第01招 函数的定义域常见求法(新高考数学一轮复习资料)

【知识要点】一、函数的定义域的定义函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围. 二、求函数的定义域的主要依据1、分式的分母不能为零.2(2,)n x n k k N *=∈其中中0,x ≥奇次方根(21,)n xn k k N *=+∈其中中，x R ∈.3、指数函数xy a =的底数a 必须满足01,a a x R >≠∈且.4、对数函数log a y x =的真数x 必须大于零，底数a 必须满足01a a >≠且.5、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠.6、正切函数tan y x =的定义域是{|,}2x x k k z ππ≠+∈.7、复合函数的定义域的求法（1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域.（2）已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域.8、求函数()()y f x g x =+的定义域一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 和B ，再求A B I ，则A B I 就是所求函数的定义域.9、求实际问题中函数的定义域不仅要考虑解析式有意义，还要保证满足实际意义. 三、函数的定义域的表示函数的定义域必须用集合表示，不能用不等式表示.函数的定义域也可以用区间表示，因为区间实际上是集合的一种特殊表示形式.四、求函数的定义域常用的方法有直接法、求交法、抽象复合法和实际法.五、函数的问题，必须遵循“定义域优先”的原则.研究函数的问题，不管是具体的函数，还是抽象的函数，不管是简单的函数，还是复杂的函数，必须优先考虑函数的定义域.之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时还会为解题带来方便. 【方法讲评】方法一直接法使用情景函数的结构比较简单.解题步骤直接列出不等式解答，不等式的解集就是函数的定义域.【例1】求函数2253y x x=+-的定义域.【点评】对于类似例题的结构单一的函数，可以直接列出不等式再解答即得到函数的定义域.【反馈检测1】求函数21xyx+=+.方法二求交法使用情景函数是由一些函数四则运算得到的，即函数的形式为()()()f xg xh x=+型.解题步骤一般先分别求函数()g x和()h x的定义域A和B,再求A BI,A BI就是函数()f x的定义域.【例2】求函数225y x=-3log cos x的定义域.【解析】由题得⎪⎩⎪⎨⎧∈+<<-≤≤-∴⎩⎨⎧>≥-zkkxkxxx222255cos252ππππ∴}52322235|{≤<<<--<≤-xxxxππππ或或所以函数的定义域为}52322235|{≤<<<--<≤-xxxxππππ或或【点评】（1）求函数()()y f x g x=+的定义域，一般先求()y f x=和函数()y g x=的定义域A和B，再求A BI，则A BI就是所求函数的定义域.（2）该题中要考虑偶次方根的被开方数是非负数，对数函数的真数大于零，列不等式求函数的定义域时，必须考虑全面，不能漏掉限制条件.（3）解不等式cos0x>时，主要是利用余弦函数的图像解答.（4）求552222xk x k k zππππ-≤≤⎧⎪⎨-<<+∈⎪⎩的解集时，只需给参数k赋几个整数值，再通过数轴求交集.（5）注意等号的问题，其中只要有一个错误，整个解集就是错误的，所以要仔细认真. 学科#网【例3】求函数02)23(3|3|)lg(-+-+-=xxxxy的定义域.【点评】（1）该题中要考虑真数大于零，分式的分母不能为零，零次幂的底数不能为零，考虑要全面，不要遗漏.（2）求不等式的交集一般通过数轴完成.【例4】求函数log(1)(01)xay a a a=->≠且的定义域.【解析】由题得0101=x xa a a->∴>1a>当时，x>0;当0<a<1时，x<0.1{a∴>当时，函数的定义域为x|x>0},1{a<当0<时，函数的定义域为x|x<0}.【点评】（1）求含有参数的函数的定义域时，注意在适当的地方分类讨论.（2）对于指数函数和对数函数，如果已知条件中，没有给定底数a的取值范围，一般要分类讨论.【反馈检测2】求函数2ln1)23xy ax x=-+--+（的定义域.方法三 抽象复合法 使用情景涉及到抽象复合函数.解题步骤利用抽象复合函数的性质解答：（1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域.（2）已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域.【例5】求下列函数的定义域：（1）已知函数f （x)的定义域为[2,2]-，求函数2(1)y f x =-的定义域； （2）已知函数(24)y f x =+的定义域为[0,1]，求函数f （x)的定义域； （3）已知函数f （x)的定义域为[1,2]-，求函数2(1)(1)y f x f x =+--的定义域.【点评】（1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域.第1小题就是典型的例子.（2）已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域.第2小题就是典型的例子.（3）求函数()()y f x g x =+的定义域，一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 和B ，再求A B I ，则A B I 就是所求函数的定义域.【反馈检测3】已知函数(tan 2)y f x =的定义域为[0,]8π，求函数()f x 的定义域.【反馈检测4】 若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，求函数)(log 2x f 的定义域.方法四 实际法使用情景 数学问题是实际问题.解题步骤先求函数的自变量的取值范围，再考虑自变量的实际限制条件，最后把前面两者的范围求交集，即得函数的定义域.【例6】用长为L 的铁丝编成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图所示）.若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与关于x 的函数解析式，并求出它的定义域. 【解析】如图，【点评】（1）求实际问题中函数的定义域，不仅要考虑解析式本身有意义，还要保证满足实际意义.（2）该题中在考虑实际意义时，必须保证解答过程中的每一个变量都有意义，即2x 02x 02x π⎧⎪⎨⎪⎩＞L －－＞，不能遗漏.vcm s的速度向容器内注入某【反馈检测5】一个圆柱形容器的底部直径是dcm,高是hcm.现在以3/种溶液.求容器内溶液的高度xcm关于注入溶液的时间ts的函数解析式，并写出函数的定义域和值域.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第01讲：函数定义域的常见求法参考答案【反馈检测1答案】{|12}x x x>-≤-或【反馈检测1详细解析】由题得(2)(1)01221011x x x xxxx x++≥≥-≤-⎧⎧+≥∴∴⎨⎨+≠+≠-⎩⎩或所以12{|12}x x x x x>-≤-∴>-≤-或函数的定义域为或.【反馈检测2答案】当1a>时，函数的定义域为{|01}x x<<；当01a<<时，函数的定义域为{|30}x x-<<.【反馈检测3答案】[0,1]【反馈检测3详细解析】由题得0020tan2184x x xππ≤≤∴≤≤∴≤≤，所以函数的定义域为[0,1]. 【反馈检测4答案】{}42|≤≤xx【反馈检测4详细解析】依题意知：2log212≤≤x解之得42≤≤x∴)(log2xf的定义域为{}42|≤≤xx【反馈检测5答案】函数解析式为24vtxdπ=,函数的定义域为{t|0≤t≤2hd4vπ}，值域为{x|0≤x≤h}. 【反馈检测5详细解析】向容器内注入溶液经历时间为t秒后,容器中溶液的高度为xcm.故t秒后溶液的体积为＝底面积×高＝π⎪⎭⎫⎝⎛2d2x＝vt解之得：x＝24vtdπ又因为0≤x≤h 即0≤24vtdπ≤h ⇒ 0≤t≤2hd4vπ，故函数的定义域为{t|0≤t≤2hd4vπ}，值域为{x|0≤x≤h}.。