空间几何体的体积及球的面积和体积ppt
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高二数学必修2课件-空间几何体的表面积和体积
步骤三
如果计算正确，则可以庆祝问题 的解决，并享受数学带来的成就 感。
其他的空间几何体常识
名称
圆锥体 圆柱体 球 正方体
特点
底面为圆形，侧面为三角形 底面为圆形，侧面为矩形 表面积为4πr²，体积为(4πr³)/3 6个面组成，每个面积为a²
小结
知识点
• 空间几何体的表面积 • 空间几何体的体积 • 解题方法和步骤
高二数学必修2课件-空间 几何体的表面积和体积 ppt
本课程将带领大家深入理解空间几何体的表面积和体积，掌握重要的公式和 概念，并提供多个实例进行演示。
为什么要学习空间几何体的表面积和 体积？
1 实际应用广泛
几何体是我们日常生活中常见的物体，如箱子、瓶子、汽车等，熟练掌握空间几何体的 表面积和体积可以应用于各种实际计算中。
技能
• 应用公式解决实际问题 • 掌握计算技巧和策略 • 提高自我学习和思考能力
效果
• 成为数学大师 • 提高应对数学竞赛能力 • 在各种实际计算和操作
中表现更加出色
矩形的体积
面积×高：bh
三角形的体积
底面积之和×高的一半：(ah)/2
立体几何体的体积
1
圆柱体的体积
2
பைடு நூலகம்
πr²h
3
球的体积
(4πr³)/3
圆锥体的体积
(πr²h)/3
解题示例：如何计算球的体积？
步骤一
根据题目提供的半径长度，计算 球的表面积公式：4πr³/3
步骤二
把计算结果与题目所需体积相比 较，如相等则问题解决；如不相 等需检查计算过程是否正确。
2 提高数学水平
对于数学专业的学生，掌握空间几何体的表面积和体积是必不可少的，是数学基础中不 可或缺的一部分。
高一数学课件：球的体积和表面积
□ 1.球的体积
如果球的半径为 R，那么它的体积 V＝
1 43πR3 .
2.球的表面积
□ 如果球的半径为 R，那么它的表面积 S＝ 2 4πR2 .
4
课前自主预习
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课后课时精练
A版 ·数学 ·必修2
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)决定球的大小的因素是球的半径．( √ ) (2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半 径．( √ ) (3)球的体积 V 与球的表面积 S 的关系为 V＝R3S.( √ )
S＝12×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π. 该几何体的体积为 V＝23＋12×43π×13＝8＋23π.
15
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拓展提升
(1)由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表面积 和体积，关键要弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含 义．
6
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3.(教材改编，P27，例 4)若球的过球心的圆面圆周长是 c，
则这个球的表面积是( )
c2 A.4π
c2 B.2π
c2 C. π
D．2πc2
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探究 2 球的三视图 例 2 某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表 面积和体积．
球的体积和表面积 课件
【解析】 ①当截面在球心的同侧时， 如图所示为球的轴截面，由球的截面性质 知，AO1∥BO2，且 O1、O2 分别为两截面圆的圆 心，则 OO1⊥AO1， OO2⊥BO2，设球的半径为 R. ∵π· O2B2＝49π，∴O2B＝7. ∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20. 设 OO1＝x，则 OO2＝x＋9.
6 12 a.
【答案】
6 12 a
探究 4 (1)正多面体存在内切球且正多面体的中心为内切球 的球心．
(2)求多面体内切球半径，往往可用“等体积法”． V 多＝S 表·R 内切·13.
(3)正四面体内切球半径是高的14，外接球半径是高的34. (4)并非所有多面体都有内切球(或外接球)．
思考题 4 半径为 R 的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两
【答案】 27π
(2)求棱长为 1 的正四面体外接球的体积．
【解析】 设 SO1 是正四面体 S－ABC 的高，外接球的球心 O 在 SO1 上，设外接球半径为 R，AO1＝r，
则在△ABC 中，用解直角三角形知识得 r＝ 33，
从而 SO1＝ SA2－AO12＝
1－13＝
2 3.
在 Rt△AOO1 中，由勾股定理，得
【答案】 C
题型四 几何体的内切球 例 4 正四面体的棱长为 a，则其内切球的半径为________．
【解析】 如图正四面体 A－BCD 的中心为 O，即内切球球
心，内切球半径 R 即为 O 到正四面体各面的距离．
∵AB＝a,
∴正四面体的高
h＝
6 3 a.
又 VA－BCD＝4VO－BCD，
∴R＝14h＝
在 Rt△OO1A 中，R2＝x2＋202， 在 Rt△OO2B 中，R2＝(x＋9)2＋72， ∴x2＋202＝72＋(x＋9)2， 解得 x＝15，∴R2＝x2＋202＝252. ∴R＝25，∴V 球＝43πR3＝62 3500π(cm3)． ② 当 截 面 在 球 心 异 侧 时 ， OO1 ＋ OO2 ＝ 9 ＝ R2－72 ＋ R2－202，无解．
新教材高中数学第6章立体几何初步6简单几何体的再认识 球的表面积和体积课件北师大版必修第二册
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
球的表面积
例 1 一个球内有相距9 cm的两个平行截面,面积分别为49π cm2和400π cm2,试求球的表面积．
[分析] 求球的表面积或体积只需要求出球的半径,要求球的半径只 需解球的半径、截面圆半径和球心到截面的距离组成的直角三角形．
[解析] (1)当球心在两个截面同侧时,如右图,设OD＝x,由题意知 π·CA2＝49π,
(B)
4．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为
A．R
B．2R
(D)
C．3R
D．4R
[解析] 设圆柱的高为h，则πR2h＝3·43πR3，∴h＝4R.
4π 5．球的表面积为4πcm2,则其体积为______3_cm3.
[解析] 设球的半径为r，则4πr2＝4π，∴r＝1(cm)． ∴V＝43πr3＝43π(cm3)．
知识点2 球的表面积和体积公式 S球面＝__4_π_R__2 __,V球＝_____43_π_R_3.其中R为球的半径．
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)球心和球的小圆圆心的连线和球的小圆垂直．
(2)球的表面积S和体积V的大小是关于半径R的函数．
2．球的体积是323π，则此球的表面积是
知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为 4
3 ，底面周长
为3，那么这个球的体积为___3_π__.
[分析] 要求球的体积，关键是求出其半径R，而正六棱柱外接球的 直径恰好是正六棱柱的体对角线长．
[解析] ∵底面是正六边形， ∴边长为12.∴AD＝1． AD1为球直径，其长度为 3＋1＝2，∴R＝1． ∴V＝43πR3＝43π.
棱柱棱锥棱台和球的表面积和体积精选ppt
O`
注意:表面积=全面积= 侧面积+底面积.
O
.
圆锥的表面积
圆锥的侧面展开图是扇形
2r
l rO
S圆锥侧rl
S 圆锥 表 r2 面 . r 积 lr(r l)
例5：
已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm。
它的侧面展开图的形状为__扇__形____。该图形
的弧长为_4_π___cm，半径为___3___cm，所以圆 锥的侧面积为_6_π__cm2。表面积为_1_0_π__cm2，
S2r(rl)
S侧
1 2
2r
l
rl
Sr(rl)
S侧
1 2
(2
r
'
2
r)
l
S(r'2r2r'lr)l
(r ' r) l
.
三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系？
rO
r 'O’
r′＝r
l 上底扩大
O
rO
l r′＝0
上底缩小
l rO
S柱2r(rl) S 台 (r2r2rlr)lS锥r(rl)
(5)扇形面积公式：___S___12_rl__。
(6)梯形面积公式: __S__12_(_a__b)_h。
.
把长方体展成平 面图形，利用平 面图形求面积的 方法，求长方体
的表面积
正方体、长方体的表面积.就是各个面的面积之和。
二、棱柱、棱台、棱锥的表面积
用空间几何体的展开图来求它的表面积
几何体的侧面展开图
D A
D A11
C B
O C1
B1
D A
D A11
注意:表面积=全面积= 侧面积+底面积.
O
.
圆锥的表面积
圆锥的侧面展开图是扇形
2r
l rO
S圆锥侧rl
S 圆锥 表 r2 面 . r 积 lr(r l)
例5：
已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm。
它的侧面展开图的形状为__扇__形____。该图形
的弧长为_4_π___cm，半径为___3___cm，所以圆 锥的侧面积为_6_π__cm2。表面积为_1_0_π__cm2，
S2r(rl)
S侧
1 2
2r
l
rl
Sr(rl)
S侧
1 2
(2
r
'
2
r)
l
S(r'2r2r'lr)l
(r ' r) l
.
三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系？
rO
r 'O’
r′＝r
l 上底扩大
O
rO
l r′＝0
上底缩小
l rO
S柱2r(rl) S 台 (r2r2rlr)lS锥r(rl)
(5)扇形面积公式：___S___12_rl__。
(6)梯形面积公式: __S__12_(_a__b)_h。
.
把长方体展成平 面图形，利用平 面图形求面积的 方法，求长方体
的表面积
正方体、长方体的表面积.就是各个面的面积之和。
二、棱柱、棱台、棱锥的表面积
用空间几何体的展开图来求它的表面积
几何体的侧面展开图
D A
D A11
C B
O C1
B1
D A
D A11
球的体积和表面积57张.ppt
(2)设木星和地球的半径分别为r、R. 依题意，有4πr2＝120×4πR2，解得r＝2 30R. 所以VV木地＝4343ππRr33＝43π243πR303 R3＝240 30. 故木星的体积约是地球体积是240 30倍．
[点评] 求解球的体积的大小问题，实际是转化为求类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球 的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截 面图，把空间问题转化为平面问题来计算．
(3)此类问题的具体解题流程：
[例3] (2010·全国高考)设长方体的长、宽、高分别为
2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．3πa2
第一章
空间几何体
第一章
1．3 空间几何体的表面积与体积
第一章
1．3.2 球的体积和表面积
课前自主预习 思路方法技巧 探索延拓创新
课堂基础巩固 课后强化作业
课前自主预习
温故知新 在初中，我们已经学习了圆的概念和周长、面积公式， 即圆是“在平面内到定点的距离等于定长的点的集合”，周 长c＝2πr ，面积S＝ πr2 ，其中r是圆的半径，而球面是“在空 间中到定点的距离等于定长的点的集合”．以半圆的直径所 在直线为旋转轴，半圆旋转一周，形成的旋转体叫做 球 ，半 圆的圆心叫 球心 ，半圆的 半径 叫球的半径．
43πr2 43πR3
＝
8 27
，所
以Rr ＝23，则这两个球的表面积之比为44ππRr22＝(Rr )2＝49.
6．将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容器中， 水面升高4cm，则钢球的半径是________．
[答案] 3cm
[解析] 圆柱形玻璃容器中水面升高4cm，则知钢球的体 积为V＝π·32·4＝36π，即有43πR3＝36π，∴R＝3.
高考数学空间几何体及其表面积、体积ppt课件
21
2．(多选)下列命题，正确的有( )
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
√B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 √C．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直
四棱柱
√D．存在每个面都是直角三角形的四面体
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第八章 立体几何与空间向量
22
解析：A 不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行 四边形，但不一定全等；B 正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂 直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；C 正 确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；D 正确， 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中的三棱锥 C1ABC，四个面都是直角三角形．
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第八章 立体几何与空间向量
32
平面图形与其直观图的关系
(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于 x 轴的线段平行性不
变，长度不变；平行于 y 轴的线段平行性不变，长度减半．
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关
系：S
＝ 直观图
2 4S
原图形．
第八章 立体几何与空间向量
11
3．正方体与球的切、接常用结论 正方体的棱长为 a，球的半径为 R， (1)若球为正方体的外接球，则 2R＝ 3a； (2)若球为正方体的内切球，则 2R＝a； (3)若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 2a.
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第八章 立体几何与空间向量
12
常见误区 1．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错． 2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析 图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的 截面图．
北师大版必修二 球的表面积和体积PPT课件
高为2R.
V球
4R3
3
V圆柱 R 2 2R 2 R 3
RO
2
V球
V 圆柱 3
(2)
S球4R2
S 圆 柱 2 R 侧 2 R 4 R 2
S球S圆柱侧
最新课件
13
讨论
长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，若 它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积 是——
分析：长方体内接于球，则由球和长 方体都是中心对称图形可知，它们中 心重合，则长方体对角线与球的直径 相等。
2、在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别
为49 c m 2 和400 c m 2，求球的表面积。
答案：2500 c m 2
最新课件
26
3、若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 __2_ 倍.
4、若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来 的__4_倍. 5、若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是_1_:_2__2_
4 .长方体的共顶点的三个 侧面面积分别为 3，
5， 15，求它的外接球表面积 .
长方体对角线
最新课件
l 2 a2 b2 c229
半径为3的球的体积是(
A．9π
B．81π
) C．27π
D．36π
[答案] D
[解析] V＝43π×33＝36π.
最新课件
30
半径为 2的球的表面积等于________． [答案] 8π [解析] S＝4π×( 2)2＝8π.
3
32 6
最新课件
7
例题讲解
(变式1)把钢球（直径是5cm）放入一个正方体 的有盖纸盒中,至少要用多少纸?
用料最省时,球与正方体有什么位置关系?
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(2R)2 a2 ( 2a)2,得：R 3 a 2
S 4R2 3a2
变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=——a。2
变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=2— —a2 。
关键：找正方体的棱长a与球半径R之间的关系
例4、有三个球,一球切于正方体的各面,一 球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的 各顶点,求这三个球的体积之比. 1 : 2 2 : 3 3
V V1 V2 V3 ... Vn
第二步：求近似和
Si
hi
O
O
Vi
Vi
1 3
Si
hi
由第一步得： V V1 V2 V3 ... Vn
V
1 3
S1h1
1 3
S2h2
1 3
S3h3
...
1 3
Sn
hn
第三步：转化为球的表面积
Si
hi
如果网格分的越细,则: “小锥体”就越接近小棱锥。 hi 的值就趋向于球的半径R
V台体=
1 h(s + 3
ss' + s')
x
s/
s/
h
s
s
推论：如果圆台的上,下底面半径是r1.r2,高是
ｈ，那么它的体积是：
1
Ｖ圆台＝ 3
πh
(r12
r1r2
r22 )
五.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
V Sh
S S V 1 (S
3
SS S)h
S 0
P
Q
祖暅原理
二：柱体的体积
定理1： 柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它
的底面积 s 和高 h 的积。
V柱体= sh
推论 ： 底面半径为r，高为h圆柱的体积是
V圆柱= r2h
三:锥体体积
例2 如图：三棱柱AD1C1-BDC,底面积为S,高为h.
问（1）从A点出发能将棱柱分割成几个三棱锥？
D1
C1
D1
3．几何体的表面积应注意重合部分的处理．
一、体积的概念与公理:
几何体占有空间部分的大小叫做它的体积
公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积 。
V长方体= abc 推论1 、长方体的体积等于它的底面积s和高h的积
。
V长方体= sh
推论2 、正方体的体积等于它的棱长a 的立方。
V正方体= a3
公理2、夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行 于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截 面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
Vi
Si
R
O Vi
V
1 3
Vi
Si
R
1 3
S2
1
3 R
Si R
1 3
S3
R...1 3来自SnR1 3
R(Si
S2
S3
...
Sn
)
1 3
RS
①
球的体积: V 4 R3 ②
由①② 得:
3
S 4πR2
设球的半径为R，则球的体积公式为 V球＝ 4∕3π.R3
例1．(2009年高考上海卷)若球O1、O2表 面积之比＝4，则它们的半径之比＝______.
几何体的表面积问题小结
1．高考中对几何体的表面积的考查一般在客观题中， 借以考查空间想象能力和运算能力，只要正确把握几何体 的结构，准确应用面积公式，就可以顺利解决．
2．多面体的表面积是各个面的面积之和．圆柱、 圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个 曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆 的面积之和．
R
R O
R
R O
1 2
V球
=
πR2 R - 1 πR2 R 3
= 2 πR3 3
V球
=
4 3
πR3
R
R O
R
R O
知识点三、球的表面积和体积
（
第一步：分割
球面被分割成n个网格， 表面积分别为：
S1，S2，S3...Sn
O
则球的表面积：
S S1 S2 S3 ... Sn
Si
O
Vi
设“小锥体”的体积为：Vi 则球的体积为：
D1
C1
A
A A
D
CD
B
答:可分成棱锥A-D1DC, 棱锥A-D1C1C, 棱锥A-BCD.
A C
C
D
C
B
定理︰如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面
积是Ｓ，高是ｈ，那么它的体积是：
推论：Ｖ如果锥圆体＝锥的13Ｓ底面ｈ半径是ｒ，高是ｈ，
那么它的体积是：
Ｖ圆锥＝
1 3
πｒ２ｈ
h
h
S
S
S
四.台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h，则
解析：S 球＝4πR2，故RR12＝
SS12＝ 4＝2.
答案：2
例2：
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的—2倍。
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的—4倍。
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是—1—: 2—2。
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是—1—: 3—4。
V 1 Sh 3
S为底面面积， S分别为上、下底面 h为锥体高 面积，h 为台体高
S为底面面积， h为柱体高
题型二 组合体的体积
例1 从一个正方体中，如图那样截去4个三棱 锥后，得到一个正三棱锥A－BCD，求它的体积 是正方体体积的几分之几？
探究 球的体积：
一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个 以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥 后，所得的几何体的体积与一个半径为R的 半球的体积相等。
例3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各 个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可
知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。
D A
D A11
C B
O C1
B1
D A
D A11
C B
O C1
B1
略解：
RtB1D1D中: B1D 2R，B1D 2a
作轴截面
例5已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离 等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体 积，表面积．
解：如图，设球O半径为R， 截面⊙O′的半径为r，
O
OO R , ABC是正三角形，
2
C
A
O
OA 2 3 AB 2 3 r
32
3
B
几何体的体积小结
1．求空间几何体的体积除利用公式法外，还 常用分割法、补体法、转化法等，它们是解决一 些不规则几何体体积计算问题的常用方法．
解 如图所示,
过C作CO1⊥AB于O1,在半圆中可得
∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R,
∴AC= 3R ,BC=R,CO1
2．计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据 条件找出相应的底面面积和高，要充分利用多面体 的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面 问题．
【例2】
如图所示,半径为R的半圆内的 阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋 转一周得到一几何体,求该几何体的 表面积(其中∠BAC=30°)及其体积.
思维启迪
先分析阴影部分旋转后形成几何体的形状,再 求表面积.
S 4R2 3a2
变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=——a。2
变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=2— —a2 。
关键：找正方体的棱长a与球半径R之间的关系
例4、有三个球,一球切于正方体的各面,一 球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的 各顶点,求这三个球的体积之比. 1 : 2 2 : 3 3
V V1 V2 V3 ... Vn
第二步：求近似和
Si
hi
O
O
Vi
Vi
1 3
Si
hi
由第一步得： V V1 V2 V3 ... Vn
V
1 3
S1h1
1 3
S2h2
1 3
S3h3
...
1 3
Sn
hn
第三步：转化为球的表面积
Si
hi
如果网格分的越细,则: “小锥体”就越接近小棱锥。 hi 的值就趋向于球的半径R
V台体=
1 h(s + 3
ss' + s')
x
s/
s/
h
s
s
推论：如果圆台的上,下底面半径是r1.r2,高是
ｈ，那么它的体积是：
1
Ｖ圆台＝ 3
πh
(r12
r1r2
r22 )
五.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
V Sh
S S V 1 (S
3
SS S)h
S 0
P
Q
祖暅原理
二：柱体的体积
定理1： 柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它
的底面积 s 和高 h 的积。
V柱体= sh
推论 ： 底面半径为r，高为h圆柱的体积是
V圆柱= r2h
三:锥体体积
例2 如图：三棱柱AD1C1-BDC,底面积为S,高为h.
问（1）从A点出发能将棱柱分割成几个三棱锥？
D1
C1
D1
3．几何体的表面积应注意重合部分的处理．
一、体积的概念与公理:
几何体占有空间部分的大小叫做它的体积
公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积 。
V长方体= abc 推论1 、长方体的体积等于它的底面积s和高h的积
。
V长方体= sh
推论2 、正方体的体积等于它的棱长a 的立方。
V正方体= a3
公理2、夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行 于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截 面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
Vi
Si
R
O Vi
V
1 3
Vi
Si
R
1 3
S2
1
3 R
Si R
1 3
S3
R...1 3来自SnR1 3
R(Si
S2
S3
...
Sn
)
1 3
RS
①
球的体积: V 4 R3 ②
由①② 得:
3
S 4πR2
设球的半径为R，则球的体积公式为 V球＝ 4∕3π.R3
例1．(2009年高考上海卷)若球O1、O2表 面积之比＝4，则它们的半径之比＝______.
几何体的表面积问题小结
1．高考中对几何体的表面积的考查一般在客观题中， 借以考查空间想象能力和运算能力，只要正确把握几何体 的结构，准确应用面积公式，就可以顺利解决．
2．多面体的表面积是各个面的面积之和．圆柱、 圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个 曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆 的面积之和．
R
R O
R
R O
1 2
V球
=
πR2 R - 1 πR2 R 3
= 2 πR3 3
V球
=
4 3
πR3
R
R O
R
R O
知识点三、球的表面积和体积
（
第一步：分割
球面被分割成n个网格， 表面积分别为：
S1，S2，S3...Sn
O
则球的表面积：
S S1 S2 S3 ... Sn
Si
O
Vi
设“小锥体”的体积为：Vi 则球的体积为：
D1
C1
A
A A
D
CD
B
答:可分成棱锥A-D1DC, 棱锥A-D1C1C, 棱锥A-BCD.
A C
C
D
C
B
定理︰如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面
积是Ｓ，高是ｈ，那么它的体积是：
推论：Ｖ如果锥圆体＝锥的13Ｓ底面ｈ半径是ｒ，高是ｈ，
那么它的体积是：
Ｖ圆锥＝
1 3
πｒ２ｈ
h
h
S
S
S
四.台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h，则
解析：S 球＝4πR2，故RR12＝
SS12＝ 4＝2.
答案：2
例2：
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的—2倍。
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的—4倍。
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是—1—: 2—2。
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是—1—: 3—4。
V 1 Sh 3
S为底面面积， S分别为上、下底面 h为锥体高 面积，h 为台体高
S为底面面积， h为柱体高
题型二 组合体的体积
例1 从一个正方体中，如图那样截去4个三棱 锥后，得到一个正三棱锥A－BCD，求它的体积 是正方体体积的几分之几？
探究 球的体积：
一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个 以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥 后，所得的几何体的体积与一个半径为R的 半球的体积相等。
例3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各 个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可
知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。
D A
D A11
C B
O C1
B1
D A
D A11
C B
O C1
B1
略解：
RtB1D1D中: B1D 2R，B1D 2a
作轴截面
例5已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离 等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体 积，表面积．
解：如图，设球O半径为R， 截面⊙O′的半径为r，
O
OO R , ABC是正三角形，
2
C
A
O
OA 2 3 AB 2 3 r
32
3
B
几何体的体积小结
1．求空间几何体的体积除利用公式法外，还 常用分割法、补体法、转化法等，它们是解决一 些不规则几何体体积计算问题的常用方法．
解 如图所示,
过C作CO1⊥AB于O1,在半圆中可得
∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R,
∴AC= 3R ,BC=R,CO1
2．计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据 条件找出相应的底面面积和高，要充分利用多面体 的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面 问题．
【例2】
如图所示,半径为R的半圆内的 阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋 转一周得到一几何体,求该几何体的 表面积(其中∠BAC=30°)及其体积.
思维启迪
先分析阴影部分旋转后形成几何体的形状,再 求表面积.