2017年江苏省专转本高数不定积分模拟试题练习(含答案)
专转本数学不定积分模拟试题练习
一、填空题：
1. 设)(x f '连续，则='⎰dx x f )(___________。
2. ='⎰
-][2
dx e x _________；=-⎰)sin 1(x d _________。
3. 设)(x f ''连续, 则=''⎰
dx x f x )(___________。
4. 设x x f 2
2cos )(sin ='连续, 则=)(x f ___________。
5. 若c x x
dx x f ++=⎰
22
sin
2)(,则=)(x f _________。
6. 若c x dx x f +=⎰sin )(,则=⎰
dx x f x
)(1_________。
7. 设)(x f '连续，则='⎰
dx x f x f )
()
(2
_________；='⎰dx x f x f )](sin[)(_________。
8. 若)()(x g x f '=',则)(x f 与)(x g 满足关系_____________。
二、选择题： 1. 设)(x f '连续，则
=+'⎰dx x f x f )(1)
(2 ( )。
(A ) c x f +)(arctan 21
(B )c x f +)(arctan (C ) c x f ++|)(1|ln 2
12
(D ) c x f ++|)(1|ln 2
2. 若
c e x dx x f x +=⎰
22)(,则=)(x f ( )。
(A ) x
xe 22 (B ) x
e x 222
(C ) )1(22x xe x
+ (D ) )1(222
x e x x
+
3. =+⎰dx e
e x
x
12 ( )。
(A ) c e e x
x
++-)1ln( (B ) c e x x
++-)1ln(
(C ) c e e x
x
+++)1ln( (D ) c e x ++)1ln(2
1
4. 若
c x dx x f +=⎰2)(,则=-⎰dx x xf )1(2( )。
(A ) c x +-2
2)1(2 (B ) c x +--2
2)1(2
(C ) c x +-22)1(21 (D ) c x +--22)1(2
1
5. 若x
x f 1
)(=,则='⎰dx x f )(( )。
(A )
x
1
(B ) c x +1
(C ) x ln (D ) c x +ln
6.
=-+⎰
dx x
x 2
11 ( )。
(A ) c x x +--21arcsin (B ) c x x +-+21arcsin (C ) c x x +---21arcsin (D ) c x x +-+-21arcsin
7. =⎰
dx e e x x sin ( )。
(A )
c x x e x ++)cos (sin 21 (B ) c x x e x +-)cos (sin 2
1
(C ) c e x
+cos (D ) c e x
+-cos
8. 设)(x f '连续，则='⎰dx x f )3(( )。
(A )
c x f +)3(31 (B ) c x f +)(3
1
(C ) c x f +)3(3 (D ) c x f +)(3
9. =⎰
dx x x ln ( )。
(A ) c x x +-)1(ln 22 (B ) c x x +-)1(ln 222
(C ) c x x +-)21(ln 22 (D ) c x x +-)2
1
(ln 222
10.设)(x F 是)(x f 的一个原函数，则( )。
(A ) c x F dx x f +=''⎰)(])([ (B ) )()(x F x dF =⎰
(C ) )(])([x f c x F ='+ (D ) )(])([x f dx x F ='⎰
三、求不定积分：
(1) dx x x ⎰+2
)cot (tan ； (2) dx x x x ⎰++)
1(122
22； (3) dx x x ⎰arctan ； (4) dx x x ⎰
-)1ln(； (5) dx x x
⎰2sin ； (6) dx x x x ⎰tan sec ；
(7) dx x x ⎰
-1
2
； (8) dx x x ⎰
-1
12
；
(9) dx e
e x
x ⎰+-1
； (10) dx e e x x ⎰-231； (11) dx x ⎰-4
91
2； (12) dx x x ⎰-)1(1；
(13) dx x x ⎰+22
1)(arctan ； (14) dx x
x ⎰-21arcsin ； (15)
dx x x ⎰ln ； (16) dx x x
⎰2ln ；
(17) dx x x ⎰cos sin 1； (18) dx x e x
⎰3cos 2。
一、1. c x f +)(； 2.2
x
e -；c x +-sin ；
3. c x f x f x +-')()(；
4. c x x +-
2
2
1； 5. x x 22
cos +； 6. c x +sin 2； 7. c x f +-
)
(1
，c x f +-)(cos ； 8. c x g x f =-)()(。
二、1. B ； 2.C ； 3.A ； 4. D ； 5.B ；6.A ； 7. D ；8. A ； 9.C ； 10.C ．
三、(1) c x x +-cot tan ； (2) c x
x +-
1
arctan ； (3) c x x x x ++-arctan 21
21arctan 212
(4) c x x x x x +-----|1|ln 2
1
2141)1ln(2122；
(5) c x x x ++-|sin |ln cot (6)c x x x x +-+|tan sec |ln sec ； (7) c x +-12； (8) c x +arccos ；
(9) c e x
+arctan ； (10) c e e x
x
++
-22
1； (11) c x x ++-|2323|ln 121； (12) c x x +-|1
|ln ；
(13) c x +3)(arctan 31； (14)c x +2
)(arctan 21；
(15)c x +2ln 21； (16)c x
x x +--
1
ln ； (17)c x x +-|2cot 2csc |ln ； (18) c x x e x
++)3sin 13
3
3cos 132(2。
江苏省专转本(高等数学)模拟试卷37(题后含答案及解析)
江苏省专转本（高等数学）模拟试卷37(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．若x→0时，(1-ax2)1／4-1与xsinx是等价无穷小，则a=( )．A．1B．-4C．4D．3正确答案：B解析：当x→0时，(1-ax2)1／4-1～-ax2，xsinxax～x2于是，根据题设有故a=-4．2．下列函数中，在[-1，1]上满足罗尔中值定理条件的是( )．A．f(x)=B．f(x)=x+5C．f(x)=D．f(x)=x+1正确答案：A解析：B、C和D不满足罗尔定理的f(a)=f(b)条件．3．设I=∫01dy∫02yf(x，y)dx+∫13dy∫03-yf(x，y)dx，交换积分次序后I=( )．A．∫03dx∫03-xf(x，y)dyB．∫02dx∫03-xf(x，y)dyC．∫02dx f(x，y)dyD．∫03dxf(x，y)dy正确答案：C4．已知y=ln(x+)，则下列正确的是( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：y=ln(x+5．xyy’=1，y(1)=1的解是( )．A．xB．y2=2lnx+1C．y2=lnxD．y2=x正确答案：B解析：xyy’=1y2=2lnx+C.又因为f(1)=1所以1=2ln1+C，那么C=1，所以y2=2lnx+1．6．设un为正项级数，如下说法正确的是( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：选项A当un取1／n时，不对，排除．B选项0≤t＜∞不对，应是l＜1，un必收敛，D仍然可用∑是发散的，故排除，所以选C.填空题7．(1+2x)3／x=_______．正确答案：e6解析：=e68．设f(x)=在x=0处连续，则a=_______．正确答案：-1解析：a=-1．9．y=2ln+1的水平渐近线是_______．正确答案：y=1解析：10．∫-∞+∞dx=1，则是的值为_______．正确答案：1／π解析：k．∫-∞+∞11．设曲线y=x2+x+2上点M处的斜率为-3，则点M的坐标是_______．正确答案：(-2，4)解析：y’=2x+1=-3x=-2，代入到原方程得y=4．12．设向量a，b，令|a+b|=|a-b|，a={3，-5，8)，b={-1，1，z}．则z=_______．正确答案：1解析：因为a+b={2，-4，8+z}，a-b={4，-6，8-z)，由|a+b|=|a-b|有，解得z=1．解答题解答时应写出推理、演算步骤。
2017年江苏省专转本高数数学导数与微分模拟试题练习(含答案)
专转本数学导数与微分模拟试题练习一、选择题1．设函数在处连续，则（）A．必存在B．必存在C．不存在D．不一定等于2．如果在处可导，则（）A．B．C．D．0 3．设在的邻域内连续，且有，则（）A．B．C．D．04．设为可导的偶函数，则为( )A．偶函数B．可能是偶函数C．奇函数D．非奇非偶函数5．下列函数中（）在处可导A．B．C．D．6．设函数在处可导，则有（）A．B．C．D．7．设，则在处（）A．可导且B．不可导C．取得极小值D．取得极大值8．设，则（）A．B．C．D．9．曲线在（1，0）点的切线为（）A．不存在B．C．D．10．设函数由参数方程所确定，则（）A．B．1 C．D．11．设，则（）A．B．C．D．二、填空题1．设，则．2．设存在，且，则．3．设，则．4．设，则．5．设函数在处可导，且，，则．6．设，则．7．设方程确定是的函数，则．8．曲线在点（0，1）的法线方程为．9．设，其中函数可微，且，．10．设=，为使在点连续，须补充定义，此时．三、求下列函数的导数或微分（1），求；（2），求；（3）设，求（4），其中，求四、（1）若函数由方程确定，求（2）设，二阶可导，且，求一、1．B；2．C；3．B；4．C；5．B；6．C；7．C；8．A；9．A；10．C二、1．；2．0；3．；4．；5．2；6．；7．；8．法线方程为；9．=7；10．，1．三、（1）；（2）[]．（3）=．（4）．四、（1）；（2）．。
江苏省专转本(高等数学)模拟试卷44(题后含答案及解析)
江苏省专转本（高等数学）模拟试卷44(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知连续函数f(x)满足f(x)=x2+x∫01f(x)dx，则f(x)=( )．A．f(x)=x2+xB．f(x)=x2一xC．D．正确答案：C解析：用代入法可得出正确答案为C2．函数在x=0处( )．A．连续但不可导B．连续且可导C．不连续也不可导D．可导但不连续正确答案：B解析：3．关于的间断点说法正确的是( )．A．为可去间断点B．x=0为可去间断点C．x=kπ为第二类无穷间断点D．以上说法都正确正确答案：D解析：的间断点为为可去间断点．对于x=kx，当k=0，即x=0时，x=0为可去间断点．当k≠0时，为第二类无穷间断点．4．设D：x2+y2≤R2，则=( )．A．B．∫0 2πdθ∫0Rrdr=πR2C．D．∫02πdθ∫0RR2dr=2πR正确答案：C解析：在极坐标中，0≤r≤，R，0≤θ≤2π，5．抛物面在点M0(1，2，3)处的切平面是( )．A．6x+3y一2z一18=0B．6x+3y+2z一18=0C．6x+3y+2z+18=0D．6x一3y+2z一18=0正确答案：B解析：6．幂级数的收敛半径是( )．A．0B．1C．2D．+∞正确答案：B解析：填空题7．则a=________，b=________．正确答案：一4；3解析：并且x2+ax+b=0，所以a=一4，b=3．8．u=f(xy，x2+2y2)，其中f为可微函数，则=________。
正确答案：yf1+2xf’2解析：令w=xy，v=x2+y2，则u=f(w，v)，9．已知函数f(x)=alnx+bx2+x在x=1与x=2处有极值，则a=____________，b=_______________．正确答案：解析：由题意可知：10．a，b为两个非零矢量，λ为非零常数，若向量a+λb垂直于向量b，则λ等于___________．正确答案：解析：a+λb垂直于向量b→(a+λb).b=0．11．已知f(cosx)=sin2x，则∫f(x一1)dx=___________．正确答案：解析：12．已知f(x)=ex2，f[φ(x)]=1一x，且φ(x)≥0，则φ(x)的定义域为_____________．正确答案：x≤0解析：解答题解答时应写出推理、演算步骤。
江苏省年专转本高等数学试卷及解答教学内容
x x
▲
． a 1
lim( x 1)x lim(1 1 )x e1 ， a exdx ex a ea ，所以 a 1．
x x
x
x
8．设函数 y f (x) 的微分为 dy e2xdx ，则 f (x)
▲
． f (x) 2e2x
f (x) e2x ， f (x) 2e2x ．
18．
求通过点 (1, 1 , 1) 且与直线
x 1 1
y
1 2
z 1 1
及直线
4 x
x 3y 2z yz5
1 0
0
都垂直的直线方程．
解
依题意直线
x 1 1
y
1 2
z 1 1
的方向向量
s1
(1,
2,
1)
，直线
4x 3y 2z
x
y
z
5
1 0
0
的方向向量
i jk
i jk
s2
4
3
2
(5, 2, 7)
解 设 u y2 ， v xy ，则 z yf (u ，v) ，于是有
z x
y
f x
y
f v
v x
y2
f2 ，
2z xy
2 yf2
y2
f2 y
2 yf2
y2 ( f2 u
u y
f2 v
v ) y
ux f
vy
2 yf2 y2 (2 yf21 xf22 ) 2 yf2 2 y3 f21 xy2 f22 ．
9．设
y
y(x)
是由参数方程
x y
t3 3t 1 sin
1 t
确定的函数，则
[专升本类试卷]江苏省专转本(高等数学)模拟试卷28.doc
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[专升本类试卷]江苏省专转本（高等数学）模拟试卷28一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1 已知f(0)=0，f'(0)=1，（A）1（B）0（C）一1（D）不存在2 若∫f(x)dx=，则f'(x)等于( )．3 当x＞0时，（A）高阶无穷小量（B）低阶无穷小量（C）同阶，但不等价无穷小量（D）等价无穷小量4 方程x2+y2=4x在空间直角坐标系中表示( )．（A）圆柱面（B）点（C）圆（D）旋转抛物面5 若广义积分收敛，则p应满足( )．（A）0＜p＜1（B）p＞1（C）p＜一1（D）p＜06 设对一切x有f(一x，y)=一f(x，y)，D={(x，y)|x2+y2≤1，y≥0)，D1={(x，y)|x2+y2≤1，x≥0，y≥0}，则二、填空题78 设f(x)为连续奇函数，则f(0)=______．910 已知．|a|=4，|b|=5，则|a+b|=______．11 若直线y=5x+m是曲线y=x2+3x+2的一条切线，则常数m=________．12三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。
13 求的极限．14 求∫(2x一1)ln2xdx．15 计算定积分16 已知17 解常微分方程：18 将函数f(x)=展开为x的幂级数，并指出收敛区间．19 求过点(1，2，3)且垂直于直线的平面方程．20 如图所示，D为x2+y2≤a2与x≥0所围的区域，计算四、综合题21 求出满足下列条件的最低次多项式：当x=1时有极大值6，当x=3时有极小值2．22 设曲线过曲线(2，2)点处的切线与曲线及y轴所围成平面图形的面积，并求出平面图形绕x轴旋转的旋转体的体积.五、证明题23 证明：。
江苏省专转本(高等数学)模拟试卷2(题后含答案及解析)
江苏省专转本（高等数学）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知连续函数f(x)满足f(x)=x2+x∫01f(x)dx，则f(x)=( )。
A．f(x)=x2+xB．f(x)=x2-xC．f(x)=x2+D．f(x)=x2+正确答案：C解析：用代入法可得出正确答案为C。
2．函数在x=0处( )。
A．连续但不可导B．连续且可导C．不连续也不可导D．可导但不连续正确答案：B解析：3．关于的间断点说法正确的是( )。
A．x=kπ+为可去间断点B．x=0为可去间断点C．x=kπ为第二类无穷间断点D．以上说法都正确正确答案：D解析：对于x=kπ，当k=0，即x=0时，，x=0为可去间断点。
当k≠0时，，x=kπ为第二类无穷间断点。
4．设D：x2+y2≤R2，则=( )。
A．＝πR3B．∫02πdθ∫0Rrdr＝πR2C．∫02πdθ∫0Rr2dr＝πR3D．∫02πdθ∫0RR2dr＝2πR3正确答案：C解析：在极坐标中，0≤r≤R，0≤θ≤2π，。
5．抛物面在点M0(1，2，3)处的切平面是( )。
A．6x+3y-2z-18=0B．6x+3y+2z-18=0C．6x+3y+2z+18=0D．6x-3y+2z-18=0正确答案：B解析：设切平面方程为6x+3y+2z-18=0。
6．幂级数的收敛半径是( )。
A．0B．1C．2D．+∞正确答案：B解析：，收敛半径。
填空题7．，则a=＿＿＿＿＿＿，b=＿＿＿＿＿＿。
正确答案：-4，3解析：并且x2+ax+b=0，所以a=-4，b=3。
8．u=f(xy，x2+2y2)，其中f为可微函数，则＝＿＿＿＿＿＿。
正确答案：yf’1+2xf’2解析：令w=xy，v=x2+y2，则u=f(w，v)，=f’w(w，v)·y+f’v(w，v)·2x。
江苏省专转本(高等数学)模拟试卷43(题后含答案及解析)
江苏省专转本（高等数学）模拟试卷43(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知f(x)=2|x|，则f’(0)=( )．A．2|x|ln2B．2xln2C．2-xln2D．不存在正确答案：D2．下列积分收敛的是( )．A．B．C．D．正确答案：B3．下列极限中正确的是( )．A．B．C．D．正确答案：C4．y=xx，则下列正确的是( )．A．y’=xx-1B．dy=xxlnxdxC．y’=xx(lnx+1)D．y’=xxdx正确答案：C5．与平面x+y+z=1平行的直线方程是( )．A．B．x一1=y一1=z一2C．D．x一2y+z=3正确答案：C6．下列哪个结论是正确的( ).A．收敛B．绝对收敛C．绝对收敛D．收敛正确答案：C填空题7．=___________.正确答案：eε解析：8．设在x=0处连续，则a=_____________．正确答案：一1解析：9．的水平渐近线是_________．正确答案：y=1解析：10．,则k的值为________．正确答案：解析：11．设曲线y=x2+x+2上点M处的斜率为一3，则点M的坐标是_________．正确答案：(一2，4)解析：y’=2x+1=一3→=x=一2，代入到原方程得y=4．12．设向量a，b，令｜a+b｜=｜a一b｜，a=(3，一5，8)，b={一1，1，z}．则z=__________．正确答案：1解析：因为a+b={2，一4，8+z)，a一b={4，一6，8一z)，由｜a+b｜=｜a 一b｜有解答题解答时应写出推理、演算步骤。
13．设函数y=y(x)由方程ex-ey=xy确定，求。
正确答案：方程ex一ey=xy，两边对x求导数得ex一ey.y’=y+xy’，故14．y=(1一x2)cosx，求y(n)．正确答案：y(n)=(1一x2)(cosx)2(n)+Cn1(1一x2)’(cosx)(n-1)，Cm2(1一x2)’’(cosx)(n-2)[*]15．求正确答案：设16．计算定积分正确答案：设17．计算正确答案：18．求微分方程x2y’=xy—y2的通解．正确答案：将原方程变形为：则y’=P+xp’，代入原方程得：xp’=一p2，分离变量得，两边积分，得19．z=f(x2一y2，xy)，求正确答案：20．已知(1)f(x)在x=0处连续，求a；(2)求f’(x)．正确答案：综合题21．设函数y=f(x)满足方程xy’+y=x，且．(1)求f(x)；(2)求f(x)的单调增加区间．正确答案：(1)经整理得一阶线性微分方程22．某公司年产量为x百台机床，总成本为C万元，其中固定成本为2万元，每产1百台增加1万元，市场上每年可销售此商品4百台，其销售总收入R(x)(单位：万元)是x的函数，问每年生产多少台利润最大?正确答案：设每年的产量为x百台时利润为y万元．故每年生产3百台时利润最大为万元．23．若f(x)在x=0处连续，求k，a的值．正确答案：根据连续的条件：证明题24．证明：当｜x｜≤1时，则｜4x一x4｜≤5成立．正确答案：令f(x)=4x一x4，则f’(x)=4—4x3=0，x=1．所以f(一1)=一4—1=一5，f(1)=4—1=3．故fmax(x)=3，fmin(x)=一5，所以一5≤f(x)≤3．那么｜4x一x4｜≤5成立．。
江苏省专转本(数学)模拟试题及参考答案(一)
江苏省普通高校专转本模拟试题及参考答案高等数学 试题卷一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 4 分,共 32 分.在下列每小题中选出一个正确答 案，请在答题卡上将所选项的字母标号涂黑）1. 要使函数21()(2)xx f x x −−=−在区间(0,2) 内连续，则应补充定义 f (1) =（ ）A. 2eB. 1e −C. eD. 2e − 2. 函数2sin ()(1)xf x x x =−的第一类间断点的个数为（ ）A. 0B. 2C. 3D. 1 3. 设'()1f x =，则0(22)(22)limh f h f h h→−−+=（ ）A. 2−B. 2C. 4D. 4−4.设()F x 是函数()f x 的一个原函数，且()f x 可导，则下列等式正确的是（ ） A. ()()dF x f x c =+∫ B. ()()df x F x c =+∫ C.()()F x dx f x c =+∫ D.()()f x dx F x c =+∫5. 设2Dxdxdy =∫∫，其中222{(,)|,0}D x y x y R x =+≤>，则R 的值为（ ）A. 1B.D.6.下列级数中发散的是（ ）A 21sin n nn∞=∑. B. 11sin n n ∞=∑C. 1(1)nn ∞=−∑ D.211(1)sinnn n ∞=−∑ 7.若矩阵11312102A a −−= 的秩为2，则常数a 的值为（ ）A. 0B. 1C. 1−D. 28. 设1100001111111234D =−−，其中ij M 是D 中元素ij a 的余子式，则3132M M +=（ ） A. 2− B. 2 C. 0 D. 1 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 9. 1lim sinn n n→∞=____________________________.10.设函数2sin ,0()10,0xx f x x x ≠ =+ =，则'(0)f =______________________________________.11.设函数()cos 2f x x =, 则(2023)(0)f =__________________________________________. 12.若21ax e dx −∞=∫，则常数a =___________________________________.13. 若幂级数1nnn a x +∞=∑的收敛半径为2，则幂级数11(1)nn n x a +∞=−∑的收敛区间为__________________. 14.若向量组1(1,0,2,0)α=，2(1,0,0,2)α=，3(0,1,1,1)α=，4(2,1,,2)k α=线性相关，则k =_____________________________________.三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分） 15. 求极限22sin lim(cos 1)x x t tdtx x →−∫；16.求不定积分22x x e dx ∫；17.求定积分21sin 2x dx π−∫； 18.设函数(,)z z x y =由方程cos y x e xy yz xz =+++所确定的函数，求全微分dz . 19.求微分方程''4'5x y y y xe −−−=的通解； 20.求二重积分Bxydxdy ∫∫，其中D 为由曲线2(0)y x x ≥及直线2x y +=和y 轴所围成的平面闭区域；21.设矩阵A 与B 满足关系是2AB A B =+，其中301110014A= ，求矩阵B .22.求方程组12341234123436536222x x x x x x x x x x x x ++−=−++=− −+−= 的通解； 四、证明题（本大题10分）23.证明：当04x π−<<时，0sin xt e tdt x <∫.五、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）24.求曲线x =及直线2y =与y 轴所围成的平面图形的面积并计算该图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积..25.设定义在(,)−∞+∞上的函数()f x 满足方程'()()f x f x x −=，且(0)0f =，求： （1）函数()f x 的解析式；（2）曲线()y f x =的单调区间和极值点.参考答案一、单项选择题1. B2. D3. D4. D5. B6. B7. A8. B9. C 二、填空题9. 1 10. 1 11. 0 12. 1ln 2213. (1,3)− 14. 4三、计算题15. 2232022250022sin sin 2sin()4lim lim 4lim (1cos )63()2x x x x x t tdt t tdt x x x x x x x →→→===−∫∫； 16. 2222222222222222222224x x x x x x x xxe e x e e e x e e e x e dx x x dx x dx x c =−=−+=−++∫∫∫；17.26206111sin (sin )(sin )22212x dx x dx x dx πππππ−=−+−−∫∫∫； 18. 因为sin sin ,,z zz x y zx y yz x x x x y x ∂∂∂−−−−=+++=∂∂∂+ 且0,y yz zz e x z e x z y x y yy y x∂∂∂−−−=++++=∂∂∂+ 所以可得sin y x y z e x zdzdx dy y x y x−−−−−−=+++. 19. 解：因为特征方程为2450r r −−=，特征值为125,1r r ==−，所以齐次微分方程''4'50y y y −−=的通解为5112x x y c e c e −=+； 设''4'5x y y y xe −−−=的一个特解为*()x y x ax b e −=+，可得11*()1236x y x x e −=−+，所以原方程的通解为：511211*()1236x x x y y y c e c e x x e −−=+=+−+.20. 由22y x x y =+= 可得交点坐标(11)，， 可得21116xBxydxdydx xydy ==∫∫∫∫； 21. 因为2AB A B =+，所以可得(2)A E B A −=，从而可得：1(2)B A E A −=−；又因1211(2)221111A E −−−−=−−− ，所以可得1522(2)432223B A E A −−− =−=−− − ； 22.求方程组12341234123436536222x x x x x x x x x x x x ++−=−++=− −+−= 的通解； 解：111361113611136101241513601012010120101212212031240011200112100120101200112−−−−−−→−→−→− −−−−−−− →− − 一个特解为2220 ，齐次线性方程组12341234123430530220x x x x x x x x x x x x ++−=−++= −+−= 的一组基础解系为：11111η= ，所以原方程组的通解为：123412121210x x c x x=+. 四、证明题 23.证明：当04x π−<<时，0sin xt e tdt x <∫.证明：令0()sin xt f x x e tdt =−∫，则有'()1sin x f x e x =−，令：''()sin cos 0x x f x e x e x =−−=，可得4x π=−，当04x π−<<，''()0f x <，所以当04x π−<<时，'()1sin x f x e x =−为递减函数，可得'()1sin '(0)1x f x e x f =−>=，所以当04x π−<<时，0()sin xt f x x e tdt =−∫为递增函数，因此可得：0()sin (0)0xt f x x e tdt f =−>=∫，从而可证得：0sin x t e tdt x <∫； 五、综合题 24.求曲线x =及直线2y =与y 轴所围成的平面图形的面积并计算该图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积..解：x x y = ⇒ =，则图形面积为：20Aydx dx = 旋转体的体积：2222200022y V x dy ydy ππππ====∫∫； 25.设定义在(,)−∞+∞上的函数()f x 满足方程'()()f x f x x −=，且(0)0f =，求： （1）函数()f x 的解析式；（2）曲线()y f x =的单调区间和极值点. 解：（1）()()()1dxdxx x x f x e xe dx c e xe dx c x ce −−−−−∫∫=+=+=−++∫∫，又因为(0)0f =，所以可得：1c =−，即：()1x f x x e −=−+−； （2）令'()10x f x e −=−+=，可得0x =； x(,0)−∞ 0 (0,)+∞ '()f x −+因此可知：(,0)−∞为函数()1x f x x e −=−+−的递减区间，(0,)+∞为函数()1x f x x e −=−+−的递增区间，点(0,0)为函数()1x f x x e −=−+−的极小值点.。
江苏省2017年专转本高等数学试卷及解答
]
0，
2z x2
1 z(z 1)
( z )2 x
y2z (z 1)3
．
15．求不定积分 x2 dx ． x3
解
x2 dx 令 x3t (t 2 3)2 2tdt 2 (t 4 6t2 9)dt
x3
xt2 3
t
2(
1 5
t
5
2t 3
9t)
c
2 5
(x
5
3) 2
4(x
3
3) 2
9(t
0
tan x x
lim
x0
ex2 sec2
1 x 1
lim
x0
x2 tan 2
x
1．
14．
设 z z(x,
y)
是由方程
z
ln
z
xy
0
确定的二元函数，求
2z x2
．
解
z x
1 z
z x
y
0
，
z x
yz ， z 1
2z x2
[
1 z2
( z )2 x
1 z
2z x2
18．
求通过点 (1, 1 , 1) 且与直线
x 1 1
y
1 2
z 1 1
及直线
4 x
x 3y 2z yz5
1 0
0
都垂直的直线方程．
解
依题意直线
x 1 1
y
1 2
z 1 1
的方向向量
s1
(1,
2,
1)
，直线
4x 3y 2z
x
y
z
5
1 0
0
的方向向量
江苏专转本高等数学_不定积分(让你熟练掌握不定积分)
第三章 不定积分本章主要知识点：● 不定积分的意义，基本公式● 不定积分的三种基本方法● 杂例一、不定积分的意义、基本公式不定积分基本特点是基本公式较多，灵活善变，复习此章节主要诀窍在于：基本公式熟练，基本题型运算快捷，有一定题量的训练。
1．性质()()()f x dx f x '=⎰()()()d f x dx f x dx =⎰⎰+=C x F x dF )()(()()f x dx f x C '=+⎰()(1)()n n f dx f x C -=+⎰2．基本公式（1）11(1)1nn x dx x c n n +=+≠-+⎰，c x dx x +=⎰||ln 1 （2）c a a dx a x x +=⎰ln ，c e dx e x x +=⎰ （3）⎰+-=c x xdx cos sin ，⎰+=c x xdx sin cos ， c x xdx +=⎰tan sec 2，c x xdx +-=⎰cot csc 2第三章 不定积分（4）c ax dx x a +=-⎰arcsin 122， （5）c x a x a a dx x a +-+=-⎰||ln 21122121111f dx f d x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ⎰⎰=x d x f dx x xf tan )(tan )(tan sec 2tan sec (sec )(sec )sec x xf x dx f x d x =⎰⎰ 等等。
例3.1．22007(21)x x dx +⎰解：原式=2200722200811(21)(21)(21)48032x d x x c ++=++⎰ 例3.2．3sin 13sin 13sin 111cos (3sin 1)33x x x xe dx e d x e c ---=-=+⎰⎰ 例3.3．23sin(57)x x dx -⎰解：原式=331sin(57)3x dx -⎰331sin(57)(57)15x d x =--⎰ 31cos(57)15x C =--+ 例3.4．⎰+dx x x x 1ln 2ln 1 解：原式⎰+=x d x x ln 1ln 2ln ⎰+-+=du u u x u 1211221ln =⎰+-du u )1211(21=11ln 2124u u C -++=C x x +++1ln 2ln 41ln 21 例3.5．44x dx x +⎰解：原式=⎰+2222)(2121dx x C x +=2arctan 412 例3.6．221cos (2tan 1)dx x x +⎰解：原式222sec 1tan 12tan 12tan x dx d x x x ==++⎰⎰tan )x C =+例3.7．解：原式2112sin (1cos 2)sin(2)24u du u u C =-=-+⎰⎰14C + 例3.8．⎰+dx e x e x解：原式x x xe x e x e e e dx e de e C =⋅==+⎰⎰第三章 不定积分例3.9．⎰+++dx x x x 2233 解：利用综合除法知12127222323+-+-=+++x x x x x x 原式C x x x x dx x x x ++-+-=+-+-=⎰2ln 12731)21272(232例 例例=x C =+例3.13．sin sin cos x dx x x +⎰解：原式=1(sin cos sin cos )2sin cos x x x x dx x x ++-⋅+⎰=11(cos sin )22sin cos d x x dx x x--++⎰⎰ =11ln sin cos 22x x x c +++ 例3.14．cos 2sin 3cos x dx x x+⎰ 解：令()2sin 3cos f x x x =+，则()2cos 3sin ,f x x x '=-32cos ()()1313x f x f x '=+ 原式＝32()()321313ln |2sin 3cos |()1313f x f x dx x x x C f x '+=+++⎰ 例3.15．2212sin cos dx x x +⎰解：原式＝222sec 1tan )2tan 12tan 1x dx d x x C x x ==+++⎰⎰ 例3.16．xdx ⎰4tan解：原式=dx x x x ]1)1(tan tan [tan 224++-+⎰=⎰⎰⎰+-+dx xdx dx x x 222sec )tan 1(tan =2tan tan tan xd x x x c -++⎰=31tan tan 3x x x c -++ 例3.17．dx x x x ⎰+-+22322 解：原式=dx x x ⎰+-+-1)1(5)1(22=222(1)15(1)1(1)1d x dx x x -+-+-+⎰⎰ =c x x x +-++-)1arctan(5)22ln(2例3.18．⎰解：原式==21(1)2x +-第三章不定积分1arcsin2xc-+例3.19．⎰+21x edx解：原式=dxeexxx⎰-+2221=222xxdex-⎰=cexx++-)1ln(22例例例例例2．直接交换法a）题型dxbaxf)(⎰+方法：令baxt+=，abtx)(2-=，2()f dx tf t dt a =⎰⎰ 例3.25．dx x ⎰+11 解：令2,t x x t ==， 原式=tdt t 211⎰+=⎰⎰+-122t dt dt =c t t ++-1ln 22=c x x ++-)1ln(22例3.26．⎰ 解：令1,12+=-=t x x t原式=22222211112(1)24(1)3(1)3(1)3t t dt dt d t dt t t t t t +-==+-++++++++⎰⎰⎰⎰=2ln(24)ln(3)t t C x C +++=++ 例3.27．dx xx ⎰+31 解：原式65236x tt t dt t t =+⎰=dt t t ⎰+163=⎰+-+-dt tt t )111(62 =c t t t t ++-+-)1ln(63223 =c x x x x ++-+-)1ln(632663 例3.28．dx e x ⎰+11解：原式2ln(1)t x t =-dt t t t ⎰-⋅1212 =⎰-dt t 1122=c t t ++-11ln =c e e x x +++-+)1111ln( b) 题型dx b ax f )(2⎰+f dx ⎰变换t a x sin =f dx ⎰ 变换t a x tan =第三章 不定积分f dx ⎰ 变换t a x sec =例3.29．dx xx ⎰-29 解：令3sin x t =，2例 例例原式231sec cos sin sec tdt tdt t c c t ===++⎰⎰ 例3.33．解：令1tan x t +=， 原式＝221sin cos sin cos sin cos t t dt dt t t t t -=+-⎰⎰＝22cos sin 12cos 12sin d t d t t t -+--⎰⎰＝||||C +（还原略）。