扇形圆柱圆锥面积公式及计算

扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图

［学习目标］

1. 掌握基本概念：正多边形，正多边形的中心角、半径、边心距以及平面镶嵌等。

2. 扇形面积公式：

n是圆心角度数，R是扇形半径，l是扇形中弧长。

3. 圆柱是由矩形绕一边旋转360°形成的几何体，侧面展开是矩形，长为底面圆周长，宽为圆柱的高

r底面半径h圆柱高

4. 圆锥侧面积

圆锥是由直角三角形绕一直角边旋转360°形成的几何体。

侧面展开是扇形，扇形半径是圆锥的母线，弧长是底面圆周长。

5. 了解圆柱由两平行圆面和一曲面围成，明确圆柱的高和母线，它们相等。

6. 了解圆锥由一个曲面和一个底面圆围成，明确圆锥的高和母线，知道可以通过解高、母线、底面半径所围直角三角形，解决圆锥的有关问题。

7. 圆柱

圆柱的侧面展开图是两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面周长的矩形。圆柱的侧面积等于底面周长乘以圆柱的高。如图所示，若圆柱的

底面半径为r，高为h，则：，

。

8. 圆锥

圆锥是由一个底面和一个侧面组成的。圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，这个曲面在一个平面上展开后是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥底面的周长。因此，圆锥的侧面积是圆锥的母线与底面周长积的一半。如图所示，若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则

。

［重点、难点］

扇形面积公式及圆柱、圆锥侧面积公式的理解和灵活应用。

【典型例题】

例1. 已知如图1，矩形ABCD中，AB＝1cm，BC＝2cm，以B为圆心，BC为半径作圆弧交AD于F，交BA延长线于E，求扇形BCE被矩形所截剩余部分的面积。

图1

解：∵AB＝1，BC＝2，F点在以B为圆心，

BC为半径的圆上，

∴BF＝2，∴在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，∠ABF＝60°

∴

例2. 已知扇形的圆心角150°，弧长为，则扇形的面积为____________。

解：设扇形的面积为S，弧长为l，所在圆的半径为R，

由弧长公式，得：

∴

由扇形面积公式，，故填。

点拨：本题主要考查弧长公式和扇形面积公式。

例3. 已知弓形的弦长等于半径R，则此弓形的面积为__________。（弓形的弧为劣弧）。

解：∵弓形弦长等于半径R

∴弓形的弧所对的圆心角为60°

∴扇形的面积为。

三角形的面积为。

∴弓形的面积为。

即。故应填。

点拨：注意弓形面积的计算方法，即弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的和或差。本题若没有括号里的条件，则有两种情况。

例 4. 若圆锥的母线与底面直径都等于a，这个圆锥的侧面积为_____________。

解：∵圆锥的底面直径等于a。

∴底面半径为，

∴底面圆的周长为。

又∵圆锥的母线长为a，

∴圆锥的侧面积为。

故应填

点拨：圆锥的侧面积即展开图的扇形面积，可利用扇形的面积公式求得。

例5. 如图2所示，OA和OO1是⊙O中互相垂直的半径，B在上，弧的圆心是O1，半径是OO1，⊙O2与⊙O、⊙O1、OA都相切，OO1＝6，求图中阴影部分的面积。

图2

解：设⊙O2与⊙O、⊙O1、OA分别切于点D、C、E，设⊙O2的半径为r，连结O1O2，O2E，过点O2作O2F⊥O1O于F，连结O1B、OB、OO2。

∵O1O＝6，

l ∴

∴

又∵

，

∴，

，

，

∴（舍去）

又∵是等边三角形

，

∴扇形和扇形的面积相等且都等于。

∴所组成的图形面积为扇形O1BO和扇形OO1B的面积之和减去三角形O1OB的面积，即：

又∵扇形OAO1的面积为：

∴阴影部分的面积为：

点拨：本题比较复杂，考查的知识面比较多，要正确作辅助线，找出解题的思路。

例6. 在半径为2的圆，引两条平行弦，它们所对的弧分别为120°和60°，求两弦间所夹图形的面积及周长。

解：分两条弦在圆心的同侧或两侧这两种情况：

①如图3所示，由题意，

图3

则∠AOB＝120°，∠COD＝60°

又∵AB∥CD，

∴，

∴∠AOC＝∠BOD

又∵∠AOC＋∠BOD＝180°

∴∠AOC＝∠BOD＝90°

∴

又∵

故所求面积为

又∵∠AOC＝90°，

∴，

同理

又∵△OCD是等边三角形，

∴CD＝OC＝OD＝2

又∵

∴所求的周长

②如图4所示，由第一种情况，得所求面积：

图4