第九章 振动
第9章振动学基础习题
第9章振动学基础习题9.1 质量为10×10-3kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x=0.1cos（8πt＋2π/3）（SI）的规律振动，求：（1）振动的圆频率、周期、振幅、初相以及速度与加速度的最大值；（2）最大回复力、振动能量、平均动能和平均势能；（3）t＝1、2、5、10s等各时刻的相位；（4）分别画出振动的x-t图线，v-t图线和a-t图线；（5）画出这些振动的转动矢量图示，并在图中指明t＝1、2、5、10s时矢量的位置。
9.2 一个弹簧振子m=0.5kg，k=50N／m，振幅A=0.04m，求：（1）振动的圆频率，最大速度和最大加速度；（2）当振子对平衡位置的位移为x=0.02m时的瞬时速度、加速度和回复力；（3）以速度具有正的最大值时为计时起点，写出振动的表达式。
9.3 一质点在x=0附近沿x轴作简谐振动。
在t=0时位置为x=0.37cm，速度为零，振动频率为0.25Hz。
试求：（1）周期、圆频率、振幅；（2）在时刻t的位置和速度；（3）最大速度和最大加速度的值；（4）在t=3.0s时的位置和速率。
9.4 作简谐振动的小球，速度最大值为v m=3cm/s，振幅A=2cm，若从速度为正的最大值时开始计算时间，求：（1）振动的周期；（2）加速度的最大值；（3）振动表达式。
9.5 如图，两轻弹簧与小球串联在一直线上，将两弹簧拉长后系在固定点A、B之间，整个系统放在水平面上。
设弹簧的原长为l1、l2，倔强系数为k1、k1，A、B间距离为L，小球的质量为m。
（1）试确定小球的平衡位置。
（2）使小球沿弹簧长度的方向作一微小位移后放手，小球将作振动，这一振动是否是简谐振动？振动的周期为多少？9.6 一轻弹簧的倔强系数为k，其下悬有一质量为m的盘子。
现有一质量为M的物体从离盘h高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，盘子开始振动起来。
（1）此时振动周期与空盘振动的周期各为多少？（2）此时振动的振幅。
大学物理A第九章 简谐振动
第九章 简谐振动一、填空题（每空3分）9-1 质点作简谐振动，当位移等于振幅一半时，动能与势能的比值为 ，位移等于 时，动能与势能相等。
（3:1,22A ±）9-2两个谐振动方程为()120.03cos (),0.04cos 2()x t m x t m ωωπ==+则它们的合振幅为 。
（0.05m ）9-3两个同方向同频率的简谐振动的表达式分别为X 1=6.0×10-2cos(T π2t+4π) (SI) , X 2=4.0×10-2cos(T π2t -43π) (SI) ,则其合振动的表达式为______(SI).( X=2.0×10-2cos(T π2t+4π) (SI)) 9-4一质点作周期为T 、振幅为A 的简谐振动，质点由平衡位置运动到2A处所需要的最短时间为_________。
（12T） 9-5 有两个同方向同频率的简谐振动，其表达式分别为 )4cos(1πω+=t A x m 、)43cos(32πω+=t A x m ，则合振动的振幅为 。
(2 A)9-6 已知一质点作周期为T 、振幅为A 的简谐振动，质点由正向最大位移处运动到2A处所需要的最短时间为_________。
(6T) 9-7有两个同方向同频率的简谐振动，其表达式分别为 )75.010cos(03.01π+=t x m 、)25.010cos(04.02π-=t x m ，则合振动的振幅为 。
（0.01m ）9-8 质量0.10m kg =的物体，以振幅21.010m -⨯作简谐振动，其最大加速度为24.0m s -⋅，通过平衡位置时的动能为 ；振动周期是 。
(-32.010,10s J π⨯) 9-9一物体作简谐振动，当它处于正向位移一半处，且向平衡位置运动，则在该位置时的相位为 ；在该位置，势能和动能的比值为 。
（3,1:3π）9-10质量为0.1kg 的物体，以振幅21.010m -⨯作谐振动，其最大加速度为14.0m s -⋅，则通过最大位移处的势能为 。
大学物理 第9章 简谐振动
9.2 简谐振动的规律 9.3 简谐振动的合成
9.1 简谐振动的定义
9.1.1 弹簧振子的振动
9.1.2 简谐振动的定义
9.1.3 单摆的运动规律
9.1.4 LC振荡回路中电容器 上电量的变化规律
振动是与人类生活和科学技术密切相关的一种 基本运动形式。
广义的振动 一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动。
下面我们重点对合振动的振幅进行讨论
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 2
t 2 t 1 2 1
讨论：两种特殊情况
(1) 21=2k (k=0,1,2,…) 两分振动同相
A A1 A 2
o
考虑方向 F mg 简谐振动！
mg
0
F ma mg
t 0
l
又 a
l d
2
dv dt
l
d
2
dt
2
T
F
O
dt
2
g
即
d 2 g 0 2 l dt
d （v l ） dt
mg
g l
2 T 2
2
x
A x A y cos t
2 2
（2）相位差 y x ，轨迹方程为
x Ax y Ay 0
x
2 2
y
2 2
2
xy Ax Ay
cos(
Ax
Ay
y
x ) sin (
2
y
高二物理第九章机械振动第一、二、三节人教版知识精讲
高二物理第九章机械振动第一、二、三节人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：第九章 机械振动第一节 简谐振动 第二节振幅、周期和频率 第三节 简谐运动的图象二. 知识要点： 〔一〕简谐振动1. 机械振动的定义：物体在某一中心位置两侧所做的往复运动。
2. 回复力的概念：使物体回到平衡位置的力。
注意：回复力是根据力的效果来命名的，可以是各种性质的力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
3. 简谐运动概念：物体在跟位移大小成正比，并且总是指向平衡位置的力作用下的振动。
特征是：kx F -=；m kx a /-=。
〔特例：弹簧振子〕4. 简谐运动中位移、回复力、速度、加速度的变化规律。
〔参看课本〕〔1〕振动中的位移x 都是以平衡位置为起点的，方向从平衡位置指向末位置、大小为这两位置间的直线距离，在两个“端点〞最大，在平衡位置为零。
〔2〕加速度a 的变化与回F 的变化是一致的，在两个“端点〞最大，在平衡位置为零，方向总是指向平衡位置。
〔3〕速度大小v 与加速度a 的变化恰好相反，在两个“端点〞为零，在平衡位置最大。
除两个“端点〞外任一个位置的速度方向都有两种可能。
〔二〕振幅、周期、频率1. 振幅A 的概念：振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅。
它是描述振动强弱的物理量。
2. 周期和频率的概念：振动的物体完成一次全振动所需的时间称为振动周期，单位是秒；单位时间内完成的全振动的次数称为振动频率，单位是赫兹。
周期和频率都是描述振动快慢的物理量。
注意：全振动是指物体先后两次运动状态．．．．．．．．〔位移和速度〕完全一样．．．．所经历的过程。
振动物体在一个全振动过程通过的路程等于4个振幅。
3. 周期和频率的关系：fT 1=4. 固有频率和固有周期：物体的振动频率，是由振动物体本身的性质决定的，与振幅的大小无关，所以叫固有频率。
振动周期也叫固有周期。
〔三〕简谐运动的图象 1. 简谐运动的图象：〔1〕作法：以横轴表示时间，纵轴表示位移，根据实际数据取单位，定标度，描点。
大学物理第九章振动学基础习题答案
第九章 振动学习题9-1 一小球与轻弹簧组成的振动系统，按(m) 3ππ8cos 05.0⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t x ，的规律做自由振动，试求（1）振动的角频率、周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值；（2）t=1s ，2s ，10s 等时刻的相位；（3）分别画出位移、速度和加速度随时间变化的关系曲线。
解：（1）ω=8πs -1，T=2π/ω=0.25s ，A=0.05m ，ϕ0=π/3，m A ω=v ，2m a A ω=（2）π=8π3t φ+ （3）略9-2 一远洋货轮质量为m ，浮在水面时其水平截面积为S 。
设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为ρ，且不计水的粘滞阻力。
（1）证明货轮在水中做振幅较小的竖直自由运动是谐振动；（2）求振动周期。
解：（1）船处于静止状态时gSh mg ρ=，船振动的一瞬间()F gS h y mg ρ=-++ 得F gSy ρ=-，令k gS ρ=，即F ky =-，货轮竖直自由运动是谐振动。
（2）ω==，2π2T ω==9-3 设地球是一个密度为ρ的均匀球体。
现假定沿直径凿通一条隧道，一质点在隧道内做无摩擦运动。
（1）证明此质点的运动是谐振动；（2）计算其振动周期。
解：以球心为原点建立坐标轴Ox 。
质点距球心x 时所受力为324433x mF G G mx x πρπρ=-=-令43k G m πρ=，则有F kx =-，即质点做谐振动。
（2）ω==2πT ω== 9-4 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A ＝2.0 ×10-2 m ，周期T s 。
当t ＝0时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置，向负方向运动；（3）物体在x ×10-2m 处，向负方向运动；（4）物体在x ＝-×10-2 m 处，向正方向运动。
求以上各种情况的振动方程。
解：ω=2π/T=4πs -1（1）ϕ0=0，0.02cos4(m)x t π=（2）ϕ0=π/2，0.02cos 4(m)2x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（3）ϕ0=π/3，0.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（4）ϕ0=4π/3，40.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9-5 有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的物体时，伸长量为9.8 ×10-2 m 。
振动方程简.ppt
解：1) 首先确定三个物理量ω, A, φ.
x Acos(t )
x
A
A/2
a
o
-A
Tt
振动曲线
已知A, T, ω=2π/T, 如何求φ？ 方法1：解析法
将t=0, x0=A/2， t>0, v = -Aωsinφ>0代入方程
17
x A A/2
a
o
-A
cos 1
2
t Asin 0
3
T
代t 入 方
2. 周期、频率:
1
T 2π
x xt图
A
o
Tt
T
A
2
圆频率 2v 2
T
周期和频率仅与振动系 统本身的物理性质有关
弹簧振子周期
T 2π m k
6
3. 相位 t
相 位 (t) t
相位的意义：决定任意时刻物体的运动状态
1)相差 2nπ (n为整数)质点运动状态相同.
2）初相位 (t 0) 描述质点初始时刻的运动状态.
3
O
A x t 1 (s) 0.13s
18
v
x/m
0.05 0.025 o 0.025 0.05
15
3）若物体在x=0.05 m处时速度不为0，而是具有 向右的初速度v0=0.30 m•s-1 ，求其运动方程。
解：A和φ由初始条件x0 = 0.05m, v0 = 0.30 m•s-1定
O
1 2
kA2
1 2
kx02
1 2
m v02
A2
x02
m k
v02
2 k , k m2
m
A
x02
v02
第9章 振动信号的处理和分析(22页)
第9章振动信号的处理和分析飞行器的振动现象，表现为结构振动量的时间和空间的函数。
人们希望通过对飞行器结构振动信号的测量和分析，来了解飞行器结构本身的物理特性，建立适宜的数学模型，从而预测飞行器在工作条件或所处环境中的运行行为及其对结构的强度、刚度，以及运行安全乃至相关人员的舒适性的影响。
简言之，飞行器结构的振动特性是通过振动信号的测量、处理和分析确定的。
在确定结构动特性时，数据采集应归于测量，而出于分析的需要，将信号进行数据离散（变换）、截断（加窗）、滤波等则可狭义地归为处理。
传统地看法将变换视为分析，其实这也是一种处理。
但广义地说，处理也是一种分析手段。
因此，本章内容在阐述时并不严格地区分哪些是处理，哪些是分析，而是把处于处理和分析的每一个环节都作为一种方法来阐述。
§9.1 振动信号的分类不同类型的信号将有不同的分析方法和选定不同的分析参数，按照信号本身的特性，最基本的分类可概括为稳态信号和非稳态信号两类，如图9.1.1所示。
图 9.1.1 振动信号的类型稳态信号是其统计特性不随时间而变化的信号，它可以分为稳态确定性信号和稳态随机信号。
其中稳态随机信号可认为是一种其平均特性不随时间变化，因而可以用任意一条样本记录来决定的随机信号。
这也是所谓稳态的一般含义，无论对于确定性信号或是对于随机性信号皆是如此。
但对于随机信号来说，稳态不是理解为从不同的记录样本所得到的结果都必须完全一样，而只意味着它们是等价的。
稳态确定性信号对于任意稳定的时刻，其信号值是可以预知的。
而对于稳态随机信号，只能确知其统计特性，如平均值、方差等。
非稳态信号可粗略地分为连续性非稳态信号和瞬态信号，语言信号是典型的连续性非稳态信号。
两者最基本的区别是，瞬态信号可以作整体处理，而连续非稳态信号一般可分成若干短时信号段来处理，每一段常常可以看成是拟稳态的。
稳态确定性信号是完全由具有离散频率成分的正弦信号组成的信号，又可分为周期性信号和拟周期性信号。
第九章弹性振动的准确解(2011版)
第九章 弹性体振动的准确解9.1 引言在引论中我们曾经提到，实际的振动系统都是弹性体系统。
弹性体具有分布的物理参数（质量，阻尼，刚度）。
它可以看做由无数个质点借弹性联系组成的连续系统，其中每个质点都具有独立的自由度。
所以，一个弹性体的空间位置需要用无数个点的独立空间坐标来确定。
也就是说，弹性体具有无限多个自由度。
在数学上，弹性体的运动需要用偏微分方程来描述。
前面我们论述的多自由度系统只是弹性体的近似力学模型。
本章讨论理想弹性体的振动，所谓理想弹性体．．．．．是指满足以下三个条件的连续系统模型：（1）匀质分布；（2）各向同性；（3）服从虎克定律。
通过对一些简单形状的弹性体的振动分析，着重说明弹性体振动的特点，弄清它与多自由度系统振动的共同点与不同点。
我们将看到，任何一个弹性体具有无限多个固有频率以及无限多个与之相应的主振型；而且这些主振型之间也存在着关于质量与刚度的正交性；弹性体的自由振动也可以表示为各个主振动的线性叠加；而且对于弹性体的动响应分析，主振型叠加法仍然是适用的。
所以说，弹性体振动与多自由度系统的振动，二者有着一系列共同的特性，这就是它们的共性。
而二者的差别仅在于数量上弹性体有无限多个固有频率与主振型，而多自由度系统只有有限多个。
我们还将看到，对于一些简单情形下的弹性体振动问题，可以很方便地找到它们的准确解。
尽管实际问题往往是复杂的，很少可以归结为这些简单情形；但是了解这些简单情形下准确解的特征，对于处理复杂问题是有帮助的。
为了避免用到弹性力学的知识，而仅以材料力学作为基础，我们将限于讨论一维弹性体（梁，轴，杆等）。
9.2弦的振动设有理想柔软的细弦张紧于两个固定支点之间，张力为T ，跨长为l ,弦单位长度的质量为ρ。
两支点连线方向取为x 轴（向右为正），与x 轴垂直的方向取为y 轴（向上为正），如图9.2-1（a ）。
设弦的振动发生在xoy 平面内，弦的运动可表示为y=y (x,t ).还假设弦的振动幅度是微小的，即 y 与xy∂∂均为小量；在这假设下弦的张力T 可近似地看做常量。
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d 2x 2 0x 0 2 dt
0
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为系统振动的固有圆频率，
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T
0 为系统的振动周期
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例9.1.1-1 如例9.1.1-1图所示的系统，木板质量为m0，水平放在两相同
的柱体（质量为m，半径为r）上，板两端用两个弹性系数为k的轻弹簧连接，
弹簧水平地挂在两固定点上。当系统作振动时，柱与板以及柱与地面间均 作纯滚动。问：系统是否作简谐振动，如果是，求振动周期。 解：以板为研究对象，应用牛顿第二定律有： 2kx 2Ff 1 m0 x 以其中一个柱为研究对象，作平面平行运动。 质心运动： 绕质心转动：
《力学》电子教案
第九章 振动
本章知识内容提要 一、简谐振动
二、阻尼振动
三、受迫振动 本章知识单元与知识点小结
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《力学》电子教案
本章知识内容提要
振动：线性振动；非线性振动
线性振动：质量不变、弹性力和阻尼力与运动参数成线性关系， 其数学描述为线性常系数常微分方程。 非线性振动：非线性系统，其数学描述为非线性微分方程。 线性振动理论是对振动现象的近似描述。 本章主要介绍机械振动中三种比较简单的线性振动形式，即，
《力学》电子教案
系统碰撞前后动量守恒：
0 (M m)V0 mv0
kx0 Mg
物块碰撞前振子的平衡位置：
物块和子弹碰撞后的新平衡位置： kx1 (M m) g
碰后系统动力学方程：
(M m) g k ( x1 x) (M m) x
k ( M m) ，系统作简谐振动。
2 2 x x 0 0 整理得： ，其中， 0
振动周期为： T
2
(M m) 2 0 k
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《力学》电子教案
系统的运动学方程为：
x A cos(0t ) ， v A0 sin(0t )
初始条件： ( x1 x0 ) A cos ， V0
因此系统的振动周期为： T
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1 2 E k lsx 2
2
l
0
2
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l 2g
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简谐振动的运动学方程及特征物理量描述
简谐振动微分方程的解为： 其中，Ａ和
0
x A cos(0t )
是任意常数，针对具体问题，由初始条件确定。
以平衡位置为坐标原点：x0为振子平衡时相对 弹簧原长的位移。
k ( x x0 ) mg mx
kx0 mg ，
2 x 0 x0
2 0
k m
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《力学》电子教案
3. 单摆（转动定律） ml 2 lmg sin J J
1. 位移x：振子运动到某位置（弧、线、角）的坐标，有正负 之分。通常以平衡位置为坐标原点。
2. 振幅：振子离开平衡位置的最大位移的绝对值，总是正的 。 3. 圆频率 ：
0 4. 频率 ： 2
5. 周期T： T
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0
1 2
0
1赫兹（Hz）=1/秒
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《力学》电子教案
（1）求振子以后的振动振幅 A 与周期 T ； （2）求物块从初始位置运动到最高点所需的时间 t 。
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解：以物块和子弹为研究对象，以系统碰撞后的平衡位置为坐标原点， 向下为正方向。 设物块碰前，物块的平衡位置记为 x0 ，其相对弹簧原长形变量也记 为 x0 ，碰后，物块和子弹构成系统的平衡位置记为 x1 ，相对弹簧原长 的形变量也记为 x1 ，忽略碰撞期间子弹的重力。
简谐振动、阻尼振动和受迫振动，
定性介绍二自由度线性振动现象，
简介非线性振动中常见的部分现象。
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《力学》电子教案
简谐振动的动力学方程
运动学方程及其特征物理量
简谐振动
简谐振动的几何描述
简谐振动的四种方式合成
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振动物理学中的一个重要的研究领域，从广义上说， 振动是指：系统状态的参量（如位移、角度、电压等） 在其基准值上交替变化的过程。 狭义的振动指机械振动，即力学系统的振动。 电磁振动习惯上称为振荡。 机械振动实际上是一各非常复杂的运动状态，但由 傅立叶变换可知，复杂的振动不过是一系列简单简谐振 动的合成。因此我们清楚地了解简谐振动规律，也就是 为研究其它任何周期性运动奠定基础。 简谐振动：机械振动是振动的一种形式，它是物体 在平衡位移附近，在同一路线上来回往复的周期运动。 如果描述这种来回往复的物理量（如：位移、角度等） 随时间变化成余弦（或正弦）的函数形式，则这种振动 称为简谐振动。
《力学》电子教案
例9.1.1-2 半径为r的均匀重球，可以在一半径R为的球形碗底部作纯滚
动。求圆球在平衡位置附近做小振动的周期。
解：建立如例9.1.1-2图所示的坐标系，以小球为研究对象，为平面平行运动。
质心运动： Ff (R r) mg (R r )sin J m(R r )2
J J J 解得： x F m r mr （9.1.2-10） c c
此点称为打击中心或振动中心。比较(9.1.2-9)和(9.1.2-10) 式可以看出，打击中心的长度恰为复摆的等值摆长。
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《力学》电子教案
简谐振动的几何描述
简谐振动的表达式是
x ~ t 关系，可以通过一个参考图形象
Ff 2 Ff 1 mac
1 2 Ff 1r Ff 2 r J mr 2
柱与板接触点纯滚动： 柱与地面接触点纯滚动： 联立可得：
x ac r
0 ac r 2 x 0 x 0
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因此，板作简谐振动，振动周期为：
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3m 4m0 2 T 2 0 8k
《力学》电子教案
简谐振动的微分方程 如何从动力学的角度判断一个系统是否是简谐振动？
1. 水平振动的弹簧振子
2 x 0 x0 kx mx
， ，
2 0
k m
2. 竖直振动的弹簧振子 以弹簧的原长为坐标原点：x’重物相对弹簧原长的坐标。
' kx ' mg mx
A0 sin
k M m
2 v0 kv0 mg 解得： A k 1 ( M m) g 2 ， tan g
物块达到最高点时： A
A cos(0t )
k )] M m
(M m) 1 v0 [ tg ( 则： t ( ) k g 0 1
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《力学》电子教案
1. 同方向、同频率的简谐振动的合成
x1 A1 cos(t 1 ) ， x2 A2 cos(t 2 )
合振动应为： x
x1 x2 ，借助矢量图示法求解 x 。
合成后的振动可表示为： x
解得： A
2 1 2 2
A cos(t )
0
7( R r ) 5g
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《力学》电子教案
例9.1.1-3 在一竖直放置的、横截面均匀的U形管内装有一段长为的液
体，由于某一小扰动使管内的液体发生振动，若不计粘滞阻力和毛细作 用，求振动周期。
解：液体静止时的水平面为坐标原点，向上为正方向，以整个液体为研
究对象，系统机械能守恒。设横截面积为s，坐标原点处为势能零点。
表示，如图 9.1.3-1 所示。在讨论振动的合成时会用到。
其对应关系为： 半径
A 振幅 A ；
初始位置角 角速度
初位相
；
圆频率 。
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同方向同频率
同方向不同频率
简谐振动合成
垂直方向同频率
垂直方向不同频率
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绕质心转动：
Ff r J ' '
2 mr 2 ' 5
r ' 0 接触点纯滚动： ( R r )
小幅度振动条件：
sin
其中
2 2
联立得：
2 0 0
T
02
5g 7( R r )
因此小球的振动周期：
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0t 6. 相位：
7. 初相位:
t0
时对应的位相，规定 :
0 2
8. 由初始条件确定:
A,
t 0 时，由系统实际的初始状态判断
x x0
v v0
v0 A sin
当 t 0 时，由系统简谐振动的运动学方程 x A cos(0 t )
1 1 1 E p ( xs g ) x ( xs g ) x 2(h x) s g [ (h x) x] 2 2 2 (l 2h) s gh ( x 2 h 2 lh)s g
1 2 2 2 E E ls x ( x h lh)s g C p 系统机械能守恒： k 2 2g 2 2 x 0 x 0 0 上式对时间求导数有：
即
所以，等效关系为： leff
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gJ J 称为复摆的 mgrc mrc （9.1.2-9） ，
下一页
等值摆长。
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《力学》电子教案
11. 等值摆长与打击中心