第三章 (3.3)控制系统的稳定性分析
线性系统的稳定性分析
第三章 线性系统的稳定性分析3.1 概述如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的。
否则，系统不稳定。
一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于工程实施的。
因此，稳定性问题是系统控制理论研究的一个重要课题。
对于线性系统而言，其响应总可以分解为零状态响应和零输入响应，因而人们习惯分别讨论这两种响应的稳定性，从而外部稳定性和内部稳定性的概念。
应用于线性定常系统的稳定性分析方法很多。
然而，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至是不可能的。
李雅普诺夫(A.M. Lyapunov)稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。
本章首先介绍外部稳定性和内部稳定性的概念及其相互关系，然后介绍李雅普诺夫稳定性的概念及其判别方法，最后介绍线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析。
虽然在非线性系统的稳定性问题中，Lyapunov 稳定性分析方法具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的。
技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。
在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。
3.2 外部稳定性与内部稳定性3.2.1 外部稳定：考虑一个线性因果系统，如果对一个有界输入u （t ），即满足条件：1()u t k ≤<∞的输入u （t ），所产生的输出y （t ）也是有界的，即使得下式成立：2()y t k ≤<∞则称此因果系统是外部稳定的，即BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定。
注意：在讨论外部稳定性的时候，我们必须要假定系统的初始条件为零，只有在这种假定下面，系统的输入—输出描述才是唯一的和有意义的。
系统外部稳定的判定准则系统的BIBO 稳定性可根据脉冲响应矩阵或者传递函数矩阵来进行判别。
a) 时变情况的判定准则对于零初始条件的线性时变系统，设(,)G t τ为脉冲响应矩阵，则系统BIBO 稳定的充要条件是，存在一个有限常数k ，使对于一切0[,),(,)t t G t τ∈∞的每一个元0(,)(1,2,.......;1,2,.....)(,)ij tij t g t i q j p g t d k τττ==≤<∞⎰有即，(,)G t τ是绝对可积的。
劳斯-霍尔维茨稳定性判据
第三章控制系统的时域分析法3.2 劳斯-霍尔维茨稳定性判据稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最基本的要求。
控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。
如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并随时间推移而发散，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。
因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是控制理论的基本任务之一。
常用的稳定性分析方法有：1. 劳斯－赫尔维茨（Routh－Hurwitz）判据：这是一种代数判据。
它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，来判断系统的稳定性.2. 根轨迹法：这是一种利用图解来系统特征根的方法。
它是以系统开环传递函数的某一参数为变量化出闭环系统的特征根在S平面的轨迹，从而全面了解闭环系统特征根随该参数的变化情况。
3. 奈魁斯特（Nyquist）判据：这是一种在复变函数理论基础上建立起来的方法。
它根据系统的开环频率特性确定闭环系统的稳定性，同样避免了求解闭环系统特征根的困难。
这一方法在工程上是得到了比较广泛的应用。
4. 李雅普诺夫方法上述几种方法主要适用于线性系统，而李雅普诺夫方法不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统。
该方法是根据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定性。
一、稳定性的概念稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。
考虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，我们施加一个很小的外力（扰动），圆锥体会稍微产生倾斜，外作用力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来的状态。
而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保持平衡，所以在受到任何极微小的外力（扰动）后，它就会倾倒，如果没有外力作用，就再也不能回到原来的状态。
因此，系统的稳定性定义为，系统在受到外作用力后，偏离了最初的工作点，而当外作用力消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的。
第三章_时域分析方法
第3章时域分析法基本要求3－1 时域分析基础3－2 一、二阶系统分析与计算3－3 系统稳定性分析3－4 稳态误差分析计算返回主目录基本要求1熟练掌握一、二阶系统的数学模型和阶跃响应的特点。
熟练计算性能指标和结构参数，特别是一阶系统和典型欠阻尼二阶系统动态性能的计算方法。
2了解一阶系统的脉冲响应和斜坡响应的特点。
3正确理解系统稳定性的概念，能熟练运用稳定性判据判定系统的稳定性并进行有关的参数计算、分析。
4正确理解稳态误差的概念，明确终值定理的应用条件。
5熟练掌握计算稳态误差的方法。
6掌握系统的型次和静态误差系数的概念。
控制系统的数学模型是分析、研究和设计控制系统的基础，经典控制论中三种分析（时域，根轨迹，频域）、研究和设计控制系统的方法，都是建立在这个基础上的。
3－1 时域分析基础一、时域分析法的特点它根据系统微分方程，通过拉氏变换，直接求出系统的时间响应。
依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统控制性能，并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。
这是一种直接方法，而且比较准确，可以提供系统时间响应的全部信息。
二、典型初始状态，典型外作用1. 典型初始状态通常规定控制系统的初始状态为零状态。
即在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状态。
2. 典型外作用①单位阶跃函数1(t)tf(t)⎩⎨⎧<≥==0t 00t 1)t (1)t (f 其拉氏变换为：s 1dt e 1)s (F )]t (f [L 0st===⎰∞-其数学表达式为：t②单位斜坡函数0t 0t 0t)t (1t )t (f <≥⎩⎨⎧=.=其拉氏变换为：2sts 1dt e t )s (F )]t (f [L ===⎰∞-f(t)其数学表达式为：③单位脉冲函数000)()(=≠⎩⎨⎧∞==t t t t f d 其数学表达式为：其拉氏变换为：1)()]([==s F t f L ⎰+∞∞-=1)(dt t d 定义：图中1代表了脉冲强度。
线性系统的稳定性分析
线性定常系统稳定的充分必要条件： 闭环系统特征方程的所有根都具有负 实部，或者说闭环传递函数的所有极 点均位于为S平面的左半部分（不包括 虚轴）。
提问
1. 为什么要把线性定常系统稳定性的问题单 独提出来？
2. 在前边求线性系统阶跃响应的解时不是已 经解决了吗？而且还给出了明确的结论，为 什么还要旧话重提？
物理意义上的稳定概念
A'
Af
f A
图a 摆运动示意图 （稳定系统）
图b 不稳定系统
d c
f A
图c 小范围稳定系统
数学意义上的稳定概念
根据上述稳定性的定义，可以用 (t)函数 作为扰动来讨论系统的稳定性。
设线性定常系统在初始条件为零时，输入 一个理想单位脉冲 ， (t这) 相当于系统在零平 衡状态下，受到一个扰动信号的作用，如果 当t趋于∞时，系统的输出响应c(t)收敛到原 来的零平衡状态，即
lim c(t) 0
t
该系统就是稳定的。
五种运动模态
q
r
c(t) ieit Akekkt sin(dkt k )
i 1
k 1
j
j
j
j
j
0
0
0
0
0
Amplitude Amplitude Amplitude Amplitude Amplitude
Impulse Response 1
0.9
2. 劳斯判据(由劳斯表判断系统的稳定性)
a0 s n a1s n1 an1s an 0
Sn
a0
a2
a4
a6
原 始
S n1
a1
a3
a5
a7
数 据
S n2
第3章第1-3节线性系统的稳定性及稳定判据
s1 s0
a n ,1
a n +1,1
14
2、劳斯稳定判据
线性系统稳定 劳斯表中第一列元素各值全部为正。 如果劳斯表第一列中的元素出现小于零的数值，则系统不稳定， 且第一列各元素符号的改变次数，等于特征方程的正实部根的数目。 例3-6 设系统特征方程为
s 4 + 2 s 3 + 3s 2 + 4 s + 5 = 0
sin( γ t + ϕ )
lim e βt sin(γt + ϕ ) = 0
t →∞
( β < 0) ( β > 0)
运动模态
lim e βt sin(γt + ϕ ) = ∞
3）重根：设 α 为q重根
t →∞
eαt ,
te α t , L t q −1e α t
lim t r eαt = 0
t →∞
2 0 0 （0）0 8
4 12 8
8
设： F ( s ) = 2 s 4＋8＝0 可以求出以原点对称的根为
−1 ± j ， 1 ± j
×
ε
64
1
Im
×
ε
1 -1
×
J.Z. Xiao, CEIE, HBU
s0
Re
8
-1 ×
第一列数值有两次符号变化，故本例 系统不稳定，且有两个正实部根。
20
二、劳斯稳定判据的应用
3 4 5
5
s3 s2
s1
s0
5
1 ai−2,1 ai−2, j＋1 aij = − ai−1,1 ai−1,1 ai−1, j+1
三阶非线性
3.3.3 三阶非线性控制系统一．实验要求1． 了解和掌握非线性控制系统重要特征—自激振荡，极限环的产生及性质。
2． 了解和掌握用描述函数法分析非线性控制系统的稳定性和自振荡的原理。
3． 观察和分析二种三阶非线性控制系统的相平面图。
二．实验原理及说明1． 非线性控制系统重要特征——自激振荡非线性控制系统在符合某种条件下，即使没有外界变化信号的作用，也能产生固有振幅和频率的稳定振荡，其振幅和频率由系统本身的特性所决定；如有外界扰动时，只要扰动的振幅在一定的范围内，这种振荡状态仍能恢复。
这种自振荡只与系统的结构参数有关，与初始条件无关。
对于非线性系统的稳定的自振荡，其振幅和频率是确定的，并且可以测量得到。
振幅可用负倒特性曲线-1/N(A)曲线的自变量A 的大小来确定，而振荡频率由线性部分的G （j ω）曲线的自变量ω来确定。
注：所得的振幅和频率是非线性环节的输入信号的振幅和频率，而不是系统的输出信号。
产生自振荡的条件为：1)()(=A N j G ω πω−=∠+∠)()(A N j G （3-3-20）产生自激振荡在三阶非线性控制系统中是常见的，因此在这里作详细说明。
注：线性控制系统虽能也能产生等幅振荡，但这是在临界稳定的情况下才能产生，一旦系统系数发生微小变化，这种临界状就将被破坏，振荡将消失。
2． 极限环的研究在非线性控制系统出现的自振荡现象，在相平面图中将会看到一条封闭曲线，即极限环。
极限环的类型有： ①．稳定的极限环当∞时，相轨迹从内部或外部卷向极限环。
②．不稳定的极限环当③．半稳定的极限环当轨迹卷离极限环。
在一些复杂的非线性控制系统中，有可能出现两个或两个以上的极限环。
3． 用描述函数法分析非线性控制系统 ⑴ 描述函数的定义非线性环节的描述函数的定义为非线性环节的输入正弦波信号与稳态输出的基波分量的复数比。
描述函数法是非线性控制系统的一种近似分析法。
主要是用来分析无外作用的情况下，非线性控制系统的稳定性和自振荡问题。
《自动控制原理》第三章 3-4 稳定性分析
第三章 线性系统的时域分析法
赫尔维茨稳定判据: 线性系统稳定的充要条件: i 0, i 1,2, n
能源与动力学院
第三章 线性系统的时域分析法
15
3. 劳思-赫尔维茨稳定判据…
例3 2 s 4 s 3 3s 2 5s 10 0
1 5 4 0 1 0 2
系统不稳定
0 5 3
0 0 0 10
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第三章 线性系统的时域分析法
11
1. 稳定性的基本概念
稳定性：扰动作用 偏离平衡状态 产生初始偏差 扰动消失 恢复到原平衡状态
例1. 单摆 例2. 曲面坡
大范围稳定 小范围稳定
稳定平衡点 不稳定平衡点
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第三章 线性系统的时域分析法
12
2. 线性系统稳定的充要条件
第三章 线性系统的时域分析法
3
重点回顾
R(s) E(s)
1
n s(s 2n )
2
C(s)
Td s
n s(s 2n )
2
R(s)
E (s )
C(s)
Kt s
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第三章 线性系统的时域分析法
4
重点回顾
主导极点: 如果在所有的闭环极点中，距虚轴 最近的极点周围没有闭环零点，而其他闭 环极点又远离虚轴，那么距虚轴最近的极 点在系统响应过程中起主导作用，这样的 闭环极点称为主导极点 非主导极点：除主导极点外的其他闭环极点
自动控制原理第三章
P75 二阶系统的 结构图
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2019/4/2
《自动控制原理》第三章
1、无阻尼情况 ( 0)
s 1 ct (t ) L [ 2 ] cos nt t 0 2 s n
等幅振 荡
特征方程有一对共轭虚根 s1,2 jn 2、欠阻尼情况 (0 1)
2019/4/2
《自动控制原理》第三章
7
三.劳斯稳定判据的应用
1、判断系统的稳定性 例: a3 s 3 a2 s 2 a1s a0 0 解:
判断稳定性。
s
3
a3 a2 a1a2 a3 a0 a2 a0
a1 a0 0
0 0
s2 s1 s
0
三阶系统稳定的充要条件是: ai
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瞬态ct (t ) e
ct (t )
t
T
, 稳态css (t ) 1(t )
css (t )
dc(t ) 1 e t /T dt t 0 T
c(t )
t 0
1 T
+
=
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《自动控制原理》第三章
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二.一阶系统的动态性能指标
c(t )
t 3T
(1 e
t /T
)
t 3T
1 e
3T /T
0.95
T0 T 1 K0
ts 3T
ts 是一阶系统的动态性能指标。
增大系统的开环放大系数K0 会使T 减小，使ts 减小。
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《自动控制原理》第三章
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第四节
二阶系统的动态性能指标
二阶标准型 或称典型二阶系 统传递函数
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(2) 劳斯表某一行全为零 ——说明特征方程存在绝对值相同、符号相异的根。 例如关于原点对称的实根和（或）一对共轭纯虚根， 和（或）对称于虚轴的两对共轭复根。 此时，系统必然是不稳定的。作如下处理： 利用前一行的系数构成辅助方程；其次数通 常为偶数，表明数值相同符号相反的根数； 将辅助方程式对s求导，然后将其系数代替 全为零的行，继续完成劳斯表； 解辅助方程，求出关于原点对称的根。
n
n 1
a2 s
n 2
a n 1 s a n
a2 1 a1 a 3 c1 b1 b1 b2 a3
sn s n 1 s
n2
a0 a1 b1
a2 a3 b2 c2 e2
a4 a5 b3 c3
a6 a7
s n 3 c1 s2 s1 s0 e1 f1
劳斯判据的推广和应用 劳斯判据的推广和应用
(1) 判断系统稳定的程度：所有根的实部到虚轴的距离。
j
S
S1 S
期望 稳定 区域
S S1
(2) 确定使系统稳定的特征参数的取值区间
0.025s 3 0.325s 2 s k 0 例：已知系统的特征方程：
判断使系统稳定的k值范围；如果要求特征值均位于
1 a0 b1 a1 a1
例：设系统特征方程为：
s
s s3 s
2 1 4
4
2 s 3s
3
2
4s 5 0
3 4 5 5
s s0
1 2 (4 6) 1 2 (1 0 4 ) 6 5
6
劳斯判据 劳斯判据
系统稳定的必要条件: 特征方程各项系数 全>0或全<0
练习1 已知系统的特征方程, 试用劳斯判据确定方程的 根在s平面上的分布。 s3-3s+2=0 有2个s右半平面特征根 练习2 已知系统的特征方程,试求所有的根。 s6 +2s5 +8s4+12s3+20s2+16s+16=0
s 1, 2 j 2 , s3, 4 j 2, s5, 6 1 j1
A0 An A1 C (s) s s s1 s sn
系统单位阶跃响应：
c(t ) A0 A1e s1t An e snt
稳定的系统其瞬态分量应均为零。
t→∞
lim esit→0
系统稳定的充分与必要条件： 系统所有特征根的实部小于零。
无论系统的特征根是互异实根、重
a0 s a1 0
a0 s a1s a2 0
2
3 2
a1,a0同号则系统稳定。 二次方程:
a2,a1,a0同号则系统稳定。 三次方程: a0 s a1 s a2 s a3 0
s3 s2 s
1
a0 a1 a 0 a 3 a1a 2 a1 a3
a2 a3
a0,a1,a2,a3均大于0, 且a1a2>a3a0,则系 统稳定。
例 判别系统的稳定性，并求所有的根。 5 4 3 2 s 3s 3s 9 s 4 s 12 0
由长除法或待定系数求得剩余的根。
练习1 已知系统的特征方程，试判断系统是否会出 现等幅振荡，若等幅振荡，求出振荡频率。 s3+2s2+s+2=0 2、已知系统的特征方程，试判断系统的稳定性。 s3+8s2+24s+100=0 3、已知系统的特征方程，试判断系统稳定的K的范围 s3+10s2+s+K=0
8
s0
劳斯判据的两种特殊情况 劳斯判据的两种特殊情况
(1) 劳斯表某一行左边第一个数为零，其余不为零
例
判别系统稳定性： s 3s s 3s 1 0
4 3 2
(3 1 3 1) (3 1 3 ) 3 0 3 3
符号变了两次，系统不稳定 系统有两个根在右半平面
第五节 控制系统的稳定性分析
一、系统稳定的充分与必要条件 二、劳斯稳定判据
一、系统稳定的充分必要条件 一、系统稳定的充分必要条件 系统传递函数的一般表达式：
nm
C ( s ) b0 s m b1s m 1 bm 1s bm (s) R ( s ) a0 s n a1s n 1 an 1s an
练习3
已知系统特征方程试确定正实部根的个数。
∵有纯虚根，∴劳斯表一定有零行
11 200 200 kz kz 30 30 k k s3 s2 6000-k 30kz s1 6000k-k2-900kz 零行的上两行一定成比例 s0 ∴辅助方程可变为:
练习：已知系统结构图如图(a)所示， （1）若将结构图等效为图(b)形式，试求出等效的 Gopen(s)；（2）试求使系统所有闭环特征根都位于s=-1 垂线之左的K的范围。
b4
g1
c4 劳斯表的特点： 1 a0 a4 1 a1 a 5 b2 c2 （1）一行中右移一位降两阶； a a b1 b1 b3 a1 1 5 （2）基于二阶行列式的相反数； 1 a0 a6 1 a1 a 7 （3）分母为行列式的左下角元素； c3 b3 b1 b1 b4 a1 a1 a 7 （4）行列式的第一列不动，第二列右移； （5）一行可以同时乘以或除以一个正数； （6）每两行元素个数相同。
系统输出拉氏变换：
m m 1
1 R( s) s
b0 s b1s bm 1s bm 1 C ( s) ( s) R( s) n n 1 a0 s a1s an 1s an s
A0 An A1 s s s1 s sn
s 1 垂线之左。问k值应如何调整？
劳斯判据的应用
已知特征方程为：s4+30s3+200s2+ks+kz=0 求产生纯虚根为±j1的z值和k值(k, z≠0)。
解： s4
30s2+k = 30+k =0 k = 30 于是有： 6000k-k2-900kz=0 代入左式得: 2 辅助方程: （6000-k)s +30kz=0 199 z = = 6.63 30s2 + k =0 30
有正有负一定不稳定!
s4 2s3 3s2 4s 5 0
s4 s s2 s1 0 s
3
1 2 1 6 5
3 4 5 0
5
缺项一定不稳定!
该系统不稳定 系统稳定的充分条件: 劳斯表第一列元素不变号! 有两个正实部根 若变号系统不稳定! 变号的次数为特征根在s右半平面的个数!
一次方程:
总 结
实根，还是共轭复根，系统稳定的 充要条件是所有根都具是不稳定的！
求得特征方程的根，再根据充要条件就可判断系 统的稳定性，但对于高阶系统，求根比较困难。
二、劳斯稳定判据 二、劳斯稳定判据
劳斯表或劳斯矩阵的列写，设系统特征方程为
a0 s a1 s