第10章结构动力学

10.2.1单自由度体系自由振动微分方程的建立
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10-11 单自由度体系振动模型图 （a）模型1；（b）模型2；（c）隔离体
图10-11（a）所示悬臂柱在顶部有一质体，质量为 质 量比
m小得多，可以忽略不计。所以只有一个自由度。
m
。设柱体本身
由初始干扰，即初始位移或初速度和初始速度共同作用下所引起
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l 3EI
当柱顶作用水平力 W 时，柱顶的水平位移为
3
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st
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Wl 3 3EI
所以
st Wl 3 T 2 2 g 3EIg
（2）竖向振动 在柱顶
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W 处，加一竖向单位力如图10-15（c），求得
l3 EA
当柱顶作用竖向力 W 时，柱顶的竖向位移为
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10.1.1 概述
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前面各章讨论的是结构的静力计算问题，即结构在静力荷载作用 下的内力和计算问题；现在我们进一步研究动力荷载对结构的影响。
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由于动力荷载作用产生的内力和位移，称为动内力和动位移，它
们不仅是位移的函数，也是时间的函数。动内力与动位移统称为动力 反应。学习结构动力学，就是为了确定结构的动力反应在动荷载作用
前面讨论的自由振动都是无阻尼情况下的自由振动。由于没有阻
尼，振动也就不消耗系统的振动能量，那么，振动将按照周期函数的
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规律无休止的延续下去。这是一种理想的状态，实际结构的振动总是
有阻尼的。现以一钢结构模型和一钢筋混凝土楼板在自由振动实验中
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所得位移—时间曲线的大致形状来说明阻尼，如图10-17所示。由于 阻尼的存在，使得振动过程的能量逐渐耗散，最终衰减为零。现在讨 论阻尼对结构自由振动的影响。
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(t ) F1 m y m 的位移为：
y(t ) F1
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即
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(t ) y (t ) m y
式中： ——立柱的柔度系数，即单位水平力 的水平位移
（10-4）

F 1 作用在柱顶
10.2.2 自由震动微分方程的解答
单自由度体系自由振动微分方程式（10- 3）可以写成
10-10所示，至少需添加三个附加链杆才能使结构变为几何不变体系，
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因此，其自由度数为3。
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图10-10 复杂情况下自由度的确定 （a）三个集中质量体系；（b）加链杆确定自由度
§10.2 单自由度结构自由振动
自由振动是指结构在振动过程中不受外部干扰力作用的振动。产
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生自由振动是由于初始时刻的干扰，即通过对质量施加初位移或初速
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图10-5 单自由度体系梁
为了简化计算可采用下列方法，把无限自由度体
系简化为有限自由度体系。
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1. 集中质量法 集中质量法，即将分布质量集中为有限个质点，集中质点的数
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目可根据结构的具体情况和计算精度的要求确定。
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图10-6 多个自由度梁
图10-7 两自由度钢架
例如图10-7（a）所示的两层刚架，计算侧向振动时，则可简化为
（2）从结构的位移方程建立振动微分方程——柔度法
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图10-12 单自由度体系振动模型 （a）模型；（b）柔度系数；（c）刚度系数
根据达朗伯原理，以静力平衡位置为计算位移的起点，当质量 m 在 任意时刻水平位移为 y (t ) 时，作用在立柱质量
m 上只有惯性力 F1 ，
［图10-12（a）］，则质量

1 m
Leabharlann Baidu
48EI m l3
例10-2 如图10-15（a）所示为一等截面竖直悬臂杆，长度为 l , 截面积为 A ，截面抗弯刚度为 EI ，杆顶有一质量为 W 的重物。 设杆件本身质量不计，试分别求水平振动和竖直振动时的自振周期。
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图10-15
解：（1）水平振动
在柱顶处加一单位水平力如图10-15（b），由图乘法可求得
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t
时刻
x 点的位移将它用一组位
移函数的线性和表示
ix y( x, t ) qi (t ) sin l i 1

（10-1） 如取前三项叠加，
ix y ( x, t ) qi (t ) sin l i 1
3
（10-2）
这样就将无限自由度系统简化为三个自由度的系统。
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质量集中于楼层的两个自由度体系，计算简图如图10-7（b），在 振动过程中，只要用
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y1和 y2 两个独立坐标就可以确定各质点所处
的位置，这样就把原来具有无限自由度的两层刚架简化为两个自由
度。
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2.广义位移法
对于具有连续分布质量，且比较简单的结构可采用广义位移法。
如图10-8(a)所示简支梁，设在
由此可知，体系的自由振动由两部分组成：一部分由初位移 y 0 引
0 引起，变现为正弦规律 起，表现为余弦规律；另一部分由初速度 y
[图10-13(a)、(b)]，两者叠加为简谐振动[图10-13(c)]。
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图10-13
令
y0 A sin
（d）
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则有
0 y
A cos
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正弦（或余弦）规律改变大小则称为简谐周期荷载，通常也称为震动 荷载，如图10-1所示。例如具有旋转部件的机器在等速运转时其偏心 质量产生的离心力对结构的影响就是这种荷载。
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图10-1 周期荷载
（2）冲击荷载。这是指很快地把全部量值加于结构而作用时间很短
即行消失荷载，这种荷载在很短的时间内，荷载值急剧增大或急剧减
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图10-17 位移时间曲线 （a）钢结构；（b）钢筋混凝土楼板
振动中的阻尼来自各个不同方面，主要分为两种：一种是外部介 质的阻力；另一种则来源于物体内部的作用。这些力统称为阻尼力。
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由于阻尼力的来源不同，且与材料特性有着密切关系，因而计算很复
杂。为了简化计算，人们提出了许多理论来近似模拟阻尼力，最为常
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下随时间改变的规律，从而求出最大值作为我们设计的依据。结构的 动力反应与自身的特性有着密切的联系，而结构的自振频率、振型和 阻尼系数等正是反映结构动力特性的指标。在接下来的本章学习中， 我们将逐步学习几种常见的结构动力反应。
10.1.2 动力荷载的分类
工程中常见的动力荷载有以下几类： （1）周期荷载。这是指随时间按一定规律变化的周期性荷载，如按
度而激发产生。自由振动时规律反映了体系的动力特性，而体系在动
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荷载作用下的响应情况又是与其动力特性相关的。体系的自由振动分 为有阻尼和无阻尼两种情况。
单自由度体系的振动是工程中经常遇到的实际问题之一。有时也
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可把复杂的工程问题简化为单自由度体系进行估算。因此，单自由度 体系的振动虽然比较简单，却十分重要，它是研究多自由度体系振动 的基础。
；阻尼
性质用阻尼器表示，阻尼常数为
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c 。下面来建立体系的动平衡方程。
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图10-18 有阻尼振动模型 （a）模型；（b）隔离体
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2 y 0 y
式中：
（10-5）
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k m
2
（10-6）
式10-5为常系数线性齐次微分方程，其通解为
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y(t ) C1 cost C2 sin t
任一时刻的加速度 代入初始条件
（b）
(t ) C1 sin t C2 cost （c） y 0 y y (t ) y0 cos t sin t （10-7）
用的是采用福格第假定，即假定阻力与振动速度成正比，且方向与质
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点速度方向相反，这也就是我们常说的粘滞阻尼力，即
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R(t ) cy
式中
（10-13）
c称为阻尼常数，负号表示阻尼力与速度方向相反。
图10-19（a）所示为一具有阻尼的单自由度振动模型。体系的 质量为
m ，体系的弹性性质用弹簧表示，弹簧刚度为 k
小，如图10-2。例如打桩机的桩锤对桩的冲击、各种爆炸荷载等。
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图10-2 冲击荷载
（3）突加荷载。在一瞬间施加于结构上并继续留在结构上的荷载， 如图10-3。例如吊重物的起重机突然启动时施加于钢丝绳的荷载就 是这种突加荷载。
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图10-3 突加荷载
（4）快速移动荷载。例如高速通过桥梁的列车、汽车等。
（e）
A
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y
2 0

2 0 y 2
（10-8）
t an
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则(10-7)可写成

y0 0 y
（10-9）
y (t ) A sin(t )
（10-10）
且有
(t ) A cos(t ) y
（10-11）

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之值可由式(10-6)确定
k 1 g g m m mg st
普通高等学校土木工程专业精编系列规划教材
结构力学
主编 丁克伟
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10 结构动力学
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10.1 结构动力学计算基本概念 10.2 自由度结构自由振动 10.3 简谐荷载作用下的单自由度体系受迫振动 10.4 一般荷载作用下的单自由度体系受迫振动
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§10.1 结构动力计算基本概念
的振动称为自由振动。
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建立自由振动的微分方程有两种方法：刚度法和柔度法。
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（1）从质量
m
隔离体的动力平衡方程建立振动微分方程——
刚度法
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根据达朗伯原理，可列出隔离体在任一瞬时的动力平衡方程如下：
ky 0 m y
（10-3）
这种直接建立质量 为刚度法。
m
在任意时刻
t 的动力平衡方程的方法，称
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图10-8 简支梁的广义位移
3. 有限单元法 有限元法是将实际结构离散成有限个单元，对每个单元给定插
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值函数，然后叠加单元在各个相应结点的贡献建立系统求解方程。 有限单元法根据基本未知量选取的不同，分为位移有限元法、应力
有限元法和混合有限元法。其中，位移有限元方法应用最广。
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在确定结构震动自由度时，应注意不能根据结构有几个集中 质量就判定它有几个自由度，而应该由确定集中质量位置所需的独
（5）随机荷载。例如风力的脉动作用、波浪对码头的拍击、地震对
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建筑物的激振等。
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图10-4 随机荷载
10.1.3动力计算的自由度
在动力荷载作用下，结构体系的质量获得加速度就产生了运动，
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如果我们能够确定各质量在任意瞬时的位置，则该结构体系的变形形 状就完全被确定了。我们把确定结构体系全部质点的位置所需要的独
。在梁的跨中处有一个集中质量块 m 。忽略梁本身的质量，
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图10-14
解：用柔度法，该梁只有竖向的一个自由度，在简支梁跨中处作用 一竖向单位力
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P 1
，作
M
图如图10-14（b）所示，由图乘法可
求出其柔度系数为：
l3 48EI
因此，由式10-12可得
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m l3 T 2 m 2 48EI
体系的自振频率随结构刚度
（10-12）
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k
的增大和质量
m
的减小而增大，即体
系的自振频率只取决于它自身的质量和刚度，它反映了结构固有的动
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力特性，故通常又称为固有频率。
例10-1 如图10-14（a）所示一等截面简支梁，截面抗弯刚为 跨度为 试求结构的自振周期 T 和圆频率 。
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EI ，
l
Wl st EA
所以
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st Wl T 2 2 g EIg
例10-3 图10-16（a）所示为一单层钢架，横梁抗弯刚 度 EIb ，柱的截面抗弯刚度为EI 。横梁上总质量为 柱的质量可以忽略不计。求钢架的水平自振频率。
m
，
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图10-16
解：用刚度法。 （1）求钢架水平侧移刚度系数 k（柱顶产生单位水平位移所需的
立参数的个数称为该结构体系的动力自由度。图10-5(a)所示为一简
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支梁，跨中放有重物W。当梁本身质量远小于重物的质量时，可取图 10-5(b)所示的结构计算简图。这时体系只有一个自由度，如图
10.5(b)所示。结构振动的自由度数目，在结构动力学中具有重要的
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意义。具有一个自由度的结构称为单自由度结构，自由度大于1的结 构则称为多自由度结构。
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力），如图10-16（b）所示。由等截面直杆的转角位移方程可得柱顶
EI 12 剪为 h3
，
以横梁为隔离体如图10-16（c）所示，由平衡条件可得
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12EI EI k 2 3 24 3 h h
（ 2）钢架的自振频率为
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k 24EI m m h3
10.2.3有阻尼自由振动
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立参数数目来判定。
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图10-9 两自由度体系
对于较为复杂的结构体系，可以采用集中质量处附加刚性链杆以
限制集中质量运动的办法来确定体系的自由度。首先将结构各个刚结
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点包括刚接基础改为铰接，然后添加刚性链杆使结构体系变成几何不
变体系，则所需添加的刚性链杆的最少数目就是结构的自由度。如图