第三章,湍流模拟
中科大FLUENT讲稿_第三章_湍流模型
第三章，湍流模型第一节， 前言湍流流动模型很多，但大致可以归纳为以下三类：第一类是湍流输运系数模型，是Boussinesq 于1877年针对二维流动提出的，将速度脉动的二阶关联量表示成平均速度梯度与湍流粘性系数的乘积。
即：2121x u u u t ∂∂=''-μρ 3－1 推广到三维问题，若用笛卡儿张量表示，即有：ij ijj i t j i k x u xu u u δρμρ32-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=''- 3－2 模型的任务就是给出计算湍流粘性系数t μ的方法。
根据建立模型所需要的微分方程的数目，可以分为零方程模型（代数方程模型），单方程模型和双方程模型。
第二类是抛弃了湍流输运系数的概念，直接建立湍流应力和其它二阶关联量的输运方程。
第三类是大涡模拟。
前两类是以湍流的统计结构为基础，对所有涡旋进行统计平均。
大涡模拟把湍流分成大尺度湍流和小尺度湍流，通过求解三维经过修正的Navier-Stokes 方程，得到大涡旋的运动特性，而对小涡旋运动还采用上述的模型。
实际求解中，选用什么模型要根据具体问题的特点来决定。
选择的一般原则是精度要高，应用简单，节省计算时间，同时也具有通用性。
FLUENT 提供的湍流模型包括：单方程（Spalart-Allmaras ）模型、双方程模型（标准κ-ε模型、重整化群κ-ε模型、可实现(Realizable)κ-ε模型）及雷诺应力模型和大涡模拟。
湍流模型种类示意图包含更多 物理机理每次迭代 计算量增加提供RANS-based models第二节，平均量输运方程雷诺平均就是把Navier-Stokes 方程中的瞬时变量分解成平均量和脉动量两部分。
对于速度，有：i i i u u u '+= 3－3其中，i u 和i u '分别是平均速度和脉动速度（i=1,2,3）类似地，对于压力等其它标量，我们也有：φφφ'+= 3－4 其中，φ表示标量，如压力、能量、组分浓度等。
第三章_湍流模型
第三章 湍流模型第一节 前言湍流流动模型很多，但大致可以归纳为以下三类：第一类是湍流输运系数模型，是Boussinesq 于1877年针对二维流动提出的，将速度脉动的二阶关联量表示成平均速度梯度与湍流粘性系数的乘积。
即：2121x u u u t ∂∂=''-μρ 3－1 推广到三维问题，若用笛卡儿张量表示，即有：ij ijj i t j i k x u xu u u δρμρ32-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=''- 3－2 模型的任务就是给出计算湍流粘性系数t μ的方法。
根据建立模型所需要的微分方程的数目，可以分为零方程模型（代数方程模型），单方程模型和双方程模型。
第二类是抛弃了湍流输运系数的概念，直接建立湍流应力和其它二阶关联量的输运方程。
第三类是大涡模拟。
前两类是以湍流的统计结构为基础，对所有涡旋进行统计平均。
大涡模拟把湍流分成大尺度湍流和小尺度湍流，通过求解三维经过修正的Navier-Stokes 方程，得到大涡旋的运动特性，而对小涡旋运动还采用上述的模型。
实际求解中，选用什么模型要根据具体问题的特点来决定。
选择的一般原则是精度要高，应用简单，节省计算时间，同时也具有通用性。
FLUENT 提供的湍流模型包括：单方程（Spalart-Allmaras ）模型、双方程模型（标准κ-ε模型、重整化群κ-ε模型、可实现(Realizable)κ-ε模型）及雷诺应力模型和大涡模拟。
湍流模型种类示意图Direct Numerical Simulation包含更多 物理机理每次迭代 计算量增加提的模型选RANS-based models第二节 平均量输运方程雷诺平均就是把Navier-Stokes 方程中的瞬时变量分解成平均量和脉动量两部分。
对于速度，有：i i i u u u '+= 3－3其中，i u 和i u '分别是平均速度和脉动速度（i=1,2,3）类似地，对于压力等其它标量，我们也有：φφφ'+= 3－4 其中，φ表示标量，如压力、能量、组分浓度等。
第三章流场的数值计算方法及湍流模型介绍.
3.1 流场数值计算的主要方法
分离式解法
分离式解法不直接解联立方程组，而是顺序地、 逐个地求解各变量代数方程组。依据是否直接求 解原始变量，分离式解法分为原始变量法和非原 始变量法
3.2 SIMPLE算法的求解思想
压力修正法 分类
SIMPLE算法 SIMPLC方法 PISO算法
3.2 SIMPLE算法的求解思想
3.2 SIMPLE算法的求解思想
修正的原则
与修正后的压力场相对应的速度场能满足这—迭代层 次上的连续方程。
两个关键问题
如何获得压力修正值(即如何构造压力修正方程)，以 及如何根据压力修正值确定“正确”的速度(即如何 构造速度修正方程) 。
3.2 SIMPLE算法的求解思想
SIMPLC算法
在通量修正方法上有所改进，加快了计算的收敛速度。
3.1 流场数值计算的主要方法
3.1 流场数值计算的主要方法
耦合式解法 (1)假定初始压力和速度等变量，确定离散方程的 系数及常数项等。 (2)联立求解连续方程、动量方程、能量方程。 (3)求解湍流方程及其他标量方程。 (4)判断当前时间步上的计算是否收敛。若不收敛， 返回到第(2)步，迭代计算。若收敛，重复上述 步骤，计算下一时间步的按理量。
第三章 流场的数值计算方法及湍流模型介绍
本章授课内容
流场数值计算的主要方法 SIMPLE算法的求解思想 湍流模型的介绍Biblioteka 3.1 流场数值计算的主要方法
流场计算的基本过程是在空间上用有限体积法或
其他类似方法将计算域离散成许多小的体积单元， 在每个体积单元上对离散后的控制方程组进行求 解。流场计算方法的本质就是对离散后的控制方 程组的求解。 对离散后的控制方程组的求解可分为耦合式解法 (coupled method)和分离式解法(segregated method)
湍流模型理论
湍流模型理论§3.1 引言自然界中的实际流动绝大部分是三维的湍流流动，如河流，血液流动等。
湍流是流体粘性运动最复杂的形式，湍流流动的核心特征是其在物理上近乎于无穷多的尺度和数学上强烈的非线性，这使得人们无论是通过理论分析、实验研究还是计算机模拟来彻底认识湍流都非常困难。
回顾计算流体力学的发展，特别是活跃的80年代，不仅提出和发展了一大批高精度、高分辨率的计算格式，从主控方程看相当成功地解决了Euler方程的数值模拟，可以说Euler方程数值模拟方法的精度已接近于它有效使用范围的极限；同时还发展了一大批有效的网格生成技术及相应的软件，具体实现了工程计算所需要的复杂外形的计算网格；且随着计算机的发展，无论从计算时间还是从计算费用考虑，Euler方程都已能适用于各种实践所需。
在此基础上，80年代还进行了求解可压缩雷诺平均方程及其三维定态粘流流动的模拟。
90年代又开始一个非定常粘流流场模拟的新局面，这里所说的粘流流场具有高雷诺数、非定常、不稳定、剧烈分离流动的特点，显然需要继续探求更高精度的计算方法和更实用可靠的网格生成技术。
但更为重要的关键性的决策将是，研究湍流机理，建立相应的模式，并进行适当的模拟仍是解决湍流问题的重要途径。
要反映湍流流场的真实情况，目前数值模拟主要有三种方法：1.平均N-S方程的求解，2.大涡模拟（LES），3.直接数值模拟（DNS）。
但是由于叶轮机械内部结构的复杂性以及目前计算机运算速度较慢，大涡模拟和直接数值模拟还很少用于叶轮机械内部湍流场的计算，更多的是通过求解平均N-S方程来进行数值模拟。
因为平均N-S方程的不封闭性，人们引入了湍流模型来封闭方程组，所以模拟结果的好坏很大程度上取决于湍流模型的准确度。
自70年代以来，湍流模型的研究发展迅速，建立了一系列的零方程、一方程、两方程模型和二阶矩模型，已经能够十分成功的模拟边界层和剪切层流动。
但是，对于复杂的工业流动，比如航空发动机中的压气机动静叶相互干扰问题，大曲率绕流，激波与边界层相互干扰，流动分离，高速旋转以及其他一些原因，常常会改变湍流的结构，使那些能够预测简单流动的湍流模型失效，所以完善现有湍流模型和寻找新的湍流模型在实际工作中显得尤为重要。
第三章,湍流模拟
主对角线上的三个分量，和称为湍流正应力，其余的六个分量称 为湍流切应力。三个湍流正应力之和是湍流脉动动能的两倍
u3 ui u u2 ui 2k
2 1 2 2 i 1
D7 热科学与能源工程系
3
计算流体与传热传质
湍流模型
湍流应力
若以主对角线上的三个分量作为对称轴，则对称的两个切应力分 量是相等的，很显然，这是一个对称的二阶张量。很容易可以证 明，在各向同性湍流中，湍流正应力的三个分量相等，即
D4
热科学与能源工程系
计算流体与传热传质
湍流模型
湍流模拟的方法
直接数值模拟（DNS）只适合低雷诺数流动。 求解雷诺平均的 Navier-Stokes (RANS) 方程:
Rij Ui p 2Ui Uk xk xi x jx j x j
其中
(定常, 不可压缩流动 有/无 体 积力) (雷诺应力)
ui u j 2 ul ij uiu j x x x 3 x j i l j
上面两个方程称为雷诺平均的Navier-Stokes（RANS）方程。
uiu j
如果要求解该方程，必须模拟该项以封闭方程。
D10
热科学与能源工程系
计算流体与传热传质
湍流模型
需要作出选择
物理流体 计算资源
湍流模型 和 近壁处理
计算网格
精度要求
计算时间要求
D11
热科学与能源工程系
计算流体与传热传质
湍流模型
湍流模型
Zero-Equation Models
基于雷诺平均 （RANS）的模型
3章2内燃机缸内流动-湍流模型-2010
第三章内燃机缸内流动高等内燃机学北京理工大学内燃机缸内流动⏹四缸内湍流流动的数学模型⏹1雷诺方程与湍流粘性系数⏹2湍流粘性系数方程⏹3单方成模型——湍能的k方程模型⏹4双方成模型——k-ε模型⏹5雷诺应力模型⏹6代数应力模型⏹7非粘性涡粘度模型，等湍流是一种连续介质的流动形态动力学的基本方程雷诺应力雷诺方程增加了脉动速度相关矩：它是一个二阶张量。
反映的是雷诺应力对动量输运功能与粘性应力类似。
参照牛顿内摩擦定律，湍流研究方法——基于现象湍流模拟方法分类由分子运动论：μ=1/3*ρυℓ其中：υ—分子热运动的均方根速度；ℓ—平均自由行程。
仿照上述关系式：μt=Cμρυtℓt其中：υt 、ℓt—湍流涡团的某一速度尺度和长度尺度。
2湍流粘性系数方程υt—通常取为表征湍流脉动强弱的湍流度u’,由于u’正比于湍能k的平方根，故上式可表示为：μt=Cμρk1/2ℓt(1)混合长度理论—普朗特Prandtl （1925）ℓt 视为与分子自由程相似的涡团自由程——混合长度ℓm 。
表示湍流涡团在随机运动中能保持自由前进而不与其它涡团相撞的距离（并不符合物理真实），并认为速度尺度：υt =ℓm |∂U/∂y| μt ≡C μρυt ℓt ~ρℓm 2|∂U/∂y|——人为定义 雷诺应力：τij =μt ∂U/∂y=ρℓm 2|∂U/∂y|∂U/∂y 如何确定混合长度ℓm ？一般需要根据具体问题做出假定。
对于沿光滑壁面的湍流，普朗特提出，混合长度与壁面距离成正比（壁面湍流），即：比例系数由试验定。
ℓm =ky(1)混合长度理论——应用混合长度理论是最早的湍流理论之一。
由于简单，在工程上应用广泛。
但该理论来自于分子运动相比拟，两者机理完全不同，理论上根据不足。
如：∂U/∂y=0，则μ=0，t也不合理。
混合长度理论在内燃机缸内湍流计算中应用不多。
在多维模型发展的较早阶段曾用它计算内燃机中的气体燃料射流与空气的混合。
采用了二维形式的混合长度公式：=αρ|∂U/∂x+∂V/∂z|（Δx）2μt相当于将网格间距Δx取为混合长度。
湍流的模拟
湍流一个重要特点: 物理量脉动，非稳态N-S方程对湍流运动仍是适用的。
而在Re数比较低的区域，湍流发展不充分，湍流的脉 动影响可能不如分子粘性大，在贴近壁面的底层内， 流动可能处于层流状态。
必须采用特殊的处理，一般有二种解决方法， 1) 壁面函数法 2)低Re数的k- 模型。
壁面函数法的处理
壁面函数法的基本思想是： 对于湍流核心区的流动使用k-模型求解; 而在壁面区不进行求解，直接使用半经验公式将壁面上的
湍流数值模拟
主要内容
湍流认识及N-S 方程 传统湍流模型 湍流直接数值模拟 湍流模型在Fluent中的应用
第一部分 湍流认识及N-S 方程
湍流的认识
所谓湍流的确切定义尚难明确，认为它具有：
(1) 不规则性 只能用统计方法 (2) 扩散性 传递速度加快 (3) 具有明显的旋涡脉动 （尺寸大小：含能大、小， 脉动具有耗散性） (4) 是一种流动（是流体受约束转弱的自收运动状态）
前提: 流体微团做湍流脉动引起的动量交换机理可以与气体 分子运动引起的应力机理相类似。
湍流模型
零方程模型
单方程模型 双方程模型
Reynolds应力模型（RSM）
非线性 k 模型 多尺度 k 模型 RNG k 模型
代数应力模型（ASM）
FLT模型 SSG模型
零方程-- Boussinesq涡粘模型 (湍流粘性系数法)
仍需要定义混合长度L
湍流的模拟
大涡模拟
设想：在各种不同类型的流动中，大涡运动 是不同的，小涡运动是类似的；
对大涡直接求解，小涡湍流模型求解
大涡定义 过滤速度/过滤函数
过滤速度：ui (x,t)
G(
x,
x
'
,
)ui
(
x
'
,
t
'
)dx
而在Re数比较低的区域，湍流发展不充分，湍流的脉 动影响可能不如分子粘性大，在贴近壁面的底层内， 流动可能处于层流状态。
必须采用特殊的处理，一般有二种解决方法， 1) 壁面函数法 2)低Re数的k- 模型。
壁面函数法的处理
壁面函数法的基本思想是： 对于湍流核心区的流动使用k-模型求解; 而在壁面区不进行求解，直接使用半经验公式将壁面上的
前提: 流体微团做湍流脉动引起的动量交换机理可以与气体 分子运动引起的应力机理相类似。
湍流模型
零方程模型
单方程模型 双方程模型
Reynolds应力模型（RSM）
非线性 k 模型 多尺度 k 模型 RNG k 模型
代数应力模型（ASM）
FLT模型 SSG模型
零方程-- Boussinesq涡粘模型 (湍流粘性系数法)
基于Boussinesq1877年的假设，它将湍流脉动所造成的 附加应力(Reynolds应力)同层流运动应力那样与时均的 应变率关联起来.
vi'
v
' j
T
(
vi x j
v j xi
)
T为湍流粘性系数,是标量且为常数;
这一假设并无物理基础，且采用各向同性的湍流动力粘 度来计算湍流应力，难于考虑旋转流动和表面曲率变化 的影响，但以此为基础的湍流模型目前在工程计算却应 用最为广泛。
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计算流体与传热传质
湍流模型
P ij ( ui ) ( uiu j uiu j ui u j ) ( uiuj ) t x j xi x j x j
Turbulent Kinetic Energy: k uiui / 2
ui ui u j Dissipation Rate of e Turbulent Kinetic Energy: x j x j xi
D20
计算流体与传热传质
湍流模型
D2
计算流体与传热传质
湍流模型
平均量输运方程
雷诺平均就是把Navier-Stokes方程中的瞬时变量分解成平均量和 脉动量两部分。对于速度，有 ：
其中， 类似地，对于压力等其它标量，我们也有 ：
ui ui ui ui 和 ui 分别是平均速度和脉动速度（i=1,2,3）
D16
计算流体与传热传质
湍流模型
上式右端第二项可以重新整理成：
ui ui ui k k ui ui ( ) ( ) ( ) e x j xi x j x j x j x j x j x j x j ij
u k (k) ( ku j ) ( k u j pu j ) uiu j i e t x j x j x j x j D ( k ) P e
ui u j 2 ui u ) k ij j t ( x j xi 3
仿照分子运动引起的粘性系数，我们可以假定涡旋粘性系数和湍流中含 能涡旋的特征长度和速度尺度成正比，即：
而根据确定速度尺度V和长度尺度L方法的不同，又可以细分为各种不同 的模型。而其中最简单，V和L的确定方法又是一致的模型应该是双方程 模型。
e ，频率
的模型方程为： ( ) ( u j ) [( t ) ] (C1 P C 2 ) t x j x j x j k
D19
计算流体与传热传质
湍流模型
Reynolds Stress Terms in RANS-based Models
计算流体与传热传质
湍流模型
湍流模拟
D1
计算流体与传热传质
湍流模型
什么是湍流?
湍流：非定常，非周期性的三维速度脉动、 强化物质、动量和 能量的输运. 瞬时速度分解为平均速度和脉动速度: Ui(t) Ui + ui(t)
ui(t) U i (t) Ui Time
压力、温度、组分浓度值具有类似的脉动
湍流模型
0方程模型 单方程模型 双方程模型 雷诺应力模型 大涡模拟
D21
计算流体与传热传质
湍流模型
单方程模型: Spalart-Allmaras
湍流粘性系数:
~ / 3 ~ t ~ 3 3 / c 1
~ 求解 的输运方程: ~ D ~~ 1 cb1S Dt ~ x j
Rij ui u j
时间平均的湍流脉动用实验常数和流场平均速度信息来模拟. 大涡模拟（Large Eddy Simulation，LES）数值求解大涡，小 涡用模型.
D5
计算流体与传热传质
湍流模型
湍流输运模型
涡旋粘性系数模型 涡旋粘性系数模型是根据湍流应力和分子运动引起的粘性应力相 似而提出来的 雷诺应力模型 雷诺应力模型则是从基本方程出发，直接推出雷诺应力的方程 ，但在雷诺应力的方程中包含有更高阶的相关项，对这些更高阶 的相关项再建立相应的模型。
湍流粘性系数:
t C
k2
e
Transport equations for turbulent kinetic energy and dissipation rate are solved so that turbulent viscosity can be computed for RANS equations.
ui u j 2 ul ij uiu j x x x 3 x j i l j
上面两个方程称为雷诺平均的Navier-Stokes（RANS）方程。
uiu j
如果要求解该方程，必须模拟该项以封闭方程。
Generation
2 ~ ~ ~ ~ cw1 f w 2 cb 2 x j d x j
Diffusion
Destruction
The additional variables are functions of the modified turbulent viscosity and velocity gradients.
D10
计算流体与传热传质
湍流模型
需要作出选择
物理流体 计算资源
湍流模型 和 近壁处理
计算网格
精度要求
计算时间要求
D11
计算流体与传热传质
湍流模型
湍流模型
Zero-Equation Models
基于雷诺平均 （RANS）的模型
One-Equation Models
Spalart-Allmaras Include More Physics
2 u2 2 u3 2 u1
D8
计算流体与传热传质
湍流模型
判断湍流
外流
其中
Rex 5 10 5
ReD 20,000
内流
沿表面 绕流
UL ReL
L = x, D, Dh, etc.
其它因素，如自由流湍流度, 表 面条件, 扰动 可能导致流动从层 流向湍流转捩
P ij ( ui) ( uiuj uiu j uiuj ) ( uiuj ) t x j xi x j x j
乘以
ui
1 k uiui 并求平均，利用湍流动能的定义 2
ij u (k) ( ku j ) ( k u j Pu j ) ui uiu j i t x j x j x j x j
把上面的表达式代入瞬时的连续与动量方程，并取平均 （去掉平 均速度 ui 上的横线），我们可以把连续与动量方程写成如下的笛 卡儿坐标系下的张量形式
D3
计算流体与传热传质
湍流模型
平均量输运方程（续）
( ui ) 0 t xi
Dui p Dt xi x j
各项对 xk
e
ui 求导数，乘以 xk ，并求平均，可得耗散率
的方程
( e ) P u e ( e u j ) [ e uj 2 ] t x j x j xk xk x j ui ui uj ui ui u j ui uj ui 2 2 2 x j xk X k x j xk xk xk xk x j ui 2ui 2 2ui 2ui 2 ui 2 xk x j xk x j xk x j xk
D6
计算流体与传热传质
湍流模型
湍流应力
湍流应力 uiu j 在三维空间中，下标和分别可取为1，2和3，所以湍 流应力有9个分量组成，是一个二阶张量，若用矩阵形式表示可写 为：
u2 uu uu 1 2 1 3 1 2 u2 u2 u3 ui u j u2u1 2 u3 u uu u3 1 3 2
D18
计算流体与传热传质
湍流模型
目前采用的标准k－e模型方程为
t e e ( e ) ( e u j ) [( ) ] (Ce1 P Ce2 e ) t x j x j e x j k
u P uiuj i x j
如果用湍流频率 代替湍流动能耗散率
t ~ VL
D13
计算流体与传热传质
湍流模型
涡旋粘性系数模型
在双方程模型中，假定特征速度V和湍流动能k的平方根成正比，特征长度由 湍流动能k和另外一个辅助的量确定。比如在k-e模型中，辅助的量选为湍流 动能的耗散率，根据量纲分析得长度尺度
L ~ k 3/ 2 / e
t ~ VL
k e
2
Re Dh 2,300
自然对流
Ra 108 1010
其中
gTL3 Ra
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计算流体与传热传质
湍流模型
湍流特点
额外应变率
流向曲率 测向分离 加速或减速 有旋 回流 (或分离) 二次流
3D振荡流动 Transpiration (吹风/吸气) 自由湍流 剪切层相互作用
主对角线上的三个分量，和称为湍流正应力，其余的六个分量称 为湍流切应力。三个湍流正应力之和是湍流脉动动能的两倍
u3 ui u u2 ui 2k
2 1 2 2 i 1
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3
计算流体与传热传质
湍流模型
湍流应力
若以主对角线上的三个分量作为对称轴，则对称的两个切应力分 量是相等的，很显然，这是一个对称的二阶张量。很容易可以证 明，在各向同性湍流中，湍流正应力的三个分量相等，即
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计算流体与传热传质
湍流模型
湍流模拟的方法
直接数值模拟（DNS）只适合低雷诺数流动。 求解雷诺平均的 Navier-Stokes (RANS) 方程: