方程思想及其应用

（文科）中档题复习（一）
方程思想及其应用
学习目标：（1）熟悉不同知识模块中方程建立的常见知识与方法；
（2）优化方程的算法；
（3）理解方程与函数、不等式之间的联系与转化； （4）逐步建立不同知识之间的联系与转化。

一、填空题
1、已知锐角3πα⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
的终边经过点(1,P ,则cos α= 2、在等比数列{}n a 中，已知13118a a a =，那么28a a =__________ 3、在△ABC 中，若4=•=•，则边AB 的长等于
4、以双曲线22
163
x y -
=的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是
5、已知椭圆C 的离心率为
2
，焦点12,F F 在x 轴上，椭圆上一点(),2P t 满足120PF PF ⋅=,
点M (),x y 是椭圆上任意一点，若m x =，则m 的取值范围是 6、已知实数,,a b c 满足9a b c ++=，24ab bc ca ++=，则b 的取值范围是 7、方程2
2sin (1)sin 10x x λ-++=在[0,2)π上恰有两解，则实数λ的取值范围是 变式1：关于x 的方程2
2(1)10x x λ-++=有整数解，则所有整数λ的集合为
综合应用：在平面直角坐标系xOy 中，设直线
2m y =+和圆222x y n +=相切，其
中m ，*
0||1n m n ∈<-≤N ，
，若函数1
()x f x m n +=- 的零点0(,1),x k k k ∈+∈Z ，则
k =
二、例题
例题1：在ABC △中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c （1）若
()()3a b c b c a bc +++-=，90,4B C c -=︒=，求b ；
（2）若2
2
8a c b -=，且sin cos 3cos sin 0A C A C +=，求b 。

例题2：设函数2()ln f x x a x =-
与1
()g x x a
=
1x =于点A ，B ，且曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =在点B 处的切线平行。

求函数(),()f x g x 的表达式；
例题:3：在平面直角坐标系xOy 中，已知圆B ：22(1)16x y -+=与点(1,0)A -，P 为圆B 上
的动点，线段PA 的垂直平分线交直线PB 于点R ，点R 的轨迹记为曲线C 。

（1）求曲线C 的方程；
（2）曲线C 与x 轴正半轴交点记为Q ，过原点O 且不与x 轴重合的直线与曲线C 的交点
记为M ，N ，连结QM ，QN ，分别交直线(x t t =为常数，且2x ≠）于点E ，F ，设E ，F 的纵坐标分别为12,y y ，求12y y ⋅的值（用t 表示）。

例题4：已知点()1,0C ，点,A B 是⊙O ：2
2
9x y +=上任意两个不同的点，且满足
0AC BC ⋅=，设P 为弦AB 的中点．
（1）求点P 的轨迹T 的方程；
（2）试探究在轨迹T 上是否存在这样的点： 它到直线1x =-的距离恰好等于到点C 的距离？ 若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．
(1)连接RA ，由题意得，RA RP =，4RP RB +=，
所以42RA RB AB +=>=，…………………………………………………2分
由椭圆定义得，点R 的轨迹方程是22
143
x y +=.……………………………4分
(2)设M 00(,)x y ，则00(,)N x y --，,QM QN 的斜率分别为,QM QN k k ，
x
则002QM y k x =
-，0
02
NQ y k x =+，……………………………………………6分 所以直线QM 的方程为00(2)2y y x x =
--，直线QN 的方程0
0(2)2
y y x x =-+，8分 令(2)x t t =≠，则001200(2),(2)22
y y y t y t x x =
-=--+，……………………10分 又因为00(,)x y 在椭圆2200143x y +=，所以2
200
334
y x =-， 所以2
22
022********(3)(2)34(2)(2)444
x t y y y t t x x --⋅=-==----，其中t 为常数.…14分 （1）法一：连结CP ，由0AC BC ⋅=，知AC ⊥BC ∴|CP |＝|AP |＝|BP |＝
1
||2
AB ，由垂径定理知22||||OP AP +即22||||9OP CP +=，………………………………………4分 设点(),P x y ，则有2222()[(1)]9x y x y ++-+=，
化简，得到22
4x x y -+=；………………………………8分 法二：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，P (,)x y ，
根据题意，知2222
11229,9x y x y +=+=，12122,2x x x y y y =+=+， ∴222222
1122112242,42x x x x x y y y y y =++=++
故222222
11121222121244()(22)()182()x y x y x x y y x y x x y y +=+++++=++ ……
① ………4分
又0AC BC ⋅=，有1122(1,)(1,)0x y x y --⋅--=，即1212(1)(1)0x x y y -⨯-+=， ∴121212()121x x y y x x x +=+-=-，代入①式，得到2
2
44182(21)x y x +=+-， 化
简
，
得
到
224x x y -+=； …………………………………………………………………………8分
（2）根据抛物线的定义，到直线1x =-的距离等于到点()1,0C 的距离的点都在抛物线
22y px =上，其中
12
p =，
∴2p =，故抛物线方程为2
4y x =，………………………………10分 由
方
程
组22244
y x x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩得
2340
x x +-=，解得
121,4x x ==-， …………………………12分
由于0x ≥，故1x =，此时2y =±， 故
满
足
条
件
的
点
存
在
，
其
坐
标
为
(1,2)
-和
(1,2)． ………………………………………………14分
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