(湘教版)高中数学选修2-2(全册)课堂练习汇总

（湘教版）高中数学选修2-2（全册）课堂练习汇总

第4章导数及其应用

4．1导数概念

4．1.1问题探索——求自由落体的瞬时速度

1．一质点的运动方程是s＝4－2

t2，则在时间段[1,1＋d]内相应的平均速度为

()

A．2d＋4 B．－2d＋4 C．2d－4 D．－2d－4 答案 D

解析v(1，d)＝4－2(1＋d)2－4＋2×12

d＝－

4d＋2d2

d＝－2d－4.

2．已知物体位移s与时间t的函数关系为s＝f(t)．下列叙述正确的是

() A．在时间段[t0，t0＋d]内的平均速度即是在t0时刻的瞬时速度

B．在t1＝1.1，t2＝1.01，t3＝1.001，t4＝1.000 1，这四个时刻的速度都与t＝1时刻的速度相等

C．在时间段[t0－d，t0]与[t0，t0＋d](d>0)内当d趋于0时，两时间段的平均速度相等

D．以上三种说法都不正确

答案 C

解析两时间段的平均速度都是在t0时刻的瞬时速度．

3．已知s＝1

2gt

2，从3秒到3.1秒的平均速度v＝________.

答案 3.05g

解析v＝1

2g·3.1

2－

1

2g·3

2

3.1－3

＝3.05g.

4．如果质点M的运动方程是s＝2t2－2，则在时间段[2,2＋d]内的平均速度是________．

答案8＋2d

解析v(2，d)＝s(2＋d)－s(2)

d＝8＋2d.

1．平均速度与瞬时速度的区别与联系

平均速度是运动物体在某一段时间内位移的平均值，即用时间除位移得到，而瞬时速度是物体在某一时间点的速度，当时间段越来越小的过程中，平均速度就越来越接近一个数值，这个数值就是瞬时速度，可以说，瞬时速度是平均速度在时间间隔无限趋于0时的“飞跃”．

2．求瞬时速度的一般步骤

设物体运动方程为s＝f(t)，则求物体在t时刻瞬时速度的步骤为：

(1)从t到t＋d这段时间内的平均速度为f(t＋d)－f(t)

d，其中f(t＋d)－f(t)称为位

移的增量；

(2)对上式化简，并令d趋于0，得到极限数值即为物体在t时刻的瞬时速度.

4．1.2 问题探索——求作抛物线的切线

1．一物体作匀速圆周运动，其运动到圆周A处时

() A．运动方向指向圆心O

B．运动方向所在直线与OA垂直

C．速度与在圆周其他点处相同

D．不确定

答案 B

2．若已知函数f(x)＝2x2－1的图象上的一点(1,1)及邻近一点(1＋d,1＋Δy)，则Δy d

等于

() A．1 B．2＋d C．4＋2d D．4＋d

答案 C

解析Δy

d＝

2(1＋d)2－1－(2×12－1)

d＝4＋2d.

3．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为________．答案 1

解析由平均变化率的几何意义知，k＝2－1

1－0

＝1.

4．已知函数f(x)＝－x2＋x的图象上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋d，－2＋Δy)，

则Δy

d＝________.

解析Δy＝f(－1＋d)－f(－1)

＝－(－1＋d)2＋(－1＋d)－(－2) ＝－d2＋3d.

∴Δy

d＝

－d2＋3d

d＝－d＋3.

答案－d＋3

1．求曲线y＝f(x)上一点(x0，y0)处切线斜率的步骤

(1)作差求函数值增量Δy，即f(x0＋d)－f(x0)．

(2)化简Δy

d，用x0与d表示化简结果．

(3)令d→0，求Δy

d的极限即所求切线的斜率．

2．过某点的曲线的切线方程

要正确区分曲线“在点(u，v)处的切线方程”和“过点(u，v)的切线方程”．前者以点(u，v)为切点，后者点可能在曲线上，也可能不在曲线上，即使在曲线上，也不一定是切点．

3．曲线的割线与切线的区别与联系

曲线的割线的斜率反映了曲线在这一区间上上升或下降的变化趋势，刻画了曲线在这一区间升降的程度，而曲线的切线是割线与曲线的一交点向另一交点逼近时的一种极限状态，它实现了由割线向切线质的飞跃．

4．1.3 导数的概念和几何意义

1．f(x)在x＝x0处可导，则lim

h→0f(x0＋h)－f(x0)

h

()

A．与x0、h都有关

B．仅与x0有关，而与h无关

C．仅与h有关，而与x0无关

D．与x0、h均无关

答案 B

2．若f(x0)－f(x0－d)＝2x0d＋d2，下列选项正确的是

() A．f′(x)＝2 B．f′(x)＝2x0

C．f′(x0)＝2x0D．f′(x0)＝d＋2x0

答案 C

3．已知函数y＝f(x)图象如图，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是

() A．f′(x A)>f′(x B)

B．f′(x A)

C．f′(x A)＝f′(x B)

D．不能确定

答案 A

4．在曲线f(x)＝x2＋x上取一点P(1,2)，则在区间[1,1＋d]上的平均变化率为________，在点P(1,2)处的导数f′(1)＝________.

答案3＋d 3

1．求导数的步骤主要有三步：

(1)求函数值的增量：Δy＝f(x0＋d)－f(x0)；

(2)求平均变化率：Δy

d＝

f(x0＋d)－f(x0)

d；

(3)取极限：f′(x0)＝Δy d.

2．导数的几何意义

(1)对于函数y＝f(x)在x0处的导数是表示在x0处函数值变化快慢的一个量，

其几何意义为在x＝x0处的切线的斜率．

(2)f′(x)是指随x变化，过曲线上的点(x，f(x))的切线斜率与自变量x之间的

函数.

4．2.3 导数的运算法则

1．下列结论不正确的是

() A．若y＝3，则y′＝0

B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3

C．若y＝－x＋x，则y′＝－

1

2x

＋1

D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x

答案 D

解析利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D项，∵y＝sin x＋cos x，∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x.

2．函数y ＝

cos x

1－x

的导数是 ( )

A.－sin x ＋x sin x

(1－x )2

B.

x sin x －sin x －cos x

(1－x )2

C.

cos x －sin x ＋x sin x

(1－x )2

D.

cos x －sin x ＋x sin x

1－x

答案 C

解析 y ′＝? ????

cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2

＝

cos x －sin x ＋x sin x

(1－x )2

.

3．曲线y ＝x

x ＋2

在点(－1，－1)处的切线方程为

( )

A ．y ＝2x ＋1

B ．y ＝2x －1

C ．y ＝－2x －3

D ．y ＝－2x ＋2

答案 A 解析 ∵y ′＝

x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2

(x ＋2)2，

∴k ＝y ′|x ＝－1＝

2

(－1＋2)2

＝2，

∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.

4．直线y ＝1

2x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________. 答案 ln 2－1

解析 设切点为(x 0，y 0)， ∵ y ′＝1x ，∴12＝1

x 0

，

∴x 0＝2，∴y 0＝ln 2，ln 2＝1

2×2＋b ，∴b ＝ln 2－1.

求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算

法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.

4．2 导数的运算

4．2.1 几个幂函数的导数 4．2.2 一些初等函数的导数表

1．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝

( )

A ．0

B ．2x

C ．6

D ．9 答案 C

解析 ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6. 2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于

( )

A.36 B ．0 C.12x D.32

答案 A

解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝

12x

，∴f ′(3)＝

1

23＝36. 3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是

( )

A.???

???0，π4∪????

??3π4，π B ．[0，π)

C.??????π4，3π4

D.???

???0，π4∪????

??π2，3π4 答案 A

解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∵k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1， ∴αl ∈???

???0，π4∪????

??3π4，π.

4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 答案 12e 2

解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，

∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×||－e 2＝1

2e 2.

1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．

2．有些函数可先化简再应用公式求导．

如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x

2＝cos x ， 所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .

3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化．

4.3 导数在研究函数中的应用

4．3.1 利用导数研究函数的单调性

1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是

( )

A ．单调增函数

B ．单调减函数

C ．在? ????0，1e 上是减函数，在? ????

1e ，6上是增函数

D ．在? ????0，1e 上是增函数，在? ????1e ，6上是减函数 答案 A

解析 ∵x ∈(0,6)时，f ′(x )＝1＋1

x ＞0，∴函数在(0,6)上单调递增． 2．f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是

( )

答案 D

解析 由导函数的图象可知，当x ＜0时，f ′(x )＞0，即函数f (x )为增函数；当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，即f (x )为减函数；当x ＞2时，f ′(x )＞0，即函数f (x )为增函数．观察选项易知D 正确．

3．若函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋6在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是

( )

A ．[1，＋∞)

B ．a ＝1

C ．(－∞，1]

D ．(0,1)

答案 A

解析∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0,1)内单调递减，

∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立，∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1. 4．函数y＝x2－4x＋a的增区间为________，减区间为________．答案(2，＋∞)(－∞，2)

解析y′＝2x－4，令y′＞0，得x＞2；令y′＜0，得x＜2，

所以y＝x2－4x＋a的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2)．

1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．

2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)求导数f′(x)；

(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0；

(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．

4.3.2函数的极大值和极小值

1．下列关于函数的极值的说法正确的是

() A．导数值为0的点一定是函数的极值点

B．函数的极小值一定小于它的极大值

C．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值

D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数

答案 D

解析由极值的概念可知只有D正确．

2．函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )

( )

A ．无极大值点，有四个极小值点

B ．有三个极大值点，两个极小值点

C ．有两个极大值点，两个极小值点

D ．有四个极大值点，无极小值点 答案 C

解析 在x ＝x 0的两侧，f ′(x )的符号由正变负，则f (x 0)是极大值；f ′(x )的符号由负变正，则f (x 0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点． 3．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为

( )

A ．－1＜a ＜2

B ．－3＜a ＜6

C ．a ＜－1或a ＞2

D ．a ＜－3或a ＞6

答案 D

解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 因为f (x )既有极大值又有极小值， 那么Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)＞0， 解得a ＞6或a ＜－3.

4．设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________． 答案 9

解析 f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a 18＝1，所以a ＝9.

1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．

2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极值的充要条

件是f ′(x 0)＝0且在x ＝x 0两侧f ′(x )符号相反．

3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.

4.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值

1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是

( )

A ．f (2)，f (3)

B ．f (3)，f (5)

C ．f (2)，f (5)

D ．f (5)，f (3)

答案 B

解析 ∵f ′(x )＝－2x ＋4， ∴当x ∈[3,5]时，f ′(x )<0， 故f (x )在[3,5]上单调递减，

故f (x )的最大值和最小值分别是f (3)，f (5)． 2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |＜1)

( )

A ．有最大值，但无最小值

B ．有最大值，也有最小值

C ．无最大值，但有最小值

D ．既无最大值，也无最小值

答案 D

解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0，所以f (x ) 在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D. 3．函数y ＝x －sin x ，x ∈????

??

π2，π的最大值是

( )

A ．π－1 B.π

2－1 C ．π D ．π＋1 答案 C

解析 因为y ′＝1－cos x ，当x ∈??????π2，π，时，y ′＞0，则函数在区间????

?

?

π2，π

上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π，故选C. 4．(2012·安徽改编)函数f (x )＝e x

sin x 在区间????

??0，π2上的值域为 ( )

A. B.

C.

D.

答案 A

解析 f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )． ∵x ∈???

???0，π2，f ′(x )＞0. ∴f (x )在???

???0，π2上是单调增函数，

∴f (x )min ＝f (0)＝0，f (x )max ＝f ? ??

??

π2＝

.

5．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________． 答案 －71

解析 f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)． 由f ′(x )＝0得x ＝3或x ＝－1. 又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27， f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20. 由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5， ∴f (x )min ＝k －76＝－71.

1．求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最值

(1)极值是部分区间内的函数的最值，而最值是相对整个区间内的最大或最小值．

(2)求最值的步骤：

①求出函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；

②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

2．极值与最值的区别和联系

(1)函数的极值表示函数在某一点附近的局部性质，是在局部对函数值的比

较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．

(2)函数的极值不一定是最值，需要将极值和区间端点的函数值进行比较，或

者考查函数在区间内的单调性．

(3)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极

小值就是最小值．

(4)可导函数在极值点的导数为零，但是导数为零的点不一定是极值点．例如，

函数y＝x3在x＝0处导数为零，但x＝0不是极值点．

4.4生活中的优化问题举例

1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，

原油温度(单位：℃)为f(x)＝1

3x

3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变

化率的最小值是

()

A．8 B.20

3C．－1 D．－8

答案 C

解析原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.

2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为

()

A.3V

B.32V

C.34V D．23V

答案 C

解析 设底面边长为x ，则表面积S ＝32x 2＋43

x V (x >0)． ∴S ′＝3x 2(x 3－4V )．令S ′＝0，得x ＝3

4V . 3. 在边长为60 cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？

解 设箱底边长为x cm ，则箱高h ＝

60－x

2

cm ，箱子容积V (x )＝x 2h ＝60x 2－x

32

(0＜x ＜60)．

V ′(x )＝60x －32x 2令V ′(x )＝60x －3

2x 2＝0， 解得x ＝0(舍去)或x ＝40，并求得V (40)＝16 000.

由题意知，当x 过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值．

答 当x ＝40 cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000 cm 3.

4．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3

－380x ＋8(0

解 当速度为x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100

x 小时，设耗油量为h (x )升，

依题意得h (x )＝? ????1128 000x 3－380x ＋8×100

x ＝11 280x 2＋800x －154(0

h ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803

640x 2(0

因为x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数； x ∈(80,120)时，h ′(x )>0，h (x )是增函数，

所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升)．

因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．

答汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．

1．解有关函数最大值、最小值的实际问题，在分析问题中的各个变量之间的关系的基础上，列出合乎题意的函数关系式，并确定函数的定义域．注意所求得的结果一定符合问题的实际意义．

2．利用导数解决生活中的优化问题时，有时会遇到在定义域内只有一个点使f′(x)＝0，如果函数在该点取得极大(小)值，极值就是函数的最大(小)值，因此在求有关实际问题的最值时，一般不考虑端点．

4．5.3定积分的概念

1．定积分

??

11d x的值等于

()

A．0 B．1 C.1

2D．2

答案 B

2．已知

??

1

3f(x)d x＝56，则

()

A.

??

1

2f(x)d x＝28

B.

??

2

3f(x)d x＝28

C.

??

1

22f(x)d x＝56

D.??12f (x )d x ＋??23f (x )d x ＝56 答案 D

3．如图所示，??a b f 1(x )d x ＝M ，??a

b f 2(x )d x ＝N ，则阴影部分的面积为

( )

A ．M ＋N

B ．M

C ．N

D ．M －N 答案 D

4．不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式

( )

(1)??01x d x ________??01x 2d x (图1)； (2)??01x d x ________??12x d x (图2)； (3)??024－x 2d x ________??022d x (图3)． 答案 (1)> (2)< (3)<

1．定积分可以表示图形的面积

从几何上看，如果在区间[a ，b ]上，函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分

??a

b

f (x )d x 就表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积，这就是定积分??a b f (x )d x 的几何意义．

2．定积分表示图形面积的代数和

被积函数是正的，定积分的值也为正，如果被积函数是负的，函数曲线在x 轴之下，定积分的值就是带负号的曲边梯形的面积．当被积函数在积分区间上有正有负时，定积分就是x 轴之上的正的面积与x 轴之下的负的面积的代数和．

3．此外，定积分还有更多的实际意义，比如在物理学中，可以用定积分表示功、路程、压力、体积等．

4．定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即??a b f (x )d x ＝??a b f (u )d u ＝??a b f (t )d t ＝…(称为

积分形式的不变性)，另外定积分??a b f (x )d x 与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，所得的值也不同，例如??01(x 2＋1)d x 与??03(x 2＋1)d x 的值就不同.

4．5.4 微积分基本定理

1．

(1＋cos x )d x 等于

( )

A ．π

B ．2

C ．π－2

D ．π＋2 答案 D

解析 ∵(x ＋sin x )′＝1＋cos x ，