方程的思想
高中数学常见解题思想方法——思想篇(高三适用)七、方程思想含解析
函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
题型涉及选择题、填空题、解答题，难度有大有小，且试题中的大部分压轴题都与函数方程有关。
本讲讲述其中的方程思想.可以说所有的习题中，凡是需要列等式来求解未知量的值,都需要方程，方程思想是一个宏观、抽象的思维,几乎遍布所有需要计算的习题中，接下来我们主要来看看，在高中数学习题中方程思想的应用.一、什么是方程思想方程的思想，就是从问题的数量关系入手，分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程、方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组,或运用方程的根等性质去解决问题。
函数思想是动态的变量关系，方程思想则是静态的等量关系，是动中求静，两者密切联系.体现方程思想的方法，主要包括待定系数法、换元法、转换法和构造方程等四个方面.二、方程思想在解题中的应用主要表现在四个层面: 1。
解方程，主要是指解一次、二次方程，指数、对数方程，三角方程，复数方程等;2.对含参数方程的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识应用；3。
转化为对方程的研究，如直线与二次曲线的位置关系等；4。
构造方程求解问题.例如一个常用的基本方法待定系数法,它的实质就是方程思想的应用.三、以下通过几种常见的问题，看一下方程思想的应用：1。
利用方程思想解决函数问题,函数式y＝f(x）可以看做二元方程y－f(x)＝0;对于函数y＝f(x），求f（x)的零点，就相当于求方程f(x)＝0的根；求两个函数图象的交点,可以通过联立方程组来求解.2。
利用方程思想来求函数的反函数，判别式法求函数的值域。
3.利用方程思想处理解析几何问题，例如直线和二次曲线的位置关系，需要通过联立方程组，化成一元二次方程,通过方程的根的个数，得到直线和二次曲线的位置关系.4.用于解决数列问题，例如已知等差数列的除首项外的某两项的值，可以利用通项公式列出关于首项和公差的方程组，来求解等差数列的相关问题.例:已知实数a，b，c成等差数列,a+1，b+1，c+4成等比数列，且a+b+c=15,求a，b，c.故1=cb=a或.=bca=11,=,8,5,5=,2-经验算，上述两组数符合题意。
方程思想的经验总结
方程思想的经验总结方程思想是解决实际问题中常用的数学方法之一，它是将问题归结为一个或多个未知量的关系，并通过代数运算和推理，求解出未知量的值的过程。
方程思想的经验总结如下：首先，要明确问题的具体情境和要求，抓住问题的关键点。
在解决实际问题时，我们需要把问题抽象成一个或多个未知量的关系式，这要求我们仔细理解问题的情境和要求，抓住问题的关键点。
只有深入理解问题，才能准确归纳出问题中的未知量，并将其表示为一个或多个方程式。
其次，要合理选择未知量和方程形式。
在确定未知量和方程形式时，我们需要考虑问题的特点，做出合理的选择。
一般来说，未知量应该是我们想要求解的问题的要素，可以是长度、面积、速度等。
方程的形式则应该符合问题的关系，可以是等式、不等式、比例等。
接下来，要进行代数运算和推理，化解方程。
在求解方程时，我们需要运用代数运算和推理的方法，化解方程。
一般来说，我们常用的代数运算有加减乘除、开方等。
推理方法有等式两边加减、乘除等式两边、等式两边开方等。
通过运用这些方法，我们可以逐步简化方程，并最终求解出未知量的值。
最后，要验证和解释解的合理性，检查解的可行性。
在完成方程的求解后，我们需要对所得到的解进行验证和解释，检查解的可行性。
对于有些问题，我们可能需要将解带入原方程或原问题进行验证。
如果解符合问题的要求，就说明解是正确的。
如果解不符合问题的要求，我们可能需要重新审视问题的情境和要求，找出解的不合理之处，并进行修正。
总之，方程思想是解决实际问题的重要数学方法之一。
在运用方程思想时，我们需要明确问题的具体情境和要求，合理选择未知量和方程形式，进行代数运算和推理，化解方程，并最终验证解的合理性。
只有通过不断实践和积累，我们才能更加熟练地运用方程思想解决各种实际问题。
方程思想
方程思想方程思想就是一种重要的数学思想。
所谓方程思想就是指从分析问题的数量关系入手,将问题中的已知量与未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组),然后通过解方程(组)使问题得到解决的思维方式。
用方程思想解题的关键就是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
一、掌握代数题构建方程模型的方法----A、用概念、定义B、公式C、基本的数量关系。
1、若单项式-3a2-m b与b n+1a2就是同类项,求代数式m2-(-3mn+3n2)+2n2的值2.关于x的方程0--xx-m m就是一元二次方程,则+3)3(12=m ;=3、直线y=2x+m与两坐标轴围成的三角形面积为5,则m=4、某书店老板去批发市场购买某种图书,第一次购书共用了100元,按该书定价2、8元并很快售完、由于该书畅销,第二次购书时,每本的批发价比第一次高0、5元,共用去了150元,所购图书数量比第一次多10本,当这批书按定价2、8元售出时,出现滞销,便以定价的5折售完剩余的图书,问:该老板第二次售书就是赔钱,还就是赚钱了? (不考虑其她因素)若赔钱,赔多少,若赚,赚多少?二、掌握几何题构建方程模型的方法1.如图,已知在RtΔABC中,∠C=90º,AD就是ΔABC的角平分线,点E在AB 上,DE∥CA,如果CD=12,BD=15,求AE、BE的长。
E分析:借助“勾股定理”与“相似图形对应线段成比例定理”,建立方程(组)。
2.如图,两个半径为r的等圆,互相外切且与直角三角形的三边内切,∠C=90°,AC=8,BC=6,求r。
DA B EC O O 分析:借助 建立方程。
3、如图,⊙O 的弦AB ⊥半径OE 于D,若AB=12,DE=2,则⊙O 的半径就是分析:借助 建立方程。
4、如图4,就是用8个完全相同的小长方形镶嵌而成的长方形图案。
已知该图案的宽为40cm,其中一个小长方形的面积为 。
方程思想
C
2、例：RT△ABC中，∠C=Rt∠,AC=6,BC=8, 则斜边AB上高线CD=24/5
B
8 10 A
6 A
3、如图△ABC中，D、E是AB、AC上的点， 且DE∥BC，若DE=2，BC=3，BD=1.则AD的 长=2.
D B E C
用方程思想解几何
面积不变性 相似性 勾股定理
方程与函数关系密切，方程 问题也可以转换为函数问题来求 解，反之亦然。函数与不等式也 能相互转化。
度娘曾云：
方程的思想，是对于一个问题用方程解决的应用， 也是对方程概念本质的认识，是分析数学问题中变量 间的等量关系，构建方程或方程组，或利用方程的性 质去分析、转换、解决问题。要善用方程和方程组观 点来观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动 中的等量关系。当一个问题可能与某个方程建立关联 时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这 个问题。
y=2x+10
y=5x+
3、二元一次方程（组）
例：一家电信公司给顾客提供上网费的两种计算方式： A以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；B除去收 月基费20元外再以每分钟0.05元的价格按上网时间 计费。上网时间为多少分钟，两种方式计费相等？ 解：设上网时间为x分钟，方式A的计费y=0.1x元；按 方式B的计费y=0.05x+20元。 在同一坐标系中分别画出这两个函数图象。
解析几何故名思意,就是能从几何中得到对应的方程. 这是数形结合. 就比方说老师有说过任何一个二元一次方程都能表 示一条直线吧,就这个道理. 然后代数方程是纯粹的方程,是与"数"对应. 方程思想大概就是这样
一、方程思想与函数
1、一元一次方程
例：一只豹子正在追赶一只羊，现在它的速度为5米/秒。为了能尽快追上， 其速度每秒增加2米，再过几秒它的速度为17米/秒？ 解：设速度为y（米/秒），时间为x（秒）,y为x的函数 y=2x+5 由 2x+5=17 得出 2x-12=0 画出图像，如图，看出直线y=2x-12与x轴的交点为（6,0），可得x=6.
方程的思想
方程的思想：就是分析数学问题中变量间的关系，建立方程或方程组，通过解方程或方程组去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程的教学是对方程概念的本质认识，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。
数学教学不仅是数学知识的教学，更重要的是数学思想方法的教学。
列方程解应用题的思路比较简单、顺畅，思维难度小，且解法划一，可以使一些应用题化难为易（特别是逆向思考的还原应用题和两步计算的和倍、差倍及分数应用题等），有明显的优越性，这对提高学生应用数学基础知识，解决简单的实际问题的能力，有积极作用。
列方程解应用题是代数知识的一个重要而具体的应用，是解答应用问题的一种基本的数学模式。
总之，方程的思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析，转化问题，使问题获得解决。
方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观念观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。
数形结合思想：把代数和几何相结合，例如对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答，这种方法在解析几何里最常用。
分类讨论思想：当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量的各种情况进行分类讨论。
比如解不等式|a-1|>4的时候，就要讨论a的取值情况。
转化归纳思想：把一个较复杂问题转化为另一个较简单的问题并且对其方法进行归纳渗透“方法”，了解“思想”。
教师要把握好渗透的契机，重视数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解决问题和规律的概括过程，使学生在这些过程中展开思维，从而发展他们的科学精神和创新意识，形成获取、发展新知识，运用新知识解决问题。
忽视或压缩这些过程，一味灌输知识的结论，就必然失去渗透数学思想、方法的一次次良机。
在渗透数学思想、方法的过程中，教师要精心设计、有机结合，要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学之中的种种数学思想方法，切忌生搬硬套，和盘托出，脱离实际等错误做法。
方程思想课件
在酸碱反应中，通过建立酸碱之间的方程，可以解Fra bibliotek酸碱中和的问 题。
配位反应
在配位反应中，通过建立配位体和中心离子之间的方程，可以解决 配合物的合成和性质等问题。
经济学问题
供需关系
通过建立供给和需求之间的方程，可以解决市场均衡和价格变动 的问题。
成本收益分析
通过建立成本和收益之间的方程，可以解决企业的经营决策问题。
解法
消元法、代入法、加减法。
例子
{x + y = 3, x - y = 1}。
一元二次方程
定义
只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的方程 。
解法
配方法、公式法、因式分解法。
例子
x^2 - 2x - 3 = 0。
分式方程
x/2 - 3 = 5x。
去分母、化为整式方程。
分母中含有未知数的方程 。
定义
解法
例子
根式方程
定义
01
含有根号的方程。
解法
02
化简根式、化为无根式或分式方程。
例子
03
√(x - 2) + 3 = x。
03
方程思想在数学中的应用
代数问题
03
代数方程
代数不等式
代数恒等式
通过设立代数方程，将问题中的未知数表 示为已知数的函数，从而求解未知数。
利用代数不等式的性质和变换，解决最优 化问题、不等式证明等。
通过建立力和加速度之间的方程，可以解决物 体运动的问题。
电磁学
在电磁学中，通过建立电场、磁场和电荷、电 流之间的方程，可以解决相关问题。
热力学
在热力学中，通过建立温度、压力和体积之间的方程，可以解决气体定律和热 传导等问题。
方程思想在初中数学中应用
课 改 前 沿都市家教 156笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。
我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的；不等式问题也与方程密切相关的。
方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解的思维方式。
有时，还实现函数与方程的互相转化。
这种思想在代数、几何中有着广泛的应用。
一、方程思想在代数中的应用1.方程思想与整式的结合【典例分析】若最简根式343b a b −+23226ab b b −+a,b.分析：利用同类二次根式的定义可以得到根指数相等和被开方数相等的信息。
从而列出一个关于a 、b 的二元一次方程组解得a 、b 。
2.方程思想与勾股定理的结合【典例分析】小宇手里有一张直角三角形纸片ABC ，他无意中将直角边AC 折叠了一下，恰好使AC 落在斜边AB 上，且C 点与E 点重合,（如图）小宇经过测量得知两直角边AC =6cm,BC =8cm,他想用所学知识求出CD 的长，你能帮他吗？B 分析：此题以△BED 为直角三角形作为隐含条件，先由勾股定理求得AB=10cm，设CD=x cm，则DE=x cm，在Rt △BED 中，借助勾股定理建立方程。
∵BD=(8-x )cm，BE=4cm，∴，解得x =3，即CD=3cm。
3.方程思想与函数的结合方程与函数本身就有必然的联系，函数本身就可以看成一个方程，因此方程与函数有着相同的思路和解题方法，都是通过建立相等关系，求出未知数的值，因此函数问题的关键就是找出相等关系，建立变量之间的等量关系求解，要求对变量所涉及的相关知识要比较熟练，这是轻松求解函数问题的必要基础。
【典例分析】如图，A、B 分别是x 轴上位于原点左右两侧的点，点P（2，p）在第一象限，直线PA 交y 轴于点C（0,2），直线PB 交y 轴于点D，△AOP 的面积为6；求△COP 的面积；求点A 的坐标及p 的值；△BOP 与△DOP 的面积相等，求直线BD 的函数解析式。
什么是方程思想总结
什么是方程思想总结方程思想是数学中的一种重要思维方式和解决问题的方法，它在数学中起到非常重要的作用。
方程思想主要是通过建立数学方程来描述问题，然后通过分析和求解方程来找到问题的解，从而解决实际问题。
方程思想凭借其简洁、系统的特点，使得解决复杂问题变得简单和有序，从而成为了数学中不可或缺的一部分。
方程思想的起源可以追溯到古代数学。
最早的方程思想可以追溯到埃及和巴比伦的古代文明，其解决实际问题的方法就是通过建立方程来计算数值，比如土地面积的计算等。
然而，真正系统地发展方程思想的是古希腊和古印度的数学家们。
古希腊数学家如毕达哥拉斯、欧几里得等人研究了一次方程、二次方程等基本的代数方程，并能够通过几何图形的解析来解决这些方程。
而古印度的数学家如阿耶拔多等人则更为深入地研究了高次方程，提出了解高次方程的方法，并能够通过代数表达来解决问题。
在欧洲文艺复兴时期，方程思想得到了进一步发展和推广。
文艺复兴时期的数学家通过对古代数学家的著作的研究和翻译，重新发现了古希腊和古印度的方程思想，将其引入到欧洲的数学界。
同时，他们还进一步推动和发展了方程思想，提出了更为复杂的方程解法，如将多项式方程转化为代数方程来解决问题。
这种发展使得方程思想在数学中的地位进一步得到巩固，并成为了解决实际问题的重要方法。
方程思想的发展得益于数学的理论进步和技术的发展。
随着数学的不断发展，方程思想的应用范围也得到了极大的扩展。
除了代数方程外，数学家们还研究了微分方程、偏微分方程等更为复杂的方程，并通过方程思想来解决这些问题。
这些方程的应用非常广泛，涉及到物理、工程、经济等多个领域。
比如在物理学中，方程思想被应用于描述物体的运动、电场、磁场等自然现象，从而可以通过解方程来预测和分析这些现象。
方程思想的发展也推动了数学的理论进步和方法革新。
方程思想的发展使得数学家们能够解决更为复杂的问题，同时也促进了数学理论的发展。
在方程思想的基础上，数学家们发展了更为深入和广泛的代数学理论，如群论、环论、域论等，进一步推动了数学的发展和应用。
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方程的思想：就是分析数学问题中变量间的关系，建立方程或方程组，通过解方程或方程组去分析、转化问题，使问题获得解决。
数学教学不仅是数学知识的教学，更重要的是数学思想方法的教学。
列方程解应用题的思路比较简单、思维难度小，可以使一些应用题化难为易（如鸡兔同笼问题），有明显的优越性，这对提高学生应用数学基础知识，解决简单的实际问题的能力，有积极作用。
列方程解应用题是代数知识的一个重要而具体的应用，是解答应用问题的一种基本的数学模式。
总之，方程的思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析，转化问题，使问题获得解决。
数形结合: 数形结合既是一个重要的数学思想，也是一种常用的解题策略。
一方面，许多数量关系的抽象概念和解析式，若赋予几何意义，往往变得非常直观形象；另一方面，一些图形的属性又可通过数量关系的研究，使得图形的性质更丰富、更精准、更深刻。
这种“数”与“形”的相互转换，相互渗透，不仅可以使一些题目的解决简捷明快，同时还可大大开拓我们的解题思路。
可以这样说，数形结合不仅是探求思路的“慧眼”，而且是深化思维的有力“杠杆”。
由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由
“数”到“形”的转化却需要转化的意识。
因此，数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化。
数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而数学研究总是围绕着数与形进行的。
“数”就是方程、函数、不等式及表达式，代数中的一切内容；“形”就是图形、图象、曲线等。
数形结合的本质是数量关系决定了几何图形的性质，几何图形的性质反映了数量关系。
数形结合就是抓住数与形之间的内在联系，以“形”直观地表达数，以“数”精确地研究形。
华罗庚曾说：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。
”通过深入的观察、联想，由形思数，由数想形，利用图形的直观诱发直觉。
化归与转化：在教学研究中，使一种对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想称为转化思想。
体现在数学解题中，就是将原问题进行变形，使之转化为我们所熟悉的或已解决的或易于解决的问题，就这一点来说，解题过程就是不断转化的过程。
化归与转化的一般原则是：①化归目标简单化原则；②和谐统一性原则（化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形、关系方面趋于统一的方向进行，使问题的条件与结论表现得更均匀和恰当。
）；③具体化原则；④标准形式化原则（将待解问题在形式上向该类问题的标准形式化归。
标准形式是指已经建立起来的数学模式。
化归与
转化的策略有：①已知与未知的转化（已知条件常含有丰富的内容，发掘其隐含条件，使已知条件朝着明朗化的方向转化，如综合法；对于一个未知的新问题，通过联想，寻找转化为已知的途径，或从结论人手进行转化，如分析法）。
②正面与反面的转化（在处理某一问题，按照习惯思维方式从正面思考而遇到困难，甚至不可能时，用逆向思维的方法去解决，往往能达到突破性的效果）。
③数与形的转化（数形结合其实质是将抽象的数学语言与直观的图形相结合，可以使许多概念和关系直观而形象，有利于解题途径的探求）。
④一般与特殊的转化。
⑤复杂与简单元的转化（把一个复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题来解决，这是数学解题的一条重要原则）。
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