勾股定理运用中的方程思想
勾股定理
第1讲勾股定理第一部分知识梳理1．勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
若直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，则a²+b²=c²。
2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
3．满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。
若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck（k为正整数）也必然是一组勾股数。
常用的几组勾股数有3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,40,41等。
4．勾股定理的应用:①圆柱形物体表面上的两点间的最短距离；②长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题。
5．直角三角形的判别：①定义，判断一个三角形中有一个角是直角；②根据勾股定理的逆定理，三角形一边的平方等于另外两边的平方和，则该三角形是直角三角形。
6．勾股定理中的方程思想：勾股定理三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．对于一些几何问题，往往借助于勾股定理，利用代数方法来解决．把一条边的长设为未知数，根据勾股定理列出方程，解方程求出未知数的值，即使有时出现了二次方程，大多可通过抵消而去掉二次项。
7．勾股定理中的转化思想：在利用勾股定理计算时，常先利用转化的数学思想构造出直角三角形，比如立体图形上两点之间的最短距离的求解，解答时先把立体图形转化为平面图形，在平面图形中构造直角三角形求解。
8．拓展：特殊角的直角三角形相关性质定理。
第二部分精讲点拨考点1. 勾股定理【例1】在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为变式1 等腰三角形的两边长为10和12，则周长为______，底边上的高是________，面积是_________。
变式2 等边三角形的边长为6，则它的高是________变式3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，（1）已知c＝4，b＝3，求a；（2）若a:b=3:4，c=10cm，求a、b。
公开课-勾股定理中的方程思想
《勾股定理中的方程思想》教学设计
（七）作业布置.（多媒体课件11和12）1、、有一根高为16米的电线杆在点A 处断裂，电线杆顶部C落到离电线杆底部B点8米远的地方，求电线杆的断裂处A离地面的距离。
2、在一棵树BD的5m高A处有两只小猴子，其中一只猴子爬到树顶D后跳到离树10m的地面C处，另外一只猴子爬下树后恰好也走到地面C处，如果两个猴子经过的距离相等，
问这棵树有多高？
小溪边长着两棵树，恰好隔岸相望，一棵树高30尺，另外一棵树高20尺；
两棵树干间的距离是50尺，每棵树
上都停着一只鸟，忽然两只鸟同时
看到两树间水面上游出一条鱼，它
们立刻以同样的速度飞去抓鱼，结
果同时到达目标。
问这条鱼出现在
两树之间的何处？学案上完成
加强知识的应用。
巩固知
识。
勾股定理解方程
勾股定理解方程
勾股定理解方程是数学中的一个经典问题，其主要思想是利用勾股定理来解决方程的求解问题。
勾股定理指出，在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
换句话说，如果三角形的直角边长度分别为 a 和 b，斜边长度为 c，那么有:
a2 + b2 = c2
这是一个关于 c 的二次方程，可以使用勾股定理解方程方法来解决。
具体来说，可以将方程变形为:
c2 = a2 + b2 - 2ab cosC
其中 C 是直角三角形的斜边与一条直角边之间的角度差，即 C =
arctan(b/a)。
然后将方程两边同时除以 a2 + b2，得到:
c = sqrt(a2 + b2) / (a2 + b2)
这意味着，如果我们有一个二次方程，其根为 c，那么我们可以使用勾股定理解方程方法来求解 c 的值。
例如，考虑以下方程:
x2 + 2x + 1 = 0
这个方程有一个解为 x = 1，我们可以使用勾股定理解方程方法来解决: c2 = x2 + 2x + 1
c2 = 1 + 2 + 1
c2 = 5
因此，c 的值为 sqrt(5)。
勾股定理解方程方法的主要思想是利用勾股定理将方程转化为一个关于 c
的二次方程，然后求解 c 的值。
这种方法可以用于解决许多不同类型的方程，特别是在解决线性方程组时非常有用。
巧用方程思想与勾股定理解决折叠问题
巧用方程思想与勾股定理解决折叠问题【内容提要】：数学思想是数学的灵魂，任何数学问题的解决都是数学思想作用的结果，因此正确理解和掌握数学思想是数学学习的关键。
今天所说的方程思想就是一种十分重要的数学思想。
本文对初中数学中方程思想在勾股定理中的应用作了探讨，并结合具体案例说明了方程的思想与勾股定理解决折叠问题的应用。
关键词：方程思想；勾股定理；折叠问题；方程思想在勾股定理中的应用案例一、方程思想是什么呢？从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。
通过方程里面的已知量求出未知量的过程就是解方程，用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
二、勾股定理与方程思想的地位与作用勾股定理是几何中最重要的定理之一，它也是直角三角形的一条重要性质，同时由勾股定理及其逆定理，能够把形的特征转化成数量关系，它把形与数密切地联系起来，因此，它在理论上也有重要地位。
方程思想是初中数学中一种基本的数学思想方法，方程可以清晰的反应已知量和未知量之间的关系，架起沟通已知量和未知量的桥梁。
利用勾股定理作为相等关系建立方程可以解决许多相关问题。
三、初中数学中的折叠问题折叠问题（对称问题）在三大图形变换中是比较重要的，折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果。
折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用.在初中数学中经常涉及到折叠的典型问题，只要从中抽象出基本图形的基本规律，就能找到解决这类问题的常规方法。
1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换，折叠重合部分一定全等。
2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等。
勾股定理中的方程思想(解析版)
勾股定理中的方程思想在直角三角形中，如果已知两边的长，利用勾股定理就可以求出第三边的长；如果已知一条边长及另外两边的数量关系，可以考虑利用方程思想解决。
一、选择题1、一直角三角形的斜边长比一直角边大2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ）．A. 8B. 10C. 12D. 14答案：B解答：设斜边为x ，则x 2=（x -2）2+62，得到x =10．所以答案为B.2、已知直角三角形的斜边为2，周长为．则其面积是（ ）．A. 12B. 1C.D. 2答案：A解答：设两直角边分别为：a ，b ，斜边为c ，∵直角三角形的斜边为2，周长为，∴a +b ，∵（a +b ）2=a 2+b 2+2ab =c 2+2ab =4+2ab =6，∴ab =1，∵三角形有面积=12ab =12． 二、填空题3、在Rt △ABC 中，∠C =90°，c =20，a :b =3:4，则a =______，b =______．答案：12；16解答：设a =3x ，b =4x ，则c =5x ，又∵c =20，即5x =20，∴x =4，∴a =3x =12，b =4x =16．4、在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，若a+c=32，a:c=3:5，则△ABC的面积为______．答案：96解答：设a=3x，c=5x，则由勾股定理知b=4x．又a+c=8x=32，∴x=4．∴a=12，b=16．∴S△ABC =12ab=96．5、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8，BC=4，斜边AC的垂直平分线分别交AB、AC于点E、O，连接CE，则BE的长为______．答案：3解答：∵OE是AC的垂直平分线，∴CE=AE，∴AB=BE+AE=BE+CE，设CE=x，则BE=8-x，在Rt△BCE中，CE2=BC2+BE2即x2=42+（8-x）2，解得x=5．BE=8-5=3．6、如图：在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是______．答案：3解答：如图，连接CE，设DE=x，则AE=8-x，∵OE⊥AC，且点O是AC的中点，∴OE是AC的垂直平分线，∴CE=AE=8-x，在Rt△CDE中，x2+42=（8-x）2解得x=3，∴DE的长是3．故答案为：3．7、如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DA⊥AB，AD=1，BD，则BC的长为______．答案：17 8解答：在Rt△ABD中，由勾股定理可知，AD=1，BD，AB=4．设BC=CD=x，AC=4-x，由勾股可知12+（4-x）2=x2，解得x=178．三、解答题8、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，BC=5，CD=BD，求AD的长度．答案：7 8解答：在RtΔABC中，AB2+AC2=BC2∴AC=3设AD=x，则BD=AB-AD=4-x∴CD=BD=4-x在RtΔACD中，AD2+AC2=CD2∴32+x2=（4-x）2，解得x=7 8∴AD=7 89、如图，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=6，BC=4，求BD的长．答案：BD．解答：设BD=x，则AD=2x．在Rt△ACD中，AC2-AD2=CD2．∴AC2-AD2=BC2-BD2．62-（2x）2=42-x2．∴x=3．∴BD．10、如图，在△ABC中，∠A=45°，AC AB，求BC的长．答案：BC=2．解答：作CD⊥AB于点D，∵∠A=45°，AC，∠ACD=45°，设AD=x，则CD=x，由勾股定理得2x2=2．x=1，∵AB，∴BD在Rt△BCD中，BC2=BD2+CD2，∴BC．11、△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．（1）若a:b=3:4，c=25，求a，b．（2）若c-a=4，b=12，求a，c．答案：（1）a=15，b=20（2）a=16，c=20．解答：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a:b=3:4，∴设a=3x，则b=4x．∵a2+b2=c2，即（3x）2+（4x）2=252，解得x=5，∴a=3x=15，b=4x=20（2）∵△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c∴a2+b2=c2，∵c-a=4，b=12，∴a2+144=（a+4）2，解得：a=16，∴c=20．12、如图，△ABC中，AB=AC，D是AC边上的一点，CD=1，BC BD=2．（1）求证：△BCD是直角三角形．（2）求△ABC的面积．答案：（1）证明见解答．（2）52．解答：（1）在△BCD中，CD=1，BC BD=2，∵12+22=2，∴CD2+BD2=BC2，∴△BCD是直角三角形．（2）设AD=x，则AC=x+1，∵AB=AC，∴AB=x+1，∵∠BDC=90°，∴∠ADB=90°，∴AB2=AD2+BD2，即（x+1）2=x2+22，解得：x=32，∴AC=32+1=52，∴S△ABC=12 AC·BD=12×52×2=52．13、根据条件求三角形面积．（1）已知钝角三角形的三边长分别为2、3、4，求该三角形的面积．（2）已知锐角三角形的三边长分别为5、7、8，求该三角形的面积．答案：（1）4．（2）解答：（1）过点B 作AC 边上的高BD ，令AD =x ，∴BD 2+DA 2=AB 2，BD 2+DC 2=BC 2，∴AB 2-DA 2=BC 2-DC 2，即9-x 2=16-（x +2）2，解得x =34． ∴BD 2=AB 2-DA 2，∴BD ，∴S △ABC =·2AC BD =4． （2）过点A 作BC 边上的高AD ，设BD =x ，∴BD 2+AD 2=AB 2，CD 2+AD 2=AC 2，∴AB 2-BD 2=AC 2-CD 2，即25-x 2=49-（8-x ）2，解得x =52，即BD =52，∴AD 2=AB 2-BD 2=25-254=754，∴AD∴S △ABC =·2AD BC ． 14、如图，已知等腰三角形ABC 中，底边BC =10，D 为AB 上一点，且CD =8，BD =6，求△ABC 的周长．答案：803． 解答：由BC =10，CD =8，BD =6，所以BC 2=CD 2+BD 2，即△BCD 为Rt △，所以CD ⊥AB ，又因为AB =AC ，设AB =AC =x ，在Rt △ACD 中AD =x -6，AC =x ，CD =8，所以AC 2=AD 2+DC 2即x 2=82+（x -6）2，解得x =253， △ABC 周长=2AB +BC =503+10=803． 15、如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =10，D 为AB 上一点，CD =8，BD =6．（1）求证：∠CDB =90°；（2）求AC 的长．答案：（1）证明见解答．（2）253．解答：（1）在△ABC中，BD2+CD2=62+82=100，BC2=102=100．∴BD2+CD2=BC2．∴△BCD是直角三角形∠CDB=90°．（2）设AD=x，则AC=AB=6+x，由（1）可知∠CDB=90°．∴∠CDA=90°．在Rt△CDA中，AD2+CD2=AC2．∴x2+82=（6+x）2．∴x=73．∴AC=6+x=253．16、如图，已知等腰△ABC的底边BC=20 cm，D是腰AB上一点，且CD=16 cm，BD=12 cm，求△ABC的周长．答案：1603cm．解答：由勾股定理逆定理得，△BCD是直角三角形．在△ACD中，应用勾股定理，设AC=x，x2-（x-12）2=162代入数值得，x=503．所以△ABC的周长=503×2+20=1603cm．17、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，CD=32，BD=52，求AC的长．答案：3．解答：过D 作DE ⊥AB ，∵AD 平分∠CAB ，∴CD =DE =32， ∵BD =52， ∴由勾股定理得BE =2，设AC =x ，则AB =x +2，在Rt △ABC 由勾股定理得：x 2+16=（x +2）2，解得x =3，∴AC =3．18、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，∠CAB 的平分线AD 与BC 相交于点D ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ．（1）求BE 的长．（2）求CD 的长．答案：（1）4．（2）CD =3．解答：（1）∵AD 平分∠CAB ，∠C =90°，DE ⊥AB ，∴DC =DE ，在Rt △ACD 和Rt △AED 中，AD AD DC DE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ），∴AC =AE ．∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴在Rt△ABC中，AB，∴AE=6，BE=AB-AE=4．（2）设CD=x，则DE=x，BD=8-x，在Rt△BDE中，DE2+BE2=BD2，x2+42=（8-x）2，解得x=3，∴CD=3．19、如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC边上的高AD．答案：12．解答：设BD为x，则CD=14-x，∵AD为△ABC的高，∴在Rt△ABD中，AB2-BD2=AD2，在Rt△ACD中，AC2-CD2=AD2，∴AB2-BD2=AC2-CD2．即152-x2=132-（14-x）2，解得：x=9．∴CD=14-x=14-9=5．∴在Rt△ABD中，AD=12．20、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=20，BC=15，点D为AC边上的动点，点D 从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，设点D运动的时间为t秒，速度为每秒2个单位长度．（1）若△CBD是直角三角形，求t的值．（2）若△CBD是等腰三角形，求t的值．答案：（1）t=4.5s或t=12.5s．（2）7.5s，9s或6.25s．解答：（1）当∠CDB=90°时，△CBD是直角三角形，CD=2t，AC，故AD=25-2t．∵BD⊥AC，∴BC2-CD2=BD2=AB2-AD2，即152-（2t）2=202-（25-2t）2，100t=450，t=4.5s．当∠CBD=90°时，△CBD是直角三角形，此时D与A重合，∴CD=25=2t，t=12.5s，综上所述，t=4.5s或t=12.5s．（2）当BC=CD时，即15=2t，解得t=7.5s，当BC=BD时，取CD中点E，连接BE．∵BC=BD，∴BE⊥AC，∴BE=12，∴CE=9，∴CD=2CE=18=2t，即t=9s．当CD=BD时，过B点作BF⊥AC于F点．∵CD=BD=2t，BF=12，CE=9，∴DF=2t-9，在Rt△BDF中，BF2+DF2=BD2，即122+（2t-9）2=（2t）2t=6.25s，综上所述，t的值为7.5s，9s或6.25s．。
方程思想在勾股定理中的应用
第十六章 勾股定理课题：勾股定理的方程思想年级：八年级 学科 ：数学 执笔：王文玉 审核：数学组学习目标： 根据勾股定理列方程，体会方程的思想方法学习重难点：对于复杂题目学会条件转化，列出方程一.学前准备：1.叙述勾股定理的内容：______________________________________________2．在Rt △ABC ，∠C ＝90°，若BC=16，AB ：AC=5：3，则AB=_____AC=______3．如图,一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米,若将绳子拉直, 则绳端离旗杆底端的距离(BC)有5米.则旗杆的高度为________米二．师生互动：·古代数学问题 4.在《九章算术》中记载了一道有趣的数学题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。
引葭 赴岸，始与岸齐，问水深、葭长各几何？”这道题的意思是说：有一个边长为1丈的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出 水面1尺。
若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端恰好到达水面。
问水有多深？芦苇多长？ 请解这道题。
5. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：小溪边生长了两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外 一棵高20肘尺，两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺．每棵树的树顶上都有一只鸟，忽然，两只鸟 同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞下去抓鱼，它们的速度相同并且同时到达目 标．问这条鱼出现的地方与比较高的棕榈树之间的距离有多远？·折叠问题 6.如图：在长方形ABCD 中,已知AB=8cm ，BC=10cm,将AD 沿直线AF 折叠，使点D 落在BC 上的 E 处，求CF 的长 三．课堂小结：谈谈你的收获 四．自我检测： 7．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm ，BC=12cm, 现将直角边沿直线AD 折叠， 使点C 落在斜边AB 上的点E ，则 CD 的长为_______________cm 8．在一棵树BD 的5m 高A 处有两只小猴子，其中一只猴子爬到树顶D 后跳到离树10m 的地面 C 处，另外一只猴子爬下树后恰好也走到地面C 处，如果两个猴子经过的距离相等，则这棵树 高为__________m. 五．课后思考题： 笨人持竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得呜呜哭。
例析方程思想在勾股定理中的应用
例析方程思想在勾股定理中的应用数学思想是数学知识的精髓，它在学习和运用数学知识的过程中，起着观念性的指导作用。
方程思想在勾股定理这部分知识中有着广泛的应用，下面举例说明：一、 直接利用勾股定理列方程：例1：小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。
解析：设旗杆的高度AC 为x 米，那么绳子的长度AB 为(1+x )米，根据题意得到△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，根据勾股定理得到：()22215+=+x x ，解得x ＝12。
答：旗杆的高度为12米。
【总结】在实际问题中，通常直接利用勾股定理建立相等关系列出方程。
二、 两次利用勾股定理列方程：例2：在锐角∆A BC 中，AB=15，AC=13，BC=14， A Ｄ⊥BC 垂足为D ，计算DA 的长度。
解析：设DB ＝x ，CD ＝x -14，在Rt ∆ABD 中，∠ADB ＝90°，根据勾股定理得：AD 2＝AB 2—BD 2,即AD 2＝；2215x -在Rt ∆ACD 中，∠ADC ＝90°，根据勾股定理得:AD 2＝AC 2—CD 2,即AD 2＝()；221413x -- ∴2215x -＝()；221413x -- 解得9=x在Rt ∆ABD 中，∠ADB ＝90°，根据勾股定理得：AD 2＝AB 2—BD 2,即AD 2＝，＝－＝222221291515x - ∴（负值舍去）。
＝12DA答：DA 的长度的长度为12。
【总结】如果题目中有三角形的高线时，可以在两个三角形中分别运用勾股定理表示同一个量，从而建立相等关系列方程求解。
三、利用等积性建立方程：例3：在Rt ∆ABC 中，∠C ＝90°，，，68==BC AC CD 为斜边AB 边上的高，求CD 的长度。
解析：在Rt ∆ABC 中，∠C ＝90°，根据勾股定理得：222BC AC AB +=，∵S ∆ABC CD AB BC AC ⨯⨯=⨯⨯2121＝ ∴CD AB BC AC ⨯=⨯∴CD 1068=⨯101003664682222==+=+=+=BC AC AB∴8.4CD答：CD的长度的长度为4.8。
勾股定理的方程思想总结
勾股定理的方程思想总结勾股定理是数学中的一条重要定理，由中国古代数学家所发现和证明。
它为解决直角三角形中的问题提供了重要的数学工具，也是数学推理中的一种经典的思想方法。
在这1000字的总结中，我将详细介绍勾股定理的方程思想，包括其背景、推导过程和应用领域。
首先，我们来介绍一下勾股定理的背景。
在古代，古希腊的毕达哥拉斯学派和古中国的《周髀算经》中都有类似的关于直角三角形的边长的关系。
然而，勾股定理最早的证明是由中国古代的《周髀算经》所给出的，可以追溯到约公元前500年左右。
根据《周髀算经》中的记载，古代算术家商高在解题时发现了直角三角形中三边的关系，并用文字形式进行了描述。
这一发现被后来的数学家所发扬光大，成为了后来的勾股定理。
接下来，我们探讨一下勾股定理的推导过程。
勾股定理的推导思想可以用几何和代数方法进行证明。
首先，我们以直角三角形的三个边为对象进行分析。
假设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c。
根据勾股定理，我们有a² + b² = c²。
为了证明这个定理，我们可以使用几何方法进行推导。
具体步骤如下：1. 通过画图，我们可以得到一个直角三角形，其中直角边a和b构成直角，斜边c位于直角边的对面。
2. 将直角边a和b延长，分别延长到直角边b的竖直延长线和直角边a的水平延长线上。
3. 直角边a和b所延长后的部分构成一个正方形和一个长方形。
4. 根据几何性质，我们可以得到正方形的边长为a+b，长方形的边长为a和b。
5. 正方形的面积可以表示为边长的平方，即(a+b)²。
长方形的面积可以表示为a*b。
6. 根据几何性质，正方形的面积可以等于两个长方形面积之和。
7. 将上述两个公式相等，我们可以得到(a+b)² = a² + b²。
8. 展开上述式子后，我们可以得到一个等式 a² + 2ab + b² = a² + b²。