个零点，就像找到了一颗闪闪发光的宝石。
整体代入法不仅仅是在解题，它还教会我们一种思考方式。
生活中，我们也常常需要把复杂的事情简单化。
比如，你在筹备一个派对，想想看，先决定主题，然后再考虑菜单、邀请谁，这样一步一步来，不就简单多了吗？整式代入法和这种思考方式有点像，把一个复杂的方程，先简化，再逐步破解，这样就能轻松应对各种数学难题。
咱们还可以说说这个方法的妙用。
很多同学看到复杂的方程就像见到了鬼，心里一惊，其实只要用上整体代入法，就能把“鬼”变成“小猫”。
例如，一个问题里有多个整式相加相减，我们可以找一个变量，先把它当成整体，然后逐步代入，这样解题就像是在解谜，挺有趣的。
七年级数学下册第1章二元一次方程组1、2二元一次方程组的解法第1课时代入消元法习题新版湘教版
A．nm＝＝－2，1
B．mn＝＝－－12，
C．nm＝＝12，
D．mn＝＝1－2，
【点拨】根据题意得mm－ ＋1n＝＝n3， ，解得mn＝＝12.，
13.由二元一次方程组2 2
002200xx＋ ＝419y＝－121y，可得
y
等于(
A
)
A．－4
B．－43
C．53
D．5
【点拨】把 2 020x＝19－2y 代入 2 020x＋4y＝11，
【答案】A
7．若 x, y 满足2xx－＋y＝y＝2，10，则 x ＋ y＝___6_____．
8．解方程组： x＝y＋3，
(1)3x＋2y＝14； 解：x3＝ x＋y＋2y3＝，1①4，② 把①代入②，得 3(y＋3)＋2y＝14，解得 y＝1， 把 y＝1 代入①，得 x＝4，因此原方程组的解为xy＝＝14.，
3x－2y＝－1， (2)x＋3y＝7.
解：3xx＋－32y＝y＝7， －②1，① 由②得 x＝7－3y，③ 将③代入①，得 3(7－3y)－2y＝－1，解得 y＝2， 把 y＝2 代入③，得 x＝1，因此原方程组的解为xy＝＝21.，
9．已知关于 x，y 的方程组m2mx＋ x－n3y＝ny＝7，4的解为xy＝＝21，，则 m，n 的值分别是( A ) A．5，1 B．1，5 C．3，2 D．2，3
所以原方程组的解为yx＝＝1－254.7，
x＋2（x＋2y）＝4，① (2)x＋2y＝2； ②
解：把②代入①，得 x＋2×2＝4，解得 x＝0. 把 x＝0 代入②，得 2y＝2，解得 y＝1. 所以原方程组的解是xy＝＝10.，
(3)【中考·连云港】2xx＝＋1－4y＝y. 5， 解：2xx＝＋1－4y＝y，5，②① 把②代入①，得 2(1－y)＋4y＝5，解得 y＝32. 把 y＝32代入②，得 x＝－12. 所以原方程组的解为xy＝＝32－. 12，
代入法之整体代入法洋葱数学七年级下册
代入法之整体代入法洋葱数学七年级下册
洋葱数学七年级下册中的整体代入法是指在解决问题时，将数据整体代入，而不是逐个代入。
这种方法可以简化计算过程，提高解题效率。
在某些问题中，给定一些数据，我们需要对这些数据进行计算或者进行某些操作。
如果我们逐个代入数据进行计算，往往会比较繁琐。
而使用整体代入法，我们可以将给定的数据整体代入，从而减少计算步骤。
例如，假设题目给出了一组数列（1，2，3，4，5），要求计算这组数列所有数的和。
使用整体代入法时，我们可以将这组数列整体代入求和的公式中：
和 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
这样，我们只需要一步就得到了结果，而不需要逐个数进行累加。
整体代入法在解决数学问题时非常实用，可以简化计算过程，节省时间。
在洋葱数学七年级下册的学习中，我们可以运用整体代入法解决一些实际问题，提高解题效率。
数学人教版七年级下册同步训练：8.2---8.4练习题含答案
8.2 消元——解二元一次方程组一、单选题1.用代入法解方程组{26345x y x y -=+=-较简单的方法是( ) A.消y B.消x C.消x 和消y 一样 D.无法确定2.若关于,x y 的二元一次方程组5,9,x y k x y k +=⎧⎨-=⎩①②的解也是二元一次方程236x y +=的解，则k 的值为（ ）A.34-B.34C.43D.43-3.已知32x y =⎧⎨=-⎩是方程组23ax by bx ay +=⎧⎨+=-⎩的解，则a b +的值是（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣5D ．54.方程组3276211x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是( )A.15x y =-⎧⎨=⎩B.12x y =⎧⎨=⎩C.31x y =⎧⎨=-⎩D.212x y =⎧⎪⎨=⎪⎩5.用“代入消元法”解方程组2327y x x y =-⎧⎨-=⎩①②时，把①代入②正确的是( )A.3247x x -+=B.3247x x --=C.3227x x -+=D.3227x x --=6.若关于x 的方程243x m -=和2x m +=有相同的解，则m 的值是( ) A ．10 B ．10- C ．8 D ．8-7.以1,{1x y ==-为解的二元一次方程组是( )A. 0{1x y x y +=-= B. 0{1x y x y +=-=-C. 0{2x y x y +=-=D. 0{2x y x y +=-=-8.解方程组{332,266,x y x y +=-=①②用加减法消去y ,需要( )A.2⨯-①②B.32⨯+⨯①②C.23⨯⨯①-②D.2⨯+①②9.,a b 满足方程组{28,27,a b a b +=+=则b a -的值为( ) A.1 B.0 C.-1 D.2 二、填空题10.若{6,20,x y x y -=+=则32x y += .11.若关于,x y 的二元一次方程组{4,2x y k x y k-=+=的解也是二元一次方程36x y -=的解，则k = .12.方程34x y -=中，有一组解x 与y 互为相反数，则3x y +=_______. 13.方程组10216x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是 ．三、解答题14.用加减消元法解下列方程组: (1){2340,5;x y x y +=-=-①②(2){433,3215.x y x y +=-=①②15.对于任意实数,a b ，定义关于“⊗”的一种运算如下:2a b a b ⊗=+.例如:3423410.⊗=⨯+= (1)求25()⊗-的值;(2)若()2,x y ⊗-=且21,y x ⊗=-求x y +的值.参考答案1.答案：A由方程26x y -=，得26y x =-，故消y 更简单。
初中数学专题训练——整体代入法综合练习及试题解析
专题03 整体代入法【规律总结】整体代入法，在求代数式值中应用求代数式的值最常用的方法，即把字母所表示的数值直接代入，计算求值。
有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难求出字母的值或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入，求值时方便又快捷，这种整体代入的技法经常用到。
【典例分析】例1、在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2.当AD−AB=2时，S2−S1的值为()A. 2aB. 2bC. 2a−2bD. −2b【答案】B【解析】解：S1=(AB−a)⋅a+(CD−b)(AD−a)=(AB−a)⋅a+(AB−b)(AD−a)，S2=AB(AD−a)+(a−b)(AB−a)，∴S2−S1=AB(AD−a)+(a−b)(AB−a)−(AB−a)⋅a−(AB−b)(AD−a)=(AD−a)(AB−AB+b)+(AB−a)(a−b−a)=b⋅AD−ab−b⋅AB+ab=b(AD−AB)=2b．故选：B．利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．本题考查了整式的混合运算：“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．例2、若m是方程2x2−3x−1=0的一个根，则6m2−9m+2015的值为______．【答案】2018【解析】解：由题意可知：2m2−3m−1=0，∴2m2−3m=1∴原式=3(2m2−3m)+2015=2018故答案为：2018根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．例3、解下列各题：(1)若n满足(n−2023)(2021−n)=−6，求(n−2023)2+(2021−n)2的值．(2)已知：m2=n+2，n2=m+2(m≠n)，求：m3−2mn+n3的值．【答案】解：(1)∵(n−2023)(2021−n)=−6，∴原式=(n−2023+2021−n)2−2(n−2023)(2021−n)=(−2)2−2×(−6)=4+12=16；(2)∵m2=n+2①，n2=m+2(m≠n)②，∴m2−n=2，n2−m=2，∵m≠n，∴m−n≠0，∴①−②得m2−n2=n−m∴(m−n)(m+n)=−(m−n)，∵m−n≠0，∴m+n=−1∴原式=m3−mn−mn+n3=m(m2−n)+n(n2−m)=2m +2n =2(m +n) =2×(−1) =−2．【解析】本题主要考查的是代数式求值，完全平方公式，运用了整体代入法的有关知识． (1)将给出的代数式进行变形为(n −2023+2021−n)2−2(n −2023)(2021−n)，然后整体代入求值即可；(2)先根据m 2=n +2，n 2=m +2(m ≠n)，求出m +n =−1，然后将给出的代数式进行变形，最后整体代入求解即可．【好题演练】一、选择题1. 已知a +b =12，则代数式2a +2b −3的值是( )A. 2B. −2C. −4D. −312【答案】B【解析】解：∵2a +2b −3=2(a +b)−3， ∴将a +b =12代入得：2×12−3=−2 故选：B ．注意到2a +2b −3只需变形得2(a +b)−3，再将a +b =12，整体代入即可 此题考查代数式求值的整体代入，只需通过因式解进行变形，再整体代入即可．2. 若α、β为方程2x 2−5x −1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为( )A. −13B. 12C. 14D. 15【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=−b a，x 1x 2=ca .也考查了一元二次方程解的定义．根据一元二次方程解的定义得到2α2−5α−1=0，即2α2=5α+1，则2α2+3αβ+5β可表示为5(α+β)+3αβ+1，再根据根与系数的关系得到α+β=52，αβ=−12，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵α为2x 2−5x −1=0的实数根， ∴2α2−5α−1=0，即2α2=5α+1，∴2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5(α+β)+3αβ+1， ∵α、β为方程2x 2−5x −1=0的两个实数根， ∴α+β=52，αβ=−12，∴2α2+3αβ+5β=5×52+3×(−12)+1=12．故选B ．3. 如果a 2+2a −1=0，那么代数式(a −4a ).a 2a−2的值是( )A. −3B. −1C. 1D. 3【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据a 2+2a −1=0，可以得到a 2+2a =1，从而可以求得所求式子的值． 【解答】解：(a −4a )⋅a 2a−2=a 2−4a⋅a 2a−2=(a+2)(a−2)a⋅a 2a−2=a 2+2a ，由a 2+2a −1=0得a 2+2a =1，故原式=1． 故选C ．4.已知1x −1y=3，则代数式2x+3xy−2yx−xy−y的值是()A. −72B. −112C. 92D. 34【答案】D【解析】解：∵1x−1y=3，∴y−xxy=3，∴x−y=−3xy，则原式=2(x−y)+3xy(x−y)−xy=−6xy+3xy−3xy−xy=−3xy−4xy=34，故选：D．由1x −1y=3得出y−xxy=3，即x−y=−3xy，整体代入原式=2(x−y)+3xy(x−y)−xy，计算可得．本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则和整体代入思想的运用．5.已知x1，x2是方程x2−3x−2=0的两根，则x12+x22的值为()A. 5B. 10C. 11D. 13【答案】D【解析】【分析】本题考查了完全平方公式以及根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca，利用根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=−2，再利用完全平方公式得到x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x1+x2=3，x1x2=−2，所以x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=32−2×(−2)=13．故选：D．6.小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下()A. 31元B. 30元C. 25元D. 19元【答案】A【解析】【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设每支玫瑰x元，每支百合y元，根据总价=单价×数量结合小慧带的钱数不变，可得出关于x，y的二元一次方程，整理后可得出y=x+7，再将其代入5x+3y+10−8x中即可求出结论．【解答】解：设每支玫瑰x元，每支百合y元，依题意，得：5x+3y+10=3x+5y−4，∴y=x+7，∴5x+3y+10−8x=5x+3(x+7)+10−8x=31．故选A．二、填空题7.已知ab=a+b+1，则(a−1)(b−1)=______．【答案】2【解析】【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及整体代入思想的运用，属于基础题．将ab=a+b+1代入原式=ab−a−b+1，合并即可得．【解答】解：当ab=a+b+1时，原式=ab−a−b+1=a+b+1−a−b+1=2，故答案为：2．8.将抛物线y=ax2+bx−1向上平移3个单位长度后，经过点(−2,5)，则8a−4b−11的值是______．【答案】−5【解析】解：将抛物线y=ax2+bx−1向上平移3个单位长度后，表达式为：y=ax2+bx+2，∵经过点(−2,5)，代入得：4a−2b=3，则8a−4b−11=2(4a−2b)−11=2×3−11=−5，故答案为：−5．根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点(−2,5)代入，得到4a−2b=3，最后将8a−4b−11变形求值即可．本题考查了二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是得出平移后的表达式．9.若a+b=1，则a2−b2+2b−2=______．【答案】−1【解析】解：∵a+b=1，∴a2−b2+2b−2=(a+b)(a−b)+2b−2=a−b+2b−2=a+b−2=1−2=−1．故答案为：−1．由于a+b=1，将a2−b2+2b−2变形为a+b的形式，整体代入计算即可求解．本题考查了平方差公式，注意整体思想的应用．10.若实数x满足x2−2x−1=0，则2x3−7x2+4x−2017=______．【答案】−2020【解析】【分析】把−7x2分解成−4x2与−3x2相加，然后把所求代数式整理成用x2−2x表示的形式，然后代入数据计算求解即可．本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整体代入思想的利用比较重要．【解答】解：∵x2−2x−1=0，∴x2−2x=1，2x3−7x2+4x−2017=2x3−4x2−3x2+4x−2017，=2x(x2−2x)−3x2+4x−2017，=6x−3x2−2017，=−3(x2−2x)−2017=−3−2017=−2020，故答案为−2020．11.已知|x−y+2|+√x+y−2=0，则x2−y2的值为________．【答案】−4【解析】【分析】本题考查了非负数的性质，解题关键是掌握几个非负数的和等于0，那么这几个非负数都等于0.由非负数的性质得出x、y的值，再代入所求代数式求解即可．【解答】解：∵|x−y+2|+√x+y−2=0，∴x−y+2=0，x+y−2=0，即x−y=−2，x+y=2，∴x 2−y 2=(x +y)(x −y)=2×(−2)=−4， 故答案为−4．12. 已知m +n =3mn ，则1m +1n 的值为______．【答案】3 【解析】 【试题解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用通分将原式变形为m+nmn 是解题的关键． 原式通分后可得出m+nmn ，代入m +n =3mn 即可求出结论． 【解答】 解：原式=1m +1n =m+n mn ，又∵m +n =3mn ， ∴原式=m+n mn=3．故答案为：3．三、解答题13. 已知x =√2+1，y =√2−1，分别求下列代数式的值；(1)x 2+y 2； (2)yx +xy ．【答案】解：(1)∵x =2+1=√2−1，y =2−1=√2+1， ∴x −y =−2，xy =2−1=1，∴x 2+y 2=(x −y)2+2xy =(−2)2+2×1=6；(2)∵x 2+y 2=6，xy =1， ∴原式=x 2+y 2xy=61=6．【解析】本题考查二次根式的化简求值，分母有理化，解题的关键是运用完全平方公式以及整体思想，本题属于基础题型．(1)先将x 、y 进行分母有理化，得到x =√2−1，y =√2+1，再求出x −y 与xy 的值，然后根据完全平方公式得出x 2+y 2=(x −y)2+2xy ，再整体代入即可； (2)将所求式子变形为x 2+y 2xy，再整体代入即可．14. 阅读材料，然后解方程组．材料：解方程组{x −y −1=0, ①4(x −y)−y =5. ②由①得x −y③，把③代入②，得4×1−y =5． 解得y =−1．把y =−1代入③，得x =0． ∴{x =0y =−1这种方法称为“整体代入法”.你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组{2x −3y −2=0,①2x−3y+57+2y =9．②．【答案】解：由①得：2x −3y =2③， 将③代入②得：1+2y =9，即y =4， 将y =4代入③得：x =7， 则方程组的解为{x =7y =4．【解析】由第一个方程求出2x −3y 的值，代入第二个方程求出y 的值，进而求出x 的值，即可确定出方程组的解．此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．15. 阅读材料，善于思考的小军在解方程组{2x +5y =3①4x +11y =5②时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x +10y +y =5即2(2x +5y)+y =5③ 把方程①代入③得2×3+y =5 ∴y =−1把y =−1代入①得x =4 ∴方程组的解为{x =4y =−1 请你解决以下问题：(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组{3x −2y =5 ①9x −4y =19②(2)已知x 、y 满足方程组{5x 2−2xy +20y 2=822x 2−xy +8y 2=32，求x 2+4y 2的值； 【答案】解：(1)由②得：3x +6x −4y =19，即3x +2(3x −2y)=19③， 把①代入③得：3x +10=19，即x =3， 把x =3代入①得：y =2， 则方程组的解为{x =3y =2；(2)由5x 2−2xy +20y 2=82得：5(x 2+4y 2)−2xy =82，即x 2+4y 2=82+2xy5，由2x 2−xy +8y 2=32得：2(x 2+4y 2)−xy =32，即2×82+2xy5−xy =32，整理得：xy =4， ∴x 2+4y 2=82+2xy5=82+85=18．【解析】此题考查了解二元一次方程组，弄清阅读材料中的“整体代入”方法是解本题的关键．(1)模仿小军的“整体代换”法，求出方程组的解即可；(2)方程组第一个方程变形表示出x 2+4y 2，第二个方程变形后代入求出xy 的值，进而求出x 2+4y 2的值．16. (1)已知x 3⋅x a ⋅x 2a+1=x 31求a 的值；(2)若n 为正整数，且x 2n =4，求(3x 3n )2−4⋅(x 2)2n 的值。
[K12学习]2019年春七年级数学下册第2章二元一次方程2.3第1课时代入消元法练习新版浙教版
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2.3 解二元一次方程组第1课时 代入消元法知识点1 代入消元法将方程组一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入另一个方程，从而消去一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法．1．用代入法解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，①2x ＋y ＝10，②可将①代入②，得一元一次方程：____________．知识点2 代入法解二元一次方程组用代入法解二元一次方程组的一般步骤：(1)从方程组中选取一个未知数系数比较简单的方程；(2)将选取的方程变形，变成用一个未知数表示另一个未知数的形式； (3)用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值；(4)把这个未知数的值代入变形后的方程，求得另一个未知数的值； (5)写出方程组的解．2．用代入法解下列方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝16，x ＋4y ＝13.一 代入消元法解二元一次方程组教材例2变式题解方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 3＝7，2x ＋y ＝14.[归纳总结] (1)解二元一次方程组的基本思路是“消元”，也就是把二元一次方程组化为一元一次方程；(2)二元一次方程组的解是一对数值，需用大括号将这对数值上下排列；(3)当方程组中某一个未知数的系数的绝对值等于1时，用代入法解方程组比较简单；(4)不能把变形后方程代入变形前的原方程中，否则只能得到一个恒等式，应将变形后的方程代入另一个方程中求解．二 利用整体思想解二元一次方程组教材补充题 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋13＝2y ，2（x ＋1）－y ＝11.[归纳总结] 有时用传统的代入法可能比较烦琐，此时可以考虑用整体代入法．运用整体代入法时，重点是观察，对比系数间的关系．三 方程组的解的综合应用教材补充题若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝1与方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝8，mx －ny ＝4的解相同，求m ，n 的值．[归纳总结] 综合性应用题的解题重点为转化思想，根据题意把题目转化成二元一次方程组．[反思] 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x －7y ＝8，①3x －8y ＝10.②解：由①，得x ＝8＋7y2，③将③代入①，得8＝8，所以原方程组无解． 这种解法是否正确？若不正确，请改正．一、选择题1．已知3x －11y ＝5，用含x 的代数式表示y ，下列正确的是( )A ．y ＝5－3x 11B ．y ＝3x －511 C ．x ＝11y ＋53 D ．x ＝－11y ＋532．用代入法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，①3x －2y ＝8②时，将方程①代入方程②中，所得的方程是( )A ．3x ＋4x －3＝0B ．3x －4x －6＝8C ．3x －4x ＋6＝8D ．3x ＋2x －6＝83．用代入法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，①2x －y ＝5②时，使得代入后化简比较简单的变形是( )A ．由①，得x ＝2－4y 3B ．由①，得y ＝2－3x 4C ．由②，得x ＝y ＋52D ．由②，得y ＝2x －5 4．二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1的解是( )A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2B .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1 C .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1 D .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0 5．已知关于x ，y 的二元一次方程y ＝mx ＋n ，当x ＝2时，y ＝－1；当x ＝－1时，y ＝5，则( )A ．m ＝2，n ＝3B ．m ＝－2，n ＝3C ．m ＝2，n ＝－3D ．m ＝－2，n ＝－36．若⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1是关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝1，bx －ay ＝－7的解，则(a ＋b)(a －b)的值为( ) A ．－16 B ．－7 C ．7 D ．167．解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2017x ＋4y ＝11，2017x ＝19－2y ，得y ＝( )A ．－4B ．－43C .53D ．5二、填空题8．用代入法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝8，2x ＋3y ＝5，选择消去未知数________比较方便．9．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y －5，y ＝2x ＋3，用代入法消去x ，可得方程______________(不用化简)．10．若⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －my ＝1，mx ＋ky ＝8的解，则k ＝________，m ＝________．11．若⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3是关于x ，y 的方程y ＝kx ＋b 的两个解，则k ＝________，b ＝________． 三、解答题12．用代入法解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋1，2x ＋y ＝8；(2)2016·无锡⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3－y ，3x ＋2y ＝2.13．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，2y ＋3（x －y ）＝11.14．已知二元一次方程：①y＝4－x ，②2x －y ＝2，③x －2y ＝1.请你从这三个方程中选择你喜欢的两个方程组成一个方程组，并求出这个方程组的解．15．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＝2，kx ＋（k －1）y ＝6 的解中x 与y 的值相等，则k 的值为多少？16．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝7，5x －y ＝9的解是关于x ，y 的方程3x ＋my ＝8的一个解，求m 的值．17．已知(2a －b －4)2＋|a ＋b ＋1|＝0，求a ，b 的值．[创新题] 甲、乙两人同求方程ax －by ＝7的整数解，甲求出一组解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4；而乙把ax－by ＝7中的7错看成1，求得一组解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，试求a ，b 的值．详解详析【预习效果检测】 1．[答案] 4y ＋y ＝10[解析] 将②式中的x 用2y 代替，可得2×2y ＋y ＝10，即为4y ＋y ＝10.2．[解析] 把方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝16，①x ＋4y ＝13②的两个方程进行比较，发现把方程②变成用含y的代数式表示x 比较容易．解：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝16，①x ＋4y ＝13，②由②，得x ＝13－4y ，③把③代入①，得2(13－4y)＋3y ＝16， 即－5y ＝－10，所以y ＝2.把y ＝2代入③，得x ＝13－4×2＝5.故原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2.【重难互动探究】例1 解：原方程组可整理为⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝42，①2x ＋y ＝14，②由②，得y ＝14－2x ，③把③代入①，得3x －2(14－2x)＝42， 即7x ＝70，所以x ＝10.把x ＝10代入③，得y ＝－6.故原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－6.例2 [解析] 本题可用整体代入法求解．解：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋13＝2y ，①2（x ＋1）－y ＝11，②由①，得x ＋1＝6y ，③ 把③整体代入②，得 12y －y ＝11，y ＝1.把y ＝1代入③，得x ＝5.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝1.例3 [解析] 把方程组的解代入含m ，n 的方程组中即可求出m ，n 的值．解：方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝1的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1. 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1代入含m ，n 的方程组中， 得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝8，2m －n ＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2.【课堂总结反思】[反思] 这种解法不正确，改正如下：⎩⎪⎨⎪⎧2x －7y ＝8，①3x －8y ＝10，② 由①，得x ＝8＋7y 2，③把③代入②，得3×8＋7y 2－8y ＝10，解得y ＝－45.把y ＝－45代入③，得x ＝65.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝－45.【作业高效训练】[课堂达标]1．[解析] B 移项得11y ＝3x －5，两边同除以11，得y ＝3x －511.故选B .2．C 3.D 4.B5．[解析] B 由题意可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝－1，－m ＋n ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝3.6．[解析] C 因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝1，bx －ay ＝－7的解，所以把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1代入方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝1，bx －ay ＝－7，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，b －a ＝－7.以下有两种解法：解法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，b －a ＝－7，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3，则(a ＋b)(a －b)＝(4－3)×(4＋3)＝7.解法二：方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，b －a ＝－7可变形为⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a －b ＝7，所以(a ＋b)(a －b)＝1×7＝7.7．[解析] A 将2017x ＝19－2y 整体代入2017x ＋4y ＝11，得19－2y ＋4y ＝11，解得y ＝－4.故选A .8．[答案] y[解析] 因为方程3x －y ＝8化为用含x 的代数式表示y 较为简捷，故应选择消去未知数y.9．[答案] y ＝2(3y －5)＋3 10．[答案] 2 3[解析] 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1代入方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －my ＝1，mx ＋ky ＝8中，得⎩⎪⎨⎪⎧2k －m ＝1，2m ＋k ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，m ＝3.11．[答案] 4 －5[解析] 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3分别代入y ＝kx ＋b 中，用代入法求解． 把两组值代入后的方程组是⎩⎪⎨⎪⎧－1＝k ＋b ，①3＝2k ＋b ，②由①，得b ＝－1－k ，③把③代入②，得3＝2k －1－k. 所以k ＝4，b ＝－5.12．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋1，①2x ＋y ＝8，②把①代入②，得2(y ＋1)＋y ＝8，解得y ＝2，把y ＝2代入①，得x ＝3.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3－y ，①3x ＋2y ＝2，② 由①，得y ＝3－2x ，③把③代入②，得3x ＋2(3－2x)＝2， 解得x ＝4，把x ＝4代入③，得y ＝－5.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－5.13．[解析] 本题的两个方程中都含有x －y ，所以可采用整体代入法．解：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，①2y ＋3（x －y ）＝11，②将①代入②，得2y ＋3×3＝11，解得y ＝1， 将y ＝1代入①，得x ＝4.所以原方程的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.14．[解析] 此题的答案不唯一，只要从三个方程中选两个方程组成二元一次方程组求解即可．解：若取方程①和②，可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4－x ，2x －y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2；同理，若取方程①和③，可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4－x ，x －2y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1；若取方程②和③，可得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝2，x －2y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.15．解：由x 与y 的值相等，得4x －3x ＝2，即x ＝y ＝2，所以2k ＋2(k －1)＝6，解得k ＝2.16．[解析] 把方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝7，5x －y ＝9的解代入方程3x ＋my ＝8，即可求得m 的值．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝7，5x －y ＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1代入方程3x ＋my ＝8， 解得m ＝2.17．解：因为(2a －b －4)2是一个非负数，|a ＋b ＋1|也是一个非负数，两个非负数之和等于0，则每一个非负数都等于0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4＝0，a ＋b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.[数学活动][解析] 由方程组的定义可知甲求得的解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4满足原方程，代入后，可得a ，b 之间的关系式3a －4b ＝7；乙求出的解不满足原方程，而满足方程ax －by ＝1，代入后可得a ，b 的另一个关系式a －2b ＝1，从而可求出a ，b 的值．解：把x ＝3，y ＝4代入ax －by ＝7中，得3a －4b ＝7，① 把x ＝1，y ＝2代入ax －by ＝1中， 得a －2b ＝1，② 由①②组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝7，a －2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝2.。
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8．2 解二元一次方程组（代入法）
一、基础过关
1．把下列方程改写成用含x 的代数式表示y 的形式：
（1）5x-y=3； （2）2（x-y ）=3；
（3）-
2x +5y =1； （4）（2x-y ）-3（x-2y ）=12．
2．用代入法解方程组310,35 2.
x y x y +=⎧⎨-=⎩较简便的步骤是：先把方程________变形为
__________，再代入方程___________，求得_________的值，然后再求________的值．
3．用代入法解方程组2320,419x y x y +-=⎧⎨+=⎩
的正确解法是（ ） A ．先将①变形为x=
322y -，再代入② B ．先将①变形为y=223
x -，再代入② C ．先将②变形为x=94y-1，再代入① D ．先将②变形为y=9（4x+1），再代入① 4．关于x 、y 的方程组48,326ax y x y -=⎧⎨+=⎩
的解中y=0，则a 的取值为（ ） A ．a=4 B ．a>4 C ．a<4 D ．a=-6
5．关于x 、y 的方程组432,(1)6
x y kx k y -=⎧⎨+-=⎩的解x 与y 的值相等，则k 的值为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
6．用代入法解下列方程组：
（1）21,731;
y x x y =-⎧⎨-=⎩
（2）
34,
25;
x y
x y
=
⎧
⎨
-=-
⎩
（3）
424,
22;
x y
x y
-=
⎧
⎨
+=
⎩
（4）
24, 228. x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
二、综合创新
7．（综合题）方程组
35,
21
ax y
x by
-=
⎧
⎨
+=
⎩
中，如果
1
,
2
1
x
y
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
是它的一个解，求3（a-b）-a2的值．
8．（应用题）
（1）取一根绳子测量教室的长度，若把绳子折成5等份来测量，绳子多1米；若把绳子折成4等份来测量，绳子多3米，问绳子和教室各有多长？
（2）为了庆祝中国足球队勇夺亚州杯亚军，曙光体育器材厂赠送一批足球给希望中学足球队．若足球队每人领一个则少6个球；若每两人领一个则余6个球．•问这批足球共有多少个？小明领到足球后十分高兴，就仔细研究起足球上的黑白块，结果发现，黑块是五边形，白块是六边形，黑白相间在球体上（如图8-2-1），黑块共12块，问白块有几块？
9．（创新题）如果关于x，y的二元一次方程组
316,
215
x ay
x by
-=
⎧
⎨
+=
⎩
的解是
7,
1.
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，求关于x，
y的方程组的解：
（1）
3()()16,
2()()15;
x y a x y
x y b x y
+--=
⎧
⎨
++-=
⎩
（2）
3(2)
16,
23
(2)15.
3
x y a
y
b
x y y
-
⎧
-=
⎪⎪
⎨
⎪-+=
⎪⎩
10．（1）（2005年，南京）解方程组
20, 328; x y
x y
-=
⎧
⎨
+=⎩
（2）（2005年，北京海淀）解方程组
41, 216. x y
x y
-=-⎧
⎨
+=
⎩
三、培优训练
11．（探究题）一列快车长168米，一列慢车长184米，如果两车相向而行，从相遇到离开需4秒；如果同向而行，从快车追及慢车到离开需16秒，求两列车的平均速度．
四、数学世界
欧几里得的数学题
古希腊著名数学家欧几里得是欧几里得几何学的创始人，现在中、小学里学的几何学，基本上还是欧几里得几何学体系．下面这道题还与他有关呢！
驴子和骡子一同走，它们负担着不同袋数的货物，但每袋货物都是一样重的．驴子抱怨包担太重．“你抱怨啥呢？”骡子说，“如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍，如果我给你一袋，我们的负担恰恰相等．”驴子和骡子各负担着几袋货物？
请你也来解解大数学家的这道题．
答案：
1．（1）y=5x-3． （2）y=x-32． （3）y=1052x +． （4）y=125
x +． 2．①；x=10-3y ；②；y ；x
3．B
4．A 点拨：把y=0代入②，得x=2，把x=2，y=0代入①，得a=4，故选A ．
5．C 点拨：由题意，得432,(1)6,.x y kx k y x y -=⎧⎪+-=⎨⎪=⎩
把③代入①，得4x-3x=2．∴x=2．
把x=y=2代入②，得2k+2（k-1）=6，解得k=2．故选C ．
6．（1）2,5.x y =-⎧⎨=-⎩
（2）解：34,2 5.
x y x y =⎧⎨-=-⎩
由②，得x=2y-5．③
把③代入①得，3（2y-5）=4y ，解得y=7.5．
把y=7.5代入③得x=2×7.5-5=10．
∴10,7.5.
x y =⎧⎨=⎩
（3）1,0.x y =⎧⎨
=⎩ （4）12,4.x y =⎧⎨=-⎩ 7．解：把1,21
x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩代入方程组35,21ax y x by -=⎧⎨+=⎩得 135,21 1.
a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩ 解这个方程组，得4,0.a b =⎧⎨=⎩ ∴3（a-b ）-a 2=3×（4-0）-42=-4．
8．（1）解：设绳子长x 米，教室长y 米，依题意得
1,5 3.4
x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 即55,412.x y x y -=⎧⎨-=⎩
解这个方程组，得40,7.x y =⎧⎨=⎩
答：绳子长40米，教室长7米．
（2）解：设足球有x 个，球员有y 人，由题意，
得6,6.2
y x y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解这个方程组，得18,24.
x y =⎧⎨=⎩
一个白块周围有三个黑块，一个黑块周围有五个白块，即黑白比例为3：5． 设白块有z 块由题意得：
∴123=5
z ，∴z=20． 答：这批足球共有18个，一个足球上有白块20块．
9．解：（1）由第一个方程组的解为7,1.x y =⎧⎨=⎩可得7,1.x y x y +=⎧⎨-=⎩解得4,3.
x y =⎧⎨=⎩．
（2）由第一个方程组的解为7,1.x y =⎧⎨=⎩可得27,21 1.3
x y y -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 解得20,3.x y =⎧⎨=⎩ 点拨：（1）认真观察两个方程组，其不同之处是x →x+y ，y →x-y ．
（2）认真观察两个方程组，其不同之处是x →
22x y -，y →13
y ． 10．（1）解：由①得x=2y ．③
把③代入②，3×2y+2y=8，即y=1．
把y=1代入③，得x=2．
∴原方程组的解是．
2,
1. x
y
=⎧
⎨
=⎩
（2）解：由①得x=4y-1．③
把③代入②，2（4y-1）+y=16．即y=2．把y=2代入③，得x=7．
∴原方程组的解是
7,
2. x
y
=⎧
⎨
=⎩
11．解：设快、慢车的平均速度分别为x米/秒、y米/秒，
依题意，得
44168184, 1616168184.
x y
x y
+=+
⎧
⎨
-=+
⎩
化简，得
88,
22. x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
解之，得
55,
33. x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
答：快车的平均速度是55米/秒，慢车的平均速度是33米/秒．数学世界：
驴子负担着5袋货物，骡子负担着7袋货物．。