江苏新高考数学理科一轮创新设计总复习训练8.6立体几何中的向量方法(一)

第6讲 立体几何中的向量方法(一) ——证明平行与垂直

基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．(2014·徐州模拟)已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝3，

且a分别与AB→，AC→垂直，则向量a为________． 解析 由条件知AB→＝(－2，－1,3)，AC→＝(1，－3,2)，设a＝(x，y，z)则有

 －2x－y＋3z＝0，

x－3y＋2z＝0，x2＋y2＋z2＝3，解可得a＝±(1,1,1)．

答案 (1,1,1)或(－1，－1，－1) 2．若AB→＝λCD→＋μCE→，则直线AB与平面CDE的位置关系是________． 解析 ∵AB→＝λCD→＋μCE→，∴AB→，CD→，CE→共面．则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内． 答案 平行或在平面内 3．设a＝(1,2,0)，b＝(1,0,1)，则“c＝23，－13，－23”是“c⊥a，c⊥b且c为单位向量”的________条件． 解析 当c＝23，－13，－23时，c⊥a，c⊥b且c为单位向量，反之则不成立． 答案 充分不必要 4. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，AD＝22，P为C1D1

的中点，M为BC的中点．则AM与PM的位置关系为________(填“平行”、“垂直”、“异面”)． 解析 以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，

依题意，可得，D(0,0,0)，P(0,1，3)，C(0,2,0)，A(22，0,0)，M(2，2,0)． ∴PM→＝(2，2,0)－(0,1，3)＝(2，1，－3)， AM→＝(2，2,0)－(22，0,0)＝(－2，2,0)， ∴PM→·AM→＝(2，1，－3)·(－2，2,0)＝0， 即PM→⊥AM→，∴AM⊥PM. 答案 垂直 5. 如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为________． 解析 连接OE，由AM∥平面BDE，且AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO， 又O是正方形ABCD对角线交点， ∴M为线段EF的中点． 在空间坐标系中，E(0,0,1)，F(2，2，1)． 由中点坐标公式，知点M的坐标22，22，1. 答案 22，22，1 6．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，则x＝________. 解析 ∵α⊥β，∴a·b＝x－2＋6＝0，则x＝－4. 答案 －4 7．已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝ (－1，－1，－1)．则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．

解析 AB→＝(0,1，－1)，AC→＝(1,0，－1)，∴n·AB→＝0，n·AC→＝0，∴n⊥AB→，n⊥AC→，故n也是α的一个法向量．又∵α与β不重合，∴α∥β. 答案 平行

8．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB→＝(2，－1，－4)， AD→＝(4,2,0)，AP→＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP→是平面ABCD的法向量；④AP→∥BD→.其中正确的是________． 解析 ∵AB→·AP→＝0，AD→·AP→＝0， ∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．

又AB→与AD→不平行， ∴AP→是平面ABCD的法向量，则③正确． 由于BD→＝AD→－AB→＝(2,3,4)，AP→＝(－1,2，－1)， ∴BD→与AP→不平行，故④错误． 答案 ①②③ 二、解答题 9. 如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.

证明 ∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形， ∴AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1，2,0)． ∴PB→＝(2,0，－2)，FE→＝(0，－1,0)，FG→＝(1,1，－1)， 设PB→＝sFE→＋tFG→， 即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，

∴ t＝2，t－s＝0，－t＝－2，解得s＝t＝2.∴PB→＝2FE→＋2FG→，

又∵FE→与FG→不共线，∴PB→，FE→与FG→共面． ∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG. 10. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．

(1)求证：CM∥平面PAD； (2)求证：平面PAB⊥平面PAD. 证明 以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.

∵PC⊥平面ABCD， ∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角， ∴∠PBC＝30°.∵PC＝2，∴BC＝23，PB＝4.

∴D(0,1,0)，B(23，0,0)，A(23，4,0)，P(0,0,2)，M32，0，32，∴DP→＝(0，－1,2)，DA→＝(23，3,0)，CM→＝32，0，32， (1)设n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，则 DP→·n＝0，DA→·n＝0，即

 －y＋2z＝0，23x＋3y＝0，∴ z＝12y，x＝－32y，

令y＝2，得n＝(－3，2,1)． ∵n·CM→＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，∴n⊥CM→， 又CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD. (2)取AP的中点E，并连接BE，

则E(3，2,1)，BE→＝(－3，2,1)， ∵PB＝AB，∴BE⊥PA.

又BE→·DA→＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0， ∴BE→⊥DA→，则BE⊥DA. ∵PA∩DA＝A.∴BE⊥平面PAD， 又∵BE⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD. 能力提升题组

(建议用时：25分钟) 一、填空题

1．已知AB→＝(1,5，－2)，BC→＝(3,1，z)，若AB→⊥BC→，BP→＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则x＋y的值为________．

解析 ∵AB→⊥BC→，∴AB→·BC→＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，又BP⊥平面ABC，∴BP→⊥AB→，BP→⊥BC→， 则 x－1＋5y＋6＝0，3x－1＋y－12＝0，解得x＝407，y＝－157.于是x＋y＝407－157＝257. 答案 257 2. 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则 ①A1M∥D1P； ②A1M∥B1Q； ③A1M∥平面DCC1D1； ④A1M∥平面D1PQB1. 以上正确说法的序号为________．

解析 A1M→＝A1A→＋AM→＝A1A→＋12AB→，D1P→＝D1D→＋DP→＝A1A→＋12AB→，∴A1M→∥D1P→，所以A1M∥D1P，由线面平行的判定定理可知，A1M∥面DCC1D1，A1M∥面D1PQB1.①③④正确． 答案 ①③④ 3. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________． 解析 以D1A1，D1C1，D1D分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设CE＝x，DF＝y，则易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，F(0,0,1－y)，B(1,1,1)，∴B1E→＝(x－1,0,1)，∴FB→＝(1,1，y)，由于B1E⊥平面ABF，所以FB→·B1E→＝(1,1，y)·(x－1，0,1)＝0⇒x＋y＝1. 答案 1 二、解答题 4．在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点． (1)求证：EF⊥CD； (2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论． (1)证明 如图，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，

则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，Ea，a2，0，P(0,0，a)， Fa2，a2，a2. EF→＝－a2，0，a2，DC→＝(0，a,0)． ∵EF→·DC→＝0，∴EF→⊥DC→，即EF⊥CD. (2)解 设G(x,0，z)，则FG→＝x－a2，－a2，z－a2， 若使GF⊥平面PCB，则由