贵阳一中理科实验班招生考试数学电子版图文稿
贵阳一中2018届月考一理科数学试卷及解析
贵阳一中2018届第一次月考卷——理科数学一、选择题1.已知集合2{|23}A x y x x ==--，2{|0}2x B x x +=≤-，则A B =（ ） A. [2,1]-- B. [1,2)- C. [1,1]-- D. [1,2)2.复数32(1)(1)i i +-在复平面上对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D. 第四象限 3.已知()f x 在其定义域[1,)-+∞上是减函数，若(2)()f x f x ->，则（ ） A. 1x > B. 11x -≤< C. 13x <≤ D. 13x -≤≤ 4.双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为（ ）A. 2,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B. 5,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C. 6,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D. (3,0) 5.某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松三个比赛项目，4位长跑爱好者各自任选一个项目参加比赛，则这4人中三个项目都有人参加的概率为（ ） A.89 B. 49 C. 29 D. 8276.若方程2(1)10x k x --+=有大于2的根，则实数k 的取值范围是（ ）A. 7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. 7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D. 7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7.已知,αβ都是锐角，且sin cos cos (1sin )αβαβ=+，则（ ） A. 32παβ-=B. 22παβ-=C. 32παβ+=D. 22παβ+=8.如图1.由曲线21y x =-，直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ） A. 220(1)x dx -⎰ B. 220(1)x dx -⎰C. 2201x dx -⎰D.122211(1)(1)x dx x dx --+-⎰⎰9.设直线2a x =与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于,A B 两点，若OAB ∆是直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A.22 B. 33 C. 63D. 1210.已知数列{}n a 满足：111,21(2)n n a a a n -==+≥，为求使不等式123n a a a a k ++++<的最大正整数n ，某人编写了如图2所示的程序框图，在框图的判断框中的条件和输出框输出的表达式分别为（ ） A. ,S k i < B. ,1S k i <- C. ,S k i ≥ D. ,1S k i ≥-11.为得到函数22()2sin cos 3(sin cos )f x x x x x =++的图象，可以把函数()2cos(2)3g x x π=-的图象（ ）A. 向左平移4π个单位B. 向左平移2π个单位C. 向右平移4π个单位D. 向右平移2π个单位12.图3是某几何体的三视图，则该几何体的各个棱长中，最长的 棱的长度为（ ） A. 32 B. 19 C. 22 D. 33二、填空题13. 61(12)x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式的常数项是 （用数字作答）.14.已知变量,x y 满足条件,230,29,x y x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤-⎩则23x y -的最小值等于 .15.如图4，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，2AD DB = ，若CD CA ⊥ ，2CD =，则CD CB ⋅= .16.已知,,a b c 分别为锐角ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin )()sin b A sinB c b C +-=-，则ABC ∆周长的取值范围为 .三、解答题17.已知数列{}n a 满足：1111,(2)21n n n a a a n a --==≥+.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列1{}n n a a +的前n 项和为n T ，求证：12n T <. 18.为了解学生完成数学作业所需时间，某学校统计了高三年级学生每天完成数学作业的平均时间介于30分钟到90分钟之间，图5是统计结果的频率分布直方图.（Ⅰ）数学教研组计划对作业完成较慢的20%的学生进行集中辅导，试求每天完成数学作业的平均时间为多少分钟以上的学生需要参加辅导？（Ⅱ）现从高三年级学生中任选4人，记4人中每天完成数学作业的平均时间不超过50分钟的人数为X ，求X 的分布列和期望.19.如图6，在三棱锥K ABC -中，,,D E F 分别是,,KA KB KC 的中点，平面KBC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥， KBC ∆是边长为2的正三角形，3AC =.（Ⅰ）求证：BF ⊥平面KAC ； （Ⅱ）求二面角F BD E --的余弦值.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，12,F F 是椭圆的左、右焦点， P 是椭圆上的一点，12PF PF ⋅的最小值为2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点2F 且与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,M N 两点，圆E 是以1F 为圆心椭圆C 的长轴长为半径的圆，过2F 且与l 垂直的直线与圆E 交于,P Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.21.设2()(ln 1)(2),f x x x a x x a R =-+-∈. （Ⅰ）令()()g x f x '=，求()g x 的单调区间；（Ⅱ）已知()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的取值范围.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的非负半轴重合，且长度单位相同.直线l 的极坐标方程为：2sin()33πρθ+=，曲线C 的参数方程为：3cos ,23sin ,x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），其中[0,2)απ∈. （Ⅰ）写出直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程； （Ⅱ）若A 、B 为曲线C 与直线l 的两个交点，求AB .23. （本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲] 设()231f x x x =-++.（Ⅰ）求不等式()4f x x <+的解集；（Ⅱ）若函数()()g x f x ax =+有两个不同的零点，求实数a 的取值范围.贵阳第一中学2018届高考适应性月考卷（一）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ACCCBCBCCBCC【解析】1． 函数223y x x =--的定义域为(1][3+)A =-∞-∞，，，不等式202x x +-≤的解集为[22)B =-，，所以[21]AB =--，，故选A.2．复数32(1i)(1i)+-1i =--，对应点为(11)--，，位于第三象限，故选C. 3．由单调性及定义域得12x x --<≤，解得13x <≤，故选C. 4．双曲线焦点在x 轴上，22213122a b c ==⇒=，，右焦点为602⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，故选C. 5．23434C A 3643819P ===，故选B.6．问题等价于方程11x k x +=-在(2)+∞，有解，而函数1y x x=+在(2)+∞，上递增，值域为52⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，所以k 的取值范围是72⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，+，故选C. 7．πsin cos cos (1sin )sin()cos sin 2αβαβαβαα⎛⎫=+⇒-==- ⎪⎝⎭，即2αβπ-=2，故选B.8．阴影部分面积为12221[(1)]d (1)d x x x x ⎰--+⎰-，而222101|1|112x x x x x ⎧--=⎨-<⎩，，，，≤≤≤ 故选C.9．2a x =代入椭圆方程得32y b =±，222363()223a cb ac a a =⇒-=⇒=，故选C. 10．判断的条件为S k <；输出的结果为1i -，故选B. 11．ππ()2sin 22sin 236f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π()2sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2sin 212x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选C ．12．几何体ABCD 为图1中粗线所表示的图形，最长棱是AC ，图1AC =C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为6216C r rr T x -+=，6203621r r r -=⇒=-=-；无解，所以展开式的常数项为36C 20=.15．由已知3122CB CD CA =-，0CD CA =，231622CD CB CD CD CA =-=.16．由已知()()()a b a b c b c +-=-，即2221cos 2b c a bc A +-=⇒=得60A =︒，由正弦定理，三角形的周长为π24sin 26B C B ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，ππ62B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，πsin 16B ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦⎝，周长的取值范围为(26]+.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） （Ⅰ）解：111112111(2)2(2)21n n n n n n n a a a n n a a a a -----+=⇒==++≥≥，所以1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩是以2为公差的等差数列，11111a a =⇒=，所以121nn a =-，所以数列{}n a 的通项公式为121n a n =-. ………………………………（6分） （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫=⋅=- ⎪-+-+⎝⎭， 11112212n T n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭.…………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设每天完成作业所需时间为x 分钟以上的同学需要参加辅导，则(70)0.02(9070)0.0050.2x -⨯+-⨯=，得65x =（分钟），所以，每天完成数学作业的平均时间为65分钟以上的同学需要参加辅导. …（6分）（Ⅱ）把统计的频率作为概率，则选出的每个学生完成作业的时间不超过50分钟的概率为0.2，~(40.2)X B ，， 44()C 0.20.8(01234)k k kP X k k -===，，，，， 0.8EX =. ……………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图2，建立空间直角坐标系，则(103)K ，，， 33022BF CK ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，，，(103)(030)CA =-，，，，，， 0BF CK =，BF CK ⊥得BF CK ⊥， 0BF CA =，BF CA ⊥得BF CA ⊥，CA ，CK 是平面KAC 内的两条相交直线， 所以BF ⊥平面KAC.……………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：平面BDF 的一个法向量(103)m =，，， 平面BDE （即平面ABK ）的一个法向量为(323)n =-，，， 3cos 4m n 〈〉=，， 所以二面角F BD E --的余弦值为34. ………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）已知12c a =，12PF PF ⋅的最小值为222b c -=，又222a b c =+, 解得2243a b ==，，所以椭圆方程为22143x y +=． ………………………（6分） （Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为1122(1)(0)()()y k x k M x y N x y =-≠，，，,.由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(43)84120k x k x k +-+-=．则221212228412+4343k k x x x x k k -==++，.所以212212(1)|||43k MN x x k +-=+．过点2(1)F ，0且与l 垂直的直线1(1)m y x k =--：，1F 到m，所以||PQ == 故四边形MPNQ的面积1||||2S MN PQ == 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12，． 当l 与x 轴垂直时，其方程为1||3||8x MN PQ ===，，，四边形MPNQ 的面积为12． 综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12，． …………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由()ln 22f x x ax a '=-+， 可得()ln 22(0)g x x ax a x =-+∈+∞，，， 则112()2axg x a x x-'=-=， 当0a ≤时，(0)x ∈+∞，时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当0a >时，102x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，12x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()0g x '<，函数()g x 单调递减.所以当0a ≤时，函数()g x 的单调递增区间为(0)+∞，， 当0a >时，函数()g x 的单调递增区间为102a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，单调递减区间为12a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，. ………………………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，(1)0f '=. ①当a ≤0时，()f x '单调递增，所以当(01)x ∈，时，()0()f x f x '<，单调递减， 当(1+)x ∈∞，时，()0()f x f x '>，单调递增， 所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意. ②当102a <<时，112a >，由（Ⅰ）知()f x '在102a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，内单调递增，可得当(01)x ∈，时，()0f x '<，112x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，所以()f x 在(0，1)内单调递减，在112a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，内单调递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意. ③当12a =时，即112a=，()f x '在(0，1)内单调递增，在(1)+∞，内单调递减， 所以当(0)x ∈+∞，时，()0f x '≤，()f x 单调递减，不合题意. ④当12a >时，即1012a <<， 当112x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当(1)x ∈+∞，时，()0f x '<，()f x 单调递减， 所以()f x 在1x =处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为12a >. ………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）∵π2sin 33ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴sin cos 3ρθθ+=，直线l 的直角坐标方程：30y +-=．曲线C ：3cos 23sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩(α为参数)， 消去参数可得曲线C 的普通方程为：22(()29x y -+=．………………………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，22(()29x y +-+=的圆心为D (2)，半径为3． 设AB 中点为M ，连接DM ，DA ， 圆心到直线l 的距离|323|22d -+-==，所以2DM =，又因为3DA =，所以MA ||AB = ………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）分段讨论得不等式解集为（0，3）． …………………………（5分） （Ⅱ）利用图象可得533a -<<-.…………………………………………（10分）。
贵州贵阳市第一中学2017届高三数学下学期第五次适应性考试试题 理(扫描版)
贵州省贵阳市第一中学2017届高三数学下学期第五次适应性考试试题理（扫描版）贵阳第一中学2017届高考适应性月考卷（五）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．由于{|01}M x x x =<>或，{|1}N y y =-≥，∴{|01}M x x =R ≤≤ð，(){|01}M N x x =R ≤≤ð，故选A ．2．((2i))(5)7f f f -==，故选B ． 3．∵“函数2211()cos sin 22f x x x ωω=-的最小正周期为4π”1||2ω⇔=，故选A． 4．π()sin 3n f n =的最小正周期为6，而(1)(2)(6)f f f +++=，当2017n=时，0336S =⨯=，故选B ． 5．要求三个数字排四位数，且同一数字不能相邻出现，千位数字有3种选法，百位有2种，十位有2种，个位有2种，共322224⨯⨯⨯=种，故选C ．6．由题意，10980101(12)22222112⨯-++++==--，故选C ． 7．由已知，1a b =，，双曲线的渐近线方程为y =，直线030l x -+=：与渐近线1l y x =：平行，要让双曲线右支上的动点P 到直线30x -+=的距离大于c 恒成立，即c 恒小于动点P 到该直线的距离，即c 小于平行直线0l 与直线1l 之间的距离，故选D ．8．由已知，可得cos(π)cos(π)cos(π)321ac B ab C bc A k ---===，则 22223a c b ac ac +-= 2222222221a b c b c a ab bc ab bc k +-+-==-，222222222642a c b k a b c k b c a k ⎧+-=-⎪+-=-⎨⎪+-=-⎩，，，得25a k =-， 23b k =-，24c k =-，（k <0），∴222435c b a =：：：：，∴2c b a =：：C ． 9．由已知，(23)0.50.15870.341P X =-=≤≤，(13)20.34130.6826P X =⨯=≤≤，所以1σ=，1(01)(0.95440.6826)0.13592P X =⨯-=≤≤，∴阴影区域内估计有10000−1359=8641个点，故选B ． 10．如图1，目标函数52z x y =+在直线522z y x =-+与1x =的 交点A 处取得最小值4，代入得点A 坐标为112A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 52z x y =+在直线522z y x =-+与24x y +=的交点B 处 取得最大值16，代入得点B 坐标为132B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点A ，B 在直线0ax by c ++=上，代入得22c a b a =-⎧⎨=-⎩，，∴3a b c a ++=-，故选A ． 11．由已知，该四面体的对棱相等，补形为长方体，四面体的六条棱恰为该长方体的面对角线，如图2．则22222251132310x y x y z y z x z ⎧+==⎧⎪⎪+=⇒=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎩，，，，，该四面体的外接球即为该长方体的外接球，2R =R =24π14πS R ==表，故选C ． 12．当0x >时，()()(())0xf x f x xf x ''+=>，故函数()()g x xf x =在(0)+∞，上递增，又()f x 是定义域为R 的连续奇函数，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，()y g x =∴是R 上的偶函数，且在(0)+∞，上递增，在(0)-∞，上递减，要使()(12)(21)0xf x x f x +-->成立，即使()(21)g x g x >-成立，即要|||21|x x >-，解得113x <<，故选D ． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．52x y 的项为22222152531C C ()C ()30y x x x y -=-．14．由已知，得c =，2a =，1b =，由椭圆定义，得12||||4PF PF +=，由余弦定理得222221212121212(||||)||||2||||(2)2||||(1cos )4PF PF PF PF PF PF c PF PF F PF +=++=++∠=，得12122||||1cos PF PF F PF =+∠，又1212121||||sin 2F PF S PF PF F PF =∠=△，解得122π3F PF ∠=，12||||4PF PF =，故122PF PF =-．15．该四面体如图3，则112122323V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．16．由已知21n n n a a a +=+，得210n n n a a a +-=>，故数列{}n a 为递增数列．又2111111(1)1n n n n n n n a a a a a a a +===-+++，得11111n n n a a a +=-+，则20171120181111n n a a a ==-+∑201812a =- ，又234a =，321116a =>，那么201831a a >>，故20171120182018111121n n a a a a ==-=-+∑(12)∈，，故整数部分为1．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知，得22⨯列联表如下：……………………………………………………………………………（3分）22120(10703010)3 2.706408020100K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯∵，所以有90%的把握认为能否连续战胜五名对手与年龄有关． ……………（6分） （Ⅱ）这9名选手中年龄在21~30岁的有3人，31~40岁的有6人．从中抽3人，记年龄在21~30岁的人数为随机变量X ，则X =0，1，2，3．……………………………………………………………（8分） X 服从超几何分布H (9，3，3)，X 的分布列为……………………………………………………………（11分） ∴()1E X =.……………………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）如图4，设M 为AB 中点，连接DM ，则DM ∥AC且122DM AC ==．在△ADM 中， 由余弦定理，得2222cos AD AM DM AM DM AMD =+-∠，因为AD =，cos BAC ∠=，可得1AM =，故2AB =， ………………（3分）从而2222cos 16BC AC AB AC AB BAC =+-∠=，∴4BC =，……………（4分）∴222cos 2BC AC AB C BC AC +-==． …………………………………………（6分） （Ⅱ）∵BE 是ABC ∠的角平分线，记ABE CBE θ∠=∠=，由正弦定理，得sin sin AE AB BEA θ=∠①，sin sin CE BC BECθ=∠②， 且sin sin BEA BEC ∠=∠， 由①②得：12AE AB EC BC ==， …………………………………………（9分）∴AE =，∴2222cos 4BE AB AE AB AE BAC =+-∠=，……………………（11分） ∴2BE =．…………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：设1AB =，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴， DD 1为z 轴，建立如图5所示的空间直角坐标系，B (1，1，0)，E (1，1，1)，A (1，0，0)，D 1(0，0，2)， 1002F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，， …………………………………………（2分） 1102BF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，，1(102)AD =-，，，(011)AE =，，，设平面AD 1E 的法向量()n x y z =，，，图4则1200n AD x z n AE y z ⎧=-+=⎪⎨=+=⎪⎩，，取2x =，得(211)n =-，，， …………………………………………………（4分） 1100BF n =-++=∵， …………………………………………………………（5分）且BF ⊄平面AD 1E ，∴BF ∥平面AD 1E ． …………………………………（6分）（Ⅱ）解：C (0，1，0)，(011)AE =，，，(110)AC =-，，，设平面AEC 的法向量()m a b c =，，，则00m AE b c m AC a b ⎧=+=⎪⎨=-+=⎪⎩，，取1a =，得(111)m =-，，， …………………………………………………（9分）又平面AD 1E 的法向量(211)n =-，，，2110m n =--=，故m n ⊥，∴二面角D 1−AE −C 的大小为90︒．……………………………………………（12分）20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知，过椭圆C 的右焦点的直线与椭圆C 相交所得的弦长最小值为通径长， 即223b a =，又椭圆的离心率12c e a ==， 所以21a c ==，，22222413a c b a c ===-=，，． 椭圆C 的标准方程为22143x y +=． ……………………………………………（4分） （Ⅱ）直线l 的方程为(2)y k x =-．设点B 坐标为()B B x y ，， 由22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，，化简得2222(43)1616120k x k x k +-+-=，B x 和2是它的两实根， 由韦达定理，得221612243B k x k -=+，故228643B k x k -=+，21243B k y k -=+． …………（6分） 点F 坐标为(10)，，设点H 坐标为(0)H y ，， 则(1)H FH y =-，，22249124343k k FB k k ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭，， 又BF HF ⊥，故0FH FB =，得2224912104343H k k y k k ---+=++，解得29412H k y k -=． ………………………………………………………（8分）又1l l ⊥，所以1l 的方程为294112k y x k k--=-， 设点M 坐标为()M M x y ，，2(2)19412y k x k y x k k =-⎧⎪⎨-=-+⎪⎩，由， 得2220912(1)M k x k +=+． ……………………………………（10分） 在△MAO 中，||||MOA MAO MA MO ∠∠⇔≤≤，即2222(2)M M M M x y x y -++≤，即22(2)M M x x -≤，化简得1M x ≥， 即22209112(1)k k ++≥，解得k k ≤， 所以直线l 的斜率k的取值范围是6⎛⎡⎫-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭，，．…………………（12分） 21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解： 0a ≠，21()2121a f x x x ax a x a '=--=--++． …………………（1分） 由已知，函数()f x 在0x =处取得极值，故(0)0f '=，得1a =， ………………（2分） ∴2()ln(1)(1)f x x x x x =+-->-，1(23)()2111x x f x x x x -+'=--=++， 由下表：…………………………………………………………（3分） ∴函数()f x 的单调增区间为(10)-，，单调减区间为(0)+∞，．………………（4分） （Ⅱ）解：方程5()2f x b x =-在区间(02)，上有两个不等实根，等价于方程2()52f x x b +=在区间(02)，上有两个不等实根．记2()2()52ln(1)23g x f x x x x x =+=+-+，2(45)(1)()4311x x g x x x x -+-'=-+=++，∴在区间(02)，上，而(0)0(1)2ln 21(2)2ln320g g g ==+=->，，，所以2ln3222ln21b -<<+，1ln31ln 22b -<<+， ∴1ln31ln 22b ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭，． …………………………………………………（8分）（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当0x >时，函数()f x 单调递减，(0)0f =，∴2ln(1)0x x x +--<，2ln(1)x x x +<+，取1()x n n *=∈N ，得211ln n n n n++⎛⎫< ⎪⎝⎭， 累加得222231231ln ln ln 1212n n n n +++++<+++， 所以222231ln(1)12n n n++++>+对n *∈N 成立． …………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为0)y x x =-00y -=， ………（1分） 曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，即22(1)1x y +-=， ………………（2分） 因为|MN |=2，所以直线l 过圆心(01)，，……………………………（4分）代入l 的方程得0x =． ……………………………（5分）（Ⅱ）曲线C 的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩，，（θ为参数）， 则(cos 1sin )P θθ+，， ……………………………………………………………（7分）则πsin cos 114x y θθθ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭， ……………………………（9分）所以[11x y +∈．…………………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】证明：（Ⅰ）22221()222p q r p q r pq qr rp =++=+++++∵ …………………（2分） 222222422pq r pq qr rp pq r qr rp ++++=+++≥，当且仅当p q =时等号成立，………………………………………………………………………………………（4分） 21422pq r qr rp -++∴≥． ………………………………………………………（5分） （Ⅱ）222222222q r p r p q qr pr pq p q r p q r+++++++≥ ……………………………（7分） qr pq pq pr pr qr r p q r p q q p r p r r q q p p r r q q p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……（9分） 2222q p r ++=≥，当且仅当p q r ==时等号成立． …………………………（10分）。
2025届贵州省贵阳第一中学高考适应性考试数学试卷含解析
2025届贵州省贵阳第一中学高考适应性考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线不平行于平面，且，则（ ）A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交2．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ） A ．12y x =B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x=-3．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（ ）A ．30i >?B ．40i >?C ．50i >?D ．60i >?4．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为ˆy=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ）C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为58.79kg5．函数cos ()22x xx x f x -=+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A ． B ． C ．D ．7．如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰直角三角形，2AB =，2BAD CBD π∠=∠=，且二面角A BD C --的大小为23π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（ ）A ．223πB ．283πC ．2π D ．23π 8．已知命题:0p x ∀>,ln(1)0x +>；命题:q 若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝9．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ） A ．12B ．45C ．38D ．3410．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A ．8B ．83C ．4D ．4311．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω， 2πϕ<）的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为（ ）A ．2，0B ．2，4π C ．2， 3π-D ．2，6π 12．函数()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭（0>ω），当[]0,x π∈时，()f x 的值域为3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的范围为（ ） A ．53,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年贵州省贵阳一中高三(下)月考数学试卷(理科)(六)
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
先根据数量积求出 ，再求模长的平方，进而求得结论．
【解答】
因为平面向量 ， 满足 ＝ ， ＝ ，
∵ ，
则 ＝ ；
∴ ＝ ；
4. 的展开式中 的系数为（）
A. B. C. D.
【答案】
B
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
按照前后两个二项式分别出 的常数项与二次项，一次项与一次项，二次项与常数项分成三种情况求出对应的 的系数，相加即可．
当 时， 递增且都小于 ，得到结果即可．
【解答】
设 的首项为 ，公差为 ，取 ＝ ， ，
得 ，解得 或 ，
当 ＝ ， ＝ 时， 满足条件；
当 时， 不满足条件，舍去，
综上，数列 的通项公式为 ＝ ．
，记 ，
在 与 上都是增函数（图象如图 ），
对数列 ，当 时， 递增且都大于 ，
当 时， 递增且都小于 ，
【解答】
由函数 ＝ （其中 ， ）的图象，
可得 ＝ ， ，即 求得 ＝ ，
∵ ＝ ＝ ，
即 ＝ ，
∴ ， ，
即 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ＝ ．由图可知， ， ，
所以把 的图象向右平移 个单位得到 的图象．
9.在正方体 中， ， 分别在 和 上（异于端点），则过三点 ， ， 的平面被正方体截得的图形（截面）不可能是（）
A. ， ＝ ， ＝ B. ， ＝ ， ＝
C. ， ＝ ， ＝ D. ， ＝ ， ＝
【答案】
A
【考点】
程序框图
【解析】
模拟程序的运行过程，即可得出程序框图中应填的内容．
贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高一下学期6月月考试题 数学(含解析)
高一数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页。
考试结束后，请将答题卡交回。
满分150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设，则的实部与虚部之和是（ ）AB ．1C ．－1D ．02．已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为1的正方形，如图所示，则该平面图形的面积是（）A ．1B C ．2D ．3．已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若，则B ．平面内有不共线的三个点到平面的距离相等，则C ．若，则D ．若与不相交，则4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设名全是男生名全是女生恰有一名男生至少有一名男生，则下列关系不正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．若，则（ ）21ii i z +=+z A B C D '''',,a b c ,,αβγ,αββγ⊥⊥αγ∥α,,A B C βαβ∥,a b a c ⊥⊥b c∥,,,,a b c c αβαγβγγ=⊃=⊂∥ ,αβc a b∥∥{2A =},{2B =},{C =},{D =}A D⊆B D =∅A C D= A B B D= ()1sin1,lg tan1,2a b c ===A ．B ．C ．D ．6．已知向量满足，且，则（ ）A ．3BCD ．57．设，则“”是“”的（ ）条件。
A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分又不必要8．在中，内角所对的边分别是，若，且外接圆的直径为4，则面积的最大值是（ ）ABC ．D ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年贵州省贵阳一中高考数学适应性试卷(学生版+解析版)(理科)(六)
2021年贵州省贵阳一中高考数学适应性试卷（理科）（六）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知{2A =-，1-，0，1，2}，{|0}2xB x N x +=∈-，则(A B = )A ．{0，1，2}B ．{0，1}C ．{1，2}D ．{1}2．（5分）已知i 为虚数单位，复数z 的共轭复数是z ，且满足(1)2z i i +=，则(z = ) A ．1i +B ．1i -C ．22i -+D ．22i --3．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （2+x ）＝f （﹣x ），，则等于（ ） A ．3B ．6C ．9D ．不确定4．（5分）32(1)(13)x x-+的展开式中2x 的系数为( )A ．18B ．27C ．27-D ．95．（5分）已知各项均为正数的等比数列{}n a ，前3项和为13，324a a a =⋅，则4(a = ) A ．13B ．19C ．1D ．36．（5分）已知曲线x lnxy ae x=+在(1,)ae 处的切线方程为y ex x b =++，则( ) A ．a e =，1b =-B ．1a =，0b =C ．1a =，1b =-D ．a e =，0b =7．（5分）已知在ABC ∆中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，D 为BC 的中点，M 为AC 的中点，则(AD BM ⋅= ) A ．3B ．2C ．4D ．18．（5分）6个实习老师去3个学校实习，每个学校至少去一人，每人去一个学校，有多少种安排方法？( ) A ．540B ．630C ．450D ．7209．（5分）已知()33cos f x x x =+在[a -，]a 上单调递增，则a 的最大值为( ) A ．6πB ．3π C ．56π D ．23π 10．（5分）已知圆C 的方程为22680x y x y +--=，过点(1,2)P 的直线与圆相交于A ，B 两点，当ACB ∠最小时，则直线方程为( )A ．10x y -+=B ．10x y --=C ．30x y ++=D ．30x y +-=11．（5分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M ，N 分别在抛物线上，且34MF MN =，||16MN =，则(p = )A ．4B ．6C ．8D ．1212．（5分）若393log 92log a b a b +=+，则( ) A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <二、填空题（木大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知a ，b 为单位向量，||||a b a b +=-，若23c a b =-，则cos ,a c <>= ． 14．（5分）记n S ，n T 分别为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，若123n n S n T n +=+，则79a b = ． 15．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．16．（5分）已知椭圆E 的中心为原点O ，焦点在x 轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为21，2，若A ，B ，C 为椭圆上三个不同的点，且0OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积为 ．三、解答题（具70分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）在锐角ABC ∆中，角A ，B ．C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足22sin()(sin sin )sin sin A C B C A C +-=-． （1）求A ； （2）求cb的取值范围． 18．（12分）2020年1月26日4点，篮球巨星湖人队名宿科比⋅布莱恩特在加州坠机身亡，享年41岁．对于很多篮球迷来说是巨大的悲痛，也是对这个世界最大的损失，但是科比留给我们的是他对比赛的积极备战的态度，毫无保留的比赛投入，夺冠时的疯狂庆祝；永不言弃的精神是科比的人生信条，他的这种精神被称为“曼巴精神”，热情、执着、严厉、回击和无惧就是“曼巴精神”的内涵所在．现如今这种精神一直鼓舞着无数的运动员和球迷们．这种精神也是高三的所有学子在学习疲惫或者迷茫时的支柱．在美国NBA 篮球比赛中，季后赛和总决赛采用的赛制是“7场4胜制”，即先赢4场比赛的球队获胜，此时比赛结束．比赛时两支球队有主客场之分，顺序是按照常规赛的战绩排名的，胜率最高的球队先开始主场比赛，且主客场安排依次是“主主客客主客主”，且每场比赛结果相互独立．在2019~2020NBA 赛季总决赛中，詹姆斯和戴维斯带领的洛杉矶湖人队以4:2战胜迈阿密热火队，获得队史第17个NBA 总冠军，詹姆斯也荣获职业生涯的第4个FMVP ．如果在总决赛开打之前，根据大数据和NBA 专家的预测，以常规赛战绩排名，湖人队先开始主场比赛，且湖人队在主场赢球概率为34，客场赢球概率为12（说明：篮球比赛中没有平局，只有赢或者输），根据上述预测：（1）分别求出只进行4场比赛和湖人队4:1获胜的概率； （2）如果湖人队已经取得2:0的开局，求最终夺冠的概率． 19．（12分）如图甲为直角三角形ABC ，2B π=，4AB =，43BC =，且BD 为斜边AC 上的高，将三角形ABD 沿BD 折起，得到图乙的四面体A BCD -，E ，F 分别在DC 与BC 上，且满足||||1||||2DE BF EC FC ==，H ，G 分别为AB 与AD 的中点．（1）证明：直线EG 与FH 相交，且交点在直线AC 上；（2）当四面体A BCD -的体积最大时，求平面ABC 与平面EFHG 所成角的余弦值． 20．（12分）设点P 为直线3y x =-上的动点，过点P 作抛物线22x y =的两条切线，切点为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点；（2）若以线段AB 为直径的圆过坐标原点O ，求点P 的坐标和圆的方程． 21．（12分）已知函数()f x ax lnx b =-+． （1）若0a b +=，且()0f x ，求a 的值； （2）证明：2*23(1)()2(1)n ln ln ln n n N n ++++>∈+．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos (sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数），曲线1C 经过伸缩变换:2x xy y ϕ'=⎧⎨'=⎩，得到曲线2C ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）若A ，B 为曲线2C 上的两点，且满足OA OB ⊥，证明：2211||||OA OB +为定值，并求出此定值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()2|1||1|f x x x =++-．（1）求()f x 的最小值，并在图中画出()f x 的图象； （2）若()||f x a x 恒成立，求实数a 的取值范围．2021年贵州省贵阳一中高考数学适应性试卷（理科）（六）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知{2A =-，1-，0，1，2}，{|0}2xB x N x +=∈-，则(A B = )A ．{0，1，2}B ．{0，1}C ．{1，2}D ．{1}【解答】解：{2A =-，1-，0，1，2}，{|02}{1}B x N x +=∈<=，{1}AB ∴=．故选：D ．2．（5分）已知i 为虚数单位，复数z 的共轭复数是z ，且满足(1)2z i i +=，则(z = ) A ．1i +B ．1i -C ．22i -+D ．22i --【解答】解：设z x yi =+，x ，y R ∈，(1)2z i i +=，(∴x yi -)(1)2i i +=，化简可得()2x y x y i i ++-=，0x y ∴+=且2x y -=， 解得1x =，1y =-，1z i ∴=-， 故选：B ．3．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （2+x ）＝f （﹣x ），，则等于（ ） A ．3B ．6C ．9D ．不确定【解答】解：∵f （x +2）＝f （﹣x ）， ∴y ＝f （x ）关于x ＝1对称， ∴，故选：B ．4．（5分）32(1)(13)x x-+的展开式中2x 的系数为( )A ．18B ．27C ．27-D ．9【解答】解：由于3330(13)(3)k k k x C x =+=∑，分别令2k =与3k =，可得32(1)(13)x x-+的展开式中2x 的系数为2233333232722727C C ⋅-⋅⋅=-⨯=-，故选：C ．5．（5分）已知各项均为正数的等比数列{}n a ，前3项和为13，324a a a =⋅，则4(a = ) A ．13B ．19C ．1D ．3【解答】解：324a a a =，又0n a >， 31a ∴=，3332113a a S q q=++=， 又0q >，∴13q =，∴4313a a q ==， 故选：A ．6．（5分）已知曲线x lnxy ae x=+在(1,)ae 处的切线方程为y ex x b =++，则( ) A ．a e =，1b =- B ．1a =，0b = C ．1a =，1b =- D ．a e =，0b =【解答】解：x lnx y ae x =+的导数为21x lnxy ae x -'=+， 可得x lnxy ae x=+在(1,)ae 处的切线的斜率为1ae +， 由切线的方程y ex x b =++， 则11ae e +=+，解得1a =， 则切点坐标为(1,)e ， 代入切线方程得1e b e ++=， 解得1b =-， 故选：C ．7．（5分）已知在ABC ∆中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，D 为BC 的中点，M 为AC 的中点，则(AD BM ⋅= ) A ．3B ．2C ．4D ．1【解答】解：令AB a =，AC b =， 易得1()2AD a b =+，12BM b a =-，111()()222AD BM a b b a ⋅=+⋅-22111111141624cos6014242244a b a b b a =⋅-+-⋅=-⨯+⨯-⨯⨯⨯︒=， 故选：D ．8．（5分）6个实习老师去3个学校实习，每个学校至少去一人，每人去一个学校，有多少种安排方法？( ) A ．540B ．630C ．450D ．720【解答】6个人分成3组，有(2，2，2)，(4，1，1)，(3，2，1)三种情况，按(2，2，2)分组，有422364233390C C C A A ⋅⋅⋅=种， 按(3，2，1)分组，有32136313360C C C A ⋅⋅⋅=种， 按(4，1，1)分组，有411362132290C C C A A ⋅⋅⋅=种， 故一共有540种方法， 故选：A ．9．（5分）已知()3cos f x x x =+在[a -，]a 上单调递增，则a 的最大值为( ) A ．6πB ．3π C ．56π D ．23π【解答】解：()3cos )3f x x x x π+=+，令[232x k πππ+∈-，2]2k ππ+，k Z ∈，则5[26x k ππ∈-，2]6k ππ+，k Z ∈，()f x 在[a -，]a 上单调递增，∴令0k =，则()f x 在5[6π-，]6π上单调递增， a ∴的最大值为6π． 故选：A ．10．（5分）已知圆C 的方程为22680x y x y +--=，过点(1,2)P 的直线与圆相交于A ，B 两点，当ACB ∠最小时，则直线方程为( ) A ．10x y -+=B ．10x y --=C ．30x y ++=D ．30x y +-=【解答】解：圆22:680C x y x y +--=，即22(3)(4)25x y -+-=的圆心为(3,4)C ， 当ACB ∠最小时，CP 和AB 垂直，AB ∴直线的斜率等于31142--=--， 用点斜式写出直线l 的方程为2(1)y x -=--，即30x y +-=， 故选：D ．11．（5分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M ，N 分别在抛物线上，且34MF MN =，||16MN =，则(p = )A ．4B ．6C ．8D ．12【解答】解：令||3MF t =，则||NF t =， 过N ，M 作准线:2pl x =-的垂线，垂足为N '，M '，过N 作NH MN '⊥，垂足为H ， 如图，易得||2MH t =，∴在Rt MNH ∆中，60NMH ∠=︒，∴直线MN 的倾斜角为60θ=︒，焦点弦22||sin pMN θ=， 6p ∴=，故选：B ．12．（5分）若393log 92log a b a b +=+，则( ) A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <【解答】解：设3()3log x f x x =+，易知()f x 在(0,)+∞上单调递增，2333log 3log a b a b +=+，∴22333(2)3log 23log 3log ()b b a f b b b a f a =+>+=+=，2b a ∴>，故选：B ．二、填空题（木大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知a ，b 为单位向量，||||a b a b +=-，若23c a b =-，则cos ,a c <>= 213．【解答】解：根据题意，a ，b 为单位向量，||||a b a b +=-，则有22()()a b a b +=-，即222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，变形可得0a b ⋅=， 若23c a b =-，则22||(23)13c a b =-=，即||13c =，2(23)232a c a ab a a b ⋅=⋅-=-⋅=，则213cos ,||||13a c a c a c ⋅<>===， 故答案为：213． 14．（5分）记n S ，n T 分别为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，若123n n S n T n +=+，则79a b = 1437． 【解答】解：n S ，n T 分别为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，123n n S n T n +=+， ∴不妨设(1)n S n n =+，(23)n T n n =+，2n ∴时，776786714a S S =-=⨯-⨯=；99892181937b T T =-=⨯-⨯=，则791437a b =． 故答案为：1437． 15．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为83．【解答】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥C ABD -，放入长方体中，如图所示：结合图中数据，计算该三棱锥的体积为： 118422323C ABD V -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭三棱锥．故答案为：83．16．（5分）已知椭圆E 的中心为原点O ，焦点在x 轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为21，2，若A ，B ，C 为椭圆上三个不同的点，且0OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积为36． 【解答】解：21221a c a c c a⎧-=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪=⎩⎪⎩1b =， ∴椭圆为2212x y +=，当直线AB 的斜率不存在时，设直线:AB x t =，不妨令2(1)2t A t -，2(,1)2t B t --，由0OA OB OC ++=，得2c x t =-，0c y =，故(2,0)C t -， 将(2,0)t -代入椭圆方程，可得212t =，2||t =所以2136213||22ABCt S t ∆=⨯-=； 当直线AB 的斜率存在时，设直线:AB y kx m =+，代入2222x y +=， 得222(12)42(1)0k x kmx m +++-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则122412kmx x k +=-+，21222(1)12m x x k -=+，设3(C x ，3)y ，由0OA OB OC ++=，得31224()12kmx x x k =-+=+，3121222()[()2]12my y y k x x m k =-+=-++=-+，代入2222x y +=，得22124k m +=，12|||AB x x =-，O 到直线AB的距离d =，所以11|||||22OABS d AB m m ∆=⨯⨯===，∴3ABC OAB S S ∆∆==三、解答题（具70分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）在锐角ABC ∆中，角A ，B ．C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足22sin()(sin sin )sin sin A C B C A C +-=-． （1）求A ； （2）求cb的取值范围． 【解答】解：（1）22sin()(sin sin )sin sin A C B C A C +-=-． 整理得：22sin (sin sin )sin sin B B C A C -=-． 利用正弦定理222b bc a c -=-，整理得：2221cos 22b c a A bc +-==，由于0A π<<， 所以3A π=．（2）在锐角ABC ∆中，由于3A π=，所以23B C π+=， 所以2B π<，232C B ππ=-<， 故62B ππ<<，故21sin()sin sin 1322sin sin sin 2B B Bc Cb BB B π-+====，由于62B ππ<<，所以tan B >，112 22<+<，所以1(,2)2cb∈．18．（12分）2020年1月26日4点，篮球巨星湖人队名宿科比⋅布莱恩特在加州坠机身亡，享年41岁．对于很多篮球迷来说是巨大的悲痛，也是对这个世界最大的损失，但是科比留给我们的是他对比赛的积极备战的态度，毫无保留的比赛投入，夺冠时的疯狂庆祝；永不言弃的精神是科比的人生信条，他的这种精神被称为“曼巴精神”，热情、执着、严厉、回击和无惧就是“曼巴精神”的内涵所在．现如今这种精神一直鼓舞着无数的运动员和球迷们．这种精神也是高三的所有学子在学习疲惫或者迷茫时的支柱．在美国NBA篮球比赛中，季后赛和总决赛采用的赛制是“7场4胜制”，即先赢4场比赛的球队获胜，此时比赛结束．比赛时两支球队有主客场之分，顺序是按照常规赛的战绩排名的，胜率最高的球队先开始主场比赛，且主客场安排依次是“主主客客主客主”，且每场比赛结果相互独立．在2019~2020NBA赛季总决赛中，詹姆斯和戴维斯带领的洛杉矶湖人队以4:2战胜迈阿密热火队，获得队史第17个NBA总冠军，詹姆斯也荣获职业生涯的第4个FMVP．如果在总决赛开打之前，根据大数据和NBA专家的预测，以常规赛战绩排名，湖人队先开始主场比赛，且湖人队在主场赢球概率为34，客场赢球概率为12（说明：篮球比赛中没有平局，只有赢或者输），根据上述预测：（1）分别求出只进行4场比赛和湖人队4:1获胜的概率；（2）如果湖人队已经取得2:0的开局，求最终夺冠的概率．【解答】解：（1）由题意知，湖人队4:0获胜或者0:4失败，则()4331111115 4422442232P=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=进行场比赛，()4:13111333113922 442244422432P=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=湖人获胜．（2）湖人队最后夺冠的情况有4:0，4:1，4:2，4:3，4:0夺冠的概率：1111 224P=⨯=，4:1夺冠的概率：211332 2248P=⨯⨯⨯=，4:2夺冠的概率：311111131522242224232P=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，4:3夺冠的概率：4111131131393224242242464P=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，所以湖人队最终夺冠的概率为12345964P P P P +++=． 19．（12分）如图甲为直角三角形ABC ，2B π=，4AB =，43BC =，且BD 为斜边AC 上的高，将三角形ABD 沿BD 折起，得到图乙的四面体A BCD -，E ，F 分别在DC 与BC 上，且满足||||1||||2DE BF EC FC ==，H ，G 分别为AB 与AD 的中点．（1）证明：直线EG 与FH 相交，且交点在直线AC 上；（2）当四面体A BCD -的体积最大时，求平面ABC 与平面EFHG 所成角的余弦值． 【解答】（1）证明：由题意知：2//3EF BD ，1//2GH BD ，//EF GH ∴，但EF GH >，所以直线EG 与FH 相交， 设交点为P ，因为FH ⊂平面ABC ，P FH ∈，P ∴∈平面ABC ，同理P ∈平面ADC ，又因为平面ABC ⋂平面ADC AC =， 所以P AC ∈．（2）解：由题意知，2AD =，23BD =6CD =， 当四面体A BCD -的体积最大时，AD ⊥平面BCD ，又BD CD ⊥，则以D 为坐标原点建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示， 则(0A ，0，2)，(23,0,0)B ，(0C ，6，0)，(0D ，0，0)，(0E ，2，0)，43(F ，(0G ，0，1)，(0,6,2)AC =-，(23,6,0)BC =-，43(FE =，(0,2,1)GE =-， 设(,,)n x y z =为平面ABC 的一个法向量，则620 02360y zAC nx yBC n⎧-=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⎪⋅=⎪⎩⎩，取(3,1,3)n=，同理可得平面EFHG的一个法向量为(0,1,2)m=，则765cos,||||m nm nm n⋅〈〉==，所以平面ABC与平面EFHG所成角的余弦值为765．20．（12分）设点P为直线3y x=-上的动点，过点P作抛物线22x y=的两条切线，切点为A，B．（1）证明：直线AB过定点；（2）若以线段AB为直径的圆过坐标原点O，求点P的坐标和圆的方程．【解答】（1）证明：(,3)P m m-，1(A x，1)y，2(B x，2)y，因为212y x=，所以y x'=，所以1113APy mk xx m-+==-，化简得1130mx y m--+=，同理2230mx y m--+=，故直线AB的方程为30mx y m--+=，即(1)3y m x=-+，所以过定点(1,3)．（2）解：由（1）得直线AB的方程为(1)3y m x=-+，联立2(1)312y m xy x=-+⎧⎪⎨=⎪⎩，可得22260x mx m-+-=，所以1226x x m=-，2212121()(3)4y y x x m==-，因为若以线段AB为直径的圆过坐标原点O，所以0OA OB ⋅=，即2121226(3)0x x y y m m +=-+-=， 解得1m =或3m =，当1m =时，AB 的中点坐标为(1,3)M ，所以||r OM ==22(1)(3)10x y -+-=，(1,2)P -； 当3m =时，AB 的中点坐标为(3,9)M ，所以||r OM ==则圆的方程为22(3)(9)90x y -+-=，(3,0)P ． 21．（12分）已知函数()f x ax lnx b =-+． （1）若0a b +=，且()0f x ，求a 的值； （2）证明：2*23(1)()2(1)n ln ln ln n n N n ++++>∈+．【解答】（1）解：由题意知()f x ax lnx a =--，11()(0)ax f x a x x x-'=-=>， 当0a 时，()0f x '<，所以()f x 在(0,)+∞上递减，又f （1）0=，所以不符合题意； 当0a >时，令1()0f x x a '>⇒>，所以()f x 在1(0,)a 上递减，1(,)a+∞上递增，所以1()()1f x f a lna a=-+，令g （a ）1a lna =-+，则11()1(0)a g a a a a-'=-+=>， 当(0,1)a ∈时，g '（a ）0>，所以g （a ）递增； 当(1,)a ∈+∞时，g '（a ）0<，所以g （a ）递减， 所以g （a ）g （1）0=，而10a lna -+， 所以1a =．（2）证明：方法一：由（1）知，当1a =时，()10f x x lnx =--， 所以1x lnx -， 令21(1)x n =+，则221112(1)(1)(1)ln ln n n n ->=-+++， 所以211112(1)111()(1)(1)1ln n n n n n n +>->-=--+++， 所以1221(1)2ln >--，11231()23ln >--，⋯，112(1)1()1ln n n n +>--+，累加得212[23(1)](1)111n n ln ln ln n n n n n n ++++>--=-=+++，所以223(1)2(1)n ln ln ln n n ++++>+，*n N ∈． 方法二：由（1）知，当1a =时，()10f x x lnx =--， 所以1x lnx -， 令11x n =+，则111(1)11ln ln n n n ->=-+++，即1(1)111n ln n n n +>-=++， 所以122ln >，233ln >，⋯，(1)1nln n n +>+， 累加得(1)121212223(1)231111112n n n n n n ln ln ln n n n n n n n ++++++++>++++++===++++++，又21022(1)21n n n n n -=⋅>++，所以222(1)n n n >+， 所以223(1)2(1)n ln ln ln n n ++++>+，*n N ∈． 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos (sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数），曲线1C 经过伸缩变换:2x xy y ϕ'=⎧⎨'=⎩，得到曲线2C ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）若A ，B 为曲线2C 上的两点，且满足OA OB ⊥，证明：2211||||OA OB +为定值，并求出此定值．【解答】（1）解：由已知得cos (22sin x x y y ααα'==⎧⎨'==⎩为参数），从而2C 的普通方程为2214y x +=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线2C 的极坐标方程为2222sin cos 14ρθρθ+=，即22244cos sin ρθθ=+． （2）证明：设(AA ρ，)θ，(,)2B B πρθ±，则22214cos sin 4A θθρ+=，222224cos ()sin ()14sin cos 2244B ππθθθθρ±+±+==，则22222211115cos 5sin 5||||44A B OA OB θθρρ++=+==， ∴2211||||OA OB +为定值，此定值为54． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()2|1||1|f x x x =++-．（1）求()f x 的最小值，并在图中画出()f x 的图象； （2）若()||f x a x 恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）函数()2|1||1|f x x x =++-，则()f x 的图象如图， 所以()f x 在(,1)-∞-上递减，在(1,)-+∞上递增， 所以当1x =-时，()f x 取到最小值为(1)2f -=． （2）由图可知，当0a 显然成立；当0a >时，由函数()||g x a x =的对称性，只需(1)(1)g f --即可，所以02a <， 综上可得(a ∈-∞，2]．。
贵阳一中高考数学适应性考试②(理科)
PB BC CA 2 ， E 为 PC 的中点，点 F 在 PA 上，且 2PF FA . (Ⅰ)求证：平面 PAC 平面 BEF ； (Ⅱ)求平面 ABC 与平面 BEF 所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值.
20、已知 F1 (1,0), F2 (1,0) 为平面内的两个定点，动点 P 满足 PF1 PF2 2 2 ，记点 P 的 轨迹为曲线 C
B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为 2，△AOB 的面积为 3 ， 则 p=（
B 中所有元素之和
A ．2 B．
3 2
C．1
D．3
D． {0， 1， 3,4}
7. 已知函数 f ( x)
1 3 x ax 2 b2 x 1 ，若 a 是从 1，2，3 三个数中任取的一个数，b 是从 0，1， 3
1 17. 已知数列{an }前 n 项和为 Sn ，首项为 a1 ，且 ，an ，Sn 成等差数列． 2 (1)求数列{an }的通项公式；
(2)数列{bn }满足 bn (log 2 a2 n 1 ) (log 2 a2 n 3 ) ，求证：
1 1 1 1 1 ... ． b1 b2 b3 bn 2
a a a2 n1 a1 a1a3 1 3 2an 1 1, (n N * ) ． a2 a2 a4 a2 a4 a2 n
请 考生在第(2 2), (23), (24 ）三题中任 选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题记分．作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
C．e
2
B．2 + ln 2
1 2
3 D．2e－ln 2
1 4 1 2 1 3
贵州省贵阳市第一中学2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试卷[含答案]
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数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号､在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）{}{}2230,1,2,3,4A x x x B =-->=∣A B ⋂=A.B.C.D.{}1,2{}1,2,3{}3,4{}42.下列函数在其定义域内单调递增的是（）A.B.1y x =-2ln y x=C. D.32y x =e xy x =3.已知等差数列满足，则（）{}n a 376432,6a a a a +=-=1a =A.2B.4C.6D.84.已知点是抛物线上一点，若到抛物线焦点的距离为5，且到轴的距离为A ()2:20C y px p =>A A x 4，则（ ）p =A.1或2 B.2或4 C.2或8 D.4或85.已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“()23f x -[]2,3()f x (),21x A f -B ”是“”的（ ）x A ∈x B ∈A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数的定义域为.设函数，函数.若是偶函数，()f x R ()()e xg x f x -=+()()5e xh x f x =-()g x 是奇函数，则的最小值为（）()h x ()f x A. B.C.D.e2e7.从的二项展开式中随机取出不同的两项，则这两项的乘积为有理项的概率为（）51x ⎫+⎪⎭A. B. C. D.253513238.已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径221:220C x y x y +--=x y M N 2C为，且与圆相外切，则的最大值为（）1C22C M C N ⋅A.20B.C.10D.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.离散型随机变量的分布列如下表所示，是非零实数，则下列说法正确的是（ ）X ,m n X 20242025Pm nA. B.服从两点分布1m n +=X C.D.()20242025E X <<()D X mn=10.已知函数，下列说法正确的是（ ）()()214log 21f x ax ax =-+A.的定义域为，当且仅当()f x R 01a <<B.的值域为，当且仅当()f x R 1a C.的最大值为2，当且仅当()f x 1516a =D.有极值，当且仅当()f x 1a <11.设定义在上的可导函数和的导函数分别为和，满足R ()f x ()g x ()f x '()g x '，且为奇函数，则下列说法正确的是（）()()()()11,3g x f x f x g x --=''=+()1g x +A.B.的图象关于直线对称()00f =()g x 2x =C.的一个周期是4 D.()f x 20251()0k g k ==∑三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.过点作曲线且的切线，则切点的纵坐标为__________.()0,0(0x y a a =>1)a ≠13.今年暑期旅游旺季，贵州以凉爽的气候条件和丰富的旅游资源为依托，吸引了各地游客前来游玩.由安顺黄果树瀑布､荔波小七孔､西江千户苗寨､赤水丹霞､兴义万峰林､铜仁梵净山6个景点谐音组成了贵州文旅的拳头产品“黄小西吃晚饭”.小明和家人计划游览以上6个景点，若铜仁梵净山不安排在首末位置，且荔波小七孔和西江千户苗寨安排在相邻位置，则一共有__________种不同的游览顺序方案.（用数字作答）14.已知函数若存在实数且，使得，()223,0,ln ,0,x x x f x x x ⎧++=⎨>⎩ 123,,x x x 123x x x <<()()()123f x f x f x ==则的最大值为__________.()()()112233x f x x f x x f x ++四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）是一个面积为1的实心正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，将原三角形分成4个小正三角形，并去掉中间的小正三角形得到图（2），再对图（2）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（3），再对图（3）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（4），…，依此类推得到个图形.记第个图形中实心三角形的个数为，第n 个图形n n n a 中实心区域的面积为.nb （1）写出数列和的通项公式；{}n a {}n b （2）设，证明.121121n n n n n c a b a b a b a b --=++++ 43n n n a c a <16.（本小题满分15分）如图，在三棱台中，和都为等腰直角三角形，111A B C ABC -111A B C ABC 为线段的中点，为线段上的点.111112,4,90,CC C A CA ACC BCC CBA G ∠∠∠====== AC HBC （1）若点为线段的中点，求证：平面；H BC 1A B ∥1C GH （2）若平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，求二面角1C GH 111A B C ABC -2:5的正弦值.11C GH B --17.（本小题满分15分）已知双曲线与双曲线的离心率相同，且经过点()2222:10,0x y M a b a b -=>>2222:12x y N m m -=M 的焦距为.()2,2,N （1）分别求和的方程；M N （2）已知直线与的左､右两支相交于点，与的左､右两支相交于点，D ，，判断l M ,A B N C ABCD=直线与圆的位置关系.l 222:O x y a +=18.（本小题满分17分）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分[)[)[)[)[]0,20,20,40,40,60,60,80,80,100布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠22⨯0.01α=产生抗体与指标值不小于60有关；单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体没有抗体合计（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.（i ）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；P （ii ）以（i ）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记100个人P 注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.求及取最大值时的值.X ()E X ()P X k =k参考公式：（其中为样本容量）()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++参考数据：α0.1000.0500.0100.005x α2.7063.8416.6357.87919.（本小题满分17分）三角函数是解决数学问题的重要工具.三倍角公式是三角学中的重要公式之一，某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①；②.3sin33sin 4sinθθθ=-3cos34cos 3cos θθθ=-根据以上研究结论，回答：（1）在①和②中任选一个进行证明；（2）已知函数有三个零点且.()323f x x ax a =-+123,,x x x 123x x x <<（i ）求的取值范围；a （ii ）若，证明：.1231x x x =-222113x x x x -=-贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案DCBCBCAA【解析】1.由题，或，则，故选D.{1A xx =<-∣{}3},1,2,3,4x B >={}4A B ⋂=2.对于A 选项，的定义域为，该函数在和上单调递增，在定义1y x =-()(),00,∞∞-⋃+(),0∞-()0,∞+域内不单调；对于B 选项，的定义域为，该函数在上单调递减，在2ln y x =()(),00,∞∞-⋃+(),0∞-上单调递增，在定义域内不单调；对于C 选项，的定义域为，该函数在定()0,∞+32y x==[)0,∞+义域上单调递增；对于D 选项，的定义域为，当时，；当e x y x =().1e xy x =+'R (),1x ∞∈--0y '<时，，在上单调递减，在上单调递增，因此该函数在定()1,x ∞∈-+0y '>xe y x ∴=(),1∞--()1,∞-+义域内不单调，故选C.3.，故选B.53756415232,16,26,3,44a a a a d a a d a a d =+===-===-= 4.设点，则整理得，解得或，故选C.()00,A x y 200002,5,24,y px p x y ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩582p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2p =8p =5.的定义域为.当时，的定义域为，()23f x - []2,323x ()1233,x f x -∴ []1,3即.令，解得的定义域为，即.[]1,3A =1213x- ()12,21x x f ∴- []1,2[]1,2B =“”是“”的必要不充分条件，故选B.,B A ⊆∴ x A ∈x B ∈6.由题，解得，所以()()()()()()()(),e e ,5e 5e ,x xx xg x g x f x f x h x h x f x f x --⎧⎧=-+=-+⎪⎪⇒⎨⎨=---=--+⎪⎪⎩⎩()3e 2e x x f x -=+，当且仅当，即时，等号成立，()3e2e xxf x -=+3e 2e x x -=12ln 23x =C.min ()f x ∴=7.设的二项展开式的通项公式为，51x ⎫+⎪⎭53521551C C ,0,1,2kkk k kk T x k x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以二项展开式共6项.当时的项为无理项；当时的项为有理项.两项乘积为有3,4,50,2,4k =1,3,5k =理数当且仅当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为，故选A.223326C C 2C 5+=8.由题，，即圆心为，且，为的221:(1)(1)2C x y -+-=()11,1C()()2,0,0,2M N MN 1C 直径.与相外切，由中线关系，有1C 2C 12C C ∴==，当且()()2222222222121222218240,202C M C NC M C N C C C MC M C N ++=+=⨯+=∴⋅=仅当时，等号成立，所以的最大值为20，故选A.22C M C N=22C M C N⋅二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ACDBCBCD【解析】9.对于A 选项，由分布列性质可知正确；对于B 选项，由两点分布定义可知错误；对于C 选项，，正确；()()()202420252024120252024.01,20242025E X m n n n n n E X =+=-+=+<<∴<< 对于D 选项，令，则服从两点分布，，2024Y X =-Y ()()1D Y n n mn=-=，正确，故选ACD.()()()2024D X D Y D Y mn∴=+==10.令，对于A 选项，的定义域为或()2221,Δ44g x ax ax a a =-+=-()f x 0a ⇔=R ，故A 错误；对于B 选项，的值域为在定义域内的值域为0,01Δ0a a >⎧⇔<⎨<⎩ ()f x ()g x ⇔R ，故B 正确；对于C 选项，的最大值为在定义域内的最小值()0,0,1Δ0a a ∞>⎧+⇔⇔⎨⎩ ()f x ()2g x ⇔为，故C 正确；对于D 选项，有极值在定义域内有极值()0,11511616116a a g >⎧⎪⇔⇔=⎨=⎪⎩()f x ()g x ⇔且，故D 选项错误，故选BC.()0,110a a g ≠⎧⇔⇔<⎨>⎩0a ≠11.对于A 选项，因为为奇函数，所以，又由，可得()1g x +()10g =()()11g x f x --=，故A 错误；对于B 选项，由可得()()()101,01g f f -==-()()3f x g x '=+'为常数，又由，可得，则()()3,f x g x C C=++()()11g x f x --=()()11g x f x --=，令，得，所以，所以()()131g x g x C --+-=1x =-()()221g g C --=1C =-的图象关于直线对称，故B 正确；对于C 选项，因为为奇函数，()()()13,g x g x g x -=+2x =()1g x +所以，所以，所以()()()311g x g x g x +=-=-+()()()()()2,42g x g x g x g x g x +=-+=-+=是一个周期为4的周期函数，，()g x ()()()()()()31,47131f x g x f x g x g x f x =+-+=+-=+-=所以也是一个周期为4的周期函数，故C 正确；对于D 选项，因为为奇函数，所以()f x ()1g x +，又，又是周期为4的周期函数，所以()()()()10,204g g g g ==-=-()()310g g ==()g x ，故D 正确，故选BCD.20251()(1)0k g k g ===∑三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号121314答案e14433e 6-【解析】12.设切点坐标为切线方程为.将代入得，可得(),,ln ,txt a y a a ='∴ ln xy a a x =⋅(),tt a ln t ta a t a ⋅=切点纵坐标为.1log e,ln a t a ==∴elog e t a a a==13.先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有种方法，再安排梵净山的位置共有种方法，再排其22A 13C 余元素共有种排法，故共有种不同的方案.44A 214234A C A 144⋅⋅=14.设，由的函数图象知，，又，()()()123f x f x f x t===()f x 23t < 1232,ln x x x t +=-=.令()()()3112233e ,2e t tx x f x x f x x f x t t =∴++=-+在上单调递增，则()()()()2e ,23,1e 20,t t t t t t t t t ϕϕϕ'=-+<=+->∴ (]2,3，的最大值为.()3max ()33e 6t ϕϕ==-()()()112233x f x x f x x f x ∴++33e 6-四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）（1）解：数列是首项为1，公比为3的等比数列，因此；{}n a 11133n n n a --=⨯=数列是首项为1，公比为的等比数列，因此，.{}n b 341133144n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）证明：由（1）可得1210121121121333333334444n n n n n n n n n c a b a b a b a b ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12101111134444n n n ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦121114134311414n nn n --⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⋅=⋅⋅-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-因为，2114314411334n n n nn nc a --⎡⎤⎛⎫⋅⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以，所以.413n n c a <43n n na c a < 16.（本小题满分15分）（1）证明：如图1，连接，设，连接，1A C 11A C C G O⋂=1,HO A G三棱台，则，又，111A B C ABC -11A C ∥AC 122CG AC ==四边形为平行四边形，∴11A C CG 则.1CO OA =点是的中点，H BC .1BA ∴∥OH 又平面平面，OH ⊂11,C HG A B ⊄1C HG 平面.1A B ∴∥1C HG （2）解：因为平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，1C GH 111A B C ABC -2:5所以，11127C GHC AB V V B C ABC-=-即，()1111121373GHC ABC AB C S CC S S CC ⋅⋅=⋅⋅++⋅ 化简得，12GHC ABC S S =此时点与点重合.H B ，1190C CA BCC ∠∠== 且都在平面，则平面，11,,C C BC CC AC BC AC C ∴⊥⊥⋂=ABC 1CC ⊥ABC 又为等腰直角三角形，则.ABC BG AC ⊥又由（1）知，则平面，1A G ∥1CC 1A G ⊥ABC 建立如图2所示的坐标系,G xyz -则，()()()()2,0,0,0,2,0,0,0,0,0,2,0H A G C -()()110,2,2,1,1,2C B --设平面的法向量，1C HG ()()()1,,,0,2,2,2,0,0n x y z GC GH ==-= 则令，解得，220,20,y z x -+=⎧⎨=⎩1y =()0,1,1n = 设平面的法向量，1B GH ()()1,,,1,1,2m a b c GB ==- 则令，解得.20,20,a b c a -+=⎧⎨=⎩2b =()0,2,1m = 设二面角的平面角为，11C GH B --θ，cos cos ,m n m n m n θ⋅=<>=== 所以，sin θ==所以二面角.11C GH B --17.（本小题满分15分）解：（1）由题意可知双曲线的焦距为N =解得，即双曲线.21m =22:12y N x -=因为双曲线与双曲线的离心率相同，M N 不妨设双曲线的方程为，M 222y x λ-=因为双曲线经过点，所以，解得，M ()2,242λ-=2λ=则双曲线的方程为.M 22124x y -=（2）易知直线的斜率存在，不妨设直线的方程为l l ，()()()()11223344,,,,,,,,y kx t A x y B x y C x y D x y =+联立消去并整理得22,,2y kx t y x λ=+⎧⎪⎨-=⎪⎩y ()2222220,k x ktx t λ----=此时可得，()()222222Δ44220,20,2k t k t t k λλ⎧=+-+>⎪⎨--<⎪-⎩22k <当时，由韦达定理得；2λ=212122224,22kt t x x x x k k --+==--当时，由韦达定理得，1λ=234342222,22kt t x x x x k k --+==--则，ABCD====化简可得，222t k +=由（1）可知圆，22:2O x y +=则圆心到直线的距离，Ol d ====所以直线与圆相切或相交.l O 18.（本小题满分17分）解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为：在内有（只）；[)0,200.00252020010⨯⨯=在）内有（只）；[20,400.006252020025⨯⨯=在）内有（只）；[40,600.008752020035⨯⨯=在）内有（只）；[60,800.025********⨯⨯=在内有（只）[]80,1000.00752020030⨯⨯=由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有（只），10253570++=所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体50110160没有抗体202040合计70130200零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.0H 根据列联表中数据，得.220.01200(502020110) 4.945 6.6351604070130x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯根据的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.0.01α=（2）（i ）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”A =B =，事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.C =记事件发生的概率分别为，则，,,A B C ()()(),,P A P B P C ()()160200.8,0.520040P A P B ====.()1P C =-()()10.20.50.9P A P B =-⨯=所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率.0.9P =（ii ）由题意，知随机变量，()100,0.9X B ~所以.()1000.990E X np ==⨯=又，设时，最大，()()C 0.90.10,1,2,,k k n k n P X k k n -==⨯⨯= 0k k =()P X k =所以00000000000010011910010010011101100100C 0.90.1C 0.90.1,C 0.90.1C 0.90.1,k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⨯⨯≥⨯⨯⎪⎨⨯⨯≥⨯⨯⎪⎩解得，因为是整数，所以.089.990.9k 0k 090k =19.（本小题满分17分）（1）若选①，证明如下：()()22sin3sin 2sin2cos cos2sin 2sin cos 12sin sin θθθθθθθθθθθ=+=+=+-()()2232sin 1sin 12sin sin 3sin 4sin θθθθθθ=-+-=-若选②，证明如下：()()22cos3cos 2cos2cos sin2sin 2cos 1cos 2sin cos θθθθθθθθθθθ=+=-=--.()3232cos cos 21cos cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-（2）（i ）解：，()233f x x a =-'当时，恒成立，所以在上单调递增，至多有一个零点；0a ()0f x ' ()f x (),∞∞-+当时，令，得；令，得0a >()0f x '=x =()0f x '<x <<令，得()0f x '>x <x>所以在上单调递减，在上单调递增.()f x ((),,∞∞-+有三个零点，则即解得，()fx (0,0,f f ⎧>⎪⎨<⎪⎩2220,20,a a ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩04a <<当时，，04a <<4a +>且，()()()()32224(4)3445160f a a a a a a a a a+=+-++=++++>所以在上有唯一一个零点，()fx )4a +同理()2220,g a -<-=-=-<所以在上有唯一一个零点.()f x (-又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，()f x (()f x 综上可知的取值范围为.a ()0,4（ii ）证明：设，()()()()321233f x x ax a x x x x x x =-+=---则.()212301f a x x x ==-=又，所以.04a <<1a =此时，()()()()210,130,110,230f f f f -=-<-=>=-<=>方程的三个根均在内，3310x x -+=()2,2-方程变形为，3310x x -+=3134222x x ⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎝⎭令，则由三倍角公式.ππsin 222x θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭31sin33sin 4sin 2θθθ=-=因为，所以.3π3π3,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭7ππ5π7ππ5π3,,,,,666181818θθ=-=-因为，所以，123x x x <<1237ππ5π2sin ,2sin ,2sin 181818x x x =-==所以222221π7ππ7π4sin 4sin 21cos 21cos 181899x x ⎛⎫⎛⎫-=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭137ππ5π7π2cos 2cos 2sin 2sin 991818x x =-=--=-。
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贵阳一中理科实验班招生考试数学电子版
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贵阳一中2013年理科实验班招生考试
数学
（本试卷满分100分，考试时间120分钟）
一．选择题（共9小题，每小题4分）
1．计算：=（B）
A．B．C．D．
2．如图，在梯形ABCD中，一直线分别交BA、DC的延长线于E、J，分别交AD、BD、BC于F、G、H、I，已知EF=FG=GH=HI=IJ，则等于（）
A．B．C．D．
3．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（）
A．300种B．240种C．144种D．96种
4．方程组的正整数解的组数是（）
A．1B．2C．3D．4
5．函数y=a|x|（a＞1）的图象是（）
A．B．C．D．
6．①在实数范围内，一元二次方程ax2+bx+c=0的根为；
②在△ABC中，若AC2+BC2＞AB2，则△ABC是锐角三角形；
③在△ABC和△AB
1C
1
中，a、b、c分别为△ABC的三边，a
1
、b
1
、c
1
分别为△AB
1
C
1
的三边，若
a＞a
1，b＞b
1
，c＞c
1
，则△ABC的面积大S于△AB
1
C
1
的面积S
1
．
以上三个命题中，真命题的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
7．设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M=|S
△CAB ﹣S
△DAB
|，N=2S
△OAB
，
则（）
A．M＞N B．M=N
C．M＜N D．M、N的大小关系不确定
8．若点P （sin α﹣cos α，tan α）在第一象限，则在[0，2π）内α的取值范围是（ ）
A ．
* B ．
C ．
D ．
9．如图F 1、F 2是椭圆C 1：+y 2=1与双曲线C2的公共焦点A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象
限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二．填空题（共6小题，每小题5分）
10．设x 为正实数，则函数y=x 2﹣x+的最小值是 _________ ．
11．如图，已知△ABC，∠B 的平分线交边AC 于P ，∠A 的平分线交边BC 于Q ，如果过点P 、Q 、C 的圆也过△ABC 的内心R ，且PQ=1，则PR 的长等于 _________ ． 12．反比例函数
的图象在第二、四象限，则n 的取值范围为 _________ ，A （2，
y 1），B （3，y 2）为图象上两点，则y 1 _________ y 2（用“＜”或“＞”填空）． 13．把（x 2﹣x+1）6展开后得a 12x 12+a 11x 11+…a 2x 2+a 1x 1+a 0，则a 12+a 10+a 8+a 6+a 4+a 2+a 0= _________ ．
14．小明和小刚在长90米的游泳池的对边上同时开始游泳，小明每秒游3米，小刚每秒游2米，他们来回游了12分钟，若不计转向的时间，则他们交汇的次数是 _________ ． 15．将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记
，则S 的最小值是 _________ ．
三．解答题（共3小题，16题10分，17、18题，每题12分）
16．给定整数n≥3，证明：存在n 个互不相同的正整数组成的集合S ，使得对S 的任意两个不同的非空子集A ，B ，数
与
是互素的合数．（这里
与|X|分别表示有限数集X
的所有元素之和及元素个数．）
17．如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E 、F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BCAE=DCAF ，B 、E 、F 、C 四点共圆．
（1）证明：CA是△ABC外接圆的直径；
（2）若DB=BE=EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．
18．如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH相交于点O，且它们所夹的锐角为θ，∠BEG与∠CFH都是锐角，已知EG=k，FH=l，四边形EFGH的面积为S，（1）求证：；
（2）试用k、l、S来表示正方形ABCD的面积．。