新《计量经济学》第6章 计量练习题

《计量经济学》第6章习题

一、单项选择题

1．当模型存在严重的多重共线性时，OLS 估计量将不具备（ ） A ．线性 B ．无偏性 C ．有效性 D ．一致性

2．如果每两个解释变量的简单相关系数比较高，大于（ ）时则可认为存在着较严重的多重共线性。

A ．0.5

B ．0.6

C ．0.7

D ．0.8

3．方差扩大因子VIF j 可用来度量多重共线性的严重程度，经验表明，VIF j （ ）时，说明解释变量与其余解释变量间有严重的多重共线性。

A ．小于5

B ．大于1

C ．小于1

D ．大于10

4．对于模型01122i i i i Y X X u βββ=+++，与r 23等于0相比，当r 23等于0.5时，3

?β的方差将是原来的（ ）

A ．2倍

B ．1.5倍

C ．1.33倍

D ．1.25倍 5．无多重共线性假定是假定各解释变量之间不存在（ ）

A ．线性关系

B ．非线性关系

C ．自相关

D ．异方差 二、多项选择题

1．多重共线性包括（ ）

A ．完全的多重共线性

B ．不完全的多重共线性

C ．解释变量间精确的线性关系

D ．解释变量间近似的线性关系

E ．非线性关系

2．多重共线性产生的经济背景主要由（ ）

A ．经济变量之间具有共同变化趋势

B ．模型中包含滞后变量

C ．采用截面数据

D ．样本数据自身的原因

E ．模型设定误差 3．多重共线性检验的方法包括（ ）

A ．简单相关系数检验法

B ．方差扩大因子法

C ．直观判断法

D ．逐步回归法

E ．DW 检验法 4．修正多重共线性的经验方法包括（ ） A ．剔除变量法 B ．增大样本容量

C ．变换模型形式

D ．截面数据与时间序列数据并用

E ．变量变换 5．严重的多重共线性常常会出现下列情形（ ） A ．适用OLS 得到的回归参数估计值不稳定 B ．回归系数的方差增大

C ．回归方程高度显著的情况下，有些回归系数通不过显著性检验

D ．回归系数的正负号得不到合理的经济解释

E ．预测精度降低

一、单项选择题

1.C

2.D

3.D

4.C

5.A 二、多项选择题

1.AB

2.ABCD

3.ABCD

4.ABCDE

5.ABCDE

三、简答题

1．什么是多重共线性？产生多重共线性的经济背景是什么？

所谓多重共线性（Multicollinearity ）是指线性回归模型中的解释变量之间由于存在精确相关关系或高度相关关系而使模型估计失真或难以估计准确。一般来说，由于经济数据的限制使得模型设计不当，导致设计矩阵中解释变量间存在普遍的相关关系。 产生多重共线性的经济背景有经济变量之间存在共同变化趋势；利用截面数据研究经济现象；模型中大量引入滞后经济变量；样本数据自身的原因

2．完全多重共线性与不完全多重共线性的区别是什么？ 对于一般多元线性回归模型而言

01122i k k i Y X X X u ββββ=+++++ （1）

我们说回归模型（1）存在多重共线性，根据多重共线性的定义可知，它的某个解释变量可以写成其他一些解释变量的线性组合。不妨设X 1可以写成其他某些解释变量的线性组合，则有：

12233k k X X X X ααα=++

+ （2）

至少有一个0i α≠（2,3,

,i k =）

，我们称这种情况为完全多重共线性。这时X 1与右侧线性组合的相关系数是1。

在实际中很少遇到完全多重共线性的情况，常常是接近完全多重共线性或者高度多重共线性，我们以后提到的多重共线性都是指高度多重共线性。不妨设X 1与其他解释变量高度共线性，即可以近似写成其他解释变量的线性组合，这时，有：

12233k k i X X X X v ααα=++++ （3）

至少有一个0i α≠（2,3,

,i k =）

， i v 是随机误差项。这时X 1与右侧线性组合的相关系数不是1，但接近于1 。

3．多重共线性的危害是什么？为何会造成这些危害？

参数估计的后果：完全多重共线性下的参数估计为一“不定式”；不完全多重共线性下的参数估计为—渐近“不定式”；多重共线性下参数估计值的方差

统计检验的后果：参数的显著性检验失败；完全多重共线性下的预测无意义；参数估计值的符号与经济意义相悖

4．判断是否存在多重共线性的方法有哪些？

（1）相关系数法。作出各解释变量的相关系数矩阵，利用相关系数矩阵可以很容易看出自变量之间的共线性。（2）辅助回归方法，即把多个解释变量中的一个作为因变量其余的作为自变量做回归分析看显著性。还可以更具OLS 估计量的性质，得到估计参数的“方差膨胀因子”进行判断。

5．有哪些克服多重共线性的方法有哪些。 （1）模型的变量变换（差分模型；增长率模型）；（2）先验信息的利用；参数的约束；数据

的结合；截面数据的利用（3）其他方法：增加样本容量；剔除变量；改变模型的函数形； （4）逐步回归法 四、计算题

1．在研究生产函数时，得到以下两种结果：

1n Y

?t =-5.04 + 0.8871n K t + 0.8931n L t （A ） S.E.= (1.40) (0.087) (0.137) R 2

=0.878 n =21

1n Y

?t =-8.57 + 0.0272T + 0.4601n K t + 1.2851n L t （B ） S.E.= (2.99) (0.020) (0.333) (0.324) R 2=0.889 n =21

其中，Y =产量，K =资本，L =劳动，T =时间，n =样本容量。

请回答：

（1）验证模型（A ）中所有的系数在统计上都是显著的（5％）； （2）验证模型（B ）中T 和ln K 的系数在统计上不显著（5％）； （3）可能什么原因造成了（B ）中ln K 的系数不显著;

（4）如果T 与ln K 的相关系数为0.98，你将如何判断并能得出什么结论? 解

（1）给定显著性水平α=0.05，查自由度为(1)n k --=21-2-1=18的t 分布表，得临界值

0.025(18)t =2.101。对1n K t 而言，t=0.887/0.087=10.19，由于10.19 2.101t =>，故变量

1n K t 的系数是显著的；对1n L t 而言，t=0.893/0.137=6.52，由于 6.52 2.101t =>，故变量1n L t 的系数也是显著的。

（2）给定显著性水平α=0.05，查自由度为(1)n k --=21-3-1=17的t 分布表，得临界值

0.025(17)t =2.11。对T 而言，t =0.0272/0.02=1.36，由于 1.36 2.11t =<，故变量T 的系数

是不显著的；对1n K t 而言，t =0.46/0.333=1.38，由于 1.38 2.11t =<，故变量1n K t 的系数也是不显著的；

（3）T 与1n K t 存在较强的相关性，模型存在多重共线性。

（4）T 与ln K 的相关系数为0.98，高度相关，模型存在多重共线性。

2．某地区供水部门利用最近15年的用水年度数据得出如下估计模型：

W

?=-326.9 + 0.305HO + 0.363POP – 0.005RE – 17.87PR – 1.123RA (-1.7) (0.9) (1.4) (-0.6) (-1.2) (-0.8)

2R =0.939 F =38.9

其中，W （Water ）—用水总量（百万立方米），HO （House ）—住户总数（千户），POP （Population ）—总人口（千人），RE （Revenue ）—人均收人（元），PR （price ）—价格（元／100立方米），RA （rain ）—降雨量（毫米）。

（1）根据经济理论和直觉，预计回归系数的符号是什么（不包括常量）? 为什么? 观察符号与你的直觉相符吗?

（2）在10％的显著性水平下，请进行变量的t 检验与方程的F 检验。t 检验与F 检验

结果有相矛盾的现象吗?

（3）你认为估计值是①有偏的；②无效的或③不一致的吗? 详细阐述理由。 解

（1）在其他变量不变的情况下，一城市的人口越多或房屋数量越多，则对用水的需求越高。所以可期望HO 和POP 的符号为正；收入较高的个人可能用水较多，因此RE 的预期符号为正，但它可能是不显著的。如果水价上涨，则用户会节约用水，所以可预期PR 的系数为负。显然如果降雨量较大，则草地和其他花园或耕地的用水需求就会下降，所以可以期望RA 的系数符号为负。从估计的模型看，除了RE 之外，所有符号都与预期相符。 （2）t -统计量检验单个变量的显著性，F -统计值检验变量是否是联合显著的。

这里t -检验的自由度为15-5-1=9，在10%的显著性水平下的临界值为1.833。可见，所有参数估计值的t 值的绝对值都小于该值，所以即使在10%的水平下这些变量也不是显著的。

这里，F -统计值的分子自由度为5，分母自由度为9。10%显著性水平下F 分布的临界值为2.61。可见计算的F 值大于该临界值，表明回归系数是联合显著的。

T 检验与F 检验结果的矛盾可能是由于多重共线性造成的。HO 、POP 、RE 都是高度相关的，这将使它们的t -值降低且表现为不显著。PR 和RA 不显著另有原因。根据经验，如果一个变量的值在样本期间没有很大的变化，则它对被解释变量的影响就不能够很好地被度量。可以预期水价与年降雨量在各年中一般没有太大的变化，所以它们的影响很难度量。 （3）多重共线性往往表现的是解释变量间的样本观察现象，在不存在完全共线性的情况下，近似共线并不意味着基本假定的任何改变，所以OLS 估计量的无偏性、一致性和有效性仍然成立，即仍是BLUE 估计量。但共线性往往导致参数估计值的方差大于不存在多重共线性的情况。

3．家庭消费支出不仅取决于可支配收入，还决定与家庭的的财富。设此问题的理论模型为：

01122i i i i Y X X u βββ=+++

其中，Y i 为消费支出，X 1i 为家庭可支配收入，X 2i 为家庭财富。根据表6-8中的数据建立回归模型并回答下列问题：

（1）对所得的R 2

、2

R 、F 、t 等值作出评价； （2）所估计模型是否可靠，为什么？ 表6-8 家庭消费支出与收入数据 编号

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Y 70

65 90 95 110 115 120 140 155 150 X 1 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 X 2

810

1009

1273

1425

1693

1876

2052

2201

2435

2686

解 （1）

Dependent Variable: Y Method: Least Squares

Date: 08/23/13 Time: 22:07 Sample: 1 10

Included observations: 10

Coefficie

nt Std. Error t-Statistic Prob. C 24.55158 6.952348 3.531408 0.0096 X1 0.568425 0.716098 0.793781 0.4534 X2 -0.005833 0.070294 -0.082975 0.9362

R-squared 0.962099 Mean dependent

var 111.0000

Adjusted R-squared 0.951270 S.D. dependent

var 31.42893

S.E. of regression 6.937901 Akaike info

criterion 6.955201

Sum squared resid 336.9413 Schwarz

criterion 7.045976

Log likelihood -31.77600 Hannan-Quinn

criter. 6.855620

F-statistic 88.84545 Durbin-Watson

stat 2.708154 Prob(F-statistic) 0.000011

（2）该模型并不可靠，原因是所选两个变量间存在严重多重共线性，X 1与X 2相关系数为

4．表6-9提供了我国粮食总产量以及受主要因素影响的数据。其中Y =粮食总产出（万吨），

X 1=农业化肥施用量（万公斤），X 2=粮食播种面积（千公顷），X 3=受灾面积（公顷）， X 4=农业

机械总动力（万千瓦），X 5=农业发电量（亿千瓦时）。 （1）估计模型

01122334455i Y X X X X X u ββββββ=++++++

（2）检验是否存在多重共线性；

（3）如果存在多重共线性，采用适当的方法进行修正。

表6-9 研究粮食生产问题数据资料 年份 Y

X 1

X 2

X 3

X 4

X 5

1990 44624.3 2590.3 113465.9 38474 28707.7 418.11 1991

43529.3

2805.1

112313.6

55472

29388.6

406.68

1992 44265.8 2930.2 110559.7 51332 30308.4 481.85 1993 45648.8 3151.9 110508.7 48827 31816.6 584.10 1994 44510.1 3317.9 109543.7 55046 33802.5 577.18 1995 46661.8 3593.7 110060.4 45824 36118.1 631.62 1996 50453.5 3827.9 112547.9 46991 38546.9 649.67 1997 49417.1 3980.7 112912.1 53427 42015.6 722.13 1998 51229.5 4083.7 113787.4 50145 45207.7 756.09 1999 50838.6 4124.3 113161.0 49980 48996.1 771.51 2000 46217.5 4146.4 108462.5 54688 52573.6 875.50 2001 45263.7 4253.8 106080.0 52215 55172.1 949.02 2002 45705.8 4339.4 103890.8 46946 57929.9 1036.69 2003 43069.5 4411.6 99410.4 54506 60386.5 1096.65 2004 46946.9 4636.6 101606.0 37106 64027.9 1104.55 2005 48402.2 4766.2 104278.4 38818 68397.8 1357.17 2006 49804.2 4927.7 104958.0 41091 72522.1 1483.59 2007 50160.3 5107.8 105638.4 48992 76589.6 1634.60 2008 52870.9 5239.0 106792.6 39990 82190.4 1627.59 2009 53082.08 5404.4 108985.7 47214 87496.1 1567.25 2010 54647.71 5561.7 109876.1 37426 92780.5 2044.43 2011 57120.85 5704.2 110573.0 32471 97734.7 1756.69

解

（1）

Dependent Variable: Y

Method: Least Squares

Date: 08/23/13 Time: 22:41

Sample: 1990 2011

Included observations: 22

Coefficie

nt Std. Error t-Statistic Prob.

C -32633.90 4876.571 -6.691977 0.0000

X1 5.460749 0.691782 7.893739 0.0000

X2 0.618130 0.038281 16.14724 0.0000

X3 -0.120953 0.026222 -4.612722 0.0003

X4 -0.067075 0.043531 -1.540857 0.1429

X5 0.222864 1.481620 0.150419 0.8823

R-squared 0.979816 Mean dependent

var 48385.02

Adjusted R-squared 0.973509 S.D. dependent

var 3869.568 S.E. of regression 629.8151 Akaike info 15.95573

criterion

Sum squared resid 6346672. Schwarz

criterion 16.25329

Log likelihood -169.5130 Hannan-Quinn

criter. 16.02583

F-statistic 155.3434 Durbin-Watson

stat 1.699774 Prob(F-statistic) 0.000000

（2）变量间相关系数较强，存在多重共线性

X1 X2 X3 X4 X5 X1 1.000000 -0.429234 -0.503777 0.972779 0.954515 X2 -0.429234 1.000000 0.128400 -0.422063 -0.428950 X3 -0.503777 0.128400 1.000000 -0.579013 -0.579022 X4 0.972779 -0.422063 -0.579013 1.000000 0.981221 X5 0.954515 -0.428950 -0.579022 0.981221 1.000000 （3）

第一：改为对数形式

Dependent Variable: LNY

Method: Least Squares

Date: 08/23/13 Time: 22:49

Sample: 1990 2011

Included observations: 22

Coefficie

nt Std. Error t-Statistic Prob.

C -6.776625 1.248300 -5.428682 0.0001

LNX1 0.369671 0.070130 5.271227 0.0001

LNX2 1.407639 0.100140 14.05669 0.0000

LNX3 -0.123772 0.025445 -4.864299 0.0002

LNX4 -0.069101 0.054179 -1.275414 0.2204

LNX5 0.035401 0.043094 0.821487 0.4234

R-squared 0.976576 Mean dependent

var 10.78396

Adjusted R-squared 0.969255 S.D. dependent

var 0.078746

S.E. of regression 0.013807 Akaike info

criterion -5.500210

Sum squared resid 0.003050 Schwarz

criterion -5.202653

Log likelihood 66.50232 Hannan-Quinn

criter. -5.430115 F-statistic 133.4094 Durbin-Watson 1.615527

stat

Prob(F-statistic) 0.000000

第二：分别作lny 对lnx1，lnx2，lnx3，lnx4，lnx5的回归 变量 LN X 1 LN X 2 LN X 3 LN X 4 LN X 5 参数估计值 0.2574 0.4638 -0.2882 0.1385 0.1112 t 统计量 4.9 1.0154 -3.0719 4.3749 4.2337 R 2

0.5455 0.0490 0.3206 0.4890 0.4726 2R

0.5228 0.0015 0.2866 0.4635 0.4463

第三：将lnX2剔除，选择lnX1，与LN X 3，LN X 4，LN X 5分别作回归

变量 LN X 1 LN X 3 LN X 4 LN X 5 2R

LN X 1，LN X 3 0.2114 (3.8094) -0.1498 (-1.8479)

0.5743 LN X 1，LN X 4 0.4027 (1.6716) -0.0847 (-0.6186)

0.5076 LN X 1，LN X 5

0.4540 (1.9899)

-0.0938 (-0.8859)

0.5176

第四：选择lnX1， LN X 3与LN X 4，LN X 5分别作回归 变量 LN X 1 LN X 3 LN X 4 LN X 5 2R

LN X 1，LN X 3 ，

LN X 4

0.5945 （2.6283）

-0.2161 （-2.5146）

-0.2351 （-1.7415）

0.6154 LN X 1，LN X 3 ，LN X 5 0.6047 （2.9005） -0.2130 （-2.5864） -0.1968

（-1.9474） 0.6288

分析发现，新加入的两个变量符号与预期不一致。故最终模型为

01123ln ln ln i i Y X X u βββ=+++ （6.5.2）

使用Eviews 估计结果

()()()1222ln 10.63260.2114ln 0.1498ln 9.21 3.81 1.85 0.6148 0.5742 15.16

i Y X X t R R F =+--===值

Dependent Variable: LNY Method: Least Squares Date: 08/23/13 Time: 23:58 Sample: 1990 2011 Included observations: 22

Coefficie

nt Std. Error t-Statistic Prob. C 10.63264 1.154158 9.212466 0.0000 LNX1 0.211434 0.055503 3.809413 0.0012 LNX3 -0.149799 0.081062 -1.847959 0.0802

R-squared 0.614793 Mean dependent

var 10.78396

Adjusted R-squared 0.574245 S.D. dependent

var 0.078746

S.E. of regression 0.051382 Akaike info

criterion -2.972937

Sum squared resid 0.050162 Schwarz

criterion -2.824159

Log likelihood 35.70231 Hannan-Quinn

criter. -2.937890

F-statistic 15.16206 Durbin-Watson

stat 0.394438 Prob(F-statistic) 0.000116