第3章 稳定性
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自动控制原理第3章
典型信号
单位阶跃
0, x(t ) 1, 0, x(t ) t, 0, x(t ) 1 2 2 t ,
t0 t0 t0 t0 t0 t0
1 Lx(t ) S 1 Lx(t ) 2 S 1 Lx(t ) 3 S
单位斜坡
单位加速度
3.1 引言
这一章就是讨论并给出分析系统稳定性,静 态误差和动态特性的一些时域的(工程上常用的) 分析方法。 *
3.2 稳定性
3.2.1运动(微分方程的解)的稳定性 第2章 例2.8(P.23,式2.2.42)
Ka=20
Ka=200
结论
(1)线性系统运动的稳定性: 线性系统,对所有初值其运动都是稳定的或都是 不稳定的。 非线性系统,对—部分初值其运动是稳定的,对另 一部分初值其运动有可能不稳定。 (2)系统结构、参数的变化对系统运动稳定性有 影响。 *
a 4 ,1
2 20 Tf2 20 Tf Tm Tm
20 K
3
Tm
( 20 Tf Tm )2 400 K
2
Tm
2
a 5 ,1 a 2 ,1 a 4 ,1
结论
(1)增大系统中 的开环比例系 数不利稳定 (2)增大系统中 的时间常数不 利稳定 (3)系统中时间 常数的数目增 多不利稳定
1 G( s) F ( s) e( s) X ( s) P( s ) 1 G0 ( s) 1 G0 ( s) 1 G( s) F ( s) ess lim s( X ( s) P( s)) s 0 1 G0 ( s) 1 G0 ( s)
3.6.2 关于输入量的静态误差
3.2.3线性系统稳定的充分必要条件
线性系统稳定<=>其微分方程的特征根全部在复 平面的左半面(若虚轴上有根,右
第3章 稳定性与能控能观性
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例 3.1 设系统的特征方程式为
试用劳斯判据判断系统的稳定性。 解 该方程系数满足稳定的必要条件。排出劳斯表 如右 , 由表看出第一列系数符号不同 , 系统不稳定。
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因系数符号改变了2次(从+1→- 2→+3),则系统有2 个正实部根。用MATLAB语句p=[1,2,3,4,3];roots(p)求出 的特征根为: 0 110 2 + 1 393 5 i 0 110 2 - 1 393 5 i - 1 110 2 + 0 550 4 i - 1 110 2 - 0 550 4 i 确有 2 个正实部特征根。 根据劳斯表 , 容易得到 1 ～4 阶系统稳定的充要条 件如表 3 . 1 所示。
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1 ) 渐近稳定 不超出 S( ε) 并最终收敛于平衡态 xe, 即 t → ∞ 时 有 2 ) 在李亚普诺夫意义下稳定 不能达到平衡态 xe, 但对一切 t 都存在
3 ) 不稳定 不能达到平衡态 xe, 且无论 δ怎样小 , 至少都有一 个 t 使得
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3.2 代数判据
3.2.1 劳斯(Routh)判据 (1)系统稳定的必要条件由二阶方程系数与特征根 的关系, 推到n阶特征方程 的系数 ai与特征根pj有如下关系:
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(2)系统稳定的充分必要条件 要判定系统稳定性,必须寻求系统稳定的充分必要 条件,劳斯表解决了这一问题。 劳斯表 将特征方程系数 ai排成下表中的sn和sn- 1行(称为系 数行),然后按下面的式 (3 2 3) ～(3 2 5) 计算各系 数值,并将各系数值排出 sn - 2至 s0行(称为导出行),这个表 称为劳斯表。
工程热力学-第3章 工质的热力性质
理想气体的状态方程式
根据分子运动论：
2 mc 2 p n 3 2
1m3体积分子数 玻尔兹曼常数
pv nvkT
每个分子的动能 与气体的种类有关, 与气体的状态无关
1 kg 理想气体状态方程式气体：
Pa
k) m3/kg J/(kg·
K
通用气体常数
●阿伏加德罗定律：
相同 p 和 T 下各理想气体的摩尔容积V0相同。
v v测 0.84992 0.84925 0.02% 相对误差= v测 0.84925
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例 题
1. 某人从煤气表上读得煤气消耗量是V1=68.37m3， 使用期间煤气表的平均表压力pe=44mmH2O，平均 温度T1=290K，此时大气平均压力pb=751.4mmHg， 求消耗了多少标准立方米(Nm3)的煤气。 解：由于压力较低，故煤气可作理想气体。
（3.43）
式（3.43）也是定压比热容的定义式。对于理想气 体，热力学能u是温度T的单值函数，式（3.43）可 表示为cp=dh/dT，即可得： dh=cpdT （3.44） （3.45）
理想气体不论经过何种过程，其热力学能及焓的变 化量都可按式（3.41）和（3.45）确定。
通常，热工计算中只要求确定热力过程中热力学能或焓值
1) t 的系数已除过2 2) t 需用t1+t2代入
4.比热容与气体性质的关系
定值比热容：工程上，当理想气体温度在室温附近， 温度变化范围不大或者计算精确度要求不太高时，可 将比热容近似作为定值处理。 1 mol理想气体的热力学能： UM=iR0T/2
CvM=δQv/dT=iR0/2 CpM=(i+2)R0/2 k=(i+2)/i
第三章 路基稳定性分析
（二）破裂面的假定
1.松散的砂性土和砾石内摩擦角较大，粘聚力较小，滑动 松散的砂性土和砾石内摩擦角较大，粘聚力较小， 松散的砂性土和砾石内摩擦角较大 面近似平面，平面力学模型采用直线。 面近似平面，平面力学模型采用直线。 2.粘性土粘聚力较大，内摩擦角较小，破裂时滑动面为圆 粘性土粘聚力较大， 粘性土粘聚力较大 内摩擦角较小， 柱形、碗形，近似于圆曲面， 柱形、碗形，近似于圆曲面，平面力学模型采用圆弧
一、须做路基稳定性分析的路基类型： 须做路基稳定性分析的路基类型：
1、高路堤（陡坡路堤）； 、深路堑；3、浸水路基；4、软基上路堤 、高路堤（陡坡路堤）；2、深路堑； 、浸水路基； 、 ）；
二、方法： 方法：
1、工程地质类比法； 、工程地质类比法； 力学验算法： 2、力学验算法：
1）极限平衡法（安全系数法）--条分法（简单条分法、毕肖普法、传递系数法） 极限平衡法（安全系数法）--条分法（简单条分法、毕肖普法、传递系数法） 条分法 2）数值分析法（FEM,BEM,……） 数值分析法（FEM,BEM,……）
条分法的解
路基是一线型结构物，常沿路纵向截取1m进行稳定性分析，且不考虑 前后两竖直截面上的力（偏于安全），把路基作为平面问题来研究。 条分法是将滑动体用n-1个竖直面分为 n个条块。作用在任取条块上的力有： 1.已知的竖向力Wi（重力、车辆荷载）和水平力Qi（地震力）; 2.未知的条间力Fi（Ti、Ei）及滑动底面反力（Si、Ni） 假定各条块取同一安全系数Ks（即假设各条块 一起滑动）。 a d 5 4 3 2 1
（1）施工期稳定分析：采用cu、Φu（直剪快剪或三轴不排水剪） ）施工期稳定分析： （直剪快剪或三轴不排水剪） 直剪固结快剪或三轴固结不排水剪） （2）运营期稳定分析：新建路堤采用ccu、Φcu（直剪固结快剪或三轴固结不排水剪）; ）运营期稳定分析： 已建成路堤采用cu、Φu（直剪快剪或三轴不排水剪） （直剪快剪或三轴不排水剪）
1.松散的砂性土和砾石内摩擦角较大，粘聚力较小，滑动 松散的砂性土和砾石内摩擦角较大，粘聚力较小， 松散的砂性土和砾石内摩擦角较大 面近似平面，平面力学模型采用直线。 面近似平面，平面力学模型采用直线。 2.粘性土粘聚力较大，内摩擦角较小，破裂时滑动面为圆 粘性土粘聚力较大， 粘性土粘聚力较大 内摩擦角较小， 柱形、碗形，近似于圆曲面， 柱形、碗形，近似于圆曲面，平面力学模型采用圆弧
一、须做路基稳定性分析的路基类型： 须做路基稳定性分析的路基类型：
1、高路堤（陡坡路堤）； 、深路堑；3、浸水路基；4、软基上路堤 、高路堤（陡坡路堤）；2、深路堑； 、浸水路基； 、 ）；
二、方法： 方法：
1、工程地质类比法； 、工程地质类比法； 力学验算法： 2、力学验算法：
1）极限平衡法（安全系数法）--条分法（简单条分法、毕肖普法、传递系数法） 极限平衡法（安全系数法）--条分法（简单条分法、毕肖普法、传递系数法） 条分法 2）数值分析法（FEM,BEM,……） 数值分析法（FEM,BEM,……）
条分法的解
路基是一线型结构物，常沿路纵向截取1m进行稳定性分析，且不考虑 前后两竖直截面上的力（偏于安全），把路基作为平面问题来研究。 条分法是将滑动体用n-1个竖直面分为 n个条块。作用在任取条块上的力有： 1.已知的竖向力Wi（重力、车辆荷载）和水平力Qi（地震力）; 2.未知的条间力Fi（Ti、Ei）及滑动底面反力（Si、Ni） 假定各条块取同一安全系数Ks（即假设各条块 一起滑动）。 a d 5 4 3 2 1
（1）施工期稳定分析：采用cu、Φu（直剪快剪或三轴不排水剪） ）施工期稳定分析： （直剪快剪或三轴不排水剪） 直剪固结快剪或三轴固结不排水剪） （2）运营期稳定分析：新建路堤采用ccu、Φcu（直剪固结快剪或三轴固结不排水剪）; ）运营期稳定分析： 已建成路堤采用cu、Φu（直剪快剪或三轴不排水剪） （直剪快剪或三轴不排水剪）
高等有机化学第三章配合物在溶液中的稳定性
称为积
累稳定常数。
积累稳定常数的表示
M + L ML
M + 2L ML2
………..
M + nL MLn
ß 1＝
[ML] [M][L]
ß 2＝
[ML2] [M][L]2
ß n＝
[MLn] [ML][L]n
我们可以得出第i级积累稳定常数ß i与逐级稳 定常数之间的关系： ß i＝K1K2……Ki
S～C>I>Br>Cl>N>O>F
配离子的中心离子的性质、配体的性质以 Lewis酸碱分成硬的、交界的和软的酸碱。
硬碱中的价电子结合紧密(半径小)，软碱中的价电子容易被极化（半径大）。
（4）（9-17）e-构型的金属 离子(d1-9)
（3）（18+2）e-构型的金属离子(d10s2)
及中心离子与配体之间的相互作用有关。 根据这种反应的实质，可以把路易斯酸称作电子接受体或亲电试剂，而把路易斯碱叫作电子给予体或亲核试剂。
上式中的K 、K ….K 称为配离子的逐级稳定 或者说，软酸、软碱之所以称为软，是形象地表明他们较易变形，硬酸、硬碱之所以称为硬，是形象地表明他们不易变形。
1 2 Lewis酸碱分成硬的、交界的和软的酸碱。
如，卤素离子(碱)对Al3＋离子给电子能力为：
n
除去金属离子的性质外，配体的性质也直接影响配合物的稳定性。
n-1 n n 决定中心原子作为配合物形成体的能力的因素的主要有金属离子的电荷、半径及电子构型。
[ML ][L] ②含有价层未充满的原子的化合物，如BX3，AlX3；
n-1
显然，路易斯酸应该有空的价轨道，这种轨道可以是 轨道，也可以是 轨道。
（3）（18+2）e-构型的金属离子(d10s2)
累稳定常数。
积累稳定常数的表示
M + L ML
M + 2L ML2
………..
M + nL MLn
ß 1＝
[ML] [M][L]
ß 2＝
[ML2] [M][L]2
ß n＝
[MLn] [ML][L]n
我们可以得出第i级积累稳定常数ß i与逐级稳 定常数之间的关系： ß i＝K1K2……Ki
S～C>I>Br>Cl>N>O>F
配离子的中心离子的性质、配体的性质以 Lewis酸碱分成硬的、交界的和软的酸碱。
硬碱中的价电子结合紧密(半径小)，软碱中的价电子容易被极化（半径大）。
（4）（9-17）e-构型的金属 离子(d1-9)
（3）（18+2）e-构型的金属离子(d10s2)
及中心离子与配体之间的相互作用有关。 根据这种反应的实质，可以把路易斯酸称作电子接受体或亲电试剂，而把路易斯碱叫作电子给予体或亲核试剂。
上式中的K 、K ….K 称为配离子的逐级稳定 或者说，软酸、软碱之所以称为软，是形象地表明他们较易变形，硬酸、硬碱之所以称为硬，是形象地表明他们不易变形。
1 2 Lewis酸碱分成硬的、交界的和软的酸碱。
如，卤素离子(碱)对Al3＋离子给电子能力为：
n
除去金属离子的性质外，配体的性质也直接影响配合物的稳定性。
n-1 n n 决定中心原子作为配合物形成体的能力的因素的主要有金属离子的电荷、半径及电子构型。
[ML ][L] ②含有价层未充满的原子的化合物，如BX3，AlX3；
n-1
显然，路易斯酸应该有空的价轨道，这种轨道可以是 轨道，也可以是 轨道。
（3）（18+2）e-构型的金属离子(d10s2)
边坡稳定性分析
3. 假定条间剪力Ti与条间法向力Ei之间的关系
此类方法有Sarma法（I）、Sarma法（II）和Sarma法（III）。 Sarma法（I）可以考虑非垂直条块，假定条块界面上剪切强度具有相同的
调动程度，即
Ti hi ( Ei p wi ) tan avi cavi F
Sarma法（II）引入了一个比例系数
4. 假定条间力Ti的分布
此类方法有Correia法。该假定在整个滑体内，条间剪力为某种函数分布，即
红黏土
岩层面
岩层面
1:
1.
5
树林
<1> <3-W3> <3-W2> 锚索框架梁内植生袋护坡
2.00
<3-W3>
1: 1
1182.23
树林
2.00
<3-W2>
<2>
10.00 10.00
喷锚网护坡 种植爬山虎
1:
1
锚杆框架梁内植生袋护坡
0.80
1168.47
1167.07
白云岩
层:N70°W/20°SW(18.5°)
（3）根据边坡走向和倾向，再通过M
点做边坡投影DMD。 （4）根据边坡投影DMD，利用吴氏
网可求得坡面倾角为54°，此角即为
稳定坡角。
c.特殊情况一：
结构面走向与边坡走向成直交时，稳定坡角最大，为900。
d.特殊情况二：
结构面走向与边坡走向平行时，稳定坡角最小，结构面倾角即为稳定
坡角。
e.一般情况： 结构面走向与边坡走向斜交时，稳定坡角由结构面倾角α变到900。
垂直力
— 满足 满足
水平力
精品文档-自动控制原理与应用(第二版)(韩全立)-第3章
第3章 控制系统的时域分析法
图 3-6 稳定系统与不稳定系统 (a) 不稳定系统; (b) 稳定系统
第3章 控制系统的时域分析法
在自动控制系统中，造成系统不稳定的物理原因主要是系统 中存在惯性或延迟环节（如机械惯性、电动机电路的电磁惯性、 晶闸管的延迟、齿轮的间隙等），它们使系统中的信号产生时间 上的滞后，使输出信号在时间上较输入信号滞后了τ时间。 当 系统设有反馈环节时，又将这种在时间上滞后的信号反馈到输入 端，如图3-7所示。反馈量中出现了与输入量极性相同的部分， 该同极性的部分便具有正反馈的作用，使系统具备了不稳定的因 素。当滞后的相位过大，或系统放大倍数不适当（例如过大时）， 使正反馈的作用成为主导作用时，系统便会形成振荡而不稳定。 例如，当滞后的相位为180°时，在所有时间上都成了正反馈， 倘若系统的开环放大倍数又大于1， 则反馈量反馈到输入端，经 放大后，又会产生更大的输出， 如此循环， 即使输入量消失， 输出量的幅值也会愈来愈大， 形成增幅振荡，成为如图 3-6(a) 所示的不稳定状况。
它的数学表达式为
其拉氏变换为
1 t 0 1(t) 0 t 0
L[1(t)] L[1] 1 s
在时域分析中，阶跃信号用得最为广泛。如，实际应用中电源的
突然接通、负载的突变、指令的突然转换等均可近似看作阶跃信
号。
第3章 控制系统的时域分析法 图 3-1 单位阶跃信号
第3章 控制系统的时域分析法
中第一列元素均为正值，则系统所有的特征根均位于s左半平面 （所有特征根均具有负实部），相应的系统是稳定的。 否则， 系统是不稳定的，且第一列元素符号改变的次数等于特征方程正 实部根的个数。
例1
s4 2s3 3s2 4s 5 0
试用劳斯稳定判据判断该系统的稳定性。
第三章药物制剂稳定性
第三章 药物制剂稳定性目的:一、控制药物制剂的质量以保障病人用药安全和疗效的可靠性。
二、保证药物制剂质量的恒定。
要求：掌握药物制剂稳定性的意义、影响药物制剂稳定性因素及解决方法。
熟悉药物制剂稳定性的实验方法内容：介绍引起药物制剂降解的化学和微生物的因素以及用化学动力学原理进行加速制剂稳定性的研究和稳定性测定方法的研究。
第一节 概 述一、反应速度反应速度是指单位时间、单位体积中反应物下降的量，或产物生成量(即反应物成产物浓度的变化)。
假设反应物的初浓度为a(克分子／升)，经历t 时间后，反应了x(克分子／升)，其反应速度可用反应物浓度或生成物浓度表示： 或根据质量作用定律，反应速度与反应物浓度之间有下列关系，0adtx)-a d KC x -a K -==）（（ （1）其中，k 是反应速度常数，C 是t 时间反应物的浓度，n 是反应级数。
从上式可以看出，以反应物表示反应速度时，反应速度随着反应物浓度的减少而减小。
如果以降解产物表示反应速度，则有下式成立：dtdx KC =+ （2） 二、零级反应和假零级反应零级反应的反应速度与参加反应物的浓度无关，而与其它一些因素有关，例如光化 反应，其反应速度与光强度，表面状态及通过的电量等因素有关。
其反应速度方程为：－dc/dt=k 或 Dx/dt=k其积分式为：C-C 0=-kt （3） 或 x=kt （4） 式(3)和(4)中C 是反应物在t 时间的浓度，C 。
为开始时(t ＝o)反应物的浓度；k 是反应速度常数；x 是t 时间已反应了的药物量，或生成了的降解产物量。
零级反应的特征之一是以C —t 作图，呈线性关系，dt x a d )(--dtdx +零级反应的半衰期为： T 1/2=C 0/2K三、一级反应和假一级反应一级反应其反应速度仅与一个反应物浓度有关。
(v ＝KC)。
这种类型的反应，反应速度与反应物浓度的一次方成正比。
其数学表达式为：40℃ 50℃ 60℃ 70℃ 80℃－dCa/dt ＝kCaLgCa ＝－Kt/2.303＋lgC 0-(lnC 2-C 1)=k(t 1-t 2) 或 21122112lg ln K 303.2t -t 1CC t t C C -==CC t K 0lg 303.2=一级反应的半衰期为：50100303.2303.2lg lg 021K C C Kt ==Kt 693.02/1=一般情况下，制剂规定降解l0％的时间为有效期。
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(a0 0)
劳斯稳定判据：由特征方程所表征的线性系统稳
定的充要条件是劳斯表中第一列各值为正。
如果劳斯表第一列中出现小于零的数值，系统就
不稳定，且第一列各系数符号的改变次数，代表特征
方程的正实部根的数目。
例：设系统特征方程为 D(s) s 4 2s 3 3s 2 4s 5 0 试用劳斯表稳定判据判别该系统的稳定性。 解：根据该系统的特征方程可列出其列劳斯表如下：
1 3 2 3 20 6
3 7 6 0
6 0 0 0
第一列有两次符号变化，故系统不稳定，且有两个正实部的根。
(2) 劳斯表中出现全零行 表明在特征方程中存在一些绝对值相同但符号 相异的特征根。例如两个大小相等符号相反的实根和
(或)一对共轭纯虚根,或者是实部符号相异虚部数值相
同的一对共轭复根。
表中系数排列呈上三角形：第1行由特征方程的第 1，3，
5，…项系数组成；第2行由第2，4，6, …项系数组成；以后 各行的数值，需按劳斯表所示方法逐行计算，凡在运算过程中 出现的空位，均臵以零。这种过程一直进行到第n行为止，第
n+1行仅第一列有值，且正好等于特征方程最后一项系数an。
设线性系统特征方程 D(s) a0sn a1sn1 an1s an 0 则其劳斯表形式如下所示：
3.1 概述
3.1.6 指数稳定性
在许多工程应用中，只知道系统在无线时间之后 收敛于平衡点还是不够的，还需要顾及系统轨迹趋于 平衡点的速度。指数稳定性的概念由此而提出。 定义：如果存在两个正数a 和 ，使得
t 0,
x(t ) a x(0) e
t
在平衡点 xe 0 附近的某个球域s(r ) 内成立，则平衡点 是指数稳定的。 指数稳定系统的状态向量以快于指数函数的速度 收敛于平衡点。通常称正数 为指数收敛速率。
3 劳斯稳定判据的缺点
在线性系统中，劳斯判据主要用来判定系统
的稳定性，但使用时需注意如下事项：
①如果系统不稳定，则劳斯判据并不能直接
指出使系统稳定的方法；
②如果系统稳定，则劳斯判据也不能保证系
统具备满意的动态性能，即劳斯判据不能表明系
统特征根在s平面上相对于虚轴的距离；
4、劳斯稳定判据的应用 (1) 判别系统的稳定度，即系统的特征根是否全
• 3.5 李雅普诺夫函数的构造方法
3.1 概述
• 控制系统分析包括：稳定性分析、瞬态分析、稳态分析。判定系统稳定
性主要有两种方法：
1、基于对系统传递函数的极点分布的判别方法：只适用于线性定常系统。 传递函数的极点即是其分母多项式为零的代数方程的根。其中按代数方 法进行判别的为代数稳定判据，如劳斯稳定判据和霍尔维茨稳定判据； 按复变函数方法进行判别的有奈奎斯特稳定判据和对数频率稳定判据； 按图解方法通过研究极点随增益的变化关系来进行判别的为根轨迹法。 2、李亚普诺夫（Lyapunov）方法：它同时适用于线性系统和非线性系统， 定常系统和时变系统。可用于研究《运动稳定性的一般问题》 。
需求出全部特征根。对于高阶系统，求根工作
量很大，因此，希望使用一种间接判断的代替
方法。
劳斯和霍尔维茨分别于1877年和1895年独
立提出了系统稳定性的代数判据，以线性系统
特征方程的系数为依据。
1、劳斯判据
劳斯稳定判据为表格形式，劳斯表有n+1行和int(n/2+1) 列，int(· )为取整函数。
处理方法：
用全零行上面一行的系数构造辅助方程F(s)=0，并将辅助 方程对s求导，用所得导数方程的系数取代全零行的元素，便可 按劳斯稳定判据的要求继续运算下去，直到得出完整的劳斯计
算表。
例3-8 判断下述系统的稳定性 特征方程式： s6 s5 2s 4 3s3 7s 2 4s 4 0 解：劳斯阵列表： ①劳斯表第一列系数符 s6 1 2 7 4 号改变一次，故系统不稳 s5 1 3 4 0 定，且有一个正实部根。 4 s 1 3 4 ②如果求解辅助方程 3 s 0( 4) 0( 6) 0 F(s)=s4-3s2-4=0，则可以 2 s 1.5 4 求出产生全零行的特征方 s1 16.7 0 s0 4 程的根为：±2和±j。 4 2 ③倘若直接求解特征方 辅助方程 F (s) s 3s 4 0 求导 F (s) 4s3 6s 0 程，可得其特征根为： 构成新行 2; j; (1 j 3) / 2
劳斯表中第一列系数符号改变了两次，所以系统不
稳定，且系统有两个根在右半s平面。
2、劳斯稳定判据的特殊情况
(1) 劳斯表中某行的第一列项为零，而其余各项不为
零或不全为零 此时计算劳斯表下一行的第一个元素时，将出现
无穷大，使运用劳斯判据失效。 处理方法：
用因子(s+a)乘以原特征方程，其中a为任意正数，
在李亚普诺夫稳定性和渐进稳定性这两个 概念中，都表明了初始时刻的重要作用。实际
应用中需要的是，不管系统什么时候开始，系
统将具有某种一致性的特性。因而引出了一致 稳定性、一致渐进稳定性和全局一致渐进稳定 性的概念。稳定性中的一致性主要是真的非自 治系统。
3.2 稳定性判别方法
线性系统
劳斯-赫尔 维茨 根轨迹 奈奎斯特 波特图 李雅普诺夫
2
下图表示二阶系统
渐近稳定的平衡状态。
从工程意义上来讲，渐近稳定比稳定 更为重要。渐近稳定是一个局部的概念，通 常，只确定某一状态的渐近稳定性并不意味 着整个系统就能正常工作。因此，如何确定 渐近稳定的最大区域，并且尽可能扩大其范 围是尤其重要的。
x0
s( )
s(一个李雅普诺夫稳定但不是渐进稳定的平衡点为临界平衡点。
3.1 概述
3.1.7 不稳定性
如果对于某个实数
0 和任一实数 0 ，
不管 这个实数多么小，由 s ( )内出发的状态轨
线， 至少有一条轨线越过 s( ) ， 则称这种平衡状态
xe 不稳定。
x2
s( )
x0 xe
s( )
x1
3.1 概述
3.1.8 稳定性概念中的一致性
3.1 概述
3.1.2 李雅普诺夫意义下稳定
称系统 x f ( x, t ) 的孤立平衡状态xe在时刻t0 为李亚普诺夫意义下稳定，如果对于任给的 实数 0 都对应存在另一个依赖于 和t0的 实数( , t0 ) 0
使当
x0 xe ( , t0 )
时，从任意初态 x0 出发的解都满足
3.1 概述
注意1:稳定性分析一般针对孤立的平衡状态，而孤立的平
衡状态总可以通过坐标平移转化为状态空间原点， 所以在稳定性分析中，总是把平衡状态设为状态空 间的原点，即xe=0.(讨论稳定性时一般以原点为例)
注意2: 稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。
线性定常系统，由于只有唯一的一个孤立平衡 点（原点），所以才笼统地讲所谓的系统稳定 性问题。 对其他系统，则由于可能存在多个孤立平衡点， 而不同平衡点可能表现出不同的稳定性问题， 因此必须对平衡点进行逐个讨论。
稳定；若特征根中有一个或一个以上正实部根，则表
明系统不稳定；若特征根中有一个或一个以上零实部 根(其余均为负实部)，则响应趋于常数或趋于等幅正 弦振荡，系统为临界稳定状态。经典控制论中，仅渐 近稳定系统才称为稳定系统，否则为不稳定系统。
一、劳斯(Routh)稳定判据
根据线性系统稳定充要条件判别系统稳定性，
再对新的特征方程应用劳斯判据。
例如特征方程为
D(s) s 3 3s 2 0
其劳斯阵列表为
s3 s2 s1
1 3 0 2
处理方法：如用(s+3) 乘以上述的特征方程得
(s 3) D(s) s 4 3s3 3s 2 7s 6 0
劳斯阵列表为
s4 s3 s2 s1 s0
3.1.4 大范围渐近稳定 如果平衡状态 xe 是稳定的，而且从状态空间中
则称 所有初始状态出发的轨线都具有渐近稳定性， 这种平衡状态
xe 为大范围渐近稳定。
大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间只 有一个渐进稳定的平衡状态。(显然) 对于线性系统来说，如果平衡状态xe=0是渐近稳 定的则必然也是大范围渐近稳定的。(基于叠加原理)
第三章 稳定性理论
第三章 稳定性理论__主要内容
• • • • 3.1 3.2 3.3 3.4 概述 线性系统稳定性判据（部分） 稳定性判别方法综述 李雅普诺夫稳定性理论
–3.4.1 李雅普诺夫稳定性定理 –3.4.2 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 –3.4.3 李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用
3.1 概述
3.1.5 局部稳定和全局稳定
定义（全局渐进稳定性）：如果非线性系统的摸个平 衡点 xe 0是稳定的，且对于所有的 x0 Rn 都有：
lim x(t ) 0
t
那么称该平衡点是全局渐进稳定的。
在工程问题中，总希望系统具有大范围渐进稳定的特性。 如果平衡状态不是大范围渐进稳定的，那么问题就转化为确定 渐进稳定的最大范围或吸引域，这通常是非常困难的。实际应 用中，通常希望确定一个足够大的渐进稳定的吸引域，使扰动 不会超过它就达到目的了。
3.1 概述
3.1.1 稳定性的定义
稳定性是指系统受到扰动后其运动能保持在有限边界的区域内或回 复到原平衡状态的性能。稳定性分为有界输入-有界输出稳定性（外部稳 定）和状态稳定性（内部稳定）。 有界输入－有界输出稳定性：如果对应于每个有界的输入，系统的 输出均是有界的，就称系统是有界输入-有界输出稳定的，简称BIBO稳定。 一个向量信号称为有界，是指组成信号的每一个分量的函数值都为有限 值。 状态稳定性：如果充分小的初始扰动只引起系统偏离平衡状态的充 分小的受扰运动，则称系统是状态稳定的。如果当时间趋于无穷大时， 所有这些受扰运动均回复到原平衡状态，则称系统是渐近稳定的。如果 对任意初始扰动引起的受扰运动，系统都能随时间趋于无穷大而回复到 平衡状态，则称系统是全局或大范围渐近稳定的。