3分段函数
北师大版高中数学必修第一册 第二章 2-2《分段函数》课件PPT
+ = 1,
= −1,
解得ቊ
= 2,
= 2.
∴左侧射线对应的函数解析式为y=-x+2(x≤1).
同理,当x≥3时,对应的函数解析式为y=x-2(x≥3).
再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1<x<3,a<0).
∵点(1,1)在抛物线上,∴a+2=1,∴a=-1.
2.已知函数值求自变量的值的步骤
(1)先确定所求自变量的值可能存在的区间及其对应的函数解析式.
(2)再将函数值代入不同的解析式中.
(3)通过解方程求出自变量的值.
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.
延伸探究
在本例已知条件下,若f(x)>0,求x的取值范围.
≥ 2,
0 ≤ < 2,
< 0,
可得到以下函数解析式y=
4,10 < ≤ 15,∈N+ ,
5,15 < ≤ 19,∈N+ .
根据这个函数解析式,可画出函数图象,如图所示.
典例剖析
例
分段函数的理解与应用
如图所示,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC长为7 cm,腰长为2 2 cm,
当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l
第二章
§2
函 数
2.2
函数的表示法
第2课时
分段函数
学习目标
1.了解分段函数的概念.
2.会求分段函数的函数值,能画出分段函数的图象.
3.能在实际问题中列出分段函数,并能解决有关问题.
核心素养：数学抽象、直观想象、数学建模
考点03 分段函数的4种求法(解析版)
专题二 函数考点3 分段函数的4种求法【方法点拨】分段函数的4种求法1. 求函数值或解不等式：由自变量所属区间，选定相应的解析式求解.2. 求函数值域：分别求每一段的值域取并集.3. 求函数最值：分别求每一段的最值，然后比较大小.4.求参数的值(或参数范围)：分段处理，分类讨论，综合作答. 三、【高考模拟】1．已知函数()2,0x x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则()()4f f =（ ）A ．-4B ．14-C ．14D ．4【答案】C 【分析】根据分段函数的解析式，先求()4f ，再求()2f -即可求解.【解析】由()2,0x x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则()42f ==-，所以()()()214224ff f -=-==. 故选：C2．已知函数(2),2()(2),2x x x f x f x x +⎧=⎨+<⎩，则(1)f =（ ）A ．3B ．6C ．15D ．12【答案】C 【分析】根据分段函数解析式代入计算即可； 【解析】解：因为(2),2()(2),2x x x f x f x x +⎧=⎨+<⎩，所以()()()11233215f f =+=⨯+=故选：C3．已知函数()()1,1 23,1xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，则()1f -=（ ）A ．12B ．2C ．14D ．18【答案】C 【分析】根据函数的解析式，代入计算，即可求解. 【解析】由题意，函数()()1,1 23,1xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，可得()()()211113224f f f ⎛⎫-=-+=== ⎪⎝⎭.故选：C.4．已知20()(1)0x x f x f x x ⎧>=⎨+≤⎩，则()1f -=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】C 【分析】根据分段函数各段的定义域求解. 【解析】因为20()(1)0x x f x f x x ⎧>=⎨+≤⎩，所以()()()110122f f f -====，故选：C 5．已知5,6()(4),6x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(1)f -的值为（ ）A ．6-B ．2-C ．2D ．3【答案】C【分析】利用解析式可有()()(1)37f f f -==，利用已有的解析式可得(1)f -的值. 【解析】由题设有()()(1)372f f f -===， 故选：C.6．已知21,0()2,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()()2f f =（ ）A ．26B ．17C ．8D ．-10【答案】B 【分析】利用分段函数的解析式，将自变量代入即可求解. 【解析】由21,0()2,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()2224f =-⨯=-， 所以()()()()2244117ff f =-=-+=.故选：B7．已知函数()222,12,1x x x f x x ++<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()()0f f =（ ）A ．4B ．16C ．32D ．64【答案】D 【分析】直接根据分段函数解析式代入计算可得； 【解析】解：因为()222,12,1x x x f x x ++<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，所以()0022f =+=，()()()2226022264f f f +==== 故选：D8．已知1,(1)()3,(1)x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，那么12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值是（ ）A ．52 B ．32C ．92D ．12-【答案】B 【分析】 先根据12所在区间计算出12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的结果，然后再根据12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭所在区间计算出12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值. 【解析】 因为112≤，所以1131222f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，又因为312>，所以133332222f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：B.9．设函数()()2221log (1)x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则()()0f f （ ）A ．0B ．3C ．1D ．2 【答案】C 【分析】将自变量代入对应的分段函数中，即可求得答案. 【解析】由题意得2(0)022f =+=，所以2((0))(2)log 21f f f ===，故选：C10．已知函数()2,125,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若存在12,x x R ∈，且12x x ≠，使得()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4a < B ．2a <C ．2a >D ．R【答案】A 【分析】首先确定1x ≤时()f x 的对称轴2a x =，分别在12a <和12a≥两种情况下，结合二次函数的对称性和数形结合的方式确定不等关系求得结果. 【解析】当1x ≤时，()2f x x ax =-+是开口方向向下，对称轴为2ax =的二次函数， ①当12a<，即2a <时，由二次函数对称性知：必存在12x x ≠，使得()()12f x f x =； ②当12a≥，即2a ≥时，若存在12x x ≠，使得()()12f x f x =，则函数图象需满足下图所示：即125a a -+>-，解得：4a <，24a ∴≤<； 综上所述：4a <. 故选：A. 【点睛】思路点睛：根据()()12f x f x =可知分段函数某一段自身具有对称轴或两个分段的值域有交集，通过函数图象进行分析即可确定结果.11．已知函数24,2()25,2x x x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得12()()f x f x =，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),0-∞ B ．9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．90,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【分析】转化条件为()f x 在(],2-∞上的取值范围与在()2,+∞上的有交集，结合二次函数及一次函数的性质分类讨论即可得解. 【解析】当2x ≤时，2()4f x x x =-+，由二次函数的性质可得()f x 单调递增且(](),4f x ∈-∞；若要满足题意，只需使()f x 在(],2-∞上的取值范围与在()2,+∞上的有交集， 当2x >时，若0a >，则()()2545,f x ax a =-=-+∞， 则454a -<，解得94a <，此时904a <<；若0a =，()5f x =-，符合题意；若0a <，则()()25,45f x ax a =-=-∞-，符合题意； 综上，实数a 的取值范围为9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化条件为()f x 在(],2-∞上的取值范围与在()2,+∞上的有交集，再结合一次函数、二次函数的性质即可得解.12．已知()()()23200x x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，方程()()2210f x f x +-=⎡⎤⎣⎦的根x 的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【分析】画出函数的图象，求出22[()]()10f x f x +-=的根，结合函数的图象，求解即可．【解析】232(0)()(0)x x x f x x x ⎧-=⎨<⎩的图象如图：方程22[()]()10f x f x +-=，可得()1f x =-，或1()2f x =， 由函数的图象可知：()1f x =-，有2个x 的值，1()2f x =，有一个x 的值， 所以方程22[()]()10f x f x +-=的根x 的个数是3．故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点与方程根问题，考查分段函数的图象，解决本题的关键点是先由关于()f x 的一元二次方程解出方程根()1f x =-或1()2f x =，再画出分段函数的图象可得与1y =和12y =的交点个数，即为根x 的个数，考查学生数形结合思想和计算能力，属于中档题． 13．已知函数()1,01,0x x f x x +≥⎧=⎨<⎩，若()()2f f a =，则（ ）A ．1a =±B ．1a =-C ．0a ≤D ．0a <【答案】C 【分析】分0a <，0a =，0a >三种情况求解即可 【解析】当0a <时，()1f a =，得()()()12f f a f ==，当0a =时，()01f =，()()()12ff a f ==，成立，当0a >时，()1f a a =+，得()()()1112ff a f a a =+=++=，得0a =，不成立；所以0a ≤. 故选：C14．已知函数()22,1,,12,2,2,x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f a =，则a =（ ）A ．1 BC．D ．32【答案】B 【分析】根据分段函数解析式，将各段等于3，解方程即可得出结果. 【解析】当1a ≤-时，由23a +=，得1a =，舍去； 当1a 2-<<时，由23a =得a =a =当2a ≥时，由23a =得32a =舍去，综上，a =故选：B.15．已知函数()232,1,1x x f x x ax x +<⎧=⎨+≥⎩若()()06f f a =，则实数a =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】A 【分析】由函数解析式，先计算()0f 的值，然后将其代入，由此得到关于a 的方程，求解即可. 【解析】 (0)2f =2((0))(2)226f f f a a ==+=，解得：1a =故选：A 【点睛】方法点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现()()ff a 的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.16．设f （x ）＝,012(1),1x x x x ⎧<<⎪⎨-≥⎪⎩，若f （a ）＝12，则a ＝（ ）A ．14B ．54C ．14或54D ．2【答案】C 【分析】根据解析式分段讨论可求出. 【解析】解：∵(),012(1),1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩，1()2f a =，∴由题意知，0112a a <<⎧⎪⎨=⎪⎩或()11212a a ≥⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得14a =或54a =. 故选：C ． 17．已知函()f x ={222,0,,0,x mx m x x m x -+≤+>，若()()12ff =，则实数m的值为（ ） A ．1- B ．12C ．1D ．2【答案】B 【分析】首先求()11f m =+，分1m ≤-和1m >-，两种情况求()()1f f ，再计算实数m 的值.【解析】()11f m =+，当1m ≤-时，()10f ≤，此时()()()()()221112112f f f m m m m m =+=+-++=≠，故不成立；当1m >-时，()10f >，此时()()()()1112f f f m m m =+=++=，解得：12m =，成立. 故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数求自变量，本题的关键是求出()11f m =+后，需分两种情况，求实数m 的值.18．已知函数222,0,()1,0,x x f x x x ⎧->=⎨+⎩，若()2f a =，则a =（ ）A ．2B ．1C ．2或1-D ．1或1-【答案】C 【分析】分类讨论a ，代入解析式可解得结果. 【解析】当0a >时，()222af a =-=，解得2a =；当0a 时，2()12f a a =+=，解得1a =-．综上，2a =或1a =-． 故选：C19．已知()22,1log ,1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若()()1f f a =，则实数a 的值是（ ）A ．0或2B ．4C ．1或4D ．1【答案】C 【分析】讨论()1f a ≤与()1f a >先计算()f a 的值；再讨论1a ≤与1a >计算a 值. 【解析】 由()()1ff a =，当()1f a ≤时，有()21f a=，则()0f a = ；当()1f a >时，有()2log 1f a =，则()2f a = ；由()0f a =，当1a ≤时，有20a =，a 无解；当1a >时，有2log 0a =，1a =不符合； 由()2f a =，当1a ≤时，有22a =，1a =；当1a >时，有2log 2a =，4a =； 综上所述：1a =或4a = 故选：C20．已知函数()221,031,0x x f x x x +>⎧=⎨-≤⎩，若()()18f a f +-=，则实数a 的值是（ ） A ．52B ．213±或52 C．21或52D ．213-或52 【答案】D 【分析】分0a >和0a ≤两种情况求解 【解析】 解：当0a >时，因为()()18f a f +-=，所以2213(1)18a ++⨯--=，解得52a =， 当0a ≤时，因为()()18f a f +-=，所以22313(1)18a -+⨯--=，解得21a =（舍去），或21a =-， 综上52a =或213a =-， 故选：D21．某数学兴趣小组从商标中抽象出一个函数图象如图，其对应的函数()f x 可能是（ ）A ．()11f x x =- B ．()11f x x =- C ．()11tan2f x xπ=-D ．()211f x x =+ 【答案】A 【分析】根据函数对称性及定义域，直接利用排除法求出结果. 【解析】选项A ：函数的图象的渐近线为 1x =或1x =-与原图象相符； 选项B ：1x =-时，()111112-==--f 与原图不相符； 选项C ：3x =时，函数无意义与原图不相符； 选项D ：1x =时，()111112f ==+与原图不相符； 故选：A22．函数图象如图，其对应的函数可能是（ ）A ．1()|||1|f x x =-B ．1()|1|f x x =-C ．21()1f x x =- D ．21()1f x x =+ 【答案】A 【分析】根据定义域可排除BD ，根据()01f =可排除C. 【解析】由图可知()f x 的定义域为{}1x x ≠±，故BD 错误；()01f =，故C 错误.故选：A.23．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()212x f x x -=⋅ B ．()212x f x x -=⋅C ．()()1)f x x x =⋅- D ．()221x f x x =-【答案】A 【分析】利用()10f >可排除CD ，利用奇偶性可排除B ，由此得到结果. 【解析】当1x =时，()10f >，CD 中的函数()10f =，可排除CD ；由图象关于原点对称可知()f x 为奇函数，A 中()()212x f x x f x --=-⋅=-，满足奇函数定义；B中()()221122x x f x x x f x ---=⋅-=⋅=，满足偶函数定义，可排除B.故选：A.24．已知函数2()121()f x ax x ax a =+++-∈R 在32,53x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有最大值和最小值，则a 的取值范围为___________. 【答案】122675a <≤ 【分析】令2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，得到()()()2,()()2,()()g x g x h x f x h x g x h x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，结合函数()g x 和()h x 的图象，根据()f x 在32,53x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有最大值和最小值求解. 【解析】因为函数2()121()f x ax x ax a =+++-∈R ，令2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩， 解得22()()1g x x ax h x x ⎧=+⎨=-⎩， 所以()()()2,()()()()()()2,()()g x g x h x f x g x h x g x h x h x g x h x ⎧≥⎪=++-=⎨<⎪⎩，其中()g x 过点()()0,0,,0a -，()h x 过点()()1,0,1,0-，因为2()121()f x ax x ax a =+++-∈R 在32,53x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有最大值和最小值，当0a -≤，即0a ≥时，3933916,1525552525g a h ⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3355h g ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在3,05⎛⎫- ⎪⎝⎭上取不到最小值，要在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上取到最小值，则2233g h ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2335g h ⎛⎫⎛⎫≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即425939a +>，且42169325a +≤， 解得122675a <≤， 当0a ->，即0a <时，242245,1393399g a h ⎛⎫⎛⎫=+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2233g h ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上取不到最小值，要在3,05⎛⎫- ⎪⎝⎭上取不到最小值， 则3355g h ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且3253g h ⎛⎫⎛⎫-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即931625525a ->，且9352559a -≤， 即715a <-，且44135a ≥-时，无解， 综上：a 的取值范围为122675a <≤.故答案为：122675a <≤ 【点睛】关键点点睛：本题关键是由函数()f x 解析式的结构特征，令2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，将函数转化为()()()2,()()2,()()g x g x h x f x h x g x h x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，利用二次函数22(),()1g x x ax h x x =+=-的图象和性质求解.25．已知函数22,0(),0x a x f x x ax x ⎧+≥=⎨-<⎩，若()f x 的最小值是a ，则a 的值为__________.【答案】4- 【分析】利用指数函数的单调性，可得0x ≥时，()f x 的最小值为1a +，由题意可得()f x 在(),0-∞时取得最小值a ，求得对称轴，可得224a a f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得即可； 【解析】解：当0x ≥时，()2xf x a =+在定义域上单调递增，所以()()01f x f a ≥=+即0x =时，()f x 的最小值为1a +；当0x <时，()22224a a f x x ax x ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭ 由题意可得()f x 在(),0-∞时取得最小值a ，即有02a<，所以0a <，则224a a f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得4a =- 故答案为：4-26．已知函数2223,2()log ,2x x x f x a x x ⎧-+≤=⎨+>⎩有最小值，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围为__________． 【答案】[2,3) 【分析】函数()f x 有最小值，所以求出1a ≥，则有101a<≤，代入()f x 求出()f x 的取值范围. 【解析】当2x ≤时，2()(1)2f x x =-+的最小值为2．当x 2>时，要使()f x 存在最小值，必有2log 22a +≥，解得1a ≥．101a ∴<≤，21112[2,3)f a a ⎛⎫⎛⎫∴=-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为：[2,3). 【点睛】本题考查分段函数求函数值的范围，属于中档题. 易错点睛：（1）分段函数是一个函数，只有一个最值； （2）分段函数已知函数值求自变量的取值，要分段讨论.27．已知函数21(),0()22,04x a x f x x x x ⎧-≤<⎪=⎨⎪-+≤≤⎩的值域是[]8,1-，则实数a 的取值范围是________. 【答案】[3,0)- 【分析】由二次函数的性质可得当04x 时，函数的值域刚好为[8-，1]，故只需1()2xy =-，0a x <的值域为[8-，1]的子集，可得a 的不等式，结合指数函数的单调性可得． 【解析】解：当04x 时，22()2(1)1f x x x x =-+=--+，图象为开口向下的抛物线，对称轴为1x =，故函数在[0，1]单调递增，[1，4]单调递减，011()8,()122a ---当1x =时，函数取最大值1，当4x =时，函数取最小值8-，又函数()f x 的值域为[8-，1]，1()2xy ∴=-，0a x <的值域为[8-，1]的子集，1()2x y =-，0a x <单调递增，∴只需0182112a⎧⎛⎫--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得30a -<故答案为：[3,0)-．28．设函数()()222,0,21,0.x a a x f x x x a x ⎧--+≤⎪=⎨-++->⎪⎩若()0f 是()f x 的最大值，则a 的取值范围为__________．【答案】[)2+∞，【分析】由题可得要使()0f 是()f x 的最大值，只需满足020a a ≥⎧⎨-≤⎩即可.【解析】()0=0f ，当0x ≤时，()22y x a a =--+，对称轴为x a =，开口向下，当0x >时，221y x x a =-++-对称轴为1x =，开口向下，则此时在1x =取得最大值为2a -，要使()0f 是()f x 的最大值，则020a a ≥⎧⎨-≤⎩，解得2a ≥，则a 的取值范围为[)2+∞，. 故答案为：[)2+∞，. 【点睛】本题主要考查分段函数的最值问题及其应用，其中解答题中涉及到二次函数的图象与性质的应用，以及分段函数的最值问题的求解方法，此类问题解答的关键在于正确理解分段的性质，合理列出相应的不等关系式.29．函数()2,12,1x x a x f x x x ⎧++<=⎨-≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____________．【答案】54a ≤ 【分析】根据分段函数的解析式，先求出1≥x 时，函数的值域；再求出1x <时，函数的值域；根据题中条件，即可得出结果. 【解析】由题意，当1≥x 时，()2f x x =-显然单调递减，则()(]2,1f x x =-∈-∞；当1x <时，()2f x x x a =++是开口向，对称轴为12x =-的二次函数，则()1124f x f a ⎛⎫≥-=- ⎪⎝⎭，又函数()2,12,1x x a x f x x x ⎧++<=⎨-≥⎩的值域为R ，所以只需114a -≤，解得54a ≤. 故答案为：54a ≤.30．设函数31,0,()1,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()()1f f 的值为______．【答案】1 【分析】先计算(1)f ，再计算()()1f f 可得．【解析】由题意(1)110f =-=，所以((1))(0)1==f f f ． 故答案为：1．。
分段函数知识点及例题解析
分段函数常见题型例析所谓“分段函数”是指在定义域的不同部分，有不同对应关系的函数，因此分段函数不是几个函数而是一个函数，它在解题中有着广泛的应用，不少同学对此认识不深，解题时常出现错误．现就分段函数的常见题型例析如下：１．求分段函数的定义域、值域例１．求函数)(x f ＝⎪⎩⎪⎨⎧->-≤+)2(,2)2(,42x x x x x 的值域．解：当x ≤－２时，4)2(422-+=+=x x x y ， ∴ y ≥－４．当x ＞－２时，y ＝2x ， ∴y ＞22-＝－１． ∴ 函数)(x f 的值域是｛y ∣y ≥－４，或y ＞－１｝＝｛y ∣y ≥－４｝． 评注：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集．２．作分段函数的图象例２ 已知函数2(2)()3[22)3[2)x f x x x x -∈-∞-⎧⎪=+∈-⎨⎪∈+∞⎩，，，，，，，画函数(f x 解：函数图象如图１所示．评注：分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据定义域的不同，分别由表达式做出其图象．作图时，一要注意每段自变量的取值范围；二要注意间断函数的图象中每段的端点的虚实． ３．求分段函数的函数值例３．已知)(x f ＝⎪⎩⎪⎨⎧<=>+)0.(0)0(,)0(,1x x x x π 求(((3)))f f f -的值．解：∵ －３＜０ ∴ f （－３）＝０，∴ f （f （－３））＝f （０）＝π又π＞０ ∴(((3)))f f f -＝f （π）＝π＋１． 评注：求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值．４．求分段函数的最值x 图1例４．已知函数)(x f ＝22(0)(0)x x x ⎧⎨<⎩，≥， 求出这个函数的最值．解：由于本分段函数有两段，所以这个函数的图象由两部分组成，其中一部分是一段抛物线，另一部分是一条射线，如图２所示．因此易得，函数最小值为０，没有最大值．５．表达式问题例５． 如图３，动点P 从边长为１的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B C D ，，再回到A ，设x 表示P 点的行程，y 表示PA 的长度，求y 关于x 的表达式．解：如图3所示，当P 点在AB 上运动时，PA x =；当P 点在BC 上运动时，由PBA △Rt ，求得PA =；当P 点在CD 上运动时，由PDA Rt △求出PA =；当P 点在DA 上运动时，4PA x =-，所以y 关于x的表达式是01122343 4.x x x y x x x ⎧<=<-<⎩， ≤≤，≤， ≤，， ≤ 在此基础上，强调“分段”的意义，指出分段函数的各段合并成一个整体，必须用符号“｛”来表示，以纠正同学们的错误认识． A BP 图３。
3 第3课时 分段函数ppt课件
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分段函数(共9张PPT)
（2）已知某户5月份的用水量为米3，求该用户5月 份的水费。
生活中的数学
【例 3】某医药研究所开发了一种新药，在实际验药时
发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含
药量y（微克）随时间x（时）的变化情况如图所示 ，当成年人按规定剂量服药后。
Y（元） 跑步速度 y与时间 x的函数关系式是
例２、某供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费，月用电x（度）与相应电费y（元）之间的函数的 图象如图所示。 例1 小芳以200米/分的速度起跑后,先匀加速跑5分钟,每分提高速度20米/分,又匀速跑10分钟, 试写出这段时间里她的跑步速度y(米/分)随跑步时间 x(分)变化的函数关系式,并画出函数图象. （2）已知某户5月份的用水量为米3，求该用户5月份的水费。
例２、某供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费，月用电x（度）与相应电费y（元）之间的函数的 图象如图所示。
解:依题意得 { 例1 小芳以200米/分的速度起跑后,先匀加速跑5分钟,每分提高速度20米/分,又匀速跑10分钟, 试写出这段时间里她的跑步速度y(米/分)随跑步时间
s=10+6(x-5) (5<x≤10) x(分)变化的函数关系式,并画出函数图象.
化情况如图所示，当成年人按规定剂量服药后。
1 例２、某供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费，月用电x（度）与相应电费y（元）之间的函数的 图象如图所示。
（3）月用电量为260度时，应交电费多少元？
（2）当x≥100时求y与x之间的函数关系式； Y= x+20 ３．写出每一段的函数解析式 5 例1 小芳以200米/分的速度起跑后,先匀加速跑5分钟,每分提高速度20米/分,又匀速跑10分钟, 试写出这段时间里她的跑步速度y(米/分)随跑步时间
2020版新教材高中数学第三章函数3.1.1.4分段函数课件新人教B版必修1
2.已知函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式是 ________.
【解析】因为f(x)的图像由两条线段组成，
所以结合函数图像和一次函数解析式的求法可得
f(x)=
x 1，1 x 0， x，0 x 1.
答案：f(x)=
x 1，x [1，0)， x，x [0，1]
类型三 分段函数的综合问题
角度1 范围问题
【典例】已知f(x)=
1, x 0, 1, x 0,
则不等式x+(x+2)·f(x+2)
≤5的解集是世纪金榜导学号( )
A.[-2，1] C.[2, 3]
2
B.(-∞，-2] D. ( , 3 ]
2
【思维·引】 分x+2≥0，x+2&[-4，2] D.(-4，2]
【解析】选B.因为f(x)≥-1，
x 0,
所以
1 2
x
1
1,
或
x 0, (x 1)2
1,
所以-4≤x≤0或0<x≤2，即-4≤x≤2.
2.若f(x)=
x 7, x [1,1], 2x 6, x [1, 2],
1 4
(x－2)2－1，x
0.
x 1，－1 x 0，
答案：f(x)=
1 4
(x－2)2－1，x
0
【内化·悟】 已知分段函数的函数值求自变量的值时需要注意什么？ 提示：分段求，求出的自变量的值要符合相应段的定 义域.
【类题·通】 1.分段函数求函数值的方法 (1)确定要求值的自变量属于哪一段区间. (2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现 f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.
新高考数学课件-3-1-2第3课时-分段函数
下面通过对称轴的位置对 h(x)的最值情况进行分类讨论：
当a
1 2
时，对称轴距离区间右侧
x＝2
更远，故 hx max
h2
5 4a
，
∴ 5 4a 4 ，即 a 1 ； 4
第1页
新教材同步学案 数学 必修 第一册
解：(1)∵函数 f x 对一切实数 x，y 都有 f x y f y xx 2y 1 成立，且 f 1 0， 令 y＝1，则 f x 1 f 1 xx 3 ， f x 1 x x 3 x 12 x 1 2 ． f x x2 x 2 .
g(x)中的最小者)． (1)分别用图象法和解析法表示φ(x)； (2)求函数φ(x)的定义域和值域． 【解析】 (1)图象法：在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图
D．±1或－2
【解析】
当a≥0时，有
1 2
a－1＝a，解得a＝－2(舍)．当a<0时，有
1 a
＝a，
即a2＝1，解得a＝－1(a＝1舍)．故选B.
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新教材同步学案 数学 必修 第一册
题型二 分段函数的图象
例2 已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和
答：函数y＝2x(x∈R)的图象和y＝x2(x∈R)的图象合起来不能表示函数图 象，因为取某个x值时，y值不一定唯一．
第8页
新教材同步学案 数学 必修 第一册
3．在同一个直角坐标系中分别画出函数y＝2x(x<0)和y＝x2(x≥0)的图象， 这两个函数图象合起来还能表示函数图象吗？如何写它的解析式？
分段函数的图像和性质
分段函数的图像和性质分段函数就像它的名字所描述的那样：它是由几个不同的函数段拼接在一起而成的。
这种类型的函数在数学和实际生活中都扮演着重要角色。
在这篇文章中，我们将讨论分段函数的图像和性质。
一、分段函数的图像分段函数的图像可能由几个不同的部分组成，每个部分都可以是一个简单的函数。
这些部分可以通过设定分界点来分隔开来，每一个分界点都表示着一个从一个函数变成另一个函数的转折点。
在这个转折点处，函数可以连续，也可以不连续，这取决于函数本身和特定的数值。
例如，考虑这样一个分段函数：f(x) ={ x^2 , x<0{ 2x , x>=0这个函数在 x=0 处存在一个分界点，f(0)=0。
在此之前，函数的形式为x^2，而在此之后，则是2x。
这个函数在x=0 处不连续，因为两个方程的斜率不同。
具体来说，左侧函数在 x=0 处的斜率是0，而右侧函数在这个点的斜率是2。
二、分段函数的性质1. 连续性像上面那样不连续的函数，叫做不连续函数。
尽管它们在某些点上不连续，但它们仍然有意义和应用。
这就意味着它们仍然有定义域和值域。
一些函数是连续的，这意味着它们在定义域内的每个点都是连续的。
这意味着它们没有锐利的变化，没有跳跃。
相反，它们变化平稳，可以用通常的方法来处理。
例如，线性函数就是一个连续函数。
在线性函数中，斜率是常数，同一个函数在定义域内的每一个值都是连续的。
2. 奇偶性分段函数可能是奇函数、偶函数，或既不是奇函数也不是偶函数。
奇函数是这样的函数，满足 f(-x)=-f(x)。
换句话说，如果把函数关于原点翻转，那么它的值保持不变。
例如，函数 f(x) = x^3 是一个奇函数。
因为当 x=-a 时，f(-a)=-a^3，而 f(a)=a^3。
因此，f(-a)=-f(a)。
偶函数是这样的函数，满足 f(-x)=f(x)。
这意味着把函数关于 y 轴镜像，函数的形状保持不变。
例如，函数 f(x) = x^2 是一个偶函数。
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3.分段函数I ．题源探究·黄金母题【例1】已知函数()()()4,0;4,0.x x x f x x x x +≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩求()1f ，()3f -，()1f a +的值．【解析】因为()()()4,0;4,0.x x x f x x x x +≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，所以(1)1(14)5f =⨯+=，(3)3(34)21f -=-⨯--=，()(1)(5),1,1(1)(3), 1.a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩ II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016高考江苏卷】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩．其中.a ∈R ，若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是_____．【答案】25-【解析】∵5191()()()()2222f f f f -=-==，∴112225a -+=-，即35a =，因此32(5)(3)(1)(1)155f a f f f ===-=-+=-． 【例3】【2016高考北京理】设函数33,()2,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2，(,1)-∞-.3()3g x x x =-与直线2y x =-【解析】如图作出函数的图象，它们的交点是(1,2)A -，(0,0)O ，(1,2)B -，由2'()33g x x =-，知1x =-是函数()g x 的极大值点，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，因此①当0a =时，()f x 的最大值是(1)2f -=；②由图象知当1a ≥-时，()f x 有最大值是(1)2f -=；只有当1a <-时，由332a a a -<-，得()f x 无最大值，∴所求a 的范围是(,1)-∞-【例4】【2016年山东高考理数】已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m ≤⎧=⎨-+>⎩其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是________________．【答案】(3,)+∞【解析】由题意画出函数()y f x =与y b =的图像如下图时才符合题意，要满足存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根应满足240m m m m ⎧-<⎨>⎩解得3m >，即m的取值范围是(3,)+∞．理论基础·解题原理考点一 分段函数的概念（1）定义：在函数的定义域内，对于自变量x 不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数叫分段函数．函数的解析式中的绝对值含有未知数x ，此函数实质上也是分段函数．（2）定义域：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集． （3）值域；分段函数的值域是各段函数值集合的并集． 考点二 分段函数图象（1）图象的构成：分类函数不同区间上的表达式不同，但每一段的函数解析式基本上都是常见的基本初等函数关系，因此分段函数的图象基本上是两个或两个以上的基本初等函数的部分图象共同所构成的．（2）图象的作法：通常是逐段作出其函数图象，而作每一段函数的图象时，通常是作出所涉及到基本函数的图象，然后根据每一段的定义域进行截取，但必须注意各个分段的“端点”是空心还是实心．考点三 分段函数的性质 1．分段函数的单调性：判断分段函数的单调性首先应该判断各分段分区间函数的单调性：（1）如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起；（2）如果单调性不相同，则直接可分开说明单调性．2．分段函数的奇偶性：判断分段函数的奇偶性主要有两种方法：（1）如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性；（2）与初等函数奇偶性的判断一样，也可根据定义，一般分两步进行：①判断定义域是否是对称区间；②对定义域中任意一个实数x ，判断()f x -与()f x 的关系．IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或中等偏下，往往与函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、图象，以及不等式、方程有联系．【技能方法】已知分段函数的最值求参数的取值范围的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式，注意取值范围的大前提，利用函数的单调性寻找关于参数的不等式（组）．若能利用数形结合可加快求解的速度.【易错指导】（1）当自变量以字母参数的形式出现时，易忽视对字母的分类讨论，造成少解； （2）判断函数的奇偶性时，忽视函数定义域的对称性的判断，或函数在0x =有定义时，忽视对(0)f 的验证；（3）判断函数单调性时，不考虑函数在分界点是否连续，或忽视函数在分界点处的函数值及此点左右两端的函数值的大小比较，造成逻辑思维不严谨；（4）将含有绝对值符号的函数化为分段表示时，在找分界点易出现错误，或判断符号时出现错误；V ．举一反三·触类旁通考向1 求解分段函数的函数值【例1】【2015全国新课标Ⅱ卷理】设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=（ ）A ．3B ．6C ．．9D ．12【例2】【2012高考江苏10】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为___________． 【例3】【2015高考山东理10】设函数()31,1,2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()()()2f a f f a =的a 取值范围是（ ）（A ）2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）[]0,1 （C ）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（D ）[)1,+∞ 考向2 求分段函数的最值（或值域）【例4】【2015高考浙江理10】已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是___________．【例5】【2015高考福建理14】若函数()6,2,3log ,2,a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩ （0a > 且1a ≠ ）的值域是[)4,+∞ ，则实数a 的取值范围是___________．]考向3 分段函数的奇偶性【例6】【2016届北京市海淀区高三第二学期期中练习理】已知函数sin(),0,()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是（ ） A ．,44a b ππ==-B ．2,36a b ππ== C ．,36a b ππ== D ．52,63a b ππ==考向4 分段函数的单调性【例7】【2016届浙江宁波效实中学高三上期中考试理科】函数21(2)()1(2)ax x x f x ax x ⎧+->=⎨-≤⎩是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．104a -≤< B ．14a ≤- C ．114a -≤≤- D ．1a ≤- 考向5分段函数的图象交点【例8】【2016届西安中学高三第四次仿真理】已知定义在R 上的函数()f x 满足：（1）()(2)0f x f x +-=，（2）(2)()f x f x -=-；（3）在[1,1]-上表达式为[1,0]()cos(),(0,1]2x f x x x π∈-=⎨∈⎪⎩，则函数()f x 与函数2,0()1,0x x g x x x ⎧≤=⎨->⎩的图象在区间[3,3]-上的交点个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 考向6分段函数的零点【例9】【2016届陕西省西工大附中第九次适应性训练数理】函数21,0()2ln ,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数为_________．【例10】【2015年天津高考理科】已知函数22||2()(2)2x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，函数()(2)g x b f x =--，其中b ∈R ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．考向6 分段函数与不等式【例11】【2016届合肥市高三第三次教学质量检测理】已知函数2log (1),1()(2),1x x f x f x x +≥⎧=⎨-<⎩，则不等式()2f x >的解集是___________．b 7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭。