初一数学方程组解法综合(含答案)

方程组解法综合知识框架知识点说明：一、方程的历史同学们，你们知道古代的方程到底是什么样子的吗？公元 263 年，数学家刘徽所著《九章算术》一书里有一个例子：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。

问上、中、下禾实一秉各几何？”刘徽列出的“方程”如图所示。

方程的英语是 equation，就是“等式”的意思。

清朝初年，中国的数学家把 equation 译成“相等式”，到清朝咸丰九年才译成“方程”。

从这时候起，“方程”这个词就表示“含有未知数的等式”，而刘徽所说的“方程”就叫做“方程组”了。

二、学习方程的目的使用方程有助于解决数学难题，作为代数学最基本内容，方程的学习和使用不但能为未来初中阶段数学学习打好基础，同时能够将抽象数学直观表达出来，能够帮助学生更好的理解抽象的数学知识。

三、解二元一次方程组的一般方法解二元一次方程的关键的步骤：是消元，即将二元一次方程或多元一次方程化为一元一次方程。

消元方法：代入消元法和加减消元法代入消元法：⒈ 取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一个未知数，记作方程①；⒉ 将①代入另一个方程，得一元一次方程；⒊ 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；⒋ 将这个未知数的值代入①，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．加减消元法：⒈ 变形、调整两条方程，使某个未知数的系数绝对值相等（类似于通分）；⒉ 将两条方程相加或相减消元；⒊ 解一元一次方程；⒋ 代入法求另一未知数．加减消元实际上就是将带系数的方程整体代入．重难点（1） 解分数系数方程组 （2） 代入法消元法的基础理解例题精讲一、二元一次方程组【例 1】 解方程51x y x y +=⎧⎨-=⎩（,x y 为正整数）【考点】二元一次方程组 【解析】 ()()51x y x y ++-=+26x = 3x = 32x y =⎧⎨=⎩方法二：解 代入消元法，由5x y +=得到5x y =-，代入方程1x y -=中，得到()51y y --=，整理得2y =，所以3x =，所以方程的解为32x y =⎧⎨=⎩【答案】32x y =⎧⎨=⎩【巩固】 试用代入消元法和加减消元法求解方程组()(){713172x y x y +=+=【考点】、二元一次方程组代人消元法：由①知Y=7-x ，代人②式得3x +7-x =17．【解析】 即x =5，代入①式，得Y=2，所以{52x y ==加减消元法：②-①得2x =10，即x =5，代入①式，得Y=2．所以{52x y ==【答案】{52x y ==【例 2】 解方程3410u v ⎨+=⎩（,u v 为正整数）【考点】二元一次方程组 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 方法一：加减消元法化v 的系数相同，加减消元法计算得 2(92)(34)22010u v u v +-+=⨯- 去括号和并同类项得 18320u u -=1530u = 2u = 21u v =⎧⎨=⎩方法二：代入消元法由9220u v +=得到10 4.5v u =-，代入方程3410u v +=中得到()3410 4.510u u +-=，整理得2u =，1v =，所以方程解为21u v =⎧⎨=⎩【答案】21u v =⎧⎨=⎩【巩固】 小吴和小林两人解方程组， ()(){221712ax y x by -=-= 由手小吴看错了方程①中的a 而得到方程组的解为{49x y ==,小林看错了方程②中的b 而得到的解为{38x y ==,如果按正确的a 、b 计算，试求出原方程组的解．【考点】二元一次方程组因为小吴同学没有看错②，所以{49x y ==是符合②的解，有4×7-b×9=1，解得b=3；因为小林同学没有看错①，所以{38x y ==是符合①的解，有a ×3-2×8=2，解得a =6；【解析】 即原方程组为{622731x y x y -=-=解得{12x y == 【答案】{12x y ==【例 3】 解方程组3217x y ⎨+=⎩（,x y 为正整数）【考点】二元一次方程组 【难度】2星 【题型】解答【解析】 加减消元，若想消掉y ，应将y 的系数统一，因为[]2,510=，所以第一个方程应该扩大2倍，第二个式子应该扩大5倍，又因为y 的系数符号不同，所以应该用加消元，计算结果如下：2(5)5(32)20517x y x y -++=⨯+⨯，1785x =得5x =，所以550y -=，解得1y =。

【答案】51x y =⎧⎨=⎩【巩固】 解方程组【考点】二元一次方程组把①变形为y=4-x ③ 把③代入②得：-=1 即-=1,=-1,= ∴x= 把x=代入③得y=4-=3 【解析】 所以原方程的解是【答案】【例 4】 解方程组37528x y x y -=⎧⎨+=⎩（,x y 为正整数）4132x y x y x+=⎧⎪+⎨-=⎪⎩43x x +-2x 432x 2x 432x 132323231323133x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩23133x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【考点】二元一次方程组 【难度】2星 【题型】解答【解析】 将第一个式子扩大2倍和二式相减得2(3)(52)2512x y x y -++=⨯+，去括号整理1122x =解得2x =，所以方程的解为21x y =⎧⎨=⎩【答案】21x y =⎧⎨=⎩【巩固】 20%8%30015%,300x y x y +=⨯⎧⎨+=⎩【考点】二元一次方程组 【解析】 先整理，再利用带入或消元法解题【答案】175,125.x y =⎧⎨=⎩【例 5】 解方程组2(150)5(350)0.10.060.085800x y x y -=+⎧⎨+=⨯⎩（,x y 为正整数）【考点】二元一次方程组 【难度】3星 【题型】解答【解析】 对第一个方程去括号整理，根据等式的性质将第二个式子扩倍变成正式进行整理得：215550538.5400x y x y -=⎧⎨+=⨯⎩，若想消掉y ，将方程二扩大3倍，又因为y 的系数符号不同，所以应该用加消元，计算结果如下：(215)5(53)55058.5400x y x y -++=+⨯⨯，去括号整理得2717550x =，解得650x =，所以方程的解为65050x y =⎧⎨=⎩【答案】65050x y =⎧⎨=⎩【巩固】 2(150)5(350)0.10.060.085800x y x y -=+⎧⎨+=⨯⎩215550538.5400x y x y -=⎧⎨+=⨯⎩【考点】二元一次方程组 【解析】(215)5(53)55058.5400x y x y -++=+⨯⨯2717550x =650x =【答案】x=650，y=50【例 6】 解下面关于x 、y 的二元一次方程组：4320413x y y x +-=⎧⎪⎨-=-⎪⎩【考点】二元一次方程组 【难度】3星 【题型】解答【解析】 整理这个方程组里的两个方程，可以得到：43204330x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，可以看出，两个方程是不可能同时成立的，所以这是题目本身的问题，无解【答案】无解【巩固】 74321432x yy x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，．【考点】二元一次方程组【解析】 整理的（1）3x+4y=84（2）4x+3y=84，利用消元法求出x=y=12 【答案】x=12，y=12【例 7】 解方程组3434192241x y x y ⎧+=⎪--⎪⎨⎪-=⎪--⎩（,x y 为正整数）【考点】二元一次方程组 【难度】3星 【题型】解答【解析】 本题需要同学能够利用整体思想进行解题，将4x -与1y -看出相应的未知数，因为每一项的分母不同，所以先将分母系数化成同样的，所以第二个式子等号两边同时乘以2整理得：3492()2()3224141x y x y ++-=+⨯----，去括号整理后得到2174x =-，根据分数的性质计算得7x =，所以方程的解为：73x y =⎧⎨=⎩ 【答案】73x y =⎧⎨=⎩【巩固】 6323()2()28x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩【考点】二元一次方程组【解析】 整理的式1:5x-y=36；式2：x+5y=28，利用消元法得x=8，y=4 【答案】x=8，y=4二、多元一次方程【例 8】 解方程组3472395978x z x y z x y z -=⎧⎪+-=⎨⎪--=⎩（,,x y z 为正整数）【考点】二元一次方程组 【难度】3星 【题型】解答【解析】 观察,,x y z 的系数发现，第二个式子与第三个式子中y 的系数是3倍关系，所以将第二个式子扩大3倍与第三个式子相减得到：3(23)(597)398x y z x y z +-+--=⨯+，去括号整理得111035x z -=，与第一个式子整理得347111035x z x z -=⎧⎨-=⎩，若想消掉z ，，因为[]4,1020=，所以第一个方程应该扩大5倍，第二个式子应该扩大2倍，又因为z 的系数符号相同，所以应该用减消元，计算结果如下：2(1110)5(34)23557x z x z ---=⨯-⨯，去括号整理得735x =，5x =，所以方程解为572x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【答案】572x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【巩固】 272829x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩【考点】二元一次方程组【解析】(2)(2)87x y z x y z ++-++=- 1y x -=2(2)(2)289x y z x y z ++-++=⨯-37y x +=()(3)17y x y x -++=+48y = 4y =123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【答案】123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【例 9】 解方程组12527x y z y z u z u v u v x v x y -+=⎧⎪-+=⎪⎪-+=⎨⎪-+=⎪-+=⎪⎩（,,,,x y z u v 为正整数）【考点】二元一次方程组 【难度】3星 【题型】解答【解析】 将5个式子相加得17x y z u v ++++=，将1式与2式相加得3x u +=，将2式与3式相加得7y v +=，同理连续相加得到37798x u y v z x u y v z +=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪+=⎪⎩，整理后解为06731x y z u v =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪=⎪⎩【答案】06731x y z u v =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪=⎪⎩解下列方程组【巩固】 解下列方程组()2712829x y z x y z x y z ++=⎧⎪===⎨⎪++=⎩【考点】二元一次方程组 【解析】()()()()()()()2711282,123293x y z x y z x y z ++=⎧⎪===++⎨⎪++=⎩得4x +4y+4z=24，6,x y z ++=依次代入（1）、（2）（3）有1x =，2y =，3z =， 【答案】1x =，2y =，3z =，课堂检测【随练1】 解方程组292232202a bc a cb b ca +⎧+=⎪⎪+⎪+=⎨⎪+⎪+=⎪⎩，则b ＝_______【考点】解方程组 【解析】 292232202a bc a cb b ca +⎧+=⎪⎪+⎪+=⎨⎪+⎪+=⎪⎩三式相加()27236a b c a b c +++=⇒++= 每个式子都乘2减去上式，得41022a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩【答案】b =10【随练2】 解方程组()2525221126x y x z z u u x +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩【考点】解方程组 【解析】(2)252821126x y y z z u u x +=⎧⎪==⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ 依次叠代有：5252(82)4114(112)11338338(62)1615x y z z u u x x =-=--=-=--=-=--=-。