中考专题方程思想
“方程思想和函数思想”在中考中的运用
龙源期刊网
“方程思想和函数思想”在中考中的运用
作者：王晨
来源：《中学生数理化·中考版》2013年第06期
方程思想是指运用适当的数学语言，从数学问题的数量关系出发，将此问题中的条件转化为各种数学模型，然后运用方程或不等式的性质来求解，而函数思想是指构造函数继而利用函数的性质去处理问题，整理出函数解析式和灵活运用函数的性质是把握函数思想的关键，函数和方程思想在处理生活中实际问题时有着广泛的运用，因此各类综合应用、情景问题、几何计算、探究问题都要用到本专题涵盖的内容。
函数与方程思想在初中数学解题中的应用
函数与方程思想在初中数学解题中的应用张猛【内容提要】：函数与方程思想是初中数学中的基本思想。
它们密切相关，有时需要互相转化来解决问题。
本文对初中数学中的函数与方程思想的内涵作了探讨，并结合一些具体案例说明了函数与方程思想在初中数学解题中的应用。
关键词：函数；方程；函数与方程思想应用案例数学知识可以记忆一时，但数学思想和方法却随时随地发挥作用，使人受益终身。
近年来中考考纲已明确提出不仅要考察学生的数学知识和思维能力，还要考察学生思想方法的运用能力。
其中，函数与方程思想是众多考试考查的最基本的数学思想方法之一。
学生仅仅学习了函数与方程的知识是不够的，应通过解题和对解题过程的反思来领悟函数与方程思想。
一：函数与方程思想的地位与作用函数与方程思想，简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系。
在解题时，用函数思想做指导就需要把字母看作变量，把代数式看作函数，利用函数性质做工具进行分析，或者构造一个函数把表面上不是函数的问题化归为函数问题。
用方程思想做指导就需要把含字母的等式看作方程，研究方程的根有什么要求。
函数与方程思想在解题过程中有着密切的联系。
目前初中阶段主要数学思想有：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想，化归与转化思想、图形运动思想、数学模型思想。
函数与方程思想，既是函数与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数，相等与不等过程中的基本数学思想。
本文例析函数与方程思想在解题中的应用:二：函数与方程思想的应用案例通过整理与归纳，可以发现，在数学解题中，函数与方程思想常用于以下几类问题的解决。
1 求代数式的值例1 已知22a b ==+求22(3124)(2813)a a b b -+-+的值。
解：因为24,1,,410a b ab a b x x +==-+=所以为方程的两个根。
当x a =时，2410.a a -+=可得2231243(41)11a a a a -+=-++=；当x b =时，222410.28132(41)1111b b b b b b -+=-+=-++=可得∴ 原式=1⨯11=11。
2021年中考数学复习精讲课件专题3 方程、函数思想 - 副本
精讲释疑
重重点点题题型型
题组训练
题 型 一 用方程思想解决实际问题
例1.欣欣服装店某天用相同的价格a(a＞0)卖出了两件服装，其中 一件盈利20%，另一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件服 装的盈利情况是( B )
A．盈利
B．亏损
C．不盈不亏
D．与售价a有关
重重点点题题型型
题组训练
【解析】列一元一次方程求出两件衣服的进价，进而求出总盈 亏．设第一件衣服的进价为x元，依题意得：x(1＋20%)＝a，设 第二件衣服的进价为y元，依题意得：y(1－20%)＝a，得出x(1 ＋20%)＝y(1－20%)，整理得：3x＝2y，该服装店卖出这两件 服装的盈利情况为：0.2x－0.2y＝0.2x－0.3x＝－0.1x，即赔了 0.1x元．
DF，EF.若∠EFD＝90°，则 AE 长为( B )
A．2 B． 5
C．3 2 2
D．3
3 2
重点题型
题题组组训训练练
4．(2020·咸宁)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上 ，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半 圆O的切线DF，交BC于点F. (1)求证：BF＝DF； (2)若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．
14×40)×20%，解得：a≤95 .答：a 的最大值为95 .
重点题型
题题组组训训练练
1．(2020·牡丹江)某种商品每件的进价为120元，标价为180元． 为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商 店应打__8__折．
重点题型
题题组组训训练练
2．(2020·湘西州)某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为 20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量 大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份 平均日产量达到24200个． (1)求口罩日产量的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
2022年全国中考试卷解析版分类汇编-等式的性质,方程的有关概念,方程的解
2022年全国中考试卷解析版分类汇编-等式的性质，方程的有关概念，方程的解一、选择题1. （2011重庆江津区，3，4分）已知3是关于x 的方程2x ﹣a ＝1的解，则a 的值是（ ） A 、﹣5 B 、5 C 、7 D 、2考点：一元一次方程的解。
专题：方程思想。
分析：第一依照一元一次方程的解的定义，将x ＝3代入关于x 的方程2x ﹣a ＝1，然后解关于a 的一元一次方程即可．解答：解：∵3是关于x 的方程2x ﹣a ＝1的解，∴3满足关于x 的方程2x ﹣a ＝1，∴6﹣a ＝1，解得，a ＝5．故选B ．点评：本题要紧考查了一元一次方程的解．明白得方程的解的定义，确实是能够使方程左右两边相等的未知数的值．二、填空题1. （2011贵州遵义，12，4分）方程x x =-13的解为 ▲ 。
【考点】解一元一次方程．【分析】移想，合并同类项，系数化1，求出x 的值．【解答】解：3x-1=x ，2x=1，x= 12．故答案为：x= ．2. （2011广东湛江,15,4分）若x=2是关于x 的方程2x+3m-1=0的解，则m 的值等于_________. 考点：方程的解．专题：运算题．分析：使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．将方程的解代入方程可得关于m 的一元一次方程，从而可求出m 的值．解答：解：依照题意得：4+3m-1=0解得：m=-1，故填-1．点评：已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于m 字母系数的方程进行求解，注意细心．3.（2011甘肃兰州，19，4分）关于x的方程2++=的解是x1=－2，x2=1（a，a x m b()0m，b均为常数，a≠0），则方程2+++=的解是.a x m b(2)0考点：一元二次方程的解.分析：直截了当由向左平移加，向右平移减可得出x1=﹣2﹣2=﹣4，x2=1﹣2=﹣1．解答：解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），∴则方程a（x+m+2）2+b=0的解是x1=﹣2﹣2=﹣4，x2=1﹣2=﹣1．故答案为：x1=﹣4，x2=﹣1．点评：此题要紧考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便运算．。
第7讲-方程与函数思想在初中数学中的应用
第7讲：函数与方程思想【写在前面】方程是研究数量关系的重要工具，在处理生活中实际问题时，根据已知与未知量之间的联系及相等关系建立方程或方程组，从而使问题获得解决的思想方法称为方程思想．而函数的思想是用运动、变化的观点，研究具体问题中的数量关系，再用函数的形式把变量之间的关系表示出来．函数与方程思想在中学数学中有着广泛的应用，也是中考必考的内容． 【典型例题】【例1】 如图：在△ABC 中，BA=BC=20 cm ，AC=30 cm ，点P 从点A 出发，沿AB 以每秒4 cm 的速度向点B 运动；同时Q 点从C 点出发，沿CA 以每秒3 cm 的速度向点A 运动．设运动的时间为x 秒．(1)当x 为何值时，PQ ∥BC? (2)△APQ 能否与△CQB 相似?(3)若能．求出AP 的长；若不能．请说明理由．【解】(1)根据题意AP=4xcm ，AQ=A C －QC=(30－30x)cm ，若PQ ∥BC ，则AP AQAB AC=． 则43032030x x -=，解得103x =．所以当103x =s 时，PQ ∥BC ． (2)因为∠A=∠C ，所以当AP AQ CQ CB =或AP AQCB CQ=时，△APQ 能与△CQB 棚以． ①当AP AQCQ CB=时，4303320x x x -=，解得109x =． ②当AP AQCB CQ=时，4303203x x x -=，解得x 1=5，x 2=－10(舍去)．所以AP=4x=20． 所以当409AP =cm 或20 cm 时，△APQ 与△CQB 相似． 【解题反思】由相似三角形的对应边成比例，可列出分式方程，从而求解；在已知一个角对应相等的前提下考虑两个三角形相似时，有两种情况，不可遗漏．【例2】某企业投资100万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万元，该生产线投产后，从第1年到第x 年的维修、保养费用累计为y(万元)，且y=a x 2+bx ，若第1年的维修、保养费为2万元，第2年的维修、保养费为4万元． (1)求y 的解析式； (2)投产后，这个企业在第几年就能收回投资? 【解】 (1)由题意，把x=1时，y=2和x=2时，y=2+4=6，代入y=a x 2+bx ，得2426a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，所以y=x 2+x (2)设y ′=33x －100－x 2－x ，则y ′=－x 2+32x －100=－(x －16) 2+156．由于当1≤x ≤16时，y ′随x 的增大而增大，且当x=1、2、3时，y ′的值均小于0，当x=4时，y ′=－12 2+156>0，已知投产后该企业在第4年就能收回成本． 【解题反思】用函数思想解决实际问题，要关注自变量与函数之间的关系，注意：本题中的y 是从第1年到第x 年的维修、保养费用总和．【例3】某村响应党中央“减轻农民负担，提高农民生活水平”的号召，该村实行合作医疗制度，村委会规定：(一)每位村民年初交纳合作医疗基金a 元；(二)村民个人当年治疗花费的医疗费(以医院的收据为准)，年底按下列办法处理．设一位村民当年治疗花费的医疗费用为x 元，他个人实际承担的医疗费用(包括医疗费中个人承担的部分和缴纳的合作医疗基金)为y 元．(1)当0≤x ≤b 时，y=________；当b<x ≤5000时，y=_______(用含a 、b 、c 、x 的代数式表示) (2)下表是该村3位村民2008年治疗花费的医疗费和个人实际承担的费用，根据表格中的数据，求a 、b 、c 的值；写出y 与x 之间的函数关系式；并计算村民个人一年最多承担医疗费为多少元．(3)下表是小强同学一家2006年治疗花费的医疗费用：请你帮助小强计算参加合作医疗保险后村集体为他们家所承担的费用．【解】(1)a a+(x－b)c％(2)假设b≤40，则()()()4030(1)9050(2)15080(3) a b ca b ca b c+-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩②－①得，c=40，③－②得，c=50，结果矛盾，∴b>40，这样①不成立，应为a=30，代入②和③中，解得c=50，b=50．∴当0≤x≤50时，y=30；当50<x≤5000时，y=30+(x－50)50％=0．5x+5；当x>5000时，y=2505，∴村民个人一年最多承担医疗费为2505元；(3)全家医药费合计200+100+10+30+20=360，个人应该承担的药费之和(0．5×200+5)+(0．5×100+5)+30+30+30=250，集体为他们家承担的药费360－250=110(元)．【解题反思】本题的关键是确定a的范围，这里采用了反证法来说明b>40．【综合训练】1．如果关于x的方程3211axx x=-+-无解，则a的值为__________．2．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．3．如图，△ABC中，AC=4，AB=5，D是线段AC上一点(点D不与点A重合，可与点C重合)，E是线段AB上一点，且∠ADE=∠B．设AD=x，BE=y．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)写出y的取值范围．4．如图，某农场要用总长24 m的木栏建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长12m)，且中间隔有一道木栏，设鸡场的宽AB为xm，面积为S m2；(1)求S关于x的函数关系式；(2)若鸡场的面积为45 m2，试求出鸡场的宽AB的长；(3)鸡场的面积能否达到50 m2?若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由．5．某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油油箱余油量为Q2吨，加油时间为t分钟，Q1、Q2与t之间的函数关系如图所示，结合图象回答下列问题：(1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需多少分钟?(2)求加油过程中，运输飞机的余油量Q1(吨)与时间t(分钟)的函数关系式；(3)运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用?说明理由．6．近几年我省高速公路的建设有了较大的发展，有力的促进了我省的经济建设，正在修建中的某段高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作，24天可以完成，需费用120万元；若甲队单独做20天后，剩下的工程由乙队做，还需40天才能完成，这样需要费用110万元．问：(1)甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少天?(2)甲、乙两队单独完成此项工程，各需要费用多少万元?7．已知，关于x的一元二次方程mx2－(3m+2)x+2m+2=0(m>0)．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两个实数根分别为x1、x2(其中x1<x2)，若y是关于m的函数，且y=x2－2x1，求这个函数的解析式；(3)在(2)的条件下，结合函数的图象回答：当m满足什么条件时，y≤－m+3?8．已知：△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，若关于x 的方程x 2－2(b+c)x+2bc+a 2=0有两个相等的实数根，且△ABC 的面积为8，a = (1)试判断△ABC 的形状并求b 、c 的长；(2)若点P 为线段AB 边上的一个动点，PQ ∥AC 交BC 于点Q ，以PQ 为一边作正方形PQMN ，使得点B 与线段MN 不在线段PQ 的同侧，设正方形PQMN 与△ABC 的公共部分的面积为S ，BP 的长为x ．①试写出S 与x 之间的函数关系式； ②当P 点运动到何处时，S 的值为3．9．(02镇江)已知抛物线y=a x 2+bx+c 经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点． (1)求此抛物线的解析式和顶点M 的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线． (2)若点(x 0，y 0)在抛物线上，且0≤x 0≤4，试写出y 0的取值范围．(3)设平行于y 轴的直线x=t 交线段BM 于点P(点P 能与点M 重合，不能与点B 重合)，交x 轴于点Q ，四边形AQPC 的面积为S ．①求S 关于t 的函数关系式以及自变量t 的取值范围．②求S 取得最大值时，点P 的坐标．③设四边形OBMC 的面积为S ′，判断是否存在点P ，使得S=S ′． 若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．10．已知动点P(2m －1，－2m+3)和反比例函数ky x=(k<0)． (1)若对一切实数m ，动点P 始终在一条直线l 上，试求l 的解析式．(2)设O 为坐标原点，直线l 与x 轴相交于点M ，与y 轴相交于点N ，与反比例函数的图象相交于A ，B 两点(点A 在第四象限)．①证明：△OAM ≌△OBN ；②如果△AOB 的面积为6，求反比例函数解析式．【参考答案】1．2和3 2．6cm 3．(1)455y x =-+ (2)955y ≤< 4．(1)S=x(24－3x)=－3x 2+24x(x ≥4)； （2）－3x 2+24x=45，解得：x 1=3(舍去)，x 2=5，∴鸡场的宽AB 的长为5米．(3)－3x 2+24x=50，3x 2－24x+50=0，△=242－4×3×50<0∴此方程无实数解，∴鸡场的面积不能达到50米2．5．(1)由图象知，加油飞机的加油油箱中装载了30吨的油，全部加给运输飞机需10分钟． (2)设Q 1=kt+b ，则406910b k b =⎧⎨=+⎩， 2.940k b =⎧∴⎨=⎩，∴Q=2．9t+40(0≤t ≤10)．(3)根据图象可知运输飞机的耗油量为每分钟0．1吨，∴10小时的耗油量为10×60×0．1=60(吨)<69(吨)，∴油料够用．6．(1)30 120 (2)135 607．(1)△=(3m+2) 2－4×m ×(2m+2)=m 2+4m+4=(m+2) 2m>0，∴ (m+2) 2>0，即A>0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)x 1=1，222x m =+，∴ 2122y x x m=-=． (3)在直角坐标系中的第一象限内分别画出2y m=和y=－m+3的图象，观察图象得： 当1≤m ≤2时，y ≤－m+3．8．(1)△ABC 是等腰直角三角形，b=c=4；(2)①当0<x ≤2时，S=x 2；当2<x ≤4时，S=－x 2+4x 3． 9．(1)y=－x 2+2x+3，M(1，4)，图略． (2)－5≤y 0≤4 (3)①29322t S t =-++(1≤t<3) ②9342⎛⎫ ⎪⎝⎭， ③不存在．15'2S =，若S=S ′， 则29315222t t -++=，整理得29602t t -+=．812404∆=-<，∴此方程没有实数根，∴不存在点P ，使得S=S ′．10．(1)设l ：y=k ′x+b ，当m=0时，P 1 (－1，3)，当m=1时，P 2(1，1)，带入l ：y=k ′x+b 得，3'1'k b k b =-+⎧⎨=+⎩，解得'12k b =-⎧⎨=⎩，∴l ：y=－x+2，经检验满足条件．(2)①解方程组2k y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，得x 2－2x+k=0，解得1A x =1B x =1A y =1B y =OA =OB =．∴OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA ；M(2，0)，N(0，2)，∴OM=ON ，∴∠OMN=∠ONM=45°，∴∠ONB=∠OMA=135°，∴△OA M ≌△OBN ． ②26AOBMONAPMSSS=+=，又12222MO NS=⨯⨯=，2AOMS∴=，代入得：(1122⨯-⨯3=，∴k=－8，∴反比例函数的解析式为8y x=-．。
中考数学专题训练第3讲一次方程与一元一次不等式(知识点梳理)
整式知识点梳理考点01 方程的有关概念一、等式1.等式：用“=”来表示相等关系的式子叫作等式。
2.等式的性质：（1）性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等（如果b a =，那么c b c a ±=±（c 为一个数或式子））。
（2）性质2：等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等（如果b a =，那么bc ac =.如果）（0≠=c b a ，那么cb c a =） 3.等式性质的延伸：（1）对称性：等式左右两边互换，所得结果仍相等，即如果b a =，那么a b =。
（2）传递性：如果b a =，c b =，那么c a =。
二、方程的概念和方程的解1.方程的概念：含有未知数的等式叫作方程。
2.方程与等式的区别：方程是等式，但等式中不一定含有未知数，即等式不一定是方程。
3.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。
4.判断一个数（或一组数）是不是某方程的解，只需看两点：（1）它是方程中的未知数的值.（2）将它分别代入方程的左右两边，若左边等于右边，则它是方程的解，否则不是。
5.解方程：求方程解的过程叫作解方程。
6.方程的解和解方程的区别：方程的解是一个结果，解方程则是得到这个结果的一个过程。
7.一元一次方程：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1，这样的整式方程叫作一元一次方程。
8.一元一次方程知识拓展：（1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数.（2）一元一次方程满足3个条件：①是整式方程.②只含有一个未知数.③未知数的次数是1.（3）一元一次方程的标准形式：),0(0是已知数、b a a b ax ≠=+。
考点02 解一元一次方程与一元一次方程的应用一、解一元一次方程1.移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项，注意移项要变号。
2.解一元一次方程的步骤：（1）去分母：把方程两边都乘以各分母的最小公倍数（去分母时，若分子是多项式，要添括号）.（2）去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（不要漏乘括号里的项，不要弄错符号）.（3）移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边（注意移项要变号）.（4）合并同类项：把等号两边的同类项分别合并，化成“b ax =”的形式（0≠a ）.（5）系数化为1：方程两边同除以未知数的系数a 得方程的解为ab x =。
方程思想在数学中的应用(中考导刊)
方程思想在数学中的应用（中考导刊）（四川）陈孝方数学思想方法是数学的本质之所在，是数学的精髓。
日本著名数学教育家米山国藏，作为一个教育家他深深感到，许多在学校学的数学知识，如果毕业后进入社会没有什么机会去用的话，不到一年就忘掉了，“然而，不管他们从事什么业务工作，惟有深深铭刻在头脑中的数学精神、数学思想方法、研究方法、推理方法，却随时随地的发生作用，使他们终身受益”。
如果把数学思想和方法学好了，在数学思想方法的指导下解决数学问题，数学学起来就较容易。
方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解的思维方式。
有时，还实现函数与方程的互相转化。
笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。
宇宙世界，充斥着等式和不等式。
我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的；不等式问题也与方程是近亲，密切相关用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用，教材中大量出现这种思想方法，如列方程解应用题，求函数解析式，利用根的判别式、根于系数关系求字母系数的值等一方程思想与函数的结合方程与函数本身就有必然的联系，函数本身就可以看成一个方程，因此方程与函数有着相同的思路和解题方法，都是通过建立相等关系，求出未知数的值，因此函数问题的关键就是找出相等关系，建立变量之间的等量关系求解，要求对变量所涉及的相关知识要比较熟练，这是轻松求解函数问题的必要基础。
此类问题常见的形式和解题方法是：①用待定系数法列出关于函数解析中待定系数的方程（组），通过解方程（组）求出特定系数的值；②将函数图象与坐标轴交点坐标与方程的根对应起来；③利用函数研究方程的根与系数之间的关系；④利用函数图象交点的坐标与方程组的解之间的关系及根与系数关系解题。
中考专题--方程思想
方程应用试题 姓名___________应用方程思想解题时应注意：①要具备用方程思想解题的意识；②要具有正确列出方程的能力；(正确的找到等量关系)③要掌握运用方程思想解决问题的要点一．方程思想在代数问题中的应用 （1）整式与方程思想1．已知25A x mx n =-+，2321B y x =-+-，若A B +中不含有一次项和常数项，则222m mn n -+的值为 2．单项式2343m n m n x y ++与422y x -是同类项，则m n 的值为（2）函数与方程思想3．若函数215mm y mx --=+是一次函数，且y 随x 的增大而减小，则m =4．已知反比例函数ky x=与一次函数2y x k =+的图像的一个交点的纵坐标是4-，则k 的值为 5．已知点(1,)P m 在正比例函数2y x =的图像上，那么点P 的坐标为二．方程思想在几何问题中的应用在解答几何问题中经常会①运用勾股定理建立方程；②运用相似三角形对应边成比例建立方程；③运用锐角三角函数的意义建立方程（1）三角形和四边形与方程思想 通常解决等腰三角形相关问题时要列出方程6．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（ ）A ．1B ．34 C ．23D ．27．如图，如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E 、F ，连接CE ，则CE 的长________.8．如图，已知等腰△ABC 中，顶角∠A=36°，BD 为∠ABC 的平分线，则ADAC的值为( ) ． A ．12 B．12 C ．1 D．129．如图，在△ABC 中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ 的一边QP 在边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H 。
设EF=x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大？并求其最大值（3）圆与方程思想通常以半径相等或者切线长相等为突破口 以“勾股定理”为等量关系列出方程10．如图，ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，4=AC ，3=BC ，以BC 上一点O 为圆心作⊙O，与AC 、AB 分别相切于C 点、E 点，则⊙O 的半径为11．如图，已知AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上一点，若AB ＝10cm ，PB ＝4cm ，OP ＝5cm ，则⊙O 的半径等于______________cm 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A ．1
B ．
C ．
D ．2
A
．如图，已知等腰△8 A BC 中，顶角∠A=36°，BD 为∠ABC 的平分线，则 的值为(
) ．
A ．
B ．
C ．1
D ．
中考数学专题复习—方程思想
方程思想是指对所求问题通过列方程（组）求解的一种思想方法。
方程思想在初中数学的多个知
识点中均有体现，并且应用其解题可以使问题由复杂变得简单，易懂，易于求解。
方程思想也是解几 何计算题的重要策略。
应用方程思想解题时应注意：①要具备用方程思想解题的意识；②要具有正确列出方程的能力；
③要掌握运用方程思想解决问题的要点 一．方程思想在代数问题中的应用
（1）整式与方程思想
1．已知 A = 5 x 2 - mx + n ， B = -3 y 2 + 2 x - 1 ，若 A + B 中不含有一次项和常数项，
则 m 2 - 2mn + n 2 的值为
2．单项式 3x m +2n y 3m +4n 与 -2 y 4 x 2 是同类项，则 n m 的值为
（2）函数与方程思想
3．若函数 y = mx m 2-m -1 + 5 是一次函数，且 y 随 x 的增大而减小，则 m =
4．已知反比例函数 y = k
与一次函数 y = 2 x + k 的图像的一个交点的纵坐标是 -4 ，则 k 的值为
x
5．已知点 P(1,m ) 在正比例函数 y = 2 x 的图像上，那么点 P 的坐标为
二．方程思想在几何问题中的应用
在解答几何问题中经常会①运用勾股定理建立方程；
②运用相似三角形对应边成比例建立方程；③运用锐角三角函数的意义建立方程
（1）三角形和四边形与方程思想 通常解决等腰三角形相关问题时要列出方程
6．如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使 AD 边与对角线 BD 重合，折痕为 DG ， 则 AG 的长为（ ）
4 3
3 2
7．如图，如图，矩形 A BCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线 AC 的垂直平分线分别交 AD ，BC 于点 E 、
F ，连接 CE ，则 CE 的长________.
D
C
E D
A ′
O
A
G
6 题
B
B F C
第 7 题
第 8 题
AD
AC
1 5 - 1
5 + 1
2
2
2
△9．如图，在 ABC 中，∠C=45°，BC=10，高 AD=8，矩形 EFPQ 的一边
（k ＞0）与一次函数
y = x + b 的图象相交于两 A.k ＝ ,b ＝2 B.k ＝ ,b ＝1
C.k ＝ ,b ＝
D.k ＝ ,b ＝
QP 在边上，E 、F 两点分别在 AB 、AC 上，AD 交 EF 于点 H 。
设 EF= x ，当 x 为何值时，矩形 EFPQ 的 面积最大？并求其最大值
（3）圆与方程思想
通常以半径相等或者切线长相等为突破口 以“勾股定理”为等量关系列出方程
10．如图， Rt ∆ABC 中， ∠ACB = 90︒ ， AC = 4 ， BC = 3 ，以 BC 上一点 O 为圆心作⊙O，与 AC 、AB 分别
相切于 C 点、E 点，则⊙O 的半径为
11．如图，已知 AB 是⊙O 的弦，P 是 AB 上一点，若 AB ＝10cm ，PB ＝4cm ，OP ＝5cm ，则⊙O 的
半径等于______________cm 。
B
E
O
A
C
第 10 题
中考真题训练
（1）整式与方程思想
1．若 (a - 3)(a + 5) = a 2 + ma + n ，则 m , n 的值分别为（
）
A. - 3,5
B. 2,-15
C. - 2,-15
D. 2,15
O
P
A B
D
第 11 题
2．若 (a + 2) 2 与 b -1 互为相反数，则
（2）函数与方程思想 1
b - a 的值为
3．如图，反比例函数 y =
k x 1 2
点 A( x , y ),B( x , y ),线段 AB 交 y 轴与 C ，当| x － x
1
1
2
2
1
时，k 、b 的值分别为（
）
1 4
2 9 2
|=2 且 AC =
2BC
1 1 4
3 3 9
1 3
y
4．如图，一次函数 y = kx + n 的图象与 x 轴和 y 轴分别交于点 A （6，0）
B
D
O C A x
B
C
(3) 当 t 为何值时，△APQ 的面积为 个平方单位？
和 B （0， 2 3 ），线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 C ，交 AB 于点 D
（1）试确定这个一次函数关系式；
（2）求过 A 、B 、C 三点的抛物线的函数关系式。
二．方程思想在几何问题中的应用 （1）三角形和四边形与方程思想
5．如图，在平行四边形 ABCD 中， AE 、 AF 是两条高线， ∠EAF = 60︒ , CE = 6 , CF = 3 ,
则线段 BE 长为
H G
A
D
F
A
D
E
第 5 题
F
E B C
6 题
6．如图，矩形 ABCD 的周长是 20cm ，以 AB 、CD 为边向外作正方形 ABEF 和正方形 ADGH ，若正方形 ABEF
和 ADGH 的面积之和 68 cm 2,那么矩形 ABCD 的面积是（ ）
A ．21cm 2
B ．16cm 2
C ．24cm 2
D ．9cm 2
7．如图，在平面直角坐标系内，已知点 A （0，6）
、点 B （8，0），动点 P 从点 A 开始在线段 AO 上 以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 移动，同时动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长
度的速度向点 A 移动,设点 P 、Q 移动的时间为 t 秒．
(1) 求直线 AB 的解析式；
y
(2) 当 t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？
24
5 A
P
Q
O
x
B
（3）圆与方程思想
8．如图，一个圆锥的高为 35 ，侧面展形图是一个圆心角为 60°的扇形，
则圆锥的表面积为_____________
9．如图△
R t ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O内切Rt△ABC的三边AB、BC、CA于D、E、F，
半径r＝△2，则ABC的周长为
A
60°
h
B O C
第9题第10题
第8题
10．如图，AB是半圆O的直径，O是圆心，C是半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若AC=8cm，DE=2cm，则OD的长为cm
11.（2013•温州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC
至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．
（1）求证：∠B=∠D；
（2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长．
12．（2013•娄底）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救
援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、
B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，
探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的
深度．（精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73）。