数学思想篇：二、方程思想
方程的思想
方程的思想：就是分析数学问题中变量间的关系，建立方程或方程组，通过解方程或方程组去分析、转化问题，使问题获得解决。
数学教学不仅是数学知识的教学，更重要的是数学思想方法的教学。
列方程解应用题的思路比较简单、思维难度小，可以使一些应用题化难为易（如鸡兔同笼问题），有明显的优越性，这对提高学生应用数学基础知识，解决简单的实际问题的能力，有积极作用。
列方程解应用题是代数知识的一个重要而具体的应用，是解答应用问题的一种基本的数学模式。
总之，方程的思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析，转化问题，使问题获得解决。
数形结合: 数形结合既是一个重要的数学思想，也是一种常用的解题策略。
一方面，许多数量关系的抽象概念和解析式，若赋予几何意义，往往变得非常直观形象；另一方面，一些图形的属性又可通过数量关系的研究，使得图形的性质更丰富、更精准、更深刻。
这种“数”与“形”的相互转换，相互渗透，不仅可以使一些题目的解决简捷明快，同时还可大大开拓我们的解题思路。
可以这样说，数形结合不仅是探求思路的“慧眼”，而且是深化思维的有力“杠杆”。
由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识。
因此，数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化。
数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而数学研究总是围绕着数与形进行的。
“数”就是方程、函数、不等式及表达式，代数中的一切内容；“形”就是图形、图象、曲线等。
数形结合的本质是数量关系决定了几何图形的性质，几何图形的性质反映了数量关系。
数形结合就是抓住数与形之间的内在联系，以“形”直观地表达数，以“数”精确地研究形。
华罗庚曾说：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。
”通过深入的观察、联想，由形思数，由数想形，利用图形的直观诱发直觉。
化归与转化：在教学研究中，使一种对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想称为转化思想。
(完整版)七种数学思想
第一：函数与方程思想(1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用（2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查第二：数形结合思想：（1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面（2）在一维空间,实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系数形结合中,选择、填空侧重突出考查数到形的转化,在解答题中,考虑推理论证严密性，突出形到数的转化第三：分类与整合思想(1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法（2）从具体出发，选取适当的分类标准（3)划分只是手段，分类研究才是目的(4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性（5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性第四:化归与转化思想（1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题,将未解决问题化归为已解决问题(2)灵活性、多样性，无统一模式,利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法(3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化第五：特殊与一般思想（1)通过对个例认识与研究,形成对事物的认识(2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程（4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程（5）高考以新增内容为素材,突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向第六：有限与无限的思想：（1)把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路（2)积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向（3)立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用（4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查第七：或然与必然的思想：（1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性(2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然（3)等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点。
初中数学中的数学思想
初中数学中的数学思想在初中数学的学习过程中，我们不仅仅是在掌握各种数学知识和解题技巧，更重要的是要领悟其中蕴含的数学思想。
数学思想是数学的灵魂，它能够帮助我们更深入地理解数学的本质，提高我们的思维能力和解决问题的能力。
一、转化思想转化思想是初中数学中最为常见和重要的思想之一。
它的核心在于将一个陌生的、复杂的问题转化为一个熟悉的、简单的问题，从而找到解决问题的方法。
比如，在求解一元二次方程时，我们会通过配方法、公式法等将其转化为一元一次方程来求解。
再比如，在计算图形的面积或体积时，我们常常会将不规则的图形转化为规则的图形，或者将一个复杂的图形分割成几个简单的图形来计算。
例如，求一个不规则四边形的面积，我们可以通过连接对角线，将其分割成两个三角形，然后分别计算两个三角形的面积，最后相加得到四边形的面积。
这种将不规则图形转化为规则图形的方法，就是转化思想的具体应用。
二、分类讨论思想分类讨论思想是根据问题的不同情况进行分类，然后分别对每一类情况进行讨论和求解。
在初中数学中，很多问题都需要用到分类讨论思想。
比如，在绝对值的计算中，需要根据绝对值内的值的正负情况进行分类讨论；在函数问题中，常常需要根据函数的单调性、定义域等进行分类讨论。
以等腰三角形为例，如果已知等腰三角形的两条边长分别为3 和6，求其周长。
这时就需要分类讨论，当腰长为 3 时，因为 3 ＋ 3 ＝ 6，不满足三角形两边之和大于第三边，所以这种情况不成立；当腰长为 6 时，三角形的周长为 6 ＋ 6 ＋ 3 ＝ 15。
三、方程思想方程思想是通过设未知数，根据题目中的等量关系列出方程，然后求解未知数。
方程思想在解决实际问题中非常有用。
比如，行程问题、工程问题、利润问题等都可以通过建立方程来解决。
假设一个工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成，两人合作需要多少天完成？我们可以设两人合作需要 x 天完成，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间，可以列出方程：（1/10 ＋1/15）x ＝ 1，然后解方程求出 x 的值。
方程思想
数学思想方法与新题型解析数学思想反映着数学概念、原理及规律的联系和本质，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活运用数学知识、技能、方法的关键。
在解综合题时，尤其需要用数学思想来统帅，分析、探求解题的思路，优化解题的过程，验证所得的结论。
在初中数学中最常用的数学思想有方程思想、数形结合思想、转化思想和分类讨论思想。
（一）方程思想在初中数学中，我们学习了许多类型的方程和方程组的解法。
例如，一元一次方程、一元二次方程，可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法，二元一次方程组、三元一次方程组的解法，以及二元二次方程组的解法等，所以我们如果能把实际问题或数学问题转化成解上述方程或方程组，问题就容易解决了。
所谓方程思想，就是从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，把问题中的已知量与未知量的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，然后利用方程的理论或方法，使问题得到解决。
用方程思想分析、处理问题，思路清晰，灵活、简便。
1. 方程思想的最基本观点——几个未知数，列几个独立的方程我们知道在一般情况下，几个未知数在几个独立的方程的制约下有确定的解。
在涉及数量关系的问题中，用这一基本思想来分析、处理，能较为容易地找到解题途径。
例1. 已知：x x 12、是关于x 的方程x x m 2220++=的两个实数根，且x x 12222-=，求m 的值。
分析：本题中涉及三个未知数x x m 12、、，需列出三个方程，题目中已给出了一个关于x x 12、的方程x x 12222-=，那么只需再找出两个关于x x 12、和m 的方程即可。
解法1 依题意，得∆=->+=-=-=⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪440222121221222m x x x x mx x ①②③④④②，得⑤②⑤，得把代入②，得÷-=-+=-=-=-x x x x x 121121323212∴==m x x 21234∴=±=±=->∴=±m m m m 3232440322又当时，为所求∆ 说明：一般地，有几个未知数，则需列几个方程。
数学思想有哪些
数学思想有哪些
数学常用的数学思想方法主要有：用字母表示数的思想,数形结合的思想,转化思想(化归思想)，分类思想，类比思想，函数的思想，方程的思想，无逼近思想等等。
1.用字母表示数的思想：这是基本的数学思想之一 .在代数第一册第二章“代数初步知识”中，主要体现了这种思想。
2.数形结合：是数学中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。
“数缺形时少直观，形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合的作用进行了高度的概括。
3.转化思想：在整个初中数学中，转化(化归)思想一直贯穿其中。
转化思想是把一个未知(待解决)的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决，如化繁为简、化难为易，化未知为已知，化高次为低次等，它是解决问题的一种最基本的思想,它是数学基本思想方法之一。
4.分类思想：有理数的分类、整式的分类、实数的分类、角的分类，三角形的分类、四边形的分类、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系等都是通过分类讨论的。
5.类比：类比推理在人们认识和改造客观世界的活动中具有重要意义.它能触类旁通，启发思考，不仅是解决日常生活中大量问题的基础，而且是进行科学研究和发明创造的有力工具.
6.函数的思想：辩证唯物主义认为，世界上一切事物都是处在运动、变化和发展的过程中，这就要求我们教学中重视函数的思想方法的教学。
7.方程：是初中代数的主要内容.初中阶段主要学习了几类方程和方程组的解法，在初中阶段就要形成方程的思想.所谓方程的思想，就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略，。
初中数学思想方法篇——方程思想
新梦想教育中高考名校冲刺教育中心【老师寄语：每天进步一点点，做最好的自己】解题思想之方程思想一、注解：所谓方程思想就是先分析问题中的未知元素（未知量）的个数，再寻找关于这些未知量的相应个数的方程，从而用解方程（组）的方法探求解题途径的思想。
解题过程通常是：首先，从整体上分析题意，确定未知量的个数；其次，适当选择一个或几个未知量用x （或y, z ……）表示，并弄清它（它们）与其他未知量的关系；再根据题设中的条件，列出方程（组），并求解。
二、 实例运用：1.在基本概念中的运用 【例1】单项式113a b a x y +--与23x y 是同类项，则a-b 的值为（ ） A 2 B 0 C -2 D 1 【例2】 若函数512+=+-m mmx y 是一次函数，且y 随x 的增大而减小，则m= 。
2. 在确定函数解析式中的运用 【例3】已知点P （2，-1）在双曲线ky x=（k ≠0）上，则k= 。
【例4】如图，一次函数y=kx+n 的图象与x 轴和y 轴分别相交于点A(6，0)，B （0，3AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，交AB 于点D 。
（1）试确定这个一次函数的解析式；（2）求过A ，B ，C 三点的抛物线的函数关系式。
3. 在列方程（组）中的运用【例5】已知某项工程由甲，乙两队共同完成需要12天，共需工程费用13800元，乙队单独完成这项工程所需的时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天，且甲队每天的工程费用比乙队多150元。
（1）求甲，乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？（2）若工程主管部门决定由这两个工程队之一单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应选择哪家工程队？请说明理由。
【例6】甲问乙今年多少岁？乙对甲说：“等你到我这样的岁数时，我已经是60岁的老头，而当我像你一样大时，你还是个6岁的顽童。
”则甲今年多少岁？4. 在几何计算中的运用【例7】如图，在河边有一座小山，从山顶A处测得河对岸观测点C的俯角为30°，河岸观测点D的俯角为45°，河宽CD为50米，现需从山顶到河对岸C点拉一条笔直的缆绳AC，求所需要的缆绳的长。
方程思想总结知识点
方程思想总结知识点方程作为数学中的重要概念，贯穿于数学的各个领域中，是数学研究的核心内容之一。
方程思想的内涵非常丰富，涉及多个领域和学科，广泛应用于自然科学、工程技术、经济管理等领域。
方程思想的研究，既是数学发展的重要方向，也是数学教育中重要的教学内容。
一、方程思想的概念和发展方程思想是指人们用字母或符号来表示未知数，并通过代数运算关系这些未知数的平等关系，在解决实际问题中用公式来表述已知和未知量之间的数量关系。
方程思想的萌发可以追溯到古代文明时期，比如，古希腊的毕达哥拉斯学派发现了勾股定理，从而得到了一元二次方程的解法。
中国古代的《九章算术》也提出了方程的解法，为方程思想的发展奠定了基础。
到了十七世纪，代数学的产生使方程思想真正得到了发展和深化。
代数学家文森特·Radon （Vincent Ranconte）在其著作《代数测量广义》中第一次提出了现代代数方程的概念。
这本书是对代数学的完整系统化的介绍，标志着方程思想作为独立学科的确立。
在此后的发展中，代数学成为了数学研究的核心内容之一，方程思想的研究也逐渐得到了发展。
二、方程思想的基本内容方程思想的基本内容包括了方程的基本概念、解方程的基本方法和方程应用三个方面。
1.方程的基本概念方程是指用字母或符号来表示未知量，并通过代数运算关系这些未知数的平等关系。
方程由等式构成，等式的左边称为方程的左式，等式的右边称为方程的右式。
一般地，一个代数式和0的关系式称为方程。
方程的特点：方程的特点是含有未知数，并且要求未知数满足特定的关系。
方程一般包括一个或多个未知数，并且未知数可以是实数、复数、矢量等。
2.解方程的基本方法解方程是方程思想的核心内容。
解方程的基本方法有方程的直接解法、消元法和代换法三种。
（1）方程的直接解法：方程的直接解法是指根据方程的特点，利用代数运算法则进行变形和化简，从而得到方程的解。
例如，对于一元一次方程ax+b=0，我们可以通过移项变形得到方程的解x=-b/a。
数学思想之——方程思想1
中考数学思想之：方程思想方程思想是一种极为重要的数学思想，是中考数学中必考基本数学思想之一。
方程思想就是一种思想意识，通俗地讲就是当你遇到无法求值的量，如线段的长度，角度等等涉及大小求值的时候，能够主动地设未知数（用字母表示），寻找等量关系，建立方程，通过解方程求出结果的一种思想意识。
通过下面一些题，看看你有没有建立起来方程思想吧。
1. 有甲、乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我1只，我的羊数就是你的羊数的两倍”．乙回答说：“最好还是把你的羊给我1只，我们的羊数就一样了。
问两个牧童各有几只羊？2. 下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm 时，这个六边形的周长为（）cm ．3. 如图，是一个长方形分成大小不等的6个小正方形，已知中间的最小的正方形的边长为1厘米，求这个长方形的面积多少？4. 古代河图，由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行，每一列以及每一对角线上的三个点图的点之和均相等，右图给出了部分，请推算出P 处所对应的点图是＿＿＿＿。
5. 如图3，正方形是由k 个相同的矩形组成，上下各有2个水平放置的矩形，中间竖放若干个矩形，则k= ________。
6. 把矩形ABCD 沿AE 对折，点B 刚好落在CD 边上，已知AD ＝6，AB ＝10，求BE 的长。
图37. 如图，测量塔的高度，在B 点测得塔顶A 的仰角为30°，向前走了30米到达D 点，测得塔顶A 的仰角为45°，求塔高AC 。
8. 有一个铁球，尺寸如图所示，求铁球的直径。
9. 如图，P 是⊙O 外一点，PA 是⊙O 的切线，A 是切点，PO 交⊙O 于B 点，PA ＝8，PB ＝4，求⊙O 的半径。
10. 有一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝6㎝，BC ＝8㎝，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 等于多少？A BEBD CA164E11. 王华同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部。
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数学思想篇：二、方程思想
【思想指导】
在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是通过设元，寻找已知与未知之
间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化，这种解决问题的
思想称为方程思想。
【范例讲析】：
1方程思想在几何中的应用
1.1基于几何定理的数量关系，利用方程解决所研究几何图形的数量关系
中学数学几何中的许多定理都蕴含了图形数量上的相等关系，例如常见勾股定理、垂径定理等。
在很多情况下，若能根据这些定理反映的数量关系，合理设出未知数并建立方程，可以从容解决问题。
例1.如图1，折叠矩形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB=8,
BC=10 ，求DE的长。
例2.如图2，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D。
（1）求证：AD平分BAC
∠；（2）若BE=2，BD=4，求⊙O的半径．
1.2对三角函数所体现的数量关系，借助方程思想解直角三角形
例3．如图3，某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60︒，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30︒，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB的高度为米.
2方程思想在代数中的应用
2.1整式与方程思想
在中学数学中，我们要接触许许多多的定义、性质、规律等理论性知识，那么这些知
识往往本身就直接或间接的体现着方程关系，如：单项式与同类二次根式的定义、不同类型的方程的定义、非负数的性质等。
例4．若n
m
m b
a3
2
2+与8
3
2b
a n-的和仍是一个单项式，则m与n的值分别是（）
（A）1，2 （B）2，1 （C）1，1 （D）1，3
例5．已知(221)(37)(37)(13)
x x x x
-----，可分解因式为(3)()
x a x b
++，其中a b
、均为整
数，则求3
a b
+=ab=。
2.2用方程思想解决实际问题
例6．小林准备如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个
正方形。
（1）要使这两个正方形的面积之和等于582
cm，小林该怎么剪？
（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于482
cm.”他的说法对吗？请说明理由。
2.3方程思想与函数的结合
方程与函数本身就有必然的联系，函数本身就可以看成一个方程，因此方程与函数有着相同的思路和解题方法，都是通过建立相等关系，求出未知数的值，因此函数问题的关键就是找出相等关系，建立变量之间的等量关系求解，要求对变量所涉及的相关知识要比较熟练，这是轻松求解函数问题的必要基础。
下面举两例说明方程思想在函数综合题里给我们带来意想不到的惊喜.
例7.如图4，已知抛物线2(0)
y ax bx c a
=++≠与x轴交于A(1，0)、B(4，0)两点，与y轴
交于C(0，2)，连接AC BC
、．
(1) 求抛物线解析式；
(2) BC的垂直平分线交抛物线于D、E两点，求直线DE的解析式；
(3) 若点P在抛物线的对称轴上，且∠CPB＝∠CAB，求出所有满足条件的P点坐标．
【优化训练】
1.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B=∠D；（2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长．
2． 2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．
3.如图，抛物线与x轴交于点(4,0)
B、C两点，其顶点为点(1,4)
A,连接AB．（1）求点C的坐标及抛物线的解析式；
（2）动点P Q
、分别从C B
、两点同时出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿CB BA
、向终点B A
、运动，问t为何值时，PBQ
∆是直角三角形；
（3）在y轴是否存在点M,使得ABM
∆是等腰三角形.若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。