三角函数公式及常见题型
三角函数背诵
一、基本公式
2.三角函数在各象限内的正负
口诀“一全正, 二正弦,三正切,四余弦.”
sin α cos α tan α（cot α）
3.同角三角函数基本关系式
平方关系：22sin 1cos αα+= 商的关系：sin tan cos α
αα
= 例题：1、已知12
sin 13
α=
，并且α是第二象限角，求cos ,tan .αα
2、已知α=αcos 2sin ，求（1）ααα
αcos 2sin 5cos 4sin +-
+ + ——+ +
+
+ ———
—．αααα22cos cos sin 2sin
2-+⑵
4.诱导公式 口诀：“奇变偶不变，符号看象限。”
sin()sin αα
-=-
cos()cos αα-= tan()tan αα-=-
例：1.化简：.)
2
9sin()sin()3sin()cos()
211cos()2cos()cos()2sin(απ
πααπαπαπ
απαπαπ+-----++-
的值。
求：已知)
sin(2)4cos()
3sin()2cos( ,
3)tan( .2απααπαπαπ-+-+--=+
3.若cos α＝2
3，α是第四象限角，求sin(2)sin(3)cos(3)
cos()cos()cos(4)
απαπαπ
παπααπ
-+---
-----
的值．
二、三角函数的性质（1）三角函数的图象及性质
（2）其它变换：(0,0)A ω>>
三、图像平移变换
1、先相位变换 周期变换 振幅变换（先平移后伸缩）
sin y x = ()sin y x ϕ=+：把sin y x =图象上所有的点向左（0ϕ>） 或向右
（0ϕ<）平移ϕ个单位。
()sin y x ωϕ=+：把()sin y x ϕ=+图象上各点的横坐标伸长（01ω<<）
或缩短（1ω>）到原来的
1
ω
倍,纵坐标不变。
()sin y A x ϕ=+：把()sin y x ϕ=+图象上各点的纵坐标伸长（1A >）或缩短（01A <<）到原来的A 倍,横坐标不变。
2、先周期变换 相位变换 振幅变换（先伸缩后平移）
sin y x =
sin y x ω=：把sin y x =图象上各点的横坐标伸长（01ω<<）或缩短
（1ω>）到原来的
1
ω
倍,纵坐标不变。
()sin y x ωϕ=+：把sin y x ω=图象上所有的点向左（0ϕ>）或向右（0ϕ<）
平移
ϕ
ω
个单位. ()sin y A x ωϕ=+：把()sin y x ϕ=+图象上各点的纵坐标伸长（1A >）或缩短（01A <<）到
原来的A 倍,横坐标不变。
例：
个单位得到；平移
的图象向的图象可以看成把函数___________2sin 3 )3
2sin(3 1.x y x y =-
=π
；
，则所得图象的函数为的横坐标缩短到原来的上各点
个单位，再把所得图象图象向右平移
的把函数 ____________2
1
8
)4
2sin( .2π
π
+
=x y
四、三角恒等变换
1、两角和与差的三角函数公式：
sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±,cos()cos cos sin sin αβαβ
αβ±=,tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
±±=
。 2、二倍角公式
sin 22sin cos θθθ=；
2222cos 2cos sin 2cos 112sin θθθθθ=-=-=-； 2
2tan tan 21tan θ
θθ
=
-
3、降幂公式
221cos 21cos 21
sin ;cos ;sin cos sin 2222
θθθθθθθ-+=
== 4.化一公式（辅助角公式）
sin cos )
a b αααα+=
)αϕ=+
其中：
cos ϕϕ=
=
例：1设函数2()sin cos f x x x x =+，求()f x 的最小正周期和单调递增区间
2.已知函数2
()2cos 2sin cos 1(,0)f x x x x x R ωωωω=++∈>的最小正周期是
2
π （1）求()f x 的解析式 （2）当[0,
]12
x π
∈时，求()f x 的最值
五、解三角形 1． 内角和定理：
在ABC ∆中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -
cos
2
A B
+=sin 2C
2． 面积公式:1sin 2
ABC S ab C ∆=
= 1sin 2bc A =1
sin 2ca B
3．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：
R C
c
B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二：⎪⎩
⎪
⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具)
4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的
两倍.. 形式一：2
2
2
2cos a b c bc A
=+-
2222cos b c a ca B =+- (解三角形的重要工具)
2222cos c a b ab C =+-
形式二：cos A =bc a c b 2222-+ ； cos B =ca b a c 2222-+ ； cos C =ab
c b a 22
22-+
例题：
1、在△ABC 中，b cos A ＝a cos B ，试判断三角形的形状. 方法1：利用余弦定理将角化为边.
∵b cos A ＝a cos B ∴222222
22b c a a c b b a bc ac
+-+-⋅=⋅
∴2
2
2
2
2
2
b c a a c b +-=+- ∴2
2a b
=
∴a b =
故此三角形是等腰三角形.
方法2：利用正弦定理将边转化为角.
∵b cos A ＝a cos B 又b ＝2R sin B ，a ＝2R sin A
∴2R sin B cos A ＝2R sin A cos B ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0 ∴sin （A －B ）＝0 ∵0＜A ，B ＜π，∴－π＜A －B ＜π ∴A －B ＝0，即A ＝B 故三角形是等腰三角形. 2、在ABC △中，5cos 13
A =-
，3
cos 5B =．
（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积．
六、向量 1、概念：
特别提醒：
1) 模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |.
2) 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定. 3) 单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.
4) 共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.（平行向量） 5) 相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.
2．向量的线性运算
①、向量的加法：（首尾相接，起点指向终点）AB BC AC +=
（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
（2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______ ②、向量的减法：（起点相同，连接终点，箭头指向被减向量）AB AC CB -=
（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.
（2）法则：____三角形法则_______ ③、实数与向量的积：
（1）定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，规定：|λa |=|λ||a |.当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ=0时，λa 与a 平行.
（2）运算律：λ（μa ）=（λμ）a ， （λ+μ）a =λa +μa ， λ（a +b ）=λa +λb .
3．平面向量的坐标运算
（1） 若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b +=1212(,)x x y y ++，
a b -= 1212(,)x x y y --
22
11a x y =+
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 （2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则AB =()2121,x x y y --
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标
（3）若(,)a x y =和实数λ，则a λ=(,)x y λλ
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
（4）．向量平行的充要条件的坐标表示：设a
=(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2) 其中b ≠a a ∥b (b
≠0)的充要条件是12210x y x y -=（外积等于内积）
4、平面向量数量积 （1）．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量a 与b ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则_∠A ＯB ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b
的夹角. 特别提醒：向量a
与向量b 要同起点。
（2）．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b
，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ__叫a 与b 的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b
|cos θ（定义式）
b a ⋅= 1212x x y y +（坐标式）
（3）、向量垂直的判定：设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x
（4）.两向量夹角的余弦（πθ≤≤0） co s θ = ||||b a b
a ⋅⋅
22
2221212121y x y x y y x x +++=
例题：
1． 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上； ②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB ＝DC ⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
2．下列命题正确的是（ ）
A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c 也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
3.若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则-2BC =
4.已知
a b c
，，为
ABC
△的三个内角
A B C
，，的对边，向量
(31)(cos sin )A A =-=，，，m n ．若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A B ，的大小
分别为（ ）
A ．ππ63
，
B ．2ππ3
6
， C ．ππ36
， D ．ππ33
，
5、23120o a b a b ==已知
，，与的夹角为，求
2
2
12323a b a b a b a b ⋅--⋅+（）；（）；（）（）（）
；4a b +（）
真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。
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6、已知：A 、B 、C 是ABC ∆的内角，c b a ,,分别是其对边长，向量()()1cos ,3--=A π，
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=1,2cos A π，⊥.求角A 的大小；
三角函数的图像与性质 知识点与题型归纳
1 ●高考明方向 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象， 了解三角函数的周期性． 2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、 最大值和最小值，图象与x 轴的交点等)，理解正切函数 在区间? ?? ?? －π2，π2内的单调性． ★备考知考情 三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题、又有解答题，难度属中低档，如2014课标全国Ⅱ14、北京14等；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法. 《名师一号》P55
2 二、例题分析： （一）三角函数的定义域和值域 例1．（1）《名师一号》P56 对点自测3 函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －1 2 的定义域为____________ 解析 要使函数有意义必须有? ??? ? sin x >0，cos x －1 2≥0， 即????? sin x >0，cos x ≥12，解得???? ? 2k π 3 解:(1)要使函数有意义，必须有sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ，同一坐标系中作出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示． 结合图象及正、余弦函数的周期是2π知， 函数的定义域为?????? ????x ??? 2k π＋π4≤x ≤2k π＋54π，k ∈Z . 注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法 (1)求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）． 一般可用三角函数的图象或三角函数线确定 三角不等式的解． 例2．（1）《名师一号》P56 对点自测4 函数y ＝2sin ? ?? ?? πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之 和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－ 3 高中数学：三角函数 一、概述 三角函数是高中数学的一个重要组成部分，是解决许多数学问题的关键工具。它涉及的角度、边长、面积等，都是几何和代数的核心元素。通过学习三角函数，我们可以更好地理解图形的关系，掌握数学的基本概念。 二、三角函数的定义 三角函数是以角度为自变量，角度对应的边长为因变量的函数。常用的三角函数包括正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）和正切函数（tangent）。这些函数的定义如下： 1、正弦函数：sine（θ） = y边长 / r （其中，θ是角度，r是从原点到点的距离） 2、余弦函数：cosine（θ） = x边长 / r 3、正切函数：tangent（θ） = y边长 / x边长 三、三角函数的基本性质 1、周期性：正弦函数和余弦函数都具有周期性，周期为 2π。正切 函数的周期性稍有不同，为π。 2、振幅：三角函数的振幅随着角度的变化而变化。例如，当角度增 加时，正弦函数的值也会增加。 3、相位：不同的三角函数具有不同的相位。例如，正弦函数的相位 落后余弦函数相位π/2。 4、奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。 5、导数：三角函数的导数与其自身函数有关。例如，正弦函数的导 数是余弦函数，余弦函数的导数是负的正弦函数。 四、三角函数的实际应用 三角函数在现实生活中有着广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：1、物理：在物理学中，三角函数被广泛应用于描述波动、振动、电 磁场等物理现象。例如，简谐振动可以用正弦或余弦函数来描述。2、工程：在土木工程和机械工程中，三角函数被用于计算角度、长 度等物理量。例如，在桥梁设计、建筑设计等过程中，需要使用三角函数来计算最佳的角度和长度。 三角函数 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角， 一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。 射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。 如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称作轴线角。 3、终边相同的角的表示： （1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ， 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. 【例1】与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是 ，合 弧度。 （2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . （6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2 k k Z π απ=+∈； α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α= ∈. 【例2】α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 4、α与2 α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定. 【例3】若α是第二象限角，则 2 α 是第_____象限角。 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：2 11||2 2 S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈. 【例4】已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 3 3 π π π ⎪ π π ϕ π π ϕ T π 7、三角函数最常见题型 高考对三角函数的考法是多种多样的，呆哥也不可能把所有的类型都全部讲完，这堂课， 呆哥只讲一种类型，因为我认为这种类型是最容易掌握也是最容易考到的，它成功的串接了第 3,4,5 节课的内容。 这种类型高考理科当然是不会这样考了，文科还是可能的，但是，在熟练掌握这种类型后，再去学习其他类型，是绝对有价值的。 正余弦定理的考法下节课讲。 解题步骤： 第一步：降次【以下内容拷贝于三角函数第五课知识点 4】 cos 2 α = 1+ cos 2α ； sin 2 α = 1- cos 2α ； sin α cos α = sin 2α ； 【考点，必记】 2 2 2 技巧：：只要没有降低到一次，就不断的进行降次，直到所有项都为一次。 第二步：合并【以下内容拷贝于三角函数第五课知识点 6 辅助公式】 A sin α + B cos α = (α + ϕ )【考点，必记】 技巧：大题中只会有 B = ⇒ ϕ = ； A 3 6 B = 1 ⇒ ϕ = ； A 4 B = ⇒ ϕ = 三种情况。 A 3 第三步：Asin （wx+a ）9 个性质分析【以下内容拷贝于三角函数第四课知识点 3】 1、 定义域：R 2、 值域：[-|A|,|A|] ⎧ϕ = k π (ji) ⎪ 3、 奇偶性： ⎨ϕ ⎩ = + k π (ou) 2 【上面的情况为奇，下面的情况为偶】 4、 周期： T = 2π w 5、 最值： 当(wx + ϕ) = + 2k π , k ∈ z 2 时，取得最大值 y=1； 6、 图像：略 当(wx + ϕ) = - + 2k π , k ∈ z 2 时，取得最小值 y=-1； π π 7、 增区间： - ≤ (wx + ) ≤ 【特例】 2 2 - + 2 k π ≤ (wx + ϕ) ≤ + 2 k π , k ∈ z 2 2 π 3π π 3π 减区间： ≤ (wx + ) ≤ 【特例】 + 2 k π ≤ (wx + ϕ) ≤ + 2 k π , k ∈ z 2 2 2 2 π T 8、 对称轴【直线】 (wx + ϕ) = + k π , k ∈ z . 2 相邻的对称轴间距 = π 2 9、 对称中心【点】 ((wx +ϕ) = k π , 0), k ∈z 相邻的对称中心间距 = π 2 备注：考试不可能这 9 点都问，只抽出 1~2 个点来考察大家。 A 2 + B 2 三角函数中的常考题型及其解法 三角函数中常考题型及解法： 一、求解三角函数值 1、求正弦函数值 解法： 使用正弦定理进行求解，总结如下： （1）正弦定理（用于直角三角形）：a/sinA=b/sinB=c/sinC；（2）正 弦表：常记正弦值，如15°的正弦值是0.2588；（3）半角公式： sin(x/2)=±√[(1-cosx)/2]； （4）倍角公式：sin2x=2sinxcosex。 2、求余弦函数值 解法： 使用余弦定理进行求解，总结如下： （1）余弦定理（用于直角三角形）：a²=b²+c²-2bc·cosA；（2）余弦表：常记余弦值，如45°的余弦值是0.7071；（3）化简余弦值：常用公式 或知识点化简余弦值，如极限化简，勾股定理等；（4）半角公式： cos(x/2)=±√[(1+cosx)/2]；（5）倍角公式：cos2x=cos²x-sin²x。 三、求解三角函数表达式 1、求正弦函数表达式 解法： （1）可用图像法求解，如求函数y=2sin(x+π/6)的图形，可将之前已知的普通正弦图形向右移动π/6，并放大2倍；（2）也可用公式求解，如求函数y=2sin(x+π/6)，用单位正弦函数表示法，则有 y=2sin(x)·cos(π/6)+2cos(x)·sin(π/6)。 2、求余弦函数表达式 解法： （1）可用图像法求解，如求函数y=2cos(x+π/6)的图形，可先求出正弦函数的图像，再进行垂直翻转；（2）也可用公式求解，如求函数 y=2cos(x+π/6)，用单位余弦函数表示法，则有y=2cos(x)·cos(π/6)- 2sin(x)·sin(π/6)。 【一】知识要点详解 1.要点： （1）三角函数的化简、求值与证明； （2）三角函数的图像与性质：图像的变换和作图；周期性、奇偶性，单调性； （3）三角函数的最值问题； （4）解三角形:在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理； （5）解三角函数的实际应用. 2.方法： （1）使用三角函数公式进行解题时应考虑使用诱导公式进行化简；使用两角和与差的三角函数公式合并三角函数；使用二倍角的三角函数公式降幂扩角、升幂缩角；使用同角三角函数关系式，结合已知条件，化弦为切或化切为弦，化到最简后，带入已知的三角函数值，求得结果. （2）三角函数最值的三个方面： 化成“三个一”：化成一个角的一种三角函数的一次方形式；如； 化成“两个一”：化成一个角的一种三角函数的二次方结构； “合二为一”：辅助角的使用； （3）解三角形方法：一法化边；二法化角；注意要考虑三角形内角的范围. 【二】例题详解 题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例1】（2007年高考安徽卷）已知，为的最小正周期，，求的值．【解答】因为为的最小正周期，故．因为，又，故． 由于，所以 ． 【评析】合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入求值或化简。 题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题 【例2】（2006年高考浙江卷）如图，函数（其中）的图像与轴交于点（0，1）。 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设是图像上的最高点，M、N是图像与轴的交点，求与的 夹角。 【解答】（I）因为函数图像过点， 所以即 因为，所以. （II）由函数及其图像，得 所以从而 ，故. 【评析】此类问题的一般步骤是：先利用向量的夹角公式：求出被求角的三角函数值，再限定所求角的范围，最后根据反三角函数的基本运算，确定角的大小；或者利用同角三角函数关系构造正切的方程进行求解。 题型三：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 【例3】（山东卷）在中，角的对边分别为，．（1）求； （2）若，且，求． 【解答】（1），, 三角函数背诵 一、基本公式 2.三角函数在各象限内的正负 口诀“一全正, 二正弦,三正切,四余弦.” sin α cos α tan α（cot α） 3.同角三角函数基本关系式 平方关系：22sin 1cos αα+= 商的关系：sin tan cos α αα = 例题：1、已知12 sin 13 α= ，并且α是第二象限角，求cos ,tan .αα 2、已知α=αcos 2sin ，求（1）ααα αcos 2sin 5cos 4sin +- + + ——+ + + + ——— —．αααα22cos cos sin 2sin 2-+⑵ 4.诱导公式 口诀：“奇变偶不变，符号看象限。” sin()sin αα -=- cos()cos αα-= tan()tan αα-=- 例：1.化简：.) 2 9sin()sin()3sin()cos() 211cos()2cos()cos()2sin(απ πααπαπαπ απαπαπ+-----++- 的值。 求：已知) sin(2)4cos() 3sin()2cos( , 3)tan( .2απααπαπαπ-+-+--=+ 3.若cos α＝2 3，α是第四象限角，求sin(2)sin(3)cos(3) cos()cos()cos(4) απαπαπ παπααπ -+--- ----- 的值． 二、三角函数的性质（1）三角函数的图象及性质 （2）其它变换：(0,0)A ω>> 三、图像平移变换 1、先相位变换 周期变换 振幅变换（先平移后伸缩） sin y x = ()sin y x ϕ=+：把sin y x =图象上所有的点向左（0ϕ>） 或向右 （0ϕ<）平移ϕ个单位。 ()sin y x ωϕ=+：把()sin y x ϕ=+图象上各点的横坐标伸长（01ω<<） 或缩短（1ω>）到原来的 1 ω 倍,纵坐标不变。 ()sin y A x ϕ=+：把()sin y x ϕ=+图象上各点的纵坐标伸长（1A >）或缩短（01A <<）到原来的A 倍,横坐标不变。 2、先周期变换 相位变换 振幅变换（先伸缩后平移） sin y x = sin y x ω=：把sin y x =图象上各点的横坐标伸长（01ω<<）或缩短 三角函数大题常考题型 三角函数是高中数学中的重要内容，常常出现在考试中。在解决三角函数大题时，我们需要掌握一些基本的概念和性质，并且需要运用一些常见的解题方法。本文将从以下几个方面详细介绍三角函数大题的常考题型，并提供相应的解题思路和方法。 一、角度与弧度的转换 1. 角度与弧度的定义 2. 角度与弧度之间的换算关系 3. 如何将角度转换为弧度，以及如何将弧度转换为角度 二、三角函数的基本性质 1. 正弦函数、余弦函数和正切函数的定义 2. 三角函数在不同象限上的正负关系 3. 三角函数的周期性质 4. 三角函数的奇偶性质 三、特殊角和相关角 1. 30°、45°、60°等特殊角的正弦值、余弦值和正切值 2. 相关角之间的关系及其应用 四、三角恒等式与简化公式 1. 基本恒等式：借助单位圆理论证明正弦定理和余弦定理 2. 和差化积公式：证明两个三角函数之和（差）的积可以表示为其他三角函数 3. 积化和差公式：证明两个三角函数之积可以表示为其他三角函数之 和（差） 4. 二倍角公式、半角公式、倍角公式等的推导与应用 五、解三角方程 1. 一次三角方程的解法：将方程转化为关于某个三角函数的代数方程，然后求解 2. 二次三角方程的解法：利用换元法将二次三角方程转化为一次三角 方程，然后求解 六、应用题 1. 通过建立合适的模型，运用三角函数解决实际问题，如航海问题、 测量问题等 2. 利用已知条件和相关知识，求解各种几何图形中的未知量 七、综合题 1. 结合以上所学内容，综合运用各种解题方法和技巧，解决复杂的综 合性问题 2. 借助图形辅助理解和求解问题 总结： 通过对以上内容的学习和掌握，我们能够更好地理解和应用三角函数。在做大题时，我们需要根据题目给出的条件和要求，选择合适的方法 进行分析和计算。同时，在计算过程中要注意单位换算、符号取舍等 细节问题，确保结果的准确性。通过不断的练习和思考，我们能够提 高解题的能力和技巧，更好地应对各种三角函数大题。 三角函数的题型和办法之五兆芳芳创作 一、思想办法 1、三角函数恒等变形的根本战略. （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等. （2）项的分拆与角的配凑.如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β， β= 2β α+－ 2β α-等. （3）降次与升次.即倍角公式降次与半角公式升次. （4）化弦（切）法.将三角函数利用同角三角函数根本关系化成弦（切）. （5）引入帮助角.asinθ+bcosθ=2 2b a+sin(θ+ϕ)，这里帮助角ϕ所在 象限由a、b的符号确定，ϕ角的值由tanϕ= a b确定. （6）万能代换法.巧用万能公式可将三角函数化成tan 2 θ的有理式. 2、证明三角等式的思路和办法. （1）思路：利用三角公式进行假名，化角，改动运算结构，使等式两边化为同一形式. （2）证明办法：综正当、阐发法、比较法、代换法、相消法、数学归结法. 3、证明三角不等式的办法：比较法、配办法、反证法、阐发法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等. 4、解答三角高考题的战略. （1）发明差别：不雅察角、函数运算间的差别，即进行所谓的“差别阐发”. （2）寻找联系：运用相关公式，找出差别之间的内在联系. （3）公道转化：选择恰当的公式，促使差别的转化. 二、注意事项 对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变更似乎庞杂，处理这类问题，注意以下几个方面： 1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值. 2、三角变换的一般思维与经常使用办法. 注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如 αα ββαββαα22 1 22)()(⨯=⨯ =+-=-+=．也要注意题目中所给的各角之间的关系. 注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等. 熟悉常数“1”的各类三角代换： 6 sin 24 tan 0cos 2 sin sec cos tan sec cos sin 12222π π π ααβαβα====⋅=-=+=等. 注意万能公式的利弊：它可将各三角函数都化为2 tan θ的代数式，把三角式转化为代数式．但往往代数运算比较繁. 熟悉公式的各类变形及公式的规模，如 sin α = tan α· cos α，2 cos 2cos 12αα=+，2 tan sin cos 1αα α=-等. 利用倍角公式或半角公式，可对三角式中某些项进行升降幂处理， 高中数学三角函数知识点归纳及常考题型 分析 三角函数知识点归纳及常考题型分析 角的概念及表示 角是指由两条射线（或直线段）共同围成的图形，其中一个射线为始边，另一个射线为终边。正角、负角和零角是角的三种分类。终边相同的角可以表示为{β|β=k·360+α，k∈Z}。象限角是指顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合的角，其终边落在第几象限就称这个角是第几象限的角。轴线角是指顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边落在坐标轴上的角。区间角是指角的量数在某个确定的区间内，由若干个区间构成的集合称为区间角的集合。 角度制与弧度制 角度制和弧度制是两种常见的角度量方式。它们之间的互换关系是1rad=180°≈57.30°=57°18ˊ，1°≈0.（rad）。 弧长公式与扇形面积公式 弧长公式是指l=|α|·r，其中α是角的量数，r是半径。扇形面积公式是指s扇形=lr=|α|·r^2/2. 三角函数的定义与符号 设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）。P与原点的距离为r，则sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x，cotα=x/y，secα=r/x，cscα=r/y。在各象限中，正弦函数和正切函数在第一象限和第二象限中为正，余弦函数在第一象限和第四象限中为正。 三角函数的图像及基本关系式 正弦线是MP，余弦线是OM，正切线是AT。同角三角函数的基本关系式是sin^2θ+cos^2θ=1，tanθ=sinθ/cosθ。 正弦、余弦的诱导公式 正弦、余弦的诱导公式是奇变偶不变，符号看象限。其中sin(±α)和cos(±α)的值与sinα和cosα的值有关，而sin(α+π)=-sinα，cos(α+π)=-cosα。 和角与差角公式 和角与差角公式是sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ， cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ， tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)，sin(α+β)sin(α-β)=sin^2α-sin^2β，cos(α+β)cos(α-β)=cos^2α-sin^2β， asinα+bcosα=a^2+b^2sin(α+φ)，其中辅助角φ所在象限由点(a,b)的象限决定，tanφ=b/a。 1.二倍角公式及降幂公式 1.1 二倍角公式： sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$， $\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1- 2\sin^2\alpha$，$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$ 1.2 降幂公式： 三角函数的题型和方法 一、思想方法 1、三角函数恒等变形的基本策略. 〔1〕常值代换：特别是用"1〞的代换,如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等. 〔2〕项的分拆与角的配凑.如分拆项：sin 2x+2cos 2x= 专题 三角函数题型分类总结 三角函数公式一览表错误!未定义书签。 一求值问题- 1 - 练习- 1 - 二最值问题- 2 - 练习- 3 - 三单调性问题- 3 - 练习- 3 - 四.周期性问题- 4 - 练习- 4 - 五对称性问题- 5 - 练习- 5 - 六.图象变换问题- 6 - 练习- 7 - 七．识图问题- 7 - 练习- 9 - 一 求值问题 类型1知一求二 即已知正余弦、正切中的一个，求另外两个 方法：根据三角函数的定义，注意角所在的范围（象限），确定符号； 例 4 sin 5 θ= ，θ是第二象限角，求cos ,tan θθ 类型2 给值求值 例1 已知2tan =θ，求（1） θ θθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ2 2cos 2cos .sin sin +-的值. 练习 1、sin330︒=tan690° =o 585sin = 2、（1）α是第四象限角，12 cos 13 α= ，则sin α= （2）若4sin ,tan 05 θθ=->，则cos θ=. （3）已知△ABC 中，12 cot 5 A =- ，则cos A =. (4)α是第三象限角，2 1)sin(=-πα，则αcos =)25cos(απ += 3、(1)已知sin 5 α= 则44sin cos αα-=. (2)设(0,)2πα∈，若3sin 5α= )4π α+=. （3）已知3( ,),sin ,25π απα∈=则tan()4 π α+= 4、下列各式中，值为 2 3 的是( ) （A ）2sin15cos15︒︒ （B ）︒-︒15sin 15cos 22（C ）115sin 22-︒（D ）︒+︒15cos 15sin 22 5. (1)sin15cos75cos15sin105+= (2)cos 43cos77sin 43cos167o o o o +=。 6.(1) 若sin θ＋cos θ＝ 1 5 ，则sin 2θ= （2）已知3 sin()45 x π-=，则sin 2x 的值为 (3) 若2tan =α ,则 α αα αcos sin cos sin -+= 7. 若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = tan 2α= 8 ．已知cos( )2 2π ϕ+= ，且||2 π ϕ<，则tan ϕ＝ 9. 若 cos 2πsin 4αα=⎛ ⎫- ⎪ ⎝ ⎭cos sin αα+= 10.已知5 3 )2cos(= - π α，则αα22cos sin -的值为 （ ） A ．257 B ．2516- C ．259 D ．25 7- 11．已知sin θ=－ 1312，θ∈（－2π，0），则cos （θ－4 π ）的值为 （ ） A ．－2627 B ．2627 C ．－26217 D ．26 2 17 二最值问题 相关公式 两角和差公式；二倍角公式；化一公式 例 求函数3sin 4cos y x x =+的最大值与最小值 例 求函数2 3sin 4sin 4y x x =+-的最大值与最小值 例．求函数2 1sin cos (sin cos )y x x x x =++++的值域。 第三章 三角函数 3.1任意角三角函数 一、知识导学 1．角：角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形.角的三要素是：顶点、始边、终边.角可以任意大小，按旋转的方向分类有正角、负角、零角. 2．弧度制：任一已知角α的弧度数的绝对值r l = α，其中l 是以α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径.规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制. 3．弧度与角度的换算：rad π2360= ；rad 1745.01801≈=π ；1 30.57180≈⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=πrad .用弧度为单位表示角的 大小时，弧度（rad ）可以省略不写.度 () 不可省略. 4．弧长公式、扇形面积公式：,r l α=2||2 1 21r lr S α=＝扇形,其中l 为弧长，r 为圆的半径.圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当πα2=时的情形. 5．任意角的三角函数定义：设α是一个任意大小的角，角α终边上任意一点P 的坐标是()y x ,，它与原点的距离是 )0(>r r ，那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是 y r x r y x x y r x r y ====== ααααααc s c ,s e c ,c o t ,t a n ,c o s ,s i n .这六个函数统称为三角函数. 7．三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示（各象限注明的函数为 正，其余为负值） 可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正. 二、疑难知识导析 1．在直角坐标系内讨论角 （1）角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角（或说这个角属于第几象限）.它的前提是“角的顶点为原点，角的始边为x 轴的非负半轴.否则不能如此判断某角为第几象限.若角的终边落在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限. （2）与α角终边相同的角的集合表示. {} Z k k ∈+⋅=,360 αββ ，其中α为任意角.终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角有无 数多个，它们相差 360整数倍. 2．值得注意的几种范围角的表示法 “0 ～ 90间的角”指 900<≤θ；“第一象限角”可表示为{ } Z k k k ∈+⋅<<⋅,90360360 θθ；“小于90 的 角”可表示为{ } 90<θθ. 3．在弧度的定义中 r l 与所取圆的半径无关，仅与角的大小有关. 4．确定三角函数的定义域时，主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键.当终边在坐标轴上时点P 坐标中必有一个为0. 5．根据三角函数的定义可知：（1）一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，即角α与)(360Z k k ∈⋅= β的 同名三角函数值相等；（2）r y r x ≤≤,，故有1sin ,1cos ≤≤αα，这是三角函数中最基本的一组不等关系. 6．在计算或化简三角函数关系式时，常常需要对角的范围以及相应三角函数值的正负情况进行讨论.因此，在解答此类问题时要注意：（1）角的范围是什么？（2）对应角的三角函数值是正还是负？（3）与此相关的定义、性质或公式有哪些？ 三、经典例题导讲 [例1] 若A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，且)2 (π≠< 三角函数公式汇总及练习题 一、倍角公式 1、Sin2A=2SinA*CosA 2、Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 3、tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）（注：SinA^2是sinA的平方sin2（A）） 向左转|向右转 二、降幂公式 1、sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 2、2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 3、tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 三、推导公式 1、1tanα+cotα=2/sin2α 2、tanα-cotα=-2cot2α 3、1+cos2α=2cos^2α 4、、4-cos2α=2sin^2α 5、1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2=2sina(1-sin2a)+(1- 2sin2a)sina 四、两角和差 1、1cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ 2、cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ 3、sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ 4、4tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) 5、tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 五、和差化积 1、sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 2、sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 3、cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 4、cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 5、tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 六、积化和差 1、sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2 2、sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 3、cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 七、诱导公式 1、(-α)=-sinα、cos(-α)=cosα 2、tan(—a)=-tanα、sin(π/2-α)=cosα、cos(π/2- α)=sinα、sin(π/2+α)=cosα 3、3cos(π/2+α)=-sinα 4、(π-α)=sinα、cos(π-α)=-cosα 5、5tanA=sinA/cosA、tan（π/2＋α）＝－cotα、tan（π/2－α）＝cotα 6、tan（π－α）＝－tanα、tan（π＋α）＝tanα 八、锐角三角函数公式 三角函数公式及练习题 三角函数公式： 倒数关系： tan cot=1 sin csc=1 cos sec=1 商的关系： sin/cos=tan=sec/csc cos/sin=cot=csc/sec 平方关系： sin^2()+cos^2()=1 1+tan^2()=sec^2() 1+cot^2()=csc^2() 平常针对不同条件的常用的两个公式 sin^2()+cos^2()=1 tan *cot =1 一个特殊公式 (sina+sin)*(sina-sin)=sin(a+)*sin(a-) 证明：(sina+sin)*(sina-sin)=2 sin[(+a)/2] cos[(a-)/2] *2 cos[(+a)/2] sin[(a-)/2] =sin(a+)*sin(a-) 坡度公式 我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度(也叫坡比), 用字母i表示, 即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l : m 形式,如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作 a(叫做坡角),那么 i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式 正弦： sin =的对边/ 的斜边 余弦：cos =的邻边/的斜边 正切：tan =的对边/的邻边 余切：cot =的邻边/的对边 二倍角公式 正弦 sin2A=2sinAcosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a) 正切 tan2A=(2tanA)/(1-tan^2(A)) 三倍角公式 sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-) cos3=4coscos(/3+)cos(/3-) tan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3-a) 三倍角公式推导 sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sina)+(1-2sina)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cosa-1)cosa-2(1-cos^a)cosa 高中三角函数公式大全以及典型例题2009年07月12日星期日 19:27 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = tan(A-B) = cot(A+B) = cot(A-B) = 倍角公式 tan2A = Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana·tan( +a)·tan( -a) 半角公式 sin( )= cos( )= tan( )= cot( )= tan( )= = 和差化积 sina+sinb=2sin cos sina-sinb=2cos sin cosa+cosb = 2cos cos cosa-cosb = -2sin sin tana+tanb= 积化和差 sinasinb = - [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = [sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa . sin( -a) = cosa cos( -a) = sina sin( +a) = cosa cos( +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA = 万能公式 sina= cosa=高中数学 三角函数
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