动量冲量和动量定理典型例题精析

动量、冲量和动量定理·典型例题精析
[例题1]质量为m的物体，在倾角为θ的光滑斜面上由静止开始下滑．如图7－1所示．求在时间t内物体所受的重力、斜面支持力以及合外力给物体的冲量．
[思路点拨]依冲量的定义，一恒力的冲量大小等于这力大小与力作用时间的乘积，方向与这力的方向一致．所以物体所受各恒力的冲量可依定义求出．而依动量定理，物体在一段时间t内的动量变化量等于物体所受的合外力冲量，故合外力给物体的冲量又可依动量定理求出．
[解题过程]依冲量的定义，重力对物体的冲量大小为
I G＝mg·t，
方向竖直向下．
斜面对物体的支持力的冲量大小为
I N＝N·t＝mg·cosθ·t，
方向垂直斜面向上．
合外力对物体的冲量可分别用下列三种方法求出．
(1)先根据平行四边形法则求出合外力，再依定义求出其冲量．
由图7－1(2)知，作用于物体上的合力大小为F＝mg·sinθ，方向沿斜面向下．
所以合外力的冲量大小
I F＝F·t＝mg·sinθ·t．
方向沿斜面向下．
(2)合外力的冲量等于各外力冲量的矢量和，先求出各外力的冲量，然后依矢量合成的平行四边形法则求出合外力的冲量．
利用前面求出的重力及支持力冲量，由图7－1(3)知合外力冲量大小为方向沿斜面向下．
或建立平面直角坐标系如图7－1(4)，由正交分解法求出．先分别求出合外力冲量I F在x，y方向上分量I Fx，I Fy，再将其合成．
(3)由动量定理，合外力的冲量I F等于物体的动量变化量Δp．
I F=Δp=Δmv=mΔv=m(at)=mgsinθ·t．
[小结] (1)计算冲量必须明确计算的是哪一力在哪一段时间内对物体的冲量．
(2)冲量是矢量，求某一力的冲量除应给出其大小，还应给出其方向．
(3)本题解提供了三种不同的计算合外力冲量的方法．
[例题2]一质量为100g的小球从0.80m高处自由下落到一厚软垫上．若从小球接触软垫到小球陷至最低点经历了0.20 s，则这段时间内软垫对小球的冲量为多少(取g=10 m/s2，不计空气阻力)？
[思路点拨]小球从落至软垫至陷到最低点，即速度变为零的过程中，受重力和软垫对它的作用力，软垫对球的作用力在此过程中是变力，但动量定理对于变力依然适用．因此可以用动量定理求软垫对球的冲量．[解题过程]小球落至软垫前，只受重力作用，故可由自由落体公式求出小球落至软垫时的速度大小为
方向竖直向下．
小球接触软垫后除受重力mg外，还受软垫对它的作用力F，在这两力合力冲量作用下，小球动量变为零(此时小球陷至最低点)．
取竖直向上为正方向，小球的初动量为
p=－mv(负号表示小球刚与软垫接触时速度方向竖直向下，因而初动量方向竖直向下，与所取正方向相反，此处v仅表示小球速度的大小)．
小球的末动量p′=0．
由动量定理有
解得小球自接触软垫起到陷至最低点这一过程中受到软垫平均作用大小为
在这段时间内软垫对小球的冲量大小为
方向竖直向上．
[小结] (1)应用动量定理解题时，必须明确研究的哪一物体的哪一运动过程，因动量定理是针对一确定物体一确定过程而言．此题应用动量定理
研究的是小球自落至软垫开始与其接触起至陷至最低点速度恰变为零这一过程．
(2)在解决诸如此题和课本习题中用铁锤钉钉子这样的碰撞、打击一类问题时，物体所受的冲击力的变化极为迅速，难于用牛顿第二定律(结合运动学公式)求解，但用以力的冲量概念表述的动量定理解决起来则极为方便．
(3)在应用动量定理解决类似此题这样的碰撞、打击等问题时，不可随意忽略物体所受的重力，例如本题如忽略小球陷落过程中所受的重力，结果则为I F=0.40N·s，显然与正确结果有较大偏离，因而是错误的．[例题3]人从高台上跳下着地时，总是不自觉地先弯腿再站起来，为什么？
[思路点拨]这是一道说明题，不要求给出计算结果，但对这类问题不应含混说上几句就算了事，而要做严格分析，即也要明确研究对象，确定研究过程，列出必要的方程，再做讨论，得出令人信服的结论．[解题过程]将人视为质量集中在重心的质点，分两种情况讨论：一为着地时不弯腿；一为着地时开始弯腿．台的高度一定，两种情况下，人着地时动量大小皆为p=mv，最后速度均变为零，因而动量为零．若取竖直向上为正方向，两种情况下，人着地过程中的动量变化量均为
Δp＝0－(－mv)=mv．
从开始着地到静止过程中，人受重力mg及地面作用力F，用F表示地面对人的作用力平均值，根据动量定理
解得人着地过程中地面对人作用力的平均值
由此式知，第一种情况，人落地后始终直立，人(视为质量集中于重
的作用力，很容易造成伤害．第二种情况下，由于着地后弯腿，人的重心还要向下移动较长距离，速度经过较长时间变为零，Δt较大，故地面对
[小结]解答说明、论证型的题目，首先要明确论点．如本题的论点是要求比较人在两种不同情况下受到地面作用力大小．然后选择论据，论据的选择要正确有效，如本题选择的论据应是动量守恒，若选择牛顿第二定律则不能有效地论证．最后是论证，论证的过程即为推理的过程，推理要清晰严密．如本题就要先找出两种情况下，人的动量变化量Δp的关系及动量变化与所经历的时间Δt的关系，然后才能由动量定理推出两种情况下地面作用力F大小的关系．
[例题4]质量m=5 kg的物体在恒定水平推力F=5 N的作用下，自静止开始在水平路面上运动，t1=2s后，撤去力F，物体又经t2=3 s停了下来，求物体运动中受水平面滑动摩擦力的大小．
[思路点拨]此题中物体所经历的过程可分为两个阶段．第一阶段，物体在力F作用下自静止开始运动直至撤去力F；第二阶段，撤去力F后物体在滑动摩擦力f作用下减速运动，直至停下．如果用动量定理来求题，那么能否对包括两阶段在内的整个运动过程来应用定理呢？
现给出两种方法求解这一问题：第一种方法，将整个运动过程分为两个阶段，分别用动量定理来处理．第二种方法，将整个运动作为一过程来应用动量定理．
[解题过程]因物体在水平面上运动，故只需考虑物体在水平方向上受力即可，在撤去力F前，物体在水平方向上还受方向与物体运动方向相反的滑动摩擦力f，撤去力F后，物体只受摩擦力f．
取物体运动方向为正方向．
方法1设撤去力F时物体的运动速度为v．
对于物体自静止开始运动至撤去力F这一过程，由动量定理有
(F－f)t1=mv． (1)
对于撤去力F直至物体停下这一过程，由动量定理有
(－f)t2=0－mv． (2)
联立式(1)、(2)解得运动中物体所受滑动摩擦力大小为
说明式(1)、(2)中f仅表示滑动摩擦力的大小，f前的负号表示f与所取正方向相反．
方法2将物体整个运动过程视为在一变化的合外力作用下的运动过程．在时间t1内物体所受合外力为(F－f)，在时间t2内物体所受合外力－f，整个运动时间t1＋t2内，物体所受合外力冲量为
(F－f)t1＋(－f)t2．
对物体整个运动过程应用动量定理有
(F－f)t1＋(－f)t2＝0，
说明冲量是矢量，由矢量运算法则可知合外力对物体的冲量等于物体所受各外力冲量的矢量和．所以求物体运动过程中所受合外力冲量又可用下
述方法得出：即先求物体在运动过程所受各外力冲量，再取其矢量和即为合外力冲量．例如，就本题中物体整个运动时间t1＋t2内，力F的冲量为Ft1，力f的冲量为(－f)(t1＋t2)．整个运动过程中物体所受合外力冲量为
Ft1＋(－f)(t1＋t2)．
这一结果与解法(2)给出的结果相同．
[小结] (1)本题解法2再次表明动量定理适用于变力作用过程．
(2)合外力在一段时间t内的冲量等于这段时间t内各分段时间t i(t＝t1＋t2＋…＋t i＋…)内冲量的矢量和，又等于这段时间t内各外力对物体冲量的矢量和．
(3)此题求解时，显然对整个过程应用动量定理来处理，解起来更为简捷．
*[例题5]采煤中有一种方法是用高压水流将煤层击碎将煤采下．今有一采煤水枪，由枪口射出的高压水流速度为v，设水流垂直射向煤层的竖直表面，随即顺煤壁竖直流下，求水对煤层的压强(水的密度为ρ)．[思路点拨]射向煤层的水流受到煤层的作用水平速度(因而动量)变
为零后随即顺壁流下，如能求出此过程中煤层对水流的作用力，根据牛顿第三定律即可求出水对煤层的作用力，从而求水对煤层的压强．
[解题过程]设射向煤层水流截面为S，在时间Δt内有质量为
ρSv·Δt的水撞击煤层，动量变为零，设煤层对水流作用力为F．取煤层对水作用力方向为正，对于上述这部分水由动量定理有
F·Δt＝0－(－ρSvΔt·v)，
得
F=ρSv2．
由牛顿第三定律知，水对煤层作用力大小
F′＝F＝ρSv2，
所以煤层表面受到水流压强为
[小结]解决此类连续体产生的持续作用问题时，关键在于：①正确选取研究对象——Δt时间内动量发生变化的物质；②根据题意正确地表示出其质量及动量变化量．。