高中数学选修2-2金版教程1-2-1
新课程标准数学选修2-2第一章课后习题解答[唐金制]
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新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答第一章 导数及其应用 3．1变化率与导数 练习（P6）在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升. 练习（P8） 函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”的思想. 练习（P9）函数()r V =(05)V ≤≤的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组（P10）1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而10102020()()()()W t W t t W t W t t tt--∆--∆≥-∆-∆.所以，企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵. 2、(1)(1)4.9 3.3h h t h t tt∆+∆-==-∆-∆∆，所以，(1) 3.3h '=-.这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.(5)(5)10s s t st tt∆+∆-==∆+∆∆，所以，(5)10s '=.因此，物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第5 s 的动能213101502k E =⨯⨯= J.4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>.由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258k π=，于是2258t πθ=.车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t tt θθθππ∆+∆-==∆+∆∆，所以(3.2)20θπ'=.因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -. 说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于零，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数()f x '的图象如图（1）所示；第二个函数的导数()f x '恒大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于第三个函数，当x 小于零时，()f x '小于零，当x 大于零时，()f x '大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1．2导数的计算 练习（P18） 1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=. 2、（1）1ln 2y x '=； （2）2x y e '=；（3）4106y x x '=-； （4）3sin 4cos y x x '=--； （5）1sin33x y '=-； （6）y '=习题1.2 A 组（P18） 1、()()2S S r r S r r r rrπ∆+∆-==+∆∆∆，所以，0()lim (2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=.2、()9.8 6.5h t t '=-+.3、()r V '=4、（1）213ln 2y x x '=+； （2）1n x n x y nx e x e -'=+；（3）2323sin cos cos sin x x x x xy x-+'=； （4）9899(1)y x '=+；（5）2x y e -'=-； （6）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++.5、()8f x '=-+. 由0()4f x '=有 048=-+，解得0x =.6、（1）ln 1y x '=+； （2）1y x =-.7、1x y π=-+.8、（1）氨气的散发速度()500ln 0.8340.834t A t '=⨯⨯.（2）(7)25.5A '=-，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少.习题1.2 B 组（P19） 1、（1）（2）当h 越来越小时，sin()sin x h xy h+-=就越来越逼近函数cos y x =.（3）sin y x =的导数为cos y x =.2、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-，所以01x y ='=-.所以，曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h.1．3导数在研究函数中的应用 练习（P26）1、（1）因为2()24f x x x =-+，所以()22f x x '=-.当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增； 当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减. （2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增； 当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减. （3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增； 当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减. （4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--. 当()0f x '>，即13x <-或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减.2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()2f x ax b '=+. （1）当0a >时，()0f x '>，即2b x a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2b x a <-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.（2）当0a <时，()0f x '>，即2b x a <-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2b x a>-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-. 当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<，因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习（P29）1、24,x x 是函数()y f x =的极值点，其中2x x =是函数()y f x =的极大值点，4x x =是函数()y f x =的极小值点. 2、（1）因为2()62f x x x =--，所以()121f x x '=-. 令()1210f x x '=-=，得112x =.当112x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，当112x =时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f =⨯--=-.（2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-. 令2()3270f x x '=-=，得3x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：注：图象形状不唯一.因此，当3x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为54；当3x =时，()f x 有极小值，并且极小值为54-.（3）因为3()612f x x x =+-，所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为10-；当2x =时，()f x 有极大值，并且极大值为22（4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-. 令2()330f x x '=-=，得1x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当1x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为2-；当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为2练习（P31）（1）在[0,2]上，当112x =时，2()62f x x x =--有极小值，并且极小值为149()1224f =-.又由于(0)2f =-，(2)20f =.因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是4924-.（2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极大值，并且极大值为(3)54f -=；当3x =时，3()27f x x x =-有极小值，并且极小值为(3)54f =-；又由于(4)44f -=，(4)44f =-.因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-. （3）在1[,3]3-上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极大值，并且极大值为(2)22f =.又由于155()327f -=，(3)15f =.因此，函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最大值是22、最小值是5527.（4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-无极值. 因为(2)2f =-，(3)18f =-.因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-. 习题1.3 A 组（P31）1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<. 因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数. （2）因为()cos f x x x =+，(0,)2x π∈，所以()1sin 0f x x '=->，(0,)2x π∈.因此，函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数.（3）因为()24f x x =--，所以()20f x '=-<. 因此，函数()24f x x =-是单调递减函数. （4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>. 因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数.2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减. （2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-. 当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增. 当()0f x '<，即34x <时，函数2()233f x x x =-+单调递减.（3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>. 因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数. （4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-. 当()0f x '>，即1x <-或13x >时，函数32()f x x x x =+-单调递增.当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =+-单调递减.3、（1）图略. （2）加速度等于0.4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极大值； （2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极小值； （3）在3x x =处，函数()y f x =有极大值； （4）在5x x =处，函数()y f x =有极小值.5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=，得112x =-.当112x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当112x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，112x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-.（2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-. 令2()3120f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为16；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为16-.（3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为22；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为10-.（4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=，得4x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当4x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为128-；当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.6、（1）在[1,1]-上，当112x =-时，函数2()62f x x x =++有极小值，并且极小值为4724.由于(1)7f -=，(1)9f =，所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9，4724.（2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极大值，并且极大值为16； 当2x =时，函数3()12f x x x =-有极小值，并且极小值为16-. 由于(3)9f -=，(3)9f =-，所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16，16-. （3）在1[,1]3-上，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值.由于1269()327f -=，(1)5f =-，所以，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最大值和最小值分别为26927，5-.（4）当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.. 由于(3)117f -=-，(5)115f =，所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128，117-. 习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<，(0,)x π∈ 所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递减因此()sin (0)0f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即sin x x <，(0,)x π∈. 图略 （2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈所以，当1(0,)2x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增，2()(0)0f x x x f =->=；当1(,1)2x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减，2()(1)0f x x x f =->=；又11()024f =>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略（3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠. 因为()1x f x e '=-，0x ≠所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增，()1(0)0xf x e x f =-->=；当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减，()1(0)0xf x e x f =-->=；综上，1x e x ->，0x ≠. 图略 （4）证明：设()ln f x x x =-，0x >. 因为1()1f x x'=-，0x ≠所以，当01x <<时，1()10f x x'=->，()f x 单调递增，()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x >时，1()10f x x'=-<，()f x 单调递减，()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x =时，显然ln 11<. 因此，ln x x <. 由（3）可知，1x e x x >+>，0x >.. 综上，ln x x x e <<，0x > 图略2、（1）函数32()f x ax bx cx d =+++的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.（2）因为32()f x ax bx cx d =+++，所以2()32f x ax bx c '=++.下面分类讨论：当0a ≠时，分0a >和0a <两种情形： ①当0a >，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增； 当2()320f x ax bx c '=++<，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减. 当0a >，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≥，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增. ②当0a <，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增； 当2()320f x ax bx c '=++<，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减. 当0a <，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≤，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减 1．4生活中的优化问题举例 习题1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为x ，l x -，则这两个正方形的边长分别为4x ，4l x -，两个正方形的面积和为 22221()()()(22)4416xl x S f x x lx l -==+=-+，0x l <<.令()0f x '=，即420x l -=，2l x =.当(0,)2lx ∈时，()0f x '<；当(,)2lx l ∈时，()0f x '>.因此，2l x =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.所以，当两段铁丝的长度分别是2l 时，两个正方形的面积和最小.2、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去 四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无 盖方盒的底面为正方形，且边长为2a x -，高为x . （1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-，02a x <<.（2）因为322()44V x x ax a x =-+，所以22()128V x x ax a '=-+. 令()0V x '=，得2a x =（舍去），或6a x =.当(0,)6ax ∈时，()0V x '>；当(,)62a ax ∈时，()0V x '<.因此，6a x =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点.所以，当6a x =时，无盖方盒的容积最大.3、如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ， 则表面积222S Rh R ππ=+ 由2V R h π=，得2Vh Rπ=.因此，2222()222VV S R RR R RRππππ=+=+，0R >.令2()40V S R R Rπ'=-+=，解得R =.当R ∈时，()0S R '<；当)R ∈+∞时，()0S R '>.因此，R =()S R 的极小值点，也是最小值点.此时，22Vh R Rπ===.所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省. 4、证明：由于211()()nii f x x a n==-∑，所以12()()nii f x x a n='=-∑. 令()0f x '=，得11nii x an==∑，可以得到，11nii x a n==∑是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.这个结果说明，用n 个数据的平均值11nii a n=∑表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理. 5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2x m ，半圆的面积为28x π2m ，（第3题）矩形的面积为28x a π-2m ，矩形的另一边长为()8a xxπ-m因此铁丝的长为22()(1)244xa xa l x x x xxπππ=++-=++，0x <<令22()104a l x xπ'=+-=，得x =.当x ∈时，()0l x '<；当x ∈时，()0l x '>.因此，x =()l x 的极小值点，也是最小值点.所以，当底宽为时，所用材料最省.6、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润. 收入211(25)2588R q p q q q q =⋅=-=-，利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-，0200q <<.求导得1214L q '=-+ 令0L '=，即12104q -+=，84q =.当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200)q ∈时，0L '<；因此，84q =是函数L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为84时，利润L 最大,习题1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为x 元，那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-，180680x <<.令1()7005L x x '=-+=，解得350x =.当(180,350)x ∈时，()0L x '>；当(350,680)x ∈时，()0L x '>. 因此，350x =是函数()L x 的极大值点，也是最大值点. 所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元／件时，利润4()()(4)()(5)b xL x x a c c c x a x bb -=-+⨯=--，54b a x <<.令845()0c ac bcL x x b b+'=-+=，解得458a b x +=.当45(,)8a bx a +∈时，()0L x '>；当455(,)84a b bx +∈时，()0L x '<. 当458a b x +=是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.所以，销售价为458a b +元／件时，可获得最大利润.1．5定积分的概念练习（P42）83.说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想. 练习（P45）1、22112()[()2]()i i i i i s s v t nnn n n n'∆≈∆=∆=-+⋅=-⋅+⋅，1,2,,i n = . 于是 111()nnni i i i i is s s v t n==='=∆≈∆=∆∑∑∑2112[()]ni i n n n ==-⋅+⋅∑ 22211111()()()2n n n n n n n n -=-⋅--⋅-⋅+2231[12]2n n =-++++31(1)(21)26n n n n ++=-⋅+111(1)(1)232n n=-+++取极值，得1111115lim [()]lim [(1)(1)2]323nnn n i i is v n nnn→∞→∞====-+++=∑∑说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想. 2、223km.说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤.练习（P48）234x dx =⎰. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.从几何上看，表示由曲线3y x =与直线0x =，2x =，0y =所围成的曲边梯形的面积4S =.习题1.5 A 组（P50） 1、（1）10021111(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰；（2）50021111(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰；（3）100021111(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰.说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法. 2、距离的不足近似值为：18112171310140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）； 距离的过剩近似值为：271181121713167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）. 3、证明：令()1f x =. 用分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=作和式11()nni i i b a f x b a nξ==-∆==-∑∑，从而11limnb an i b a dx b a n→∞=-==-∑⎰，说明：进一步熟悉定积分的概念. 4、根据定积分的几何意义，0⎰表示由直线0x =，1x =，0y =以及曲线y =所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此04π=⎰.5、（1）03114x dx -=-⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤，所以定积分031x d x -⎰表示由直线0x =，1x =-，0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质，得1013331111044x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,1]上30x ≥，所以定积分131x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.（3）根据定积分的性质，得20233311115444x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,2]上30x ≥，所以定积分231x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中，由于3x 在区间[1,0]-上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利用定义把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分231x dx -⎰化为02331x dx x dx -+⎰⎰，这样，3x 在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出031x d x -⎰，230x dx ⎰，进而得到定积分231x dx -⎰的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义.习题1.5 B 组（P50）1、该物体在0t =到6t =（单位：s ）之间走过的路程大约为145 m.说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）9.81v t =.（2）过剩近似值：8111899.819.8188.292242i i =⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）； 不足近似值：81111879.819.8168.672242i i =-⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）（3）49.81tdt ⎰；49.81d 78.48t t =⎰（m ）.3、（1）分割在区间[0,]l 上等间隔地插入1n -个分点，将它分成n 个小区间：[0,]l n ，2[,]l l n n，……，(2)[,]n l l n-，记第i 个区间为(1)[,]i l iln n-（1,2,i n = ），其长度为 (1)il i llx n n n -∆=-=.把细棒在小段[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n-上质量分别记作： 12,,,n m m m ∆∆∆ ，则细棒的质量1nii m m==∆∑.（2）近似代替当n 很大，即x ∆很小时，在小区间(1)[,]i l il n n-上，可以认为线密度2()x x ρ=的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点(1)[,]i i l iln nξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是，细棒在小段(1)[,]i l il n n -上质量 2()i i i lm x nρξξ∆≈∆=（1,2,i n = ）.（3）求和得细棒的质量 2111()nnni i ii i i l m m x nρξξ====∆≈∆=∑∑∑.（4）取极限细棒的质量 21lim ni n i l m nξ→∞==∑，所以2lm x dx =⎰..1．6微积分基本定理 练习（P55）（1）50； （2）503； （3）533-； （4）24；（5）3ln 22-； （6）12； （7）0； （8）2-.说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 习题1.6 A 组（P55） 1、（1）403； （2）13ln 22--； （3）9ln 3ln 22+-；（4）176-； （5）2318π+； （6）22ln 2e e --.说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.2、3300sin [cos ]2xdx x ππ=-=⎰. 它表示位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积与x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和.习题1.6 B 组（P55） 1、（1）原式＝22111[]222x ee =-； （2）原式＝4611[sin 2]224x ππ=-；（3）原式＝3126[]ln 2ln 2x=.2、（1）cos 1sin [][cos cos()]0m x m xdx m m m mππππππ--=-=---=⎰；（2）sin 1cos [sin sin()]0m x m xdx m m mmππππππ--=|=--=⎰； （3）21cos 2sin 2sin []224m x x m xm xdx dx mπππππππ----==-=⎰⎰；（4）21cos 2sin 2cos []224m xx m x m xdx dx mπππππππ---+==+=⎰⎰.3、（1）0.20222()(1)[]49245245t ktkttkttg g g g g g s t e dt t et et ekk kkkk----=-=+=+-=+-⎰.（2）由题意得 0.2492452455000t t e -+-=.这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计t 的取值范围. 根据指数函数的性质，当0t >时，0.201t e -<<，从而 5000495245t <<， 因此，500052454949t <<.因此50000.2749245 3.3610e-⨯-≈⨯，52450.2749245 1.2410e-⨯-≈⨯，所以，70.271.2410245 3.3610t e ---⨯<<⨯.从而，在解方程0.2492452455000t t e -+-=时，0.2245t e -可以忽略不计. 因此，.492455000t -≈，解之得 524549t ≈（s ）.说明：B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握.1．7定积分的简单应用 练习（P58） （1）323； （2）1.说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程. 练习（P59） 1、52533(23)[3]22s t dt t t =+=+=⎰（m ）.2、424003(34)[4]402W x dx x x =+=+=⎰（J ）.习题1.7 A 组（P60） 1、（1）2； （2）92.2、2[]b ba aq q q q W kdr kkkrr ab==-=-⎰.3、令()0v t =，即40100t -=. 解得4t =. 即第4s 时物体达到最大高度. 最大高度为 42400(4010)[405]80h t dt t t =-=-=⎰（m ）.4、设t s 后两物体相遇，则2(31)105ttt dt tdt +=+⎰⎰，解之得5t =. 即,A B 两物体5s 后相遇. 此时，物体A 离出发地的距离为523500(31)[]130t dt t t +=+=⎰（m ）.5、由F kl =，得100.01k =. 解之得1000k =. 所做的功为 0.120.10010005005W ldl l ==|=⎰（J ）.6、（1）令55()501v t t t=-+=+，解之得10t =. 因此，火车经过10s 后完全停止.（2）1021000551(5)[555ln(1)]55ln 1112s t dt t t t t=-+=-++=+⎰（m ）.习题1.7 B 组（P60） 1、（1）a a-⎰表示圆222x y a +=与x 轴所围成的上半圆的面积，因此22a aa π-=⎰（2）1]x dx ⎰表示圆22(1)1x y -+=与直线y x =所围成的图形（如图所示）的面积，因此，21111]114242x dx ππ⨯=-⨯⨯=-⎰.2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的 方程为2y ax =，则2()2bh a =⨯，所以24h a b=.从而抛物线的方程为 224h y x b=.于是，抛物线拱的面积23220224422()2[]33bb h h S h x dx hx x bh bb=-=-=⎰.3、如图所示.解方程组223y x y x ⎧=+⎨=⎩得曲线22y x =+与曲线3y x =交点的横坐标11x =，22x =. 于是，所求的面积为122201[(2)3][3(2)]1x x dx x x dx +-+-+=⎰⎰.4、证明：2[]()R h R hRRM m M m M mh W Gdr GGrrR R h ++==-=+⎰.第一章 复习参考题A 组（P65）1、（1）3； （2）4y =-.2、（1）22sin cos 2cos x x xy x+'=； （2）23(2)(31)(53)y x x x '=-+-；（3）22ln ln 2xxy x x'=+； （4）2422(21)x x y x -'=+.3、32G M m F r'=-.4、（1）()0f t '<. 因为红茶的温度在下降.（第1（2）题）（第2题）（2）(3)4f '=-表明在3℃附近时，红茶温度约以4℃／min 的速度下降. 图略. 5、因为()f x =()f x '=.当()0f x '=>，即0x >时，()f x 单调递增；当2()0f x '=<，即0x <时，()f x 单调递减.6、因为2()f x x px q =++，所以()2f x x p '=+. 当()20f x x p '=+=，即12p x =-=时，()f x 有最小值.由12p -=，得2p =-. 又因为(1)124f q =-+=，所以5q =.7、因为2322()()2f x x x c x c x c x=-=-+， 所以22()34(3)()f x x cx c x c x c '=-+=--. 当()0f x '=，即3c x =，或x c =时，函数2()()f x x x c =-可能有极值.由题意当2x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值，所以0c >. 由于所以，当3c x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值. 此时，23c =，6c =.8、设当点A 的坐标为(,0)a 时，A O B ∆的面积最小. 因为直线A B 过点(,0)A a ，(1,1)P ， 所以直线A B 的方程为001y x a x a--=--，即1()1y x a a =--.当0x =时，1a y a =-，即点B 的坐标是(0,)1aa -.因此，A O B ∆的面积21()212(1)AO B a aS S a a a a ∆===--.令()0S a '=，即2212()02(1)a aS a a -'=⋅=-. 当0a =，或2a =时，()0S a '=，0a =不合题意舍去.由于所以，当2a =，即直线A B 的倾斜角为135︒时，A O B ∆的面积最小，最小面积为2. 9、D .10、设底面一边的长为x m ，另一边的长为(0.5)x +m. 因为钢条长为14.8m. 所以，长方体容器的高为14.844(0.5)12.88 3.2244x x xx --+-==-.设容器的容积为V ，则32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V V x x x x x x x ==+-=-++，0 1.6x <<.令()0V x '=，即26 4.4 1.60x x -++=. 所以，415x =-（舍去），或1x =.当(0,1)x ∈时，()0V x '>；当(1,1.6)x ∈时，()0V x '<. 因此，1x =是函数()V x 在(0,1.6)的极大值点，也是最大值点. 所以，当长方体容器的高为1 m 时，容器最大，最大容器为1.8 m 3.11、设旅游团人数为100x +时，旅行社费用为2()(100)(10005)5500100000y f x x x x ==+-=-++(080)x ≤≤. 令()0f x '=，即105000x -+=，50x =.又(0)100000f =，(80)108000f =，(50)112500f =. 所以，50x =是函数()f x 的最大值点.所以，当旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为x cm 时，可使其打印面积最大. 因为打印纸的面积为623.7，长为x ，所以宽为623.7x，打印面积623.7()(2 2.54)(2 3.17)S x x x=-⨯-⨯23168.396655.9072 6.34x x=--，5.0898.38x <<.令()0S x '=，即23168.3966.340x-=，22.36x ≈（负值舍去），623.727.8922.36≈.22.36x =是函数()S x 在(5.08,98.38)内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点.所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm ，22.36cm 时，可使其打印面积最大. 13、设每年养q 头猪时，总利润为y 元. 则 21()20000100300200002y R q q q q =--=-+-(0400,)q q N <≤∈.令0y '=，即3000q -+=，300q =.当300q =时，25000y =；当400q =时，20000y =.300q =是函数()y p 在(0,400]内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点. 所以，每年养300头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000元.14、（1）2； （2）22e -； （3）1；（4）原式＝2222200cos sin (cos sin )[sin cos ]0cos sin x x dx x x dx x x x xπππ-=-=+=+⎰⎰；（5）原式＝22001cos sin 2[]224x x xdx πππ---==⎰.15、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.16、2.17、由F kl =，得0.0490.01k =. 解之得 4.9k =. 所做的功为 20.30.30.10.14.9 4.90.1962lW ldl ==⨯|=⎰（J ）第一章 复习参考题B 组（P66）1、（1）43()10210b t t '=-⨯. 所以，细菌在5t =与10t =时的瞬时速度分别为0和410-. （2）当05t ≤<时，()0b t '>，所以细菌在增加；当55t <<+()0b t '<，所以细菌在减少.2、设扇形的半径为r ，中心角为α弧度时，扇形的面积为S . 因为212S r α=，2l r r α-=，所以2l rα=-.222111(2)(2)222l S r r lr r r α==-=-，02l r <<.令0S '=，即40l r -=，4l r =，此时α为2弧度.4l r =是函数()S r 在(0,)2l内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.所以，扇形的半径为4l 、中心角为2弧度时，扇形的面积最大.3、设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么222r h R +=. 因此，222231111()3333V r h R h h R h h ππππ==-=-，0h R <<.令22103V R h ππ'=-=，解得3h R =.容易知道，3h R =是函数()V h 的极大值点，也是最大值点.所以，当3h R =时，容积最大.把3h R =代入222r h R +=，得3r R =.由2R r απ=，得3α=.所以，圆心角为3α=时，容积最大.4、由于28010k =⨯，所以45k =.设船速为x km ／h 时，总费用为y ，则2420204805y x x x=⨯+⨯960016x x=+，0x >令0y '=，即29600160x-=，24x ≈.容易知道，24x =是函数y 的极小值点，也是最小值点. 当24x =时，960020(1624)()9412424⨯+÷≈（元／时）所以，船速约为24km ／h 时，总费用最少，此时每小时费用约为941元. 5、设汽车以x km ／h 行驶时，行车的总费用2390130(3)14360xy x x=++⨯，50100x ≤≤令0y '=，解得53x ≈（km ／h ）. 此时，114y ≈（元）容易得到，53x ≈是函数y 的极小值点，也是最小值点.因此，当53x ≈时，行车总费用最少. 所以，最经济的车速约为53km ／h ；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是114元. 6、原式＝4044422022[]2xxxx x e dx e dx e dx ee e e -----=+=-+|=+-⎰⎰⎰.7、解方程组 2y kxy x x=⎧⎨=-⎩ 得，直线y kx =与抛物线2y x x =-交点的横坐标为0x =，1k -. 抛物线与x 轴所围图形的面积2312100111()[]23236xxS x x dx =-=-=-=⎰.由题设得112()2k k S x x dx kxdx --=--⎰⎰31221001()[]23k kk xx x kx dx x ---=--=-⎰3(1)6k -=.又因为16S =，所以31(1)2k -=. 于是12k =-.说明：本题也可以由面积相等直接得到11122()()kkkx x kx dx kxdx x x dx -----=+-⎰⎰⎰，由此求出k 的值. 但计算较为烦琐.。
高中数学选修教材2-2
高中数学选修教材2-2高中数学选修课程系列2-2----人民教育出版社从具体物理实例入手，诉诸于直观，不严格、不细致。
第一章导数及其应用1.1 变化率与导数气球膨胀率高台跳水导数的概念与几何意义1.2 导数的计算几个常见函数的导数基本初等函数的导数公式记导数的运算法则1.3 导数在研究函数中的应用函数的单调性与导数函数的极值与导数函数的最大（小）值与导数1.4 生活中的优化问题举例海报版面尺寸的设计饮料瓶大小对饮料公司利润的影响磁盘的最大存储问题1.5 定积分的概念曲边梯形的面积汽车行驶的路程定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用定积分在几何中的应用定积分在物理中的应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理合情推理：归纳和类比–> 猜想演绎推理：三段论–> 证明2.2 直接证明与间接证明直接证明：综合法和分析法间接证明：反证法（reduction to absurdity）根号2是无理数2.3 数学归纳法一种特殊的证明方法，主要用于研究与正整数有关的数学问题两个步骤：归纳奠基和归纳递推第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念回顾从自然数逐步扩充到实数系的过程，从实数到复数。
复数的几何意义3.2复数代数形式的四则运算复数代数行驶的加减运算及其几何意义事实上，从有理数到实数的扩充过程，是人类思辨的理性主义的伟大胜利，是现代抽象数学兴起和发展的界石。
●第一次数学危机公元前五百多年的古希腊时代，毕达哥拉斯学派万物皆是数正方形的对角线与其边长是不可公度的！●十九世纪，德国数学家康托尔(Cantor)证明了，比起有理数来，无理数多的“不可胜数”，它构成了被称之为“实数”的数系的绝对主体。
●实数的构造：1. 德国数学家戴德金(Dedekind) 戴德金分割2. 康托尔有理数基本列●实数的连续性。
数学高中选修2一2教案
数学高中选修2一2教案
教学内容：一元二次方程
教学目标：
1. 掌握一元二次方程的概念和基本性质。
2. 掌握用因式分解法、配方法、公式法等解一元二次方程的方法。
3. 能够应用一元二次方程解决实际问题。
教学重点：一元二次方程的解法及应用。
教学难点：问题实际应用。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师引出一元二次方程的概念，让学生回顾一元一次方程的解法，引出一元二次方程。
二、讲解与示范（15分钟）
1. 讲解一元二次方程的解法：因式分解法、配方法、公式法。
2. 通过例题进行示范，让学生掌握解题方法。
三、练习与讨论（20分钟）
1. 学生个别练习，巩固解题方法。
2. 学生分组讨论解决实际问题的一元二次方程。
四、课堂小结（5分钟）
教师对一元二次方程的解法进行总结，强调应用能力的培养。
五、作业布置（5分钟）
布置相关练习题，巩固学生学习成果。
以上就是本课的教学内容，希望能够帮助学生更好地理解和掌握一元二次方程的知识。
祝学习顺利！。
高中数学选修2-2金版教程1-2-2(2)
1.2.2一、选择题1．函数y ＝x －(2x －1)2的导数是( )A ．3－4xB ．3＋4xC ．5＋8xD ．5－8x解析：∵y ＝x －(2x －1)2＝－4x 2＋5x －1，∴y ′＝－8x ＋5.答案：D2．函数y ＝cos(1＋x 2)的导数是( )A ．2x sin(1＋x 2)B ．－sin(1＋x 2)C ．－2x sin(1＋x 2)D ．2cos(1＋x 2)解析：∵y ′＝[cos(1＋x 2)]′＝－sin(1＋x 2)·(1＋x 2)′＝－2x sin(1＋x 2)．答案：C3．已知函数f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2，则实数a 的值为( )A ．1B ．2 C. 2 D ．a >0解析：∵f ′(x )＝12(ax 2－1)－12·2ax ＝ax ax 2－1， ∴f ′(1)＝a a －1＝2.∴a ＝2，故选B. 答案：B 4．函数y ＝x 2＋12x －1的导数是( ) A.2＋x x 2＋1·(2x －1)2B ．－2＋x1＋x 2·(2x －1)2C.4x 2－x ＋2(2x －1)2D.4x 2－x ＋2(2x －1)2x 2＋1解析：y ′＝(x 2＋12x －1)′ ＝(x 2＋1)′(2x －1)－x 2＋1·(2x －1)′(2x －1)2 ＝12x 2＋1·(x 2＋1)′(2x －1)－2·x 2＋1(2x －1)2＝－2＋x1＋x 2·(2x －1)2，故选B. 答案：B5．若函数f (x )＝x m ＋ax 的导数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和S n 是( ) A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.n n －1D.n ＋1n解析：因为f ′(x )＝2x ＋1，所以m ＝2，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x ，所以1f (n )＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1(n ∈N *)．所以前n 项和S n ＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1，故选A. 答案：A6．若函数f (x )＝－1b·e ax 的图象在x ＝0处的切线l 与圆C ：x 2＋y 2＝1相离，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是( )A ．在圆外B ．在圆内C ．在圆上D ．不能确定解析：f (0)＝－1b ，又f ′(x )＝－a b ·e ax ，k ＝f ′(0)＝－a b ，所以切线l 的方程为y ＝－a b x －1b，即ax ＋by ＋1＝0，由圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b2>1，得a 2＋b 2<1，即点P 在圆内，故选B.答案：B二、填空题7．若f (x )＝log 3(2x －1)，则f ′(2)＝________.解析：∵f ′(x )＝[log 3(2x －1)]′＝1(2x －1)ln3(2x －1)′＝2(2x －1)ln3，∴f ′(2)＝23ln 3.答案：23ln 38．函数y ＝sin 2x 的图象在点A (π6，14)处的切线的斜率是________． 解析：∵y ′＝(sin 2x )′＝2sin x (sin x )′＝2sin x cos x ＝sin2x ，∴y ′|x ＝π6＝sin π3＝32，∴曲线在点A (π6，14)处的切线的斜率为32. 答案：329．曲线y ＝x ＋1x －4在点x ＝8处的切线方程是________． 解析：∵y ′＝(x ＋1x －4)′＝12(x ＋1x －4)－12·x －4－(x ＋1)(x －4)2 ＝12x －4x ＋1·－5(x －4)2， ∴f ′(8)＝12·23·(－516)＝－548. 又∵f (8)＝32， ∴切线方程为5x ＋48y －112＝0.答案：5x ＋48y －112＝0三、解答题10．求下列函数导数：(1)y ＝sin(2x ＋3)；(2)y ＝(x ＋1x)2； (3)y ＝log 2(x 2＋2x ＋3)；(4)y ＝3x 2＋2x ＋3.解：(1)∵(1)y ＝sin(2x ＋3)是由y ＝sin u 和u ＝2x ＋3复合而成，∴y ′＝(sin u )′u ·(2x ＋3)′x ＝cos u ·2＝2cos(2x ＋3)．(2)解法一：y ′＝2(x ＋1x )(x ＋1x)′ ＝2(x ＋1x )(1－1x 2)＝2x －2x3. 解法二：∵y ＝x 2＋2＋1x2，∴y′＝(x2＋2＋1x2)′＝2x－2x3.(3)y′＝1(x2＋2x＋3)ln2·(x2＋2x＋3)′＝2x＋2(x2＋2x＋3)ln2.11．已知函数f(x)＝e－x(cos x＋sin x)，将满足f′(x)＝0的所有正数x从小到大排成数列{x n}．求证：数列{f(x n)}为等比数列．证明：f′(x)＝－e－x(cos x＋sin x)＋e－x(－sin x＋cos x)＝－2e－x sin x，由f′(x)＝0，得－2e－x sin x＝0，解得x＝nπ，n∈Z.从而xn ＝nπ(n＝1,2,3……)，f(x n)＝(－1)n e－nπ，所以f(x n＋1)f(x n)＝－e－π.所以数列{f(x n)}是公比为q＝－e－π的等比数列．12．曲线y＝e2x cos3x在(0,1)处的切线与直线C的距离为5，求直线C的方程．解：由曲线y＝e2x cos3x，得y′＝(e2x)′cos3x＋e2x(cos3x)′＝2e2x cos3x－3e2x sin3x，∴y′|x＝0＝2.∴经过点(0,1)的切线方程为y－1＝2x，即y＝2x＋1.设直线C的方程为y＝2x＋b，由题意得5＝|b－1|5，∴b＝6或b＝－4.∴直线C的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.。
北师大版高中数学选修2-2同步配套课件：1.2 综合法与分析法1.2.1
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:由正弦定理,得
������ sin������
>
0.
∴
������ ������
+
������������≥2,
当且仅当
������ ������
=
������ ������
,
即x=y=
1 2
时,等号成立.
则有
1
+
1 ������
1
+
1 ������
≥5+2×2=9 成立.
1
+
������+������ ������
=
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+
������+������-������ ������
=
������ ������
+
������ ������
+
������ ������
+
������ ������
+
������ ������
+
������ ������
−
3
>2
������ ������
·������������
+
2
������ ������
∴EC∥GD.
又EC⊈平面AB1D,DG⫋平面AB1D,
∴EC∥平面AB1D.
题型一 题型二 题型三
【变式训练2】
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典例透析
IANLITOUXI
【金版学案】高中数学(选修2-2)配套课件第一章 1.3 1.3.2 函数的极值与导数
目
极小值，且极大值不一定比极小值大．
链 接
3．函数 y＝f(x)的极值与导数的关系：解方程
f′(x0)＝0，当 f′(x0)＝0 时：
基础 梳理
(1)如果在 x0 附近的左侧_f_′_(_x_)_＞___，0右侧__f′_(_x__)_＜__，0那
么 f(x0)是极大值；
(2)如果在 x0 附近的左侧_f_′(_x__)_＜____0，右侧_f_′_(_x_)_＞___，0那
1．函数 f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知 f(x)在 x＝－3 时
取得极值，则 a 等于( )
A．2
B．3
C．4
D．5
栏 目
链
接
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由 f′(－3)＝0 得
a＝5.故选 D.
答案：D
自测 自 评 2．设函数 f(x)＝x2＋ln x，则( )
A．x＝12为 f(x)的极大值点
0
－
f(x)
↗
极大值 ln21e
↘
∴当 x＝12时，函数 f(x)有极大值，且极大值为 f12＝ln12－1＝ln21e.
题型2 已知函数的极值求参数值
例2 已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x 在x＝±1处取得极值，讨论f(1)和 栏
目 链
f(－解1析)是：f′函(x)数＝3fa(xx2＋)的2bx－极3，大值还是极小 接 值．所以 f′(1)＝f′(－1)＝0，即33aa＋－22bb－－33＝＝00，，
题型3 函数极值的应用
例3 已知a为实数，函数f(x)＝－
x3＋3x＋a.
栏
目
链
接
(1)求函数f(x)的极值；
解析：(1)由 f(x)＝－x3＋3x＋a，得 f′(x)＝－3x2＋3，
金版学案高中数学选修2-2人教A版2.3同步辅导与检测课件.ppt
另外，在推证“n＝k＋1〞时，还可以用整除的定义，将归 纳假设表示出来，假设n＝k时成立，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2 ＋a＋1整除，那么ak＋1＋(a＋1)2k－1＝(a2＋a＋1)q(x)(q(x)为多 项式)，所以，(a＋1)2k－1＝(a2＋a＋1)q(x)－ak＋1，故当n＝k ＋1时，
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◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆ 用数学归纳法证明整除问题
求证：an＋1＋(a＋1)2n－1(n∈N*)能被a2＋a＋1整除．
分析：对于多项式A，B，如果A＝BC，C也是多项式，那 么A能被B整除．
证明：(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题 显然成立．
如果增加一个满足条件的任一个圆，那么这个圆必与前k 个圆相交于2k个点．这2k个点把圆分成2k段弧，每段弧把它所 在的原有平面分成两个局部．因此，这是平面被分割的总数在 原来的根底上又增加了2k局部，
即有f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)
＋2. 金品质•高追求 我们让你更放心！
1)． 2．用数学归纳法证明：1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝12 n(3n－
证明：(1)当n＝1时，左边＝1， 右边＝12 ×1×(3－1)＝1，左边＝右边，等式成立．
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◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆
(2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式也成立， 即 1＋4＋7＋…＋(3k－2)＝12k(3k－1)，
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◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆ 用数学归纳法证明不等式
求证：n＋1 1＋n＋1 2＋…＋31n>56(n≥2，n∈N*)．
苏教版高中数学选修2-2第1章1.2.1.docx
§1.2 导数的运算1.2.1 常见函数的导数 课时目标 1.理解各个公式的证明过程，进一步理解运用概念求导数的方法.2.掌握常见函数的导数公式.3.灵活运用公式求某些函数的导数．1．几个常用函数的导数：(kx ＋b)′＝______(k ，b 为常数)；C ′＝______ (C 为常数)；(x)′＝______；(x 2)′＝______；(x 3)′＝______；⎝⎛⎭⎫1x ′＝________；(x)′＝________. 2．基本初等函数的导数公式： (x α)′＝________(α为常数)(a x )′＝________ (a>0，且a ≠1) (log a x)′＝1xlog a e ＝______ (a>0，且a ≠1) (e x )′＝______(ln x)′＝______(sin x)′＝________(cos x)′＝________一、填空题1．下列结论不正确的是________．(填序号)①若y ＝3，则y ′＝0；②若y ＝1x，则y ′＝－12x ； ③若y ＝－x ，则y ′＝－12x； ④若y ＝3x ，则y ′＝3.2．下列结论：①(cos x)′＝sin x ；②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则f ′(3)＝－227.其中正确的有______个．3．设f 0(x)＝sin x ，f 1(x)＝f ′0(x)，f 2(x)＝f ′1(x)，…，f n ＋1(x)＝f ′n (x)，n ∈N ，则f 2 010(x )＝________.4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为__________．5．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为__________．6．若函数y ＝f (x )满足f (x －1)＝1－2x ＋x 2，则y ′＝f ′(x )＝________.7．曲线y ＝cos x 在点A ⎝⎛⎭⎫π6，32处的切线方程为__________________． 8．曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是__________． 二、解答题9．求下列函数的导数．(1)y ＝log 4x 3－log 4x 2；(2)y ＝2x 2＋1x－2x ； (3)y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎫2sin 2 x 4－1.10.已知曲线y ＝x 2上有两点A (1,1)，B (2,4)．求： (1)割线AB 的斜率k AB ；(2)在[1,1＋Δx ]内的平均变化率；(3)点A 处的切线斜率k AT ；(4)点A 处的切线方程．能力提升11．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系：p (t )＝p 0(1＋5%)t ，其中p 0为t ＝0时的物价，假定某种商品的p 0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？(注ln 1.05≈0.05，精确到0.01)1．求函数的导数，可以利用导数的定义，也可以直接使用基本初等函数的导数公式．2．对实际问题中的变化率问题可以转化为导数问题解决．答 案知识梳理1．k 0 1 2x 3x 2 －1x 2 12x2. (x α)′＝αx α－1(α为常数)(a x )′＝a x ln_a (a >0，且a ≠1)(log a x )′＝1x log a e ＝1x ln a(a >0，且a ≠1) (e x )′＝e x(ln x )′＝1x(sin x )′＝cos_x(cos x )′＝－sin_x作业设计1．②解析 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝(x －12)′＝－12x －32＝－12x x. 2．1解析 直接利用导数公式．因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误；sin π3＝32，而⎝⎛⎭⎫32′＝0，所以②错误； ⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，则f ′(3)＝－227， 所以③正确．3．－sin x解析 f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )＝cos x ，f 2(x )＝f ′1(x )＝－sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝－cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝sin x ，….由此继续求导下去，发现四个一循环，从0到2 010共2 011个数，2 011＝4×502＋3，所以f 2 010(x )＝f 2(x )＝－sin x .4．(－1，－1)或(1,1)解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5.110523 解析 s ′＝155t 4.当t ＝4时，s ′＝15·1544＝110523. 6．2x解析 ∵f (x －1)＝1－2x ＋x 2＝(x －1)2，∴f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x .7．x ＋2y －3－π6＝0 解析 ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴k ＝－sin π6＝－12， ∴在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝⎛⎭⎫x －π6， 即x ＋2y －3－π6＝0. 8.⎝⎛⎭⎫12，14解析 设切点坐标为(x 0，x 20)，则tan π4＝f ′(x 0)＝2x 0，∴x 0＝12. ∴所求点为⎝⎛⎭⎫12，14.9．解 (1)∵y ＝log 4x 3－log 4x 2＝log 4x ，∴y ′＝(log 4x )′＝1x ln 4. (2)∵y ＝2x 2＋1x －2x ＝2x 2＋1－2x 2x ＝1x. ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2. (3)∵y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎫2sin 2 x 4－1 ＝2sin x 2⎝⎛⎭⎫1－2sin 2 x 4 ＝2sin x 2cos x 2＝sin x . ∴y ′＝(sin x )′＝cos x .10．解 (1)k AB ＝4－12－1＝3. (2)平均变化率Δy Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2Δx ＋(Δx )2Δx＝2＋Δx . (3)∵y ′＝2x ，∴k ＝f ′(1)＝2，即点A 处的切线斜率为k AT ＝2.(4)点A 处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.11．解 ∵p 0＝1，∴p (t )＝(1＋5%)t ＝1.05t .根据基本初等函数的导数公式表，有p ′(t )＝(1.05t )′＝1.05t ·ln 1.05.∴p ′(10)＝1.0510·ln 1.05≈0.08(元/年)．因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨。
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1.2.1
一、选择题
1.⎝⎛
⎭⎫12′等于( ) A.12
B ．1
C ．0
D. 2 解析：常数的导数是0.
答案：C
2．若y ＝x ，则y ′等于( )
A.1x
B.2x
C.12x D ．不存在
解析：y ′＝(x )′＝12x
. 答案：C
3．给出下列命题：
①若y ＝π，则y ′＝0；②若y ＝3x ，则y ′＝3；③若y ＝
1x
，则y ′＝－12x ；④若y ′＝3，则y ＝3x .
其中正确的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 解析：①②正确．
答案：B
4．已知函数f (x )＝x 3的切线的斜率等于1，则这样的切线有( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．不确定
解析：本题切线的条数是由切点的个数来决定的，设切点为(x 0，x 30)，∵y ′＝3x 2，∴3x 20
＝1，∴x 0＝±33
，即切点有两个，故斜率为1的切线有两条．
答案：B
5．在下列四个命题中，真命题的个数为( )
①曲线y ＝x 3在原点处没有切线；
②若函数f (x )＝x ，则f ′(0)＝0；
③加速度是动点位移函数s (t )对时间t 的导数；
④函数y ＝x 5的导函数的值恒非负．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：y ＝x 3在(0,0)处的切线为y ＝0；f (x )＝x 在x ＝0处不可导；加速度是动点速度函数v (t )对时间t 的导数；y ′＝(x 5)′＝5x 4≥0.
答案：A
6．曲线y ＝x 3在点P 处切线的斜率为k ，当k ＝3时，P 点坐标为( )
A ．(－2，－8)
B ．(－1，－1)或(1,1)
C ．(2,8)
D ．(－12，－18
) 解析：设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20，即3x 20＝3，所以x 0＝1或x 0＝－1，代入y ＝x 3有
P (1,1)或(－1，－1)．故选B.
答案：B
二、填空题
7．已知f (x )＝1x ，g (x )＝mx ，且g ′(2)＝1f ′(2)
，则m ＝________. 解析：∵f ′(x )＝－1x 2，∴f ′(2)＝－14，又∵g ′(x )＝m ，∴g ′(2)＝m ，由g ′(2)＝1f ′(2)
得m ＝－4.
答案：－4
8．曲线y ＝1x
和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是________．
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝1x ，y ＝x 2
得交点A 的坐标为(1,1)． 由y ＝x 2得y ′＝2x ，
∴y ＝x 2在点A (1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.
由y ＝1x 得y ′＝－1x 2， ∴y ＝1x 在点A (1,1)处的切线方程为
y －1＝－(x －1)，即y ＝－x ＋2，如右图所示，
S Δ＝12×32×1＝34
. 答案：34
9．曲线y ＝13x 3在点(1，13
)处的切线与直线x ＋y －3＝0的夹角为________． 解析：∵y ′＝x 2，y ′|x ＝1＝1，
∴切线的斜率为1，又已知直线的斜率为－1，
∴两直线垂直，故两直线的夹角为90°.∴应填90°.
答案：90°
三、解答题
10．求双曲线xy ＝1上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．
解：设(x 0，y 0)是y ＝1x 上任意一点，则曲线在点(x 0，y 0)的切线方程为y －1x 0＝－1x 20
(x －x 0)，令x ＝0，得y ＝2x 0；令y ＝0，得x ＝2x 0，∴切线与两坐标轴构成的三角形的面积为S ＝12·2|x 0|·2|x 0
|＝2.
11．已知曲线y ＝5x ，求曲线上与直线y ＝2x －4平行的切线的方程．
解：设切点为(x 0，y 0)由y ＝5x 得，y ′|x ＝x 0＝52x 0
. ∵切线与y ＝2x －4平行， ∴52x 0
＝2，解得x 0＝2516. ∴y 0＝254
，∴所求切线方程为 y －254＝2(x －2516
)， 即2x －y ＋258
＝0，即16x －8y ＋25＝0. 12．试求过点P (2，－1)且与曲线y ＝x 2相切的直线的方程．
解：点P (2，－1)不是曲线y ＝x 2上的点，
设切点为M (x 0，y 0)，则y 0＝x 20①
y ′＝2x ，∴y ′|x ＝x 0＝2x 0.
又k PM ＝y 0＋1x 0－2
， ∴2x 0＝y 0＋1x 0－2
② 由①②解得：x 0＝2＋5或x 0＝2－ 5.
当x0＝2＋5时，切线斜率k＝2x0＝4＋2 5. 此时切线方程为y＋1＝(4＋25)(x－2)，
即(4＋25)x－y－9－45＝0.
当x0＝2－5时，切线斜率k＝2x0＝4－25，此时切线方程为y＋1＝(4－25)(x－2)，
即(4－25)x－y－9＋45＝0.
∴满足条件的切线方程为：
(4＋25)x－y－9－45＝0
或(4－25)x－y－9＋45＝0.。