方程思想及应用

目录摘要 (2)Abstract (3)引言 (3)1.方程思想的涵义 (4)1.1方程.............................................................................. 错误！未定义书签。

1.2方程思想 (5)1.3方程思想的步骤 (5)1.4方程思想的两个重要方面 (5)1.5方程思想是一种源于解决应用问题的思想 (6)2.方程思想的应用 (6)2.1方程思想数学学科中的应用 (9)2.2方程思想在物理学科中的应用 (9)2.3方程思想在配平化学方程式中的应用 (12)3.方程思想的学习和教学 (13)3.1方程思想的学习 (13)3.2方程思想的教学 (14)参考文献 (17)方程思想的应用与教学摘要:方程思想是一种重要的数学思想，是指在分析问题的数量关系时，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程(组)使问题得到解决的思维方式。

重点就是化未知为已知的思想，关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。

它在多门学科中都有广泛的应用，因此我们要让学生逐步掌握这种数学思想方法，就必须在数学教学中逐步进行有目的的引导和培养。

关键词：方程思想；应用；教学The Equation of the Application of the Thought and teachingAbstract：Equation thinking is a kind of important mathematical ideas, which means in its analysis of the question of the quantitative relationships, the issue of the known and unknown quantities of the quantitative relationships between the amount established by the appropriate setting element equation or equation group, and then solve the equation (group) so that the problems can be resolved by such a way of thinking. Focus on the translation of the unknown to the known, and the key is to use a known conditions or formula, theorem, known conclusions structure equations (group). It has a wide range of applications in several disciplines, and therefore we want to have the students gradually master this mathematical thinking, it must be in Math Teaching, step-by-step with the aim of the boot and training.Key Words: Equation thinking; Adhibition; Teaching引言数学家笛卡尔曾设想一个解决所有问题的通用方法：第一步：将任何问题转化为数学问题；第二步：将任何数学问题转化为代数问题；第三步：将任何代数问题化归为单个方程的求解；第四步：讨论方程（组）的问题，得到解之后再对解解释。

通用方法中所体现的方程观点就是笛卡尔模式。

这就是所谓的“万能方法”——方程思想。

方程的思想，是对于一个问题用方程解决的应用，也是对方程概念本质的认识，是分析数学问题中变量间的等量关系，构建方程或方程组，或利用方程的性质去分析、转换、解决问题。

要善用方程和方程组观点来观察处理问题。

方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。

当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。

在中学，方程知识贯穿于初一到高三各年级教材当中，涉及方程的有关概念、方程的解法、方程根与系数的关系、方程的化简和讨论及方程的应用。

学生特别是要学会从对问题的数量关系的分析入手，运用数学语言和数量关系转化为方程，从而使问题得以解决。

1.方程思想的涵义1.1方程方程是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，是含有未知数的等式（通常设未知数为x），通常在两者之间有一等号“=”。

方程不用按逆向思维思考，可直接列出等式并含有未知数。

它具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程等。

广泛应用于数学、物理等理科的运算。

1.2方程思想方程思想是分析实际问题中的数量关系，然后运用数学的符号化语言将这种数量关系抽象为方程模型，通过解方程或方程组，使问题得以解决的一种数学思想方法。

方程的思想，是对于一个问题用方程解决的应用，也是对方程概念本质的认识，是分析数学问题中变量间的等量关系，构建方程或方程组，或利用方程的性质去分析、转换、解决问题。

要善用方程和方程组观点来观察处理问题。

方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。

当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。

1.3方程思想的步骤方程思想在解决应用题时，就像万能钥匙是关键所在，特别在初一刚接触用方程在解决应用题时，大部分同学都感觉无所适从，不知所措，其实，解决应用题规律也有一定步骤，如下：分析实际问题建立方程模型解方程解问题1.4方程思想的两个重要方面在了解了方程思想的步骤后，还要有必要了解一下方程思想的两个重要方面。

第一，建模思想：用符号将相互等价的两件事情联结，等号的左右两边等价。

第二，化归思想：高次化归为低次；在具体化归过程中有加减消元化归和代入消元化归两种方式。

1.5方程思想是一种源于解决应用问题的思想方程这个名词，最早见于我国古代算书《九章算术》，书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分为九章，“方程”是其中的一章．我国古代数学家刘徽注释《九章算术》说，“程，课程也．二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这里所谓“如物数程之”，是指有几个未知数就必须列出几个等式．一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程，故方程思想是一种源于解决应用问题的思想。

具体表现为：首先，问题中的数量关系可用等式“直观”表示。

其次，实际问题归结为解方程。

最后，方程的解法理论：未知量与已知量地位同等，可以参加运算；方程是用不同的方式表示同一个量的条件等式；方程根据平衡原理，进行同解变形。

2.方程思想的应用在中学，方程知识贯穿于初一到高三各年级教材当中，涉及方程的有关概念、方程的解法、方程根与系数的关系、方程的化简和讨论及方程的应用。

学生特别是要学会从对问题的数量关系的分析入手，运用数学语言和数量关系转化为方程，从而使问题得以解决。

2.1方程思想数学学科中的应用方程思想是中学数学最常用的思想方法之一，随处可见。

2.1.1方程思想在应用题问题中的应用今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问：鸡兔各几何？解：设有x只鸡头，y只兔头，根据题意得：解得：12;23==yx35 2494 x yx y+=⎧⎨+=⎩答：鸡有23只，兔有12只。

2.1.2方程思想在解等腰三角形问题时的应用初二时，我们学习了有关等腰三角形的定理与规律及在实际生活中的应用，下面是方程思想在解等腰三角形问题时的应用的例子。

例:如图，在△ABC 中，AB=AC,点D 在AC 边上，且BD=BC=AD 求∠A 的大小 解：因为AB=AC ，故∠ABC=∠C.又因BD=BC,故∠BDC=∠C.而BD=AD,故∠A=∠ABD.如果设∠A=0x ,则∠ABC=0x DC=∠A+∠ABD= 20x .所以∠C=∠BDC=20x∠ABC=∠C =20x在△ABC 中，∠A+∠ABC+∠C=0180, 则 22180x x x ++=,解得x =36.2.1.3方程思想在求函数值域时的应用函数问题常以与其他知识点相结合的综合题形式出现，而函数的值域问题却是联系各种知识点的纽带。

求函数值域的方法很多，其中，利用方程思想来求函数值域是一种常用的方法。

例：求函数 的值域。

222 (2)(1)00(2)-4(1)340-10-2yx y x y y y y y y y y x y +-+-=≠∆=--=-+≥≤≤==-≤≤解：变形得，此方程有实数解；当时，有即当时，有，故2.1.4方程思想在相似三角形中的应用只要你掌握了方程思想的精髓，有关相似三角形的求边长问题便可迎刃而解。

例：如图，在△ABC 中，DE ∥BC,DE=2，BC=4，AD=3，求AB 长 解：因为DE ∥BC 所以△ADE ∽△ABC ，所以 即 CB 2211x y x x +=++DE AD BC AB =23=3AB 339=22AB ⨯=2.1.5方程思想在空间向量中的应用例：点A （1,0,0）,B(0,1,0), C （0,0,1），求平面ABC 的法向量( 1 0 0 ( 0 1 0 ( 0 0 1 (-1 , 1 , 0 )A B C AB ABC n x y z ==解：由，，），，，），，，），知）；设平面的一个法向量为（，，，则：即即 所以平面ABC 的一个法向量可以是（1,1,1）；x y z ==。

2.1.6方程思想在立体几何中的应用 例：如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB=1，BC=a,(a>0),PA ⊥平面ABCD ，且PA=1，问BC 边上是否存在点Q,使得PQ ⊥QD ，并说明理由；QD AQ AQ，从而有AD QD ：理知根据三垂线定理的逆定平面ABCD，PA QD，连接AQ，因为在点Q，使得PQ 解析：假设BC边上存 222+=⊥⊥⊥ 设x CQ =，则x a BQ -=，于是22)(1x a AQ -+=，21x CQ +=2222222222)(a a ax x x x a AD =++-=++-=，即012=+-ax x ，其判别式0x y x z -+=⎧⎨-+=⎩00n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩)2)(2(+-=∆a a 。

当2>a 即0>∆时，方程有两解，即QD PQ Q BC ⊥，使得边上不存在点 ;当;, 02QD PQ Q BC a ⊥=∆=使得边上存在一个点时，方程有一解，即即当。