多元变量的最值
多元函数的极值与最值
关系，极值和最值可以帮助确定最优的生产要素组合，使得生产成本最
小化。
02
物流优化
在物流领域，多元函数可以用来描述运输成本、时间等与运输路线、方
式之间的关系，极值和最值可以帮助确定最优的运输方案，提高物流效
率。
03
金融优化
在金融领域，多元函数可以用来描述投资组合的风险和回报，极值和最
值可以帮助确定最优的投资组合，实现风险和回报的平衡。
单调性
最值点处的函数值是该区间上的最大或最小值，即函数在此点处单调增加或单调减少。
最值的判定条件
连续性
函数在闭区间[a, b] × [a, b]上连续，这是最值存 在的必要条件。
边界值
在闭区间的边界点上，函数值可能取到最值，因 此需要检查边界点的函数值。
一阶导数
如果函数在某点处的导数为零，且该点两侧的导 数符号发生变化，则该点可能是最值点。
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主题的重要性
在实际应用中，极值与最值的概念具 有广泛的应用，例如在经济学、物理 学、工程学等领域中，经常需要找到 某个函数的最优解或最小化某个目标 函数。
极值与最值的概念也是数学研究的重 要分支，对于理解函数的性质、函数 的图像以及解决一些数学问题具有重 要的作用。
02
多元函数的基本概念
多元函数的定义
投影图
将三维空间的图形投影到 二维平面上，以便更直观 地观察函数的形状和变化 趋势。
切线图
通过绘制函数在某一点的 切线，来表示函数在该点 的斜率和方向。
03
多元函数的极值
极值的定义
极值
在函数定义域内某点附近，函数值大于或小于其邻域内其他点的函 数值，则称该点为函数的极值点，函数在该点的值为极值。
关于多元函数的极值和最值计算
关于多元函数的极值和最值计算多元函数的极值和最值计算是高等数学中的重要部分，它涉及到多元函数的极大值和极小值的求解以及在给定区域内的最大值和最小值的确定。
在这篇文章中，我们将详细介绍多元函数的极值和最值计算的方法和步骤。
首先，让我们来了解一下多元函数的概念。
在高等数学中，一个多元函数是指具有多个变量的函数，它通常被表示为f(x1,x2,...,xn)，其中x1,x2,...,xn是变量，f是一个函数。
多元函数与一元函数不同，它的输入变量不再是一个实数，而是多个实数。
因此，多元函数的求解方法也与一元函数有所不同。
下面我们将分别介绍多元函数的极大值和极小值的求解方法。
首先是多元函数的极大值和极小值的求解。
要求解多元函数的极大值和极小值，我们需要找到函数的驻点（即导数等于零的点）以及临界点（即定义域的边界点）。
第一步是计算多元函数的偏导数。
在多元函数中，我们根据变量的个数来计算偏导数。
例如，对于一个两个变量的函数f(x1,x2)，我们需要计算f对x1的偏导数∂f/∂x1和f对x2的偏导数∂f/∂x2第二步是找到偏导数为零的点。
我们将得到一个方程组，其中每个方程都是一个偏导数等于零的方程。
通过求解这个方程组，我们可以找到多元函数的驻点。
第三步是找到临界点。
临界点是指函数定义域的边界点。
我们需要判断多元函数在这些边界点是否存在极值。
为此，我们可以计算函数在边界点处的取值，并与其他驻点的函数值进行比较。
通过这些步骤，我们可以确定多元函数的极大值和极小值。
接下来，让我们介绍多元函数在给定区域内的最大值和最小值的确定方法。
要确定多元函数在给定区域内的最大值和最小值，我们需要利用拉格朗日乘数法。
首先，确定给定区域的边界条件。
给定区域可以是一个封闭区域，也可以是一个开放区域。
第一步是通过拉格朗日乘数法构建一个方程。
这个方程的形式是多元函数加上一个或多个约束条件的等式。
拉格朗日乘子是用来考虑约束条件对函数极值的影响的。
多元函数极值与最值
多元函数极值与最值在微积分中，我们学习了一元函数的极值与最值问题。
而在现实生活中，很多问题涉及到多个变量的函数，即多元函数。
对于多元函数来说，我们也需要研究其极值与最值问题。
本文将介绍多元函数的极值与最值的求解方法，并通过几个例子进行说明。
1. 极值与最值的定义在进行多元函数的极值与最值问题的求解之前，首先需要了解各种极值与最值的定义。
（这里插入合适的图表和示意图）1.1 局部极值：若对于一个给定的多元函数，存在某个点使得在该点的某个邻域内，函数值在该点之上或之下都小于等于（或大于等于）该点的函数值，那么称该点是该函数的一个局部极值点。
1.2 全局极大值与极小值：若对于一个给定的多元函数，如果函数的取值在定义域上的每个点上都大于等于（或小于等于）其它点，那么称该函数在该定义域上有全局极大值或极小值。
1.3 最大值与最小值：若对于一个给定的多元函数，对于其定义域上的每个点，函数值都小于等于（或大于等于）某个常数，那么称该常数为该函数在定义域上的最小值或最大值。
2. 求解方法接下来，我们将介绍两种常用的方法来求解多元函数的极值与最值问题。
2.1 梯度法梯度法是一种常用的用于求解多元函数极值的方法。
它利用函数在某个点的梯度方向可以指示函数值增大或减小的趋势。
具体步骤如下：（这里插入梯度法求解极值的算法步骤）2.2 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是另一种常用的求解多元函数极值与最值的方法。
它适用于含有约束条件的优化问题，即在满足一定条件下求取函数的极值或最值。
具体步骤如下：（这里插入拉格朗日乘子法求解极值的算法步骤）3. 实例分析为了更好地理解多元函数的极值与最值问题的求解方法，我们将通过几个实例来进行分析。
3.1 示例一：二元函数我们考虑一个二元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）通过梯度法和拉格朗日乘子法，我们可以求解该函数的极值与最值，并得出结果。
3.2 示例二：三元函数我们再考虑一个三元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）同样地，我们可以利用梯度法和拉格朗日乘子法来求解该函数的极值与最值。
多元函数条件极值的求解方法
多元函数条件极值的求解方法一、拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是一种常用的求解多元函数条件极值问题的方法，其基本思想是将约束条件转化为目标函数的等式约束，通过构造拉格朗日函数来求解极值点。
具体步骤如下：1.确定目标函数和约束条件。
假设目标函数为f(x,y,...)，约束条件为g(x,y,...)=0。
2.构造拉格朗日函数。
将目标函数和约束条件相乘，并引入拉格朗日乘子λ，构造拉格朗日函数L(x,y,...,λ)=f(x,y,...)+λg(x,y,...)3.求解极值点。
对L(x,y,...,λ)分别对变量x,y,...,λ求偏导数，令其等于0，得到一组方程。
解方程组，得到拉格朗日乘子λ和变量的值。
4.检查结果。
将求得的解代入目标函数中，计算函数值，检查是否为极值点。
若不是，返回第3步，重新求解。
二、隐函数定理隐函数定理是求解多元函数条件极值问题的另一种方法，该方法适用于函数的值无法用显式的表达式表示的情况。
具体步骤如下：1.确定目标函数和约束条件。
假设目标函数为f(x,y,...)，约束条件为g(x,y,...)=0。
2.构造拉格朗日函数。
将约束条件g(x,y,...)=0表示为G(x,y,...,z)=0，其中z是一个待定参数。
3. 利用隐函数定理。
对 G(x, y, ..., z) 关于 z 求导，得到隐函数关系式 dz/dx = -∂G/∂x / ∂G/∂z，dz/dy = -∂G/∂y / ∂G/∂z。
求得dz/dx 和 dz/dy 后，得到 z(x, y) 的形式。
4.代入目标函数。
将x和y分别用z表示，得到函数f(z)。
对f(z)求导，令其等于0，解方程求得z(x,y)的极值点。
5.检查结果。
将求得的z(x,y)代入目标函数f(x,y,...)中，计算函数值，检查是否为极值点。
若不是，返回第4步，重新求解。
总结：拉格朗日乘子法适用于目标函数和约束条件可用显式表达式表示的情况下，且求解过程相对简单。
多变量最值问题求解的常用解法
多变量最值问题求解的常用解法
1. 枚举法：若实际问题中的目标函数为只有已知解的有限多解，则
可以用枚举法列举所有的解，并依据目标函数的需求，选择其中的最
优解。
2. 穷举法：用于解决多变量最优化问题，即多元非线性函数最值问题，又称暴力搜索法。
穷举法的思想就是将问题的所有解范围分割成一个
个小区间，然后将所有小区间取点，最终求取各点函数值得出最值。
3. 暴力搜索法：通过搜索问题中可能出现的每一种情况，最终求取最
优解。
4. 遗传算法：是一种著名的进化计算方法，它具有简单易行、收敛速
度快等优点，在解决多变量最优化问题时能够取得很好的效果。
5. 模拟退火算法：模拟退火算法是一种建立在模拟物理过程的算法，
该算法采取尝试性的搜索方式，避免局部最优的出现和陷入，对多变
量最优化问题常常可以取得满意的解。
多元函数的极值与最值
多元函数的极值与最值多元函数是指含有多个变量的函数。
在数学中，多元函数的极值和最值是研究函数在定义域内取得的最大值或最小值的问题。
本文将探讨多元函数的极小值与极大值，以及如何确定极值的方法。
1. 极值的定义和判断方法多元函数的极大值和极小值定义如下：对于函数f(x1, x2, ..., xn)，若存在一个点P(x1, x2, ..., xn)使得在点P的某个邻域内，对于任意(x1', x2', ..., xn')，f(x1', x2', ..., xn') ≤ f(x1, x2, ..., xn)，则称f(x1, x2, ..., xn)在点P取得极小值；若存在一个点Q(x1, x2, ..., xn)使得在点Q的某个邻域内，对于任意(x1', x2', ..., xn')，f(x1', x2', ..., xn') ≥ f(x1, x2, ..., xn)，则称f(x1, x2, ..., xn)在点Q取得极大值。
判断函数极值的方法常用的有以下几种：- 一阶导数法：求出函数的所有一阶偏导数，并解方程组求出所有临界点，再通过二阶偏导数或利用一阶导数的符号变化判断临界点的性质（极大值或极小值）。
- 二阶导数法：计算函数的所有二阶偏导数，并判断二阶导数的符号确定临界点的性质。
- 极值判别法：利用Hessian矩阵来判断函数的极值，若Hessian矩阵是正定的，则函数取得极小值；若Hessian矩阵是负定的，则函数取得极大值。
2. 寻找多元函数的最值寻找多元函数的最值的方法有以下几种：- 符号法：将函数在定义域边界上的取值代入函数，通过比较得到最大值和最小值。
- 拉格朗日乘数法：当函数的自变量受到一定的限制条件时，可以利用拉格朗日乘数法来求解函数的最值。
- 最优化算法：通过迭代计算的方式，利用数值优化算法来求解函数的最值，例如梯度下降法、牛顿法等。
多元函数的极值及最值
一、最值应用问题
依据
函数 f 在闭域上连续
函数 f 在闭域上可达到最值
最值可疑点
驻点 边界上的最值点
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,
f (P) 为极小(大) 值
f (P) 为最小(大) 值
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1、多元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值.
F xfx x 0
解方程组 F yfyy0求驻点 .
F0
3. 函数的最值问题 第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) 第二步 判别 • 比较驻点及边界点上函数值的大小 • 根据问题的实际意义确定最值
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有志者，事竟成，破釜沉舟， 百二秦关终属楚;
苦心人，天不负，卧薪尝胆， 三千越甲可吞吴。
fx(x, f y (x,
y) y)
0 0
第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .
2. 函数的条件极值问题
(1) 简单问题用代入法
(2) 一般问题用拉格朗日乘数法
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如求二元函数 zf(x,y)在条件(x,y)0下的极值,
设拉格朗日函数 F f( x ,y )( x ,y )
VV(x,y,z)xyz
z
y x
设 F ( x ,y ,z ,) x y z [ 2 ( x y y z z x ) a 2 ]
Fyz2(yz)0
x
S2(xyyzzx)a2
Fxz2(xz)0 VV(x,y,z)xyz
令
y
Fxy2(xy)0
z
多元函数的极值和最值
练习题
一、填空题: 1、函数 f ( x, y) (6x x 2 )(4 y y 2 ) 在_______点取 得极_________值为___________. 2、函数 z xy 在附加条件x y 1 下的极______值 为_____________. 3、方程 x 2 y 2 z 2 2x 4 y 6z 2 0 所确定的 函数z f ( x, y) 的极大值是___________,极小值 是_____________.
Ay
2( x
2 y2
)
0
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可
断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
高为
3
2 23
2
3
2
时,
水箱所用材料最省.
例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成
一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面
积最大.
解: 设折起来的边长为 x cm, 倾角为 , 则断面面积
若 f ( x0 , y)及 f ( x, y0 ) 在( x0 , y0 ) 点均取得 极值，则 f ( x, y)在点( x0 , y0 )是否也取得极值？
思考题解答
不是. 例如 f ( x, y) x 2 y 2,
当x 0时， f (0, y) y2在(0,0) 取极大值; 当 y 0时， f ( x,0) x 2在(0,0) 取极小值; 但 f ( x, y) x2 y2在(0,0) 不取极值.
条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外,
还有其它条件限制 条件极值的求法:
方法1 代入法. 例如 ,
在条件(x, y) 0下, 求函数 z f (x, y) 的极值
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多元变量的最值
最值问题，特别是多元变量的最值问题是近几年高考的热点．这类最值问题因为变量多，结构式复杂，相互之间的制约关系较难把握，导致处理难度大．
一、利用基本不等式
求二元解析式的最值时，若关于两个变元的和式或积式为定值，可用基本不等式求最值． 例1 已知x>0，y>o ，lg2x +lg8y =1g2，则
113x y +的最小值是
二、构造方程
牵涉多个变量，通过设立主元，其他看成系数，构造一元二次方程，运用根的判别式求解． 例2 已知实数a ，b ，c 满足a+b+c=9，ab+ac+bc=24，则b 的取值范围是 ．
三、转化为函数问题
有时变量虽多，但巧妙利用两个等式之间的关系，构造出函数，再利用函数求最值是处理中学最值问题的一个常规手段．
例3 已知x,y,z ∈R ，且x+y+z=1，x 2+y 2+z 2=3，则xyz 的最大值是 ．
四、降元化归思想
题中变量较多时，可以利用不等关系将三元变量降为二元，利用齐次结构式将二元转换为一元，体现数学中的化归思想。
例4 已知三次函数32()()32a b f x x x cx d a b =
+++<在R 上单调递增，则a b c b a
++-的最小值为
五、三角换元法
形如“约束条件f(x,y)=0的二次式下求解w=g(x,y)的最值、值域"等问题，利用三角代换来求解一样有它自己的特色和魅力．利用三角求解一样有别致新颖、干净利落一面，而且学生也易于掌握．
例5 若实数x,y 满足221,x y xy ++=，则x+y 的最大值是 ．
六、运用式子的几何意义
在解题时充分利用好题目中的原始条件，结合一些常见的思想方法，从不同角度、用不同的知识处理这类问题(不是简单的重复或类比)，既可以充分利用所学的知识，又不失创造性。
例6 已知点P(x ，y)到原点的距离为1，则m 22
x y x y +-=
-+的最大值为 ．
练习
1.已知正数x ,y 满足xy +x +2y =6，则xy 的最大值为 .
2.已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则a b +的取值范围为 ab 的最小值为 ..
3. 已知正实数,x y 满足ln ln 0x y +=,且22
(2)4k x y x y +≤+恒成立,则k 的最大值是________.
4.设0,,>z y x ，满足82
2=++z y xyz ，则z y x 224log log log ++的最大值是 ．
5.若实数a ，b ，c ，满足2221a b c ++=，则2332ab bc c -+的最大值为________．
6.若实数y x ,满足02422=+++y y x x ，则y x +2的范围是
8.已知实数0,>y x 且2=xy ，则848223
3+++y x y x 的最小值是 ．
9.实数,x y 满足224545x xy y -+=，设22S x y =+，则max min 1
1S S += ．
10. 若11,,11
x y R x y +∈=+＋，则2x y +的最小值是 ．
11.设,x y 为实数，若142
2=+y x ，则y x +的最大值是
12.已知直线022=-+y x a 与直线01)1(2=-+-y a bx 互相垂直，则||ab 的最小值为
13.若实数0>y ,x 且1=xy ，则y x 2+的最小值是 ，y x y x 242
2++的最小值是 ． 14.设,x y 是正实数，且3x y +=，则22
11
y x x y +++的最小值是 ．
15.已知不等式22
2xy ax y ≤+，若对任意[1,2]x ∈及[2,3]y ∈，该不等式恒成立，则实数a 的范围是
16.若存在0[1,3]x ∈，使得不等式200043x ax x -+≤成立，则实数a 的取值范围
是 ．
17．设,a b ∈R ,关于,x y 的不等式||||1x y +<和48ax by +≥无公共解，则ab 的取值范
围是（ ）
A ．[]16,16-
B ．[]8,8-
C ．[]4,4-
D ．[]2,2- A
18.若正数,a b 满足
111a b +=，则1411a b +--的最小值为
19. 设正实数x,y,z 满足4,5x y z xy yz zx ++=++=，则y 的取值范围为 .
20．已知实数,,a b c 满足2221a b c ++=，则ab bc ca ++的取值范围是
21. 已知实数,,a b c 满足
22211144
a b c ++=，则22ab bc ca ++的取值范围是
22. 已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为
23.已知实数x ，y ，满足xy =1，且x >2y >0，则22
42x y x y +-的最小值为 24.设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，则2
y xz
的最小值是 25.设,x y 是正实数，且1x y +=，则22
21
x y x y +++的最小值是 26.设实数x,y 满足3≤2
xy ≤8，4≤y x 2≤9，则43
y x 的最大值是 .
27.已知函数f (x )＝|x 2＋2x －1|，若a ＜b ＜－1，且f (a )＝f (b )，则ab ＋a ＋b 的取值范围
是 ．。