材料力学9-压杆稳定性标准
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材料力学第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定 图9－6
第9章 压杆稳定
9.2.3 两端非铰支细长压杆的临界载荷 1.一端固定一端自由的细长压杆的临界载荷 图9－7所示为一端固定、一端自由的长为l的细长压杆。
当轴向压力F=Fcr时，该杆的挠曲轴与长为2l的两端铰支细 长压杆的挠曲轴的一半完全相同。因此，如果二杆各截面的 弯曲刚度相同，则临界载荷也相同。所以，一端固定一端自 由、长为l的细长压杆的临界载荷为
第9章 压杆稳定
9.2.2 大挠度理论与实际压杆 式（9－1）与式（9－2）是对于理想压杆根据小挠度挠
曲轴近似微分方程得到的。如果采用大挠度挠曲轴的微分方
程 ddx1xM ExI进行理论分析，则轴向压力F与压杆最
大挠度wmax之间存在着如图9－6中的曲线AB所示的确定关 系，其中A点为曲线的极值点，相应之载荷Fcr即为上述欧拉 临界载荷。
Fcr
2 EI
2l 2
（9－3）
第9章 压杆稳定
图9－7
第9章 压杆稳定
2.两端固定的细长压杆的临界载荷 图9－8所示为两端固定的长为l的细长压杆，当轴向压 力F=Fcr时，该杆的挠曲轴如图9－8(a)所示，在离两固定端 各l/4处的截面A、B存在拐点，A、B截面的弯矩均为零。因 此，长为l/2的AB段的两端仅承受轴向压力Fcr（见图9－8 (b)），受力情况与长为l/2的两端铰支压杆相同。所以，两 端固定的压杆的临界载荷为
Fcr
2EI
0.5l 2
（9－4）
第9章 压杆稳定
图9－8
第9章 压杆稳定
3.一端固定一端铰支的细长压杆的临界载荷 图9－9所示为一端固定一端铰支的长为l的细长压杆， 在微弯临界状态，其拐点与铰支端之间的正弦半波曲线长为
材料力学-第9章压杆的稳定问题
0 1 0 sinkl coskl
sinkl 0
第9章 压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
sinkl 0
FP k EI 由此得到临界载荷
2
kl nπ, n 1, 2 ,,
FPcr
π 2 n 2 EI l2
最小临界载荷
FPcr π 2 EI 2 l
第9章 压杆的稳定问题
FPcr
π 2 EI
l
2
这一表达式称为欧拉公式。其中l为不同压杆屈曲后挠曲线上 正弦半波的长度，称为有效长度(effective length)； 为反映不同 支承影响的系数，称为长度系数（coefficient of 1ength），可由屈 曲后的正弦半波长度与两端铰支压杆初始屈曲时的正弦半波长度 的比值确定。
d2w M ( x) - EI 2 dx
d2w 2 k w0 2 dx
k2 FP EI
第9章 压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
d2w 2 k w0 2 dx
k2
FP EI
微分方程的解
w =Asinkx + Bcoskx
边界条件
w ( 0 ) = 0 , w( l ) = 0
第9章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图
对于某一压杆，当分叉载荷 FP 尚未算出时，不 能判断压杆横截面上的应力是否处于弹性范围；当 分叉载荷算出后，如果压杆横截面上的应力超过弹 性范围，则还需采用超过比例极限的分叉载荷计算 公式。这些都会给计算带来不便。 能否在计算分叉载荷之前，预先判断哪一类压 杆将发生弹性屈曲？哪一类压杆将发生超过比例极 限的非弹性屈曲？哪一类不发生屈曲而只有强度问 题？回答当然是肯定的。为了说明这一问题，需要 引进长细比（slenderness）的概念。
材料力学第九章 压杆稳定
02
创新研究方法与手段
积极探索新的实验技术和数值模拟方法，提高压杆稳定研究的精度和可
靠性。
03
拓展应用领域
将压杆稳定研究成果应用于更多领域，解决实际工程问题，推动科学技
术进步。
THANKS
感谢观看
稳定性取决于压杆的初始弯曲程度、压力的大小 和杆件的材料特性。
当压杆受到微小扰动时，如果能够恢复到原来的 平衡状态，则称其为稳定；反之，则为不稳定。
压杆的临界载荷
临界载荷是指使压杆由稳定平衡 状态转变为不稳定平衡状态的载
荷。
当压杆所受压力小于临界载荷时， 压杆保持稳定平衡状态；当压力 大于临界载荷时，压杆将失去稳
相应措施进行解决。
建筑结构中的压杆问题
02
高层建筑、大跨度结构等建筑中的梁、柱等部件可能发生失稳，
需要加强设计和施工控制。
压力容器中的压杆问题
03
压力容器中的管道、支撑部件等可能发生失稳，需要采取相应
的预防和应对措施。
05
压杆稳定的未来发展与展望
压杆稳定研究的新趋势
跨学科交叉研究
压杆稳定与材料科学、计算科学、工程结构等领域相互渗透，形 成多学科交叉的研究趋势。
工程中常见的压杆问题
1 2
细长杆失稳
细长杆在压力作用下容易发生弯曲，导致失稳。
短粗杆失稳
短粗杆在压力作用下可能发生局部屈曲，导致失 稳。
3
弹性失稳
材料在压力作用下发生弹性变形，当压力超过某 一临界值时，杆件发生失稳。
解决压杆失稳的方法与措施
加强材料质量
选择优质材料，提高材料的弹 性模量和抗拉强度，以增强压
材料力学第九章 压杆稳 定
• 引言 • 压杆稳定的基本理论 • 压杆稳定的实验研究 • 压杆稳定的工程应用 • 压杆稳定的未来发展与展望
材料力学 第九章 压杆稳定分析
我国建筑业常用：
cr
s
1
c
2
对于A3钢、A5钢和16锰钢： 0.43，c
2E 0.56 S
c 时，由此式求临界应力 。
②s< 时：
cr s
几点重要说明：
1. 所有稳定问题（包括后续内容）均需首先计算λ以界定压 杆的属性。
2. 对一般金属材料，作如下约定：
A. λp≈100；λs≈60。故：
i
二、压杆的分类
1、大柔度杆：
cr
2E 2
P
2E P
P
100
满足 P 的杆称为大柔度杆（或 细长杆），其临界力用 欧拉公式求。
P 的杆为中小柔度杆，其 临界力不能用欧拉公式 求。
2、中柔度杆─λP＞λ≥λS，即： P＜≤S
直线型经验公式： cr ab
crab s
a s
b
s
60
支承情况
两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
一端固定 另端自由
两端固定但可沿 横向相对移动
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
失
l l 0.7l l 0.5l
l 2l l 0.5l
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
Pc
r
2
l
EI
工程实例
目录
一、稳定平衡与不稳定平衡 ： 1. 不稳定平衡
2. 稳定平衡
3. 稳定平衡和不稳定平衡
材料力学 第九章 压杆的稳定
欧拉公式一般表达式
Fcr
EI l2
Fcr
EI (2l )2
Fcr
EI
l / 22
Fcr
EI (0.7l )2
Fcr
π EI
(l )2
1
2 1
2
0.7
l - 相当长度－相当的两 - 长度因数－代表支持方
端铰支细长压杆的长度
式对临界载荷的影响
§9-3 欧拉公式的适用范围 中小柔度杆的临界应力
临界状态特点－压杆可在任意微弯状态保持平衡
其他形式的稳定问题
F Fcr
§9-2 细长压杆的临界力
一、两端铰支压杆的临界力
求解思路 Fcr－使压杆在微弯条件下保持平衡的最小轴向压力 方法：使压杆微弯, 再求能 保持其平衡的最小轴向压力
临界力公式
微弯, 且 max p 时
d2w dx 2
M(x EI
(0 < < p )
a1, b1值与材料有关 适用于结构钢与低合金结构钢等
15
例题
例 9-1 硅钢活塞杆, d = 40 mm, E = 210 GPa, p= 100,
求Fcr
解：
2
i
I A
πd 4 64
4 πd
2
d 4
1.0
102
m
l
i
200
> p 大柔度杆
Fcr
π 2 EI
(l )2
cr=235 MPa-(0.00669 MPa) p=100
解：
FN
M A0, FN 30.9 kN
FN 30.9 kN
i
I A
(
D4 64
d
4
材料力学第九章__压杆稳定(1)
所以，临界力为：
kL2
Pcr4L22EI(L2/E2)I2
.
类比法
.
.
.
压杆临界力欧拉公式的一般形式
Pc r
2EI (L)2
—长度系数（或杆端约束影响系数）。 约束越紧，越小；反之. ， 越大。
Euler’s Formula for Critical Force of thin and long Bars under compression
.
32
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
解：截面惯性矩
I d 4
64
0.054
64
307 1 09m4
临界力
Pcr
2 EI l2
两杆的临界压力分别为 ：
Fcr1
l21E 2 I， Fcr2
2EI
l22
要使P最大，只有N1、N2
都达到临界压力，即
P cos
2E
l12
I
Psin 2 E I
l22
（1）
①
90
②
（2）
.
82
2
将(式 2)除以 (1)便 式 , t得 g ll1 2 ctg2
由 此 得arctg (ctg2)
① 90 ②
.
83
作业
9．1 9．2 9．5 9．7
.
例：三种不同截面形状的细长压杆如图所 示。试标出压杆失稳时各截面将绕哪根形 心主惯性轴转动。
正方形
等边角钢 槽钢
.
85
例 试由挠曲线近似微分方程，导出下述 两种细长压杆的临界力公式。
材料力学：第九章 压杆稳定问题
绞），I 应取最小的形心主惯矩，得到直杆的
实际临界力
若杆端在不同方向的约束情况不同， I 应取挠 曲时横截面对其中性轴的惯性矩。即，此时要 综合分析杆在各个方向发生失稳时的临界压力， 得到直杆的实际临界力（最小值）。
求解临界压力的方法：
1. 假设直梁在外载荷作用下有一个初始的弯曲变形
2. 通过受力分析得到梁截面处的弯矩，并带入挠曲线 的微分方程
P
采用挠曲线近似微分方程得
B
到的d —P曲线。
Pcr A
B'
可见，采用挠曲线近
似微分方程得到的d —P曲
线在压杆微弯的平衡形态
d
下，呈现随遇平衡的假象。
大挠度理论、小挠度理论、实际压杆
欧拉公式
在两端绞支等截面细长中心受压直杆
的临界压力公式中
2EI
Pcr l 2
形心主惯矩I的选取准则为
若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形
P
压杆稳定性的概念
当P较小时，P
Q
P
当P较大时，
P Q
稳定的平衡态
P
撤去横向力Q 稳定的
小
稳
P定
的
P P
临界压力
Pcr
不
稳
撤去横向力Q 不稳定的
定 的
P
大
不稳定的平衡态
压杆稳定性的概念
压杆稳定性的工程实例
细长中心受压直杆临界 力的欧拉公式
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
压杆的线（性）弹性稳定性问题
利用边界条件
得 w D,
xl
Dcos kl 0
若解1
D0
表明压杆未发生失稳
w(x) Asin kx B cos kx D
实际临界力
若杆端在不同方向的约束情况不同， I 应取挠 曲时横截面对其中性轴的惯性矩。即，此时要 综合分析杆在各个方向发生失稳时的临界压力， 得到直杆的实际临界力（最小值）。
求解临界压力的方法：
1. 假设直梁在外载荷作用下有一个初始的弯曲变形
2. 通过受力分析得到梁截面处的弯矩，并带入挠曲线 的微分方程
P
采用挠曲线近似微分方程得
B
到的d —P曲线。
Pcr A
B'
可见，采用挠曲线近
似微分方程得到的d —P曲
线在压杆微弯的平衡形态
d
下，呈现随遇平衡的假象。
大挠度理论、小挠度理论、实际压杆
欧拉公式
在两端绞支等截面细长中心受压直杆
的临界压力公式中
2EI
Pcr l 2
形心主惯矩I的选取准则为
若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形
P
压杆稳定性的概念
当P较小时，P
Q
P
当P较大时，
P Q
稳定的平衡态
P
撤去横向力Q 稳定的
小
稳
P定
的
P P
临界压力
Pcr
不
稳
撤去横向力Q 不稳定的
定 的
P
大
不稳定的平衡态
压杆稳定性的概念
压杆稳定性的工程实例
细长中心受压直杆临界 力的欧拉公式
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
压杆的线（性）弹性稳定性问题
利用边界条件
得 w D,
xl
Dcos kl 0
若解1
D0
表明压杆未发生失稳
w(x) Asin kx B cos kx D
《材料力学》第九章 压杆稳定
精确的挠曲线微分方程， 间确定的关系： 采用精确的挠曲线微分方程 可以得出F与 间确定的关系 采用精确的挠曲线微分方程，可以得出 与δ间确定的关系：
δ =
2 2l
π
F 1 F − 1 1 − − 1 F cr 2 F cr
精确解的F与 的关系如 所示。 在临界点 附近较为平坦， 的关系如AC所示 在临界点A附近较为平坦 精确解的 与δ的关系如 所示。AC在临界点 附近较为平坦， 且于直线AB相切 随着压力逐渐减小趋近于F 相切。 中点挠度δ趋 且于直线 相切。随着压力逐渐减小趋近于 cr时，中点挠度 趋 近于零。可见F 正是压杆直线平衡和曲线平衡的分界点。 近于零。可见 cr正是压杆直线平衡和曲线平衡的分界点。 注意现象：曲线AC在为临界点 附近较为平坦， 在为临界点A附近较为平坦 注意现象：曲线 在为临界点 附近较为平坦，当F略高于 略高于 Fcr时，挠度 急剧增加。如F=1.152Fcr时，δ=0.297l≈0.30l。这样 挠度δ急剧增加 急剧增加。 。 大的变形，除了比例极限很高的金属丝可以实现外， 大的变形，除了比例极限很高的金属丝可以实现外，实际压杆一 般不能承受，在达到如此大的变形之前， 般不能承受，在达到如此大的变形之前，杆件早已发生塑性变形 甚至折断。工程中常见的压杆一般都是小变形的，所以， 甚至折断。工程中常见的压杆一般都是小变形的，所以，在小挠 度的情况下，由欧拉公式确定的临界力是有实际意义的。 度的情况下，由欧拉公式确定的临界力是有实际意义的。 以上讨论是对理想压杆 理想压杆——认为压杆轴线是理想直线，压力 认为压杆轴线是理想直线， 以上讨论是对理想压杆 认为压杆轴线是理想直线 作用线与轴线重合，材料是均匀的。实际压杆是有缺陷的， 作用线与轴线重合，材料是均匀的。实际压杆是有缺陷的，这些 缺陷相当于压力有一个偏心距，使压杆很早就出现弯曲变形。 缺陷相当于压力有一个偏心距，使压杆很早就出现弯曲变形。所 实验结果略如曲线OF示 折线OAB可看作是它的极限情况， 可看作是它的极限情况， 以，实验结果略如曲线 示，折线 可看作是它的极限情况 说明理想压杆作为实际压杆的分析模型有实际意义。 说明理想压杆作为实际压杆的分析模型有实际意义。
材料力学第9章 压杆稳定(土木)
2.1922年冬天下大雪，美国华盛 . 年冬天下大雪， 年冬天下大雪 顿尼克尔卜克尔剧院由于屋顶结 构中的一根压杆超载失稳，造成 构中的一根压杆超载失稳， 一根压杆超载失稳 剧院倒塌， 余人。 剧院倒塌，死98人，伤100余人。 人 余人
3.2000年10月25日 . 年 月 日 上午10时 分 上午 时30分，在南京 电视台演播中心演播厅 屋顶的浇筑混凝土施工 顶的浇筑混凝土施工 中，因脚手架失稳，造 脚手架失稳， 成演播厅屋顶模板倒塌， 成演播厅屋顶模板倒塌， 死5人，伤35人。 人 人
欧拉公式与精确解曲线 精确解曲线
F =1.152F 时，
cr
δ ≈ 0.3l
理想受压直杆 非理想受压直杆
y
适用条件： 适用条件： •理想压杆（轴线为直线，压力与 理想压杆（轴线为直线， 理想压杆 轴线重合，材料均匀） 轴线重合，材料均匀） •线弹性，小变形 线弹性， 线弹性 •两端为铰支座 两端为铰支座
hb3 Iz = = 32cm 4 12
µl
iz =
Iz 32 = = 1.155cm A 4× 6
x
h
µ z = 0.5,
0.5 × 2 λz = = = 86.6 −2 iz 1.155 ×10
A3钢的λs= 61.6， λs＜λ＜ λp，属于中 钢的 ， 长压杆稳定问题。 长压杆稳定问题。 由表9-2查得 由表 查得: 查得
挠曲线的近似微分方程 挠曲线的近似微分方程
d w M =− dx EI
2
2
d w Fw =− 2 dx EI
引入记号
2
F w′′ + w = 0 EI
F k = EI
2
w′′ + k w = 0
《材料力学》孙训方 刘鸿文 讲义(笔记)-第九章 压杆稳定
第九章 压杆稳定§9-1 压杆稳定性的概念一、引言工程中有许多细长的轴向压缩杆件，例如，气缸或油缸中的活塞杆、内燃机连件、建筑结构中的立柱、火箭的级间连接支杆等。
材料力学中统称为压杆或柱。
前面研究直杆轴向压缩时，认为杆是在直线形态下维持平衡，杆的失效是由于强度不足而引起的。
事实上，这样考虑，只对短粗的压杆才有意义，而对细长的压杆，当它们所受到的轴向外力远未达到其发生强度失效时的数值，可能会突然变弯而丧失了原有直线形态下的平衡而引起失效。
它是不同于强度失效的又一种失效形式。
受压变弯的原因：（1）压秆在制造时其轴线存在初曲率。
（2）合外力作用线与杆轴线没有重合。
（3）材料的不均匀性。
二、“中心受压理想直杆”力学模型及稳定的概念力学模型：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用 试验：取如图所示两端铰支均质等直细长杆，加轴向压力F ，压杆呈直线形态平衡。
现在，若此压杆受到一很小的横向干扰力。
(例如，轻轻地推一下)，则压杆弯曲，如图 a 中虚线所示。
当横向干扰力解除后，会出现下述两种情况：1) 当轴向压力F 小于某一数值时，压杆又恢复到原来的直线平衡形态，如图 b 所示。
（稳定平衡） 2) 当轴向压力F 增加到这一数值时，虽然干扰力已解除，但压杆不再恢复到原来的直线平衡形态，而在微弯曲的形态下平衡，如图 c 所示。
（不稳定平衡）可见，压杆的原来直线形态平衡是否稳定，与所受轴向压力F 的大小有关；当轴向压力F 由小逐渐增加到某一个数值时，压杆的直线形态平衡由稳定过渡到不稳定。
压杆的直线形态平衡由稳定过渡到不稳定所受的轴向压力的界限值，称为压杆的临界力，用F cr 表示。
当压杆所受的轴向压力F 达到临界力F cr 时，其直线形态的平衡开始丧失，我们称压杆丧失了稳定性，简称失稳。
研究压杆稳定性的关键是寻求其临界力的值。
§9-2细长中心受压直杆临界力的欧拉公式假设两端球形铰支的等直细长压杆所受的轴向压力刚好等于其临界力，并且已经失稳而在微弯曲状态下保持平衡，如图所示。
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Institute of Engineering Mechanics
F w
w
wmax
F
M w
F
F
M = Fw
d2w = − M dx2 EI
= − Fw EI
（小挠度假设）
d2w dx2
+
k
2
w
=
0
⎛ ⎜⎝
k
2
=
F EI
⎞ ⎟⎠
w = Asin kx + B cos kx
（A, B: 积分常数）
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
临界压力计算
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
—— 理想铰支中心压杆
问题：
思路：过程倒序
F
Fcr
Fcr
F
Fcr
Q
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
1
理想铰支中心压杆
Beijing Jiaotong University
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
l l 0.7l l 0.5l
l 2l l 0.5l L
w w
其他支座条件
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
支承情况 失 稳 时 挠 曲 线 形 状
试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界力公式。 解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
Ｆ
Ｆ
M0
EIw" = −M (x) = −Fw + M0 令 :k2 = F
EI
x Ｆx Fw-M0
w"+ k 2 w = k 2 M 0 F
w = c cos kx + d sin kx + M 0 / F
Ｆx Fw-M0
kL=2π
临界力为：
M0 Ｆ
Fcr
=
4π 2EI L2
=
π 2EI (L / 2)2
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
(μ = 0.5)
其他支座条件
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
3
其他支座条件 — 思考题
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
求如下支座压杆的临界压力: 1) 一端固支,一端自由; 2) 一端固支,一端铰支;
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
3. 欧拉公式的适用范围: 线弹性(σ < σp)
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
理想铰支中心压杆
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
进一步讨论：(1) 失稳后的挠曲方程(F=Fcr)
Institute of Engineering Mechanics
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
2
理想铰支中心压杆 — 例1 Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics
F
杆两端铰支, 由A-36钢管制成(E=200GPa, σp=250MPa), 长7.2m, 求[F]。
Institute of Engineering Mechanics
F
kl = F l = nπ EI
l
F = n2π 2 EI l2
(取：n = 1)
Fcr
=
Fmin
=
π 2EI l2
理想铰支中心压杆的 欧拉公式
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
理想铰支中心压杆
Beijing Jiaotong University
理想铰支中心压杆
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
F
通解： w = Asin kx + B cos kx (k 2 = F / EI )
边界条件：① 当x = 0时, w = 0
⇒ B=0 ⇒ w = Asin kx l ② 当x = l 时, v = 0 ⇒ A sin kl = 0 *
(*)式成立条件:
(1) A=0 ——平凡解, 压杆的直线稳定平衡状态 ★(2) sin kl = 0 ——A≠0, 压杆的曲线稳定平衡状态
—— 失稳条件
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
理想铰支中心压杆 失稳条件：sin kl = 0 (k 2 = F / EI )
Beijing Jiaotong University
直线公式: σ cr =a−bλ
σ cr 临界应力总图
σs σ cr =σ s
σ cr =a−bλ
σp
σ cr
=
π 2E λ2
小柔度 中柔度
大柔度
λ
s
=
σ
s
− b
a
λp =
π 2E σP
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
λ=μL i
临界应力经验公式
Beijing Jiaotong University
(惯性半径) 长细比(柔度)
欧拉公式的应用条件：
σ cr
=
π 2E λ2
≤σp
or λ ≥
π 2E σp
= λp
λ ≥λp 大柔度杆(或长细杆), 欧拉公式适用 λ <λp 中小柔度杆，欧拉公式不适用
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
中小柔度杆的临界应力经验公式 Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
稳定平衡
不稳定平衡
随遇平衡（中性平衡）
两个稳定平衡状态
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
结构失效模式
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
Fcr
Fcr
Fcr
B
B
B
D
C
C
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
一端固定 两端固定但可沿 另端自由 横向相对移动
Fcr
Fcr
C— 挠曲线拐点
临界力Fcr 欧拉公式
Fcr
=
π 2EI l2
Fcr
≈
π 2EI (0.7l)2
Fcr
≈
π 2EI (0.5l)2
Institute of Engineering Mechanics
抛物线公式: σcr=a-bλ2
临界应力总图
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
临界应力经验公式 — 例1 Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics
Fcr
≈
π 2EI (2l ) 2
Fcr
=
π 2EI l2
长度系数μ μ北京= 交1通大学μ工≈程0力.7学研究μ所= 0汪.5越胜 μW=ang2Yue-Sheng μ = 1
其他支座条件 — 例1
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
其他支座条件
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
细长压杆临界压力的欧拉公式统一形式:
Fcr
=
π 2EI ( μl ) 2
μ —压杆长度系数(与支座形式有关) μl—压杆的相当长度
M0 Ｆ
M0 Ｆ
边界条件为: x = 0, w = w' = 0 ; x = L,w = w' = 0
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其他支座条件 — 例1
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
欧拉公式应用范围
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
临界压力： 临界应力：
Fcr
=
π 2EI (μl)2
σ cr
=
Fcr A
=
π 2 EI (μL)2 A
=
π 2E (μL / i)2
= π2E λ2
i= I A
F w
w
wmax
F
M w
F
F
M = Fw
d2w = − M dx2 EI
= − Fw EI
（小挠度假设）
d2w dx2
+
k
2
w
=
0
⎛ ⎜⎝
k
2
=
F EI
⎞ ⎟⎠
w = Asin kx + B cos kx
（A, B: 积分常数）
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临界压力计算
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
—— 理想铰支中心压杆
问题：
思路：过程倒序
F
Fcr
Fcr
F
Fcr
Q
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1
理想铰支中心压杆
Beijing Jiaotong University
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
l l 0.7l l 0.5l
l 2l l 0.5l L
w w
其他支座条件
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
支承情况 失 稳 时 挠 曲 线 形 状
试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界力公式。 解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
Ｆ
Ｆ
M0
EIw" = −M (x) = −Fw + M0 令 :k2 = F
EI
x Ｆx Fw-M0
w"+ k 2 w = k 2 M 0 F
w = c cos kx + d sin kx + M 0 / F
Ｆx Fw-M0
kL=2π
临界力为：
M0 Ｆ
Fcr
=
4π 2EI L2
=
π 2EI (L / 2)2
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(μ = 0.5)
其他支座条件
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
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3
其他支座条件 — 思考题
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
求如下支座压杆的临界压力: 1) 一端固支,一端自由; 2) 一端固支,一端铰支;
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3. 欧拉公式的适用范围: 线弹性(σ < σp)
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理想铰支中心压杆
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
进一步讨论：(1) 失稳后的挠曲方程(F=Fcr)
Institute of Engineering Mechanics
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
2
理想铰支中心压杆 — 例1 Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics
F
杆两端铰支, 由A-36钢管制成(E=200GPa, σp=250MPa), 长7.2m, 求[F]。
Institute of Engineering Mechanics
F
kl = F l = nπ EI
l
F = n2π 2 EI l2
(取：n = 1)
Fcr
=
Fmin
=
π 2EI l2
理想铰支中心压杆的 欧拉公式
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理想铰支中心压杆
Beijing Jiaotong University
理想铰支中心压杆
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
F
通解： w = Asin kx + B cos kx (k 2 = F / EI )
边界条件：① 当x = 0时, w = 0
⇒ B=0 ⇒ w = Asin kx l ② 当x = l 时, v = 0 ⇒ A sin kl = 0 *
(*)式成立条件:
(1) A=0 ——平凡解, 压杆的直线稳定平衡状态 ★(2) sin kl = 0 ——A≠0, 压杆的曲线稳定平衡状态
—— 失稳条件
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理想铰支中心压杆 失稳条件：sin kl = 0 (k 2 = F / EI )
Beijing Jiaotong University
直线公式: σ cr =a−bλ
σ cr 临界应力总图
σs σ cr =σ s
σ cr =a−bλ
σp
σ cr
=
π 2E λ2
小柔度 中柔度
大柔度
λ
s
=
σ
s
− b
a
λp =
π 2E σP
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λ=μL i
临界应力经验公式
Beijing Jiaotong University
(惯性半径) 长细比(柔度)
欧拉公式的应用条件：
σ cr
=
π 2E λ2
≤σp
or λ ≥
π 2E σp
= λp
λ ≥λp 大柔度杆(或长细杆), 欧拉公式适用 λ <λp 中小柔度杆，欧拉公式不适用
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中小柔度杆的临界应力经验公式 Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics
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稳定平衡
不稳定平衡
随遇平衡（中性平衡）
两个稳定平衡状态
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结构失效模式
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Institute of Engineering Mechanics
两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
Fcr
Fcr
Fcr
B
B
B
D
C
C
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
一端固定 两端固定但可沿 另端自由 横向相对移动
Fcr
Fcr
C— 挠曲线拐点
临界力Fcr 欧拉公式
Fcr
=
π 2EI l2
Fcr
≈
π 2EI (0.7l)2
Fcr
≈
π 2EI (0.5l)2
Institute of Engineering Mechanics
抛物线公式: σcr=a-bλ2
临界应力总图
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
临界应力经验公式 — 例1 Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics
Fcr
≈
π 2EI (2l ) 2
Fcr
=
π 2EI l2
长度系数μ μ北京= 交1通大学μ工≈程0力.7学研究μ所= 0汪.5越胜 μW=ang2Yue-Sheng μ = 1
其他支座条件 — 例1
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
其他支座条件
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
细长压杆临界压力的欧拉公式统一形式:
Fcr
=
π 2EI ( μl ) 2
μ —压杆长度系数(与支座形式有关) μl—压杆的相当长度
M0 Ｆ
M0 Ｆ
边界条件为: x = 0, w = w' = 0 ; x = L,w = w' = 0
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
其他支座条件 — 例1
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
欧拉公式应用范围
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
临界压力： 临界应力：
Fcr
=
π 2EI (μl)2
σ cr
=
Fcr A
=
π 2 EI (μL)2 A
=
π 2E (μL / i)2
= π2E λ2
i= I A