抛物线焦点弦的弦长公式 2
高中数学：四大类弦长公式
高中数学中的四大类弦长公式一、平面直角坐标中的全场通用弦长公式1、已知两点坐标：()11,y x A ，()22,y x B ，则()()221221y y x x AB -+-=2、已知直线上两点：若()11,y x A ，()22,y x B 两点在直线b kx y +=（直线的斜率存在并且不为0）上，则ak x x k AB ∆+=-+=221211（∆,,21x x 是02=++c bx ax 的两根和判别式） ak y y k AB ∆+=-+=22121111（∆,,21y y 是02=++c by ay 的两根和判别式）注：以上公式适用于直线与曲线相交，将直线与曲线联立但不易求出交点坐标 时，采用设而不求思想的解决弦长问题，以上公式的证明会用到韦达定理）二、平面直角坐标中特殊曲线（例如：圆，抛物线，椭圆）中的弦长公式1、直线0:=++C By Ax l 与圆()()222:r b y a x M =-+-相交于B A ,，则222d r AB -=（其中22BA C Bb Aa d +++=为圆心),(b a M 到直线l 的距离）注：此公式证明需用垂径定理2、抛物线中的焦点弦弦长公式，过抛物线交点F 直线l 与抛物线相交的弦长,BF AF AB += ①α221sin 2p x x p AB =++=（其中抛物线开口向右，方程为px y 22=） ②)(21x x p AB +-=（其中抛物线开口向左，方程为px y 22-=） ③21y y p AB ++=（其中抛物线开口向上，方程为py x 22=） ④)(21y y p AB +-=（其中抛物线开口向下，方程为py x 22-=） 注：此公式的证明需用到抛物线的定义和焦半径公式.3、椭圆中的焦点弦的弦长公式,BF AF AB +=①过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点)0,(1c F -的直线l 与椭圆相交于()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212x x e a AB ++=.②过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点)0,(2c F 的直线l 与椭圆相交于()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212x x e a AB +-=.③过椭圆)0(12222>>=+b a bx a y 的左焦点)0(1c F -，的直线l 与椭圆相交于 ()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212y y e a AB ++=.④过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点),0(2c F 的直线l 与椭圆相交于()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212y y e a AB +-=.注：此公式的证明需用到椭圆的第二定义和焦半径公式.三、直线标准参数方程下的弦长公式过定点),(00y x P ，倾斜角为α的直线l 的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x (t 为参数). 参数t 的几何意义为： t 为直线上任一点(,)x y 到定点00(,)x y 的数量；即：直线l 上的动点()()ααsin ,cos ,00t y t x M y x M ++=到点),(00y x P 的距离等于t .设点B A 、对应的参数分别为,,21t t 则有： ①2121,,t t AB t PB t PA -===②AB 中点M 对应的参数为221t t +，则.221t t PM += 证明：∵A 对应的参数分别为1t ∴()ααsin ,cos 1010t y t x A ++,∴ ()()()()1212120102010sin cos sin cos t t t y t y x t x PA =+=-++-+=αααα同理2t PB =,21t t AB -=还有一些可能会用到的公式,他们都可通过以上两个结论+绝对值的运算而得： 例如：③⎩⎨⎧<->+=+=+0,,2121212121t t t t t t t t t t PB PA ;⎩⎨⎧<+>-=-=-0,,2121212121t t t t t t t t t t PB PA④ 若AB 的中点为P ,则021=+t t .（∵AB 中点对应的参数为221t t +,P 对应的参数为0）过定点),(00y x P 的直线l 的参数方程也可表示为:⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00 (b a ,是常数,t 为参数).设点N M 、对应的参数分别为21,t t ,即()()20201010,,,bt y at x N bt y at x M ++++则有：①122t b a PM +=，222t b a PN +=，()2122t t b a PN PM +=⋅②Aba t tb a MN ∆+=-+=222122（其中21,t t 是方程02=++C Bt At 的两根） ③⎩⎨⎧<->+=+=+0,,2121212121t t t t t t t t t t PN PM ; ⎪⎩⎪⎨⎧<++>-+=-+=-0,0,2121222121222122t t t t b a t t t t b a t t b a PN PM④ 若MN 的中点为P ,则021=+t t .（∵MN 中点对应的参数为221t t +,P 对应的参数为0）四、极坐标系中的弦长公式：()()2211,,,θρθρB A①若21θθ=，则21ρρ-=AB②若21θθ≠，则()21212221cos 2θθρρρρ--+=AB ，()2121sin 21θθρρ-=∆OAB S。
抛物线焦点弦的弦长公式
抛物线焦点弦的弦长公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1关于抛物线焦点弦的弦长公式在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介绍了开口向右时的焦点弦的长度计算问题：(1)已知：抛物线的方程为px y 22=)0(>p ，过焦点F 的弦AB 交抛物线于A B 两点，且弦AB 的倾斜角为θ，求弦AB 的长。
解：由题意可设直线AB 的方程为)2(p x k y -=)2(πθ≠将其代入抛物线方程整理得：0)84(422222=++-kp k xkx p p ，且θtan =k设A,B 两点的坐标为),(),,(2211y x y x 则：kk xx p p 22212+=+，4221p xx =)(sin )(2212224211||θpAB x x x x k=-+=+当2πθ=时，斜率不存在，1sin =θ，|AB|=2p.即为通径 而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗这只能代表开口向右时的弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。
现在我们来探讨这个问题。
(2)已知：抛物线的方程为)0(22>=p py x ，过焦点的弦AB 交抛物线于A,B 两点，直线AB 倾斜角为θ，求弦AB 的长。
解：设A,B 的坐标为),(),,(2211y x y x ，斜率为k )tan (θ=k ，而焦点坐标为)2,0(p ，故AB 的方程为kx py =-2，将其代入抛物线的方程整理得： ,0222=--pxpkx 从而px x x x pk 22121,2-==+，弦长为：)(cos )(2212224211||θpAB x x x x k=-+=+p AB 2||,1cos ,0===θθ，即为通径。
而px y 22-=与（1）的结果一样，py x 22-=与（2）的结果一样，但是（1）与（2）的两种表达式不一样，为了统一这两种不同的表达式，只须作很小的改动即可。
微重点 抛物线的二级结论的应用
微重点 抛物线的二级结论的应用抛物线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，特别是抛物线的焦点弦的一些二级结论，在考试中经常用到，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解．考点一 抛物线的焦点弦核心提炼与抛物线的焦点弦有关的二级结论若倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 经过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，且与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>y 2)两点，则(1)焦半径|AF |＝x 1＋p 2＝p1－cos α，|BF |＝x 2＋p 2＝p1＋cos α，(2)焦点弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α，(3)S △OAB ＝p 22sin α(O 为坐标原点)，(4)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，(5)1|AF |＋1|BF |＝2p， (6)以AB 为直径的圆与准线相切，以F A 为直径的圆与y 轴相切．考向1 焦半径、弦长问题例1 (1)已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点F 作两条相互垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 相交于A ，B 两点，直线l 2与C 相交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( ) A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 答案 A解析 如图，设直线l 1的倾斜角为θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则直线l 2的倾斜角为π2＋θ，由抛物线的焦点弦弦长公式知|AB |＝2p sin 2θ＝4sin 2θ， |DE |＝2p sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝4cos 2θ，∴|AB |＋|DE |＝4sin 2θ＋4cos 2θ＝4sin 2θcos 2θ＝16sin 22θ≥16，当且仅当sin 2θ＝1， 即θ＝π4时取等号．∴|AB |＋|DE |的最小值为16.(2)斜率为3的直线经过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 与抛物线交于A ，B 两点，A 在第一象限且|AF |＝4，则|AB |＝________. 答案163解析 直线l 的倾斜角α＝60°，由|AF |＝p1－cos α＝4，得p ＝4(1－cos α)＝2， ∴|AB |＝2p sin 2α＝434＝163. 考向2 面积问题例2 (2022·长沙模拟)已知抛物线C ：y 2＝16x ，倾斜角为π6的直线l 过焦点F 交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△ABO 的面积为________． 答案 64解析 方法一 (常规解法)依题意， 抛物线C ：y 2＝16x 的焦点为F (4,0)，直线l 的方程为x ＝3y ＋4.由⎩⎨⎧x ＝3y ＋4，y 2＝16x ，消去x ， 得y 2－163y －64＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝163，y 1y 2＝－64. S △OAB ＝12|y 1－y 2|·|OF |＝2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2(163)2－4×(－64)＝64. 方法二 (活用结论)依题意知， 抛物线y 2＝16x ，p ＝8. 又l 的倾斜角α＝π6.所以S △OAB ＝p 22sin α＝822sinπ6＝64.考向31|AF |＋1|BF |＝2p的应用 例3 (2022·“四省八校”联考)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，则2|AF |＋|BF |最小值为( ) A ．2 B ．26＋3 C ．4 D ．3＋2 2答案 D解析 因为p ＝2， 所以1|AF |＋1|BF |＝2p ＝1，所以2|AF |＋|BF |＝(2|AF |＋|BF |)·⎝⎛⎭⎫1|AF |＋1|BF | ＝3＋2|AF ||BF |＋|BF ||AF |≥3＋22|AF ||BF |·|BF ||AF |＝3＋22， 当且仅当|BF |＝2|AF |时，等号成立， 因此，2|AF |＋|BF |的最小值为3＋2 2.考向4 利用平面几何知识例4 (2022·遂宁模拟)已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，过点F 的直线l 与抛物线交于P ，Q 两点，直线l 与抛物线的准线l 1交于点M ，若PM →＝2FP →，则|FQ ||PQ |等于( )A.13B.34C.43 D ．3 答案 B解析 如图，过点P 作准线的垂线交于点H ，由抛物线的定义有|PF |＝|PH |＝m (m >0)，过点Q 作准线的垂线交于点E ，则|EQ |＝|QF |， ∵PM →＝2FP →， ∴|PM |＝2m ，根据△PHM ∽△QEM ， 可得|PH ||PM |＝|QE ||QM |＝12，∴2|EQ |＝|QM |＝|FQ |＋3m . ∴|EQ |＝3m ，即|FQ |＝3m ， ∴|FQ ||PQ |＝3m 3m ＋m ＝34. 易错提醒 焦半径公式和焦点弦面积公式容易混淆，用时要注意使用的条件；数形结合求解时，焦点弦的倾斜角可以为锐角、直角或钝角，不能一律当成锐角而漏解．跟踪演练1 (1)已知A ，B 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足AB →＝3FB →，S △OAB ＝23|AB |，则|AB |的值为( )A.92B.29 C ．4 D ．2 答案 A解析 如图，不妨令直线AB 的倾斜角为α，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∵AB →＝3FB →∴F 为AB 的三等分点， 令|BF |＝t ，则|AF |＝2t ， 由1|BF |＋1|AF |＝2p， 得1t ＋12t ＝2p ⇒t ＝34p ， ∴|AB |＝3t ＝94p ，又|AB |＝2psin 2α， ∴2p sin 2α＝94p ⇒sin α＝223， 又S △AOB ＝23|AB |， ∴p 22sin α＝23|AB |， 即p 2423＝23·94p ⇒p ＝2， ∴|AB |＝92.(2)(多选)已知抛物线C ：x 2＝4y ，焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，该抛物线的准线与y 轴交于点M ，过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别为H ，G ，如图所示，则下列说法正确的是( )A ．线段AB 长度的最小值为2B ．以AB 为直径的圆与直线y ＝－1相切C ．∠HFG ＝90°D ．∠AMO ＝∠BMO答案 BCD解析 如图，取AB 的中点为C ，作CD ⊥GH ，垂足为D ，当线段AB 为通径时长度最小，为2p ＝4，故A 不正确； ∵直线y ＝－1为准线， ∴|CD |＝12(|AH |＋|BG |)＝12|AB |，故以AB 为直径的圆与准线y ＝－1相切， 故B 正确；又|BF |＝|BG |，∴∠BFG ＝∠BGF ， 又BG ∥FM ， ∴∠BGF ＝∠MFG ， ∴∠BFG ＝∠MFG ， 同理可得∠AFH ＝∠MFH ，又∠BFG ＋∠MFG ＋∠MFH ＋∠AFH ＝180°， ∴FG ⊥FH .即∠HFG ＝90°，故C 正确； 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴直线AB ：y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0， ∴x 1x 2＝－4，x 1＋x 2＝4k ， k AM ＋k BM ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2x 1＋kx 2＋2x 2＝2k ＋2(x 1＋x 2)x 1x 2＝2k ＋2·4k－4＝0，∴∠AMO ＝∠BMO ，故D 正确．考点二 定点问题核心提炼抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过(2p ，0)的直线与之交于A ，B 两点，则OA ⊥OB ，反之，也成立．例5 如图，已知直线与抛物线x 2＝2py 交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 交AB 于点D ，点D 的坐标为(2,4)，则p 的值为( )A ．2B ．4 C.32 D.52答案 D解析 如图，令AB 与y 轴交于点C ，∵OA ⊥OB ，∴AB 过定点C (0,2p )， 又D (2,4)，∴CD →＝(2,4－2p )，OD →＝(2,4)， ∵OD ⊥AB ， ∴CD →·OD →＝0， 即4＋4(4－2p )＝0， 解得p ＝52.易错提醒 要注意抛物线的焦点位置，焦点不同，定点是不同的；在解答题中用该结论时需证明该结论．跟踪演练2 已知抛物线y 2＝4x ，A ，B 为抛物线上不同两点，若OA ⊥OB ，则△AOB 的面积的最小值为________． 答案 16解析 如图，∵OA ⊥OB ，∴直线AB 过定点(2p ，0)， 即点C 坐标为(4,0)，设直线AB ：x ＝ty ＋4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋4，y 2＝4x ⇒y 2－4ty －16＝0，Δ＝16t 2＋64>0，y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－16， ∴S △AOB ＝12|OC ||y 1－y 2|＝2|y 1－y 2|＝216t 2＋64，∴当t ＝0时，S min ＝16.专题强化练1．(2022·菏泽模拟)设坐标原点为O ，抛物线y 2＝4x 与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA →·OB →等于( )A.34 B ．－34 C ．3 D ．－3 答案 D解析 方法一 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， 设直线AB 的方程为x ＝ty ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4＝0， Δ＝16t 2＋16>0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 214·y 224＋y 1y 2＝1616＋(－4)＝－3. 方法二 因为AB 过抛物线的焦点， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24＝1，y 1y 2＝－p 2＝－4，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3.2.如图，过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与抛物线准线交于C 点，若B 是AC 的中点，则|AB |等于( )A ．8B ．9C ．10D ．12答案 B解析 如图所示，令|BF |＝t ， 则|BB ′|＝t ， 又B 为AC 的中点， ∴|AA ′|＝|AF |＝2t ， ∴|BC |＝|AB | ＝|AF |＋|BF |＝3t ， 又△CBB ′∽△CFE ， ∴|BC ||CF |＝|BB ′||FE |， 即3t 3t ＋t ＝t p⇒t ＝34p ，∴|AB |＝3t ＝94p ＝9.3．倾斜角为π4的直线l 交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，S △AOB ＝85，则抛物线C 的方程为( ) A ．y 2＝2xB ．y 2＝4xC ．y 2＝42xD ．y 2＝8x答案 B解析 ∵OA ⊥OB ， ∴直线过定点(2p ，0) 设直线l 的方程为x ＝y ＋2p ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋2p ，y 2＝2px ，得y 2－2py －4p 2＝0，Δ＝4p 2－4×(－4p 2)＝20p 2>0， ∴y 1＋y 2＝2p ，y 1y 2＝－4p 2， S △AOB ＝12·2p ·|y 1－y 2|＝p (y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝p ·4p 2＋16p 2＝25p 2＝85， ∴p ＝2，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .4．直线l 过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，过A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，则四边形ABB ′A ′的面积为( ) A ．4 3 B ．8 3 C ．16 3 D ．32 3 答案 C解析 不妨令直线l 的倾斜角为θ，则|AF |＝p 1－cos θ＝31－cos θ，|BF |＝p 1＋cos θ＝31＋cos θ，又|AF |＝3|BF |， ∴31－cos θ＝3·31＋cos θ，解得cos θ＝12，又θ∈[0，π)，∴θ＝π3，∴|AF |＝31－cos θ＝6，|BF |＝31＋cos θ＝2， ∴|AA ′|＝6，|BB ′|＝2，∴|A ′B ′|＝|AB |sin θ＝8×32＝43， ∴S 四边形ABB ′A ′＝12×(2＋6)×43＝16 3. 5．(多选)(2022·聊城模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，则( )A ．C 的准线方程为x ＝－2B ．若|AF |＝4，则|OA |＝21C ．若|AF |·|BF |＝4p 2，则l 的斜率为±33D ．过点A 作准线的垂线，垂足为H ，若x 轴平分∠HFB ，则|AF |＝4答案 BCD解析 因为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2，所以p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x ，则焦点F (1,0)，准线为x ＝－1，故A 错误；若|AF |＝4，则x A ＝3，所以y 2A ＝4x A＝12， 所以|OA |＝x 2A ＋y 2A ＝21，故B 正确；设直线AB 的倾斜角为α，α∈(0，π)，|AF ||BF |＝p 1－cos α·p 1＋cos α＝p 2sin 2α＝4p 2， ∴sin 2α＝14， ∴sin α＝12， ∴α＝30°或150°，∴tan α＝±33，故C 正确； 对于D ，若x 轴平分∠HFB ，则∠OFH ＝∠OFB ，又AH ∥x 轴，所以∠AHF ＝∠OFH ＝∠OFB ＝∠AFH ，所以HF ＝AF ＝AH ，所以x A ＋x H 2＝x F ，即x A ＝3， 所以|AF |＝x A ＋1＝4，故D 正确．6．(多选)(2022·武汉模拟)斜率为k 的直线l 经过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，且与抛物线C 相交于A ，B 两点，点A 在x 轴上方，点M (－1，－1)是抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是( )A ．p ＝2B ．k ＝－2C ．MF ⊥ABD.|F A ||FB |＝25 答案 ABC解析 由题意知，抛物线C 的准线为x ＝－1，即p 2＝1，解得p ＝2， 故选项A 正确；∵p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其焦点为F (1,0)，∵以AB 为直径的圆与准线相切，∴点M (－1，－1)为切点，∴圆心的纵坐标为－1，即AB 中点的纵坐标为－1，设AB ：x ＝ty ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝4x ， 得y 2－4ty －4＝0，Δ＝16t 2＋16>0，∴y 1＋y 2＝4t ＝－2，∴t ＝－12，即k ＝－2，故选项B 正确； ∵k ＝－2，k MF ＝－1－0－1－1＝12，k MF·k ＝－1， ∴MF ⊥AB ，故选项C 正确；过A 作AA 1⊥x 轴，过B 作BB 1⊥x 轴，抛物线的准线交x 轴于点C ，设∠BFB 1＝θ，∴|BF |＝p 1－cos θ， |AF |＝p 1＋cos θ， 又p ＝2，k ＝－2，则cos θ＝55， ∴|F A ||FB |＝5－55＋5＝(5－5)225－5＝30－10520＝3－52， 故选项D 错误．7．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于M ，N 两点，且|MF |＝2|NF |，则直线l 的斜率为______．答案 ±2 2解析 由抛物线的焦点弦的性质知1|MF |＋1|NF |＝2p＝1， 又|MF |＝2|NF |，解得|NF |＝32，|MF |＝3， ∴|MN |＝92， 设直线l 的倾斜角为θ，∴k ＝tan θ，又|MN |＝2p sin 2θ， ∴4sin 2θ＝92， ∴sin 2θ＝89，∴cos 2θ＝19， ∴tan 2θ＝8，∴tan θ＝±22，故k ＝±2 2.8.(2022·攀枝花模拟)如图所示，已知抛物线C 1：y 2＝2px 过点(2,4)，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋3＝0.过圆心C 2的直线l 与抛物线C 1和圆C 2分别交于P ，Q ，M ，N ，则|PM |＋4|QN |的最小值为________．答案 13解析 由题设知，16＝2p ×2，则2p ＝8，故抛物线的标准方程为y 2＝8x ，则焦点F (2,0)， 由直线PQ 过抛物线的焦点，则1|PF |＋1|QF |＝2p ＝12， 圆C 2：(x －2)2＋y 2＝1的圆心为(2,0)，半径为1， |PM |＋4|QN |＝|PF |－1＋4(|QF |－1)＝|PF |＋4|QF |－5＝2(|PF |＋4|QF |)⎝⎛⎭⎫1|PF |＋1|QF |－5＝2×⎝⎛⎭⎫|PF ||QF |＋4|QF ||PF |＋5≥4|PF ||QF |·4|QF ||PF |＋5＝13， 当且仅当|PF |＝2|QF |时，等号成立，故|PM |＋4|QN |的最小值为13.。
焦点在y轴抛物线焦点弦长公式
焦点在y轴抛物线焦点弦长公式
抛物线是数学中的一个经典曲线，其焦点在y轴上的抛物线具有独特的性质。
通过研究这种抛物线，我们可以得出一个重要的公式，即焦点在y轴上的抛物线焦点弦长公式。
该公式可以表示为：l=4p，其中，l代表焦点在y轴上的抛物线焦点弦长，p代表抛物线顶点到焦点的距离。
这个公式的证明可以通过抛物线的标准方程进行推导。
根据抛物线的标准方程y^2=4px，我们可以得出焦点坐标为(0,p)。
同时，我们可以通过勾股定理，求出焦点到顶点的距离为p，再根据抛物线的对称性，得出焦点在y轴上的抛物线焦点弦长为4p。
这个公式在数学、物理等领域有着广泛的应用，例如在抛物线反射问题中，可以通过这个公式来求解反射角度；在天文学中，太阳能焦聚器也是基于这个公式来设计的。
总之，焦点在y轴上的抛物线焦点弦长公式是一个重要的数学公式，它深刻地揭示了抛物线的本质特点，并为相关领域的研究提供了重要的理论基础。
- 1 -。
抛物线焦点弦性质
焦点弦的角平分线性质
总结词
通过抛物线焦点的弦也是该弦所夹角的角平分线。
详细描述
对于给定的抛物线和通过该抛物线焦点的弦，该弦将把与之相交的两个射线平分，也就是说，它是一 个角平分线。这一性质在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与角平分线相关的问题时。
04 焦点弦的应用
在几何作图中的应用
抛物线的性质
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看的性质和定理将被发现和证明。
未来研究可以进一步探索抛物线焦点弦与其他几何图形之间的关系，以 及在各个领域的应用前景。
同时，随着计算机技术的发展，数值模拟和可视化技术可以为抛物线焦 点弦性质的研究提供更多的手段和方法，有助于更深入地理解这一概念。
物体的运动规律。
05 结论
对抛物线焦点弦性质的总结
抛物线焦点弦性质是几何学中的重要概念，它涉及到抛物线、焦点和弦的一系列特 性。
焦点弦是指通过抛物线焦点的弦，它具有一些特殊的性质，如长度、倾斜角等。
这些性质在几何学、光学、天文学等领域有着广泛的应用，对于解决实际问题具有 重要的意义。
对未来研究的展望
焦点弦的面积性质
总结词
抛物线焦点弦将抛物线划分为两个面 积相等的部分。
详细描述
对于给定的抛物线，通过焦点的弦将 该抛物线分为两个面积相等的区域。 这一性质在几何和解析几何中都有所 应用，是抛物线的一个重要特性。
焦点弦的切线性质
总结词
焦点弦在抛物线上的切点与焦点的连线垂直于该弦。
详细描述
对于抛物线上的任意一点，该点处的切线与通过该点和焦点的连线垂直。这一 性质在解决几何问题时非常有用，因为它揭示了切线、弦和焦点之间的特殊关 系。
焦点弦的性质是抛物线几何性质的一 个重要部分，它在解决一些数学问题 中有着广泛的应用。
抛物线弦长公式
抛物线弦长公式
抛物线的弦长计算公式是弦长=|x1-x2|√(k²+1)。
平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
其中定点叫抛物线的焦点，定直线就叫抛物线的准线。
抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。
它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。
它在几何光学和力学中有重要的用处。
抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。
抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。
【二级结论】专题12 解析几何3
＝，＝（图1 图2 图3①以为直径的圆与准线相切；②以为直径的圆与轴相切；③以为直径的圆与轴相切；④分别以为直径的圆之间的关系：圆与圆外切；圆与圆既与轴相切，⼜与圆相内切．结合圆的⼏何性质易得有关直线垂直关系的结论，如图3有，①以为直径的圆的圆⼼在准线上的射影与两点的连线互相垂直，即；②以为直径的圆的圆⼼在轴上的射影与两点的连线互相垂直，即；③以为直径的圆的圆⼼在轴上的射影与两点的连线互相垂直，即；④以为直径的圆必过原点，即；⑤．【应⽤场景】AB M AF C y BF D y AB ,AF ,BF C D C D y M AB M 1A ,B A ⊥B M 1M 1AF y C 1A ,F A ⊥F C 1C 1BF y D 1B ,F B ⊥F D 1D 1A 1B 1F ⊥F A 1B 1F ⊥AB M 1运⽤焦点弦与圆有关的结论可以很⽅便的解决直线、圆、抛物线有关综合题，解题中要注意抛物线的定义、⼏何性质以及圆的⼏何性质的应⽤．【典例指引1】【反思】本题考查了抛物线的标准⽅程，抛物线的⼏何性质，以及直线和圆，直线和抛物线的位置关系的相关问题，当题设涉及直线，圆，圆锥曲线时，⼀般是直线与圆锥曲线相交于两点，需联⽴⽅程，得到根与系数的关系，⽽直线与圆经常利⽤圆的⼏何性质，得到⼀些常量，这些不变的量和圆锥曲线建⽴联系，从⽽进⼀步求解．【典例指引2】【针对训练】⼀、单选题：11. 在平⾯直⻆坐标系中，已知点，直线，动直线垂直于于点，线段的垂直平分线交于点，设的轨迹为.(1)求曲线的⽅程；(2)以曲线上的点为切点作曲线的切线，设 分别与，轴交于，两点，且恰与以定点为圆⼼的圆相切. 当圆的⾯积最⼩时，求与⾯积的⽐.12. 已知抛物线的准线为l ，记l 与y 轴交于点M ，过点M 作直线与C 相切，切点为N ，则以MN 为直径的圆的⽅程为（ ）A ．或B ．或C ．或D ．或13. 阿基⽶德（公元前287年---212年）是古希腊伟⼤的物理学家、数学家、天⽂学家，不仅在物理学⽅⾯贡献巨⼤，还享有“数学之神”的称号.抛物线上任意两点A 、B 处的切线交于点P ，称△为“阿基⽶德三⻆形”，当线段AB 经过抛物线焦点F 时，△具有以下特征：（1）P 点必在抛物线的准线上；（2）△为直⻆三⻆形，且;（3）.若经过抛物线焦点的⼀条弦为AB ，阿基⽶德三⻆形为△，且点P 的纵坐标为4，则直线AB 的⽅程为（ ）A ．x -2y -1=0B ．2x +y -2=0C ．x+2y -1=0D ．2x -y -2=0(1)若的⾯积为，求的值及圆的⽅程(2)若直线与抛物线C交于P，Q两点，且，准线与y轴交于点S，点S关于直线PQ的对称点为T，求的取值范围.。
抛物线焦点弦公式大全
抛物线焦点弦公式大全抛物线是几何学中的一个重要概念，它具有许多重要的性质和公式。
其中，抛物线焦点弦公式是抛物线的一个重要性质，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
本文将对抛物线焦点弦公式进行详细介绍，包括定义、推导、应用等方面的内容，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学概念。
1. 抛物线焦点弦公式的定义。
抛物线是一个平面曲线，其定义可以用数学方程来表示。
一般而言，抛物线的标准方程为，y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a不等于0。
抛物线上的每一个点到抛物线的焦点处的距离与该点到抛物线的直线焦点弦的距离的乘积是一个常数，这个常数就是抛物线的焦点弦公式所描述的内容。
2. 抛物线焦点弦公式的推导。
为了推导抛物线焦点弦公式，我们首先需要了解抛物线的焦点和直线焦点弦的定义。
抛物线的焦点是到抛物线上任意一点的距离与该点到抛物线的直线焦点弦的距离的乘积等于一个常数。
根据这个性质，我们可以利用数学知识对抛物线焦点弦公式进行推导，具体的推导过程略。
3. 抛物线焦点弦公式的应用。
抛物线焦点弦公式在数学和物理学中有着广泛的应用。
在数学中，抛物线焦点弦公式可以用来解决与抛物线相关的各种问题，如求焦点坐标、求抛物线上任意一点到焦点的距离等。
在物理学中，抛物线焦点弦公式可以用来描述抛物线运动的轨迹和性质，对于抛物线运动的分析和计算有着重要的意义。
4. 总结。
抛物线焦点弦公式是抛物线的一个重要性质，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
本文对抛物线焦点弦公式进行了详细的介绍，包括定义、推导、应用等方面的内容。
通过本文的阅读，相信读者对抛物线焦点弦公式会有更深入的理解，能够更好地应用于实际问题的解决中。
希望本文能够对您有所帮助，谢谢阅读！。
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关于抛物线焦点弦的弦长公式补充
(1)已知：抛物线的方程为
px y
22
=)0(>p ，过焦点F 的弦AB 交抛物线于A B 两点，
且弦AB 的倾斜角为θ，求弦AB 的长。
解：由题意可设直线AB 的方程为)2
(p x k y -
=)2(π
θ≠将其代入抛物线方程整理得：
0)84(42
2
2
2
2
=+
+-k
p k x
k
x p p ，且θtan =k
设A,B 两点的坐标为),(),,(
2
2
1
1
y x y x 则：k
k x
x p p 22
2
1
2+=
+，
4
2
2
1
p
x
x
=
)
(sin )
(2
212
2
24211||θp
AB x x x x k
=
-+=+
当2
π
θ=
时，斜率不存在，1sin =θ，|AB|=2p.即为通径
而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。
现在我们来探讨这个问题。
(2)已知：抛物线的方程为
)0(22
>=p py x
，过焦点的弦AB 交抛物线于A,B 两点，
直线AB 倾斜角为θ，求弦AB 的长。
解：设A,B 的坐标为),(),,(2
21
1y x y x ，斜率为k )tan (θ=k ，而焦点坐标为)2
,0(p ，
故AB 的方程为kx p
y =-
2
，将其代入抛物线的方程整理得： ,022
2
=-
-p
x
pkx 从而p x x x x pk 2
2121,2-==+，
弦长为：)
(cos )
(2
212
2
24211||θp
AB x x x x k
=
-+=+
p AB 2||,1cos ,0===θθ，即为通径。
而
px y
22
-=与（1）的结果一样，py x 22
-=与（2）的结果一样，但是（1）与（2）
的两种表达式不一样，为了统一这两种不同的表达式，只须作很小的改动即可。
现将改动陈述于下：
（3）已知：抛物线的方程为
px y
22
=)0(>p ，过焦点F 的弦AB 交抛物线于A ，B
两点，且弦AB 与抛物线的对称轴的夹角为θ，求弦AB 的长。
解：由题意可设直线AB 的方程为)2
(p x k y -
=)2(π
θ≠将其代入抛物线方程整理得：
0)84(42
2
2
2
2
=+
+-k
p k x
k
x p p ，
若倾斜角2
π
α<，则θαθαtan tan ,===k ；
若倾斜角,2
π
α>
则)tan(tan ,θπαθπα-==-=k 。
设A,B 两点的坐标为),(),,(2
2
1
1
y x y x
则：
k
k x
x p p 2
2
2
1
2+=
+，
4
2
2
1
p
x
x
=
)
(sin )
2()
tan )
(2
4
4
2
22
2
12
2
22
(14
211||ααp
AB k
k
p p k p x
x x x k
=
-
+=-+
=++
而αθπαθsin )sin(,sin sin =-=，故)
(sin 2
2||θp
AB =
；
当2
π
θ=时，1sin =θ，|AB|=2p.即为通径。
而
px y
22
-=与（3）的结果一样
同理：（4）已知：抛物线的方程为
)0(22
>=p py x
，过焦点的弦AB 交抛物线于A,B
两点，直线AB 与抛物线的对称轴的夹角为θ，求弦AB 的长。
解：设A,B 的坐标为),(),,(
2
2
1
1
y x y x ，若倾斜角为α，斜率为k ，
则αtan =k ，而焦点坐标为)2
,0(p
， 故AB 的方程为kx p
y =-
2
，将其代入抛物线的方程整理得： ,022
2
=-
-p
x
pkx 从而p x x x x pk 2
2121,2-==+，
弦长为：)
(cos )
(2
212
2
24211||αp
AB x x x x k =
-+=+
当倾斜角2
π
α<，则θθπ
αθπ
αsin )2
cos(cos ,2=-=-=
； 当倾斜角,2
π
α>
则θθπ
αθπ
αsin )2
cos(cos ,2-=+=+=
所以)
(sin 2
2||θp
AB =
恒成立。
当2
π
θ=时，1sin =θ，|AB|=2p.即为通径。
而
py x
22
-=与（4）的结果一样。
故只要直线AB 与抛物线的对称轴的夹角为θ，那么不论抛物线的开口向上，向下，向左还是向右，过焦点的弦的弦长都可以用一个公式表示，即)
(sin 2
2||θp
AB =。
这个公式
包含了抛物线的四种开口形式，没有了因为开口不同而导致的公式不同，便于记忆，便于应用，是一个很好的弦长公式，这里推荐给大家使用。