抛物线焦点弦最小值的5种求法
抛物线焦点弦
抛物线焦点弦的性质及应用平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
由于抛物线定义的特殊性，使得它有许多其他圆锥曲线所没有的特征，特别是抛物线过焦点的弦的性质尤其突出，同时也高考中经常要考查的内容。
设抛物线的方程为y 2=2px(P ＞0),过焦点F(p 2,0)作倾斜角为?的直线，交抛物线于P 、Q 两点，则线段PQ 称抛物线的焦点弦，(如图1).抛物线的焦点弦具有以下性质:4221p x x =性质1：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则y 1y 2=-p 2. 证明：①当?=90?时，PQ 方程为x=p2代入y 2=2px中有y 2=p 2,即y 1=p,y 2=-p,∴y 1y 2=-p 2.②当?≠90?时，设直线PQ 斜率为k,则PQ 方程为y=k(x ﹣p2)与y 2=2px 联立，消x 后得到：ky 2-2py-kp 2=0,∴y 1y 2=-p 2.因为1212px y =，2222px y =，所以21222214x x p y y =∙，所以==∙=24222212144pp p y y x x 42p 例1过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P 、Q ，通过点P 和抛物线顶点的直线交准线于点M ，求证：直线MQ 平行与抛物线的对称轴.证明：为了方便比较，可将P 点横坐标及Q 点纵坐标均用P 点的纵坐标y 1表示.∴P(y 212p ,y 1),Q(x 2,y 2),但y 1y 2=-p 2，∴y 2=﹣p 2y 1,PM 方程是：y=2p y 1x,当x=﹣p 2时,y=﹣p 2y 1即为M 点的纵坐标，这样M 点与Q 点的纵坐标相同，故MQ ∥Ox.[例2]设坐标原点为O ，抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA ∙OB ＝ .A 、43B 、-43C 、3D 、-3解析：设弦的两个端点为A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），x 1 x 2=42P ， 221P y y -=，∴OA ∙OB ＝2121y y x x + ＝42P -2p ＝43432-=-p ，故答案选B 。
抛物线焦点弦最小值的5种求法
Ｉ Ｉ ＡＢｌ ＋ Ｉ Ｆｌ — ＡＦＩ Ｂ —ｚ ＋ｚ ＋ ，
再利 用均 值不等 式
引例 求 抛物 线 Ｙ ：２ ｘ（ ＞ Ｏ 的 焦点 弦 的最 。 ｐ ｐ ）
小 值．
Ｉ ＢＩ １ ２ ／１２ 一２ ． Ａ —ｚ ＋ｚ ＋ ≥￣ ＋户 ｐ ｚ
斜 率存 在时 ， 抛物线 ｙ ＝２ ｘ （ ＞ｏ 的焦 点 。 ｐ 户 ）
Ｉ ＡＢ 『ｉ ２ ｐ． 一
思 路 ２ 为避 免讨 论可 以在 直线 方程 的设 法上 做
物
文章 如 直线 ＝ ｙ 要 则直 含斜 ． 果把 设成 ｍ ＋ 形式 线包
率不存 在 的情 况 ．
抛 线 焦 Ｆ ，， Ａ 的 程 ： 物 的 点 （ 。直 Ｂ 方 为 号 ）线 ｚｍ＋ ． — ．号 ｙ
由方程 组 ｙ ｏ ＝ｓ （ － ， ｃｓ Ｏ ｉ Ｏ ｘ ２） 消 ｎ 由方程 组 消 得 ： Ｙ得
◇
湖 北 肖菊姣
【 ：２ ｘ Ｙ ｐ，
ｓｎ ． ２ ｐ（ ｃ ｓ ＋ ｓｎ ） ＋ ｉｚ ， － Ｘ ２。 ｉ ｐ２
ｓ ｎ ： 。， ｉ
１ 足 积 分 性 庾
Ｐ， 以 ｌ ＝ ＋ｚ ＋Ｐ≥２ 当且 仅 当 ｚ 一 ｚ 所 ｌ＝ ＡＢ ＝ 。 ｐ， 一
Ｉ １ ・ 。ｐ ２１ ） Ａｉ ＋ √ ）４一 （ ． Ｂ √ 古 （ ＋ ｐ＋ 一
因为 ｋ 最 大值 ， 以 ｌ 无 最小 值． 无 所 ＡＢＩ
要时 等号 所以 线ｙ＝ ｐ（＞０的 取 ． 抛物 Ｚ ２ ｐ ） 焦点弦的
特征 研究 焦点 弦 的定 值 、 量 问 题 ， 养 学 生 对 问 题 定 培 研究 的兴 趣及研 究能 力 ， 面 引例说 明焦点 弦最小 值 下 的几 种求 法．
过抛物线焦点弦的最小值问题
过抛物线焦点弦的最小值问题例题：已知抛物线 y2 =2px(p .0)，过焦点的直线交抛物线于 A 、B 两点，则弦|AB|的最小值。
解法一：当斜率k 存在时，设直线AB 为y=k(x-上) 2«y =k(x-号)得 k 2x 2 -(k 2p+2p)x + — k 2 =0y 2 =2px42 即：X j X 2 ， 过焦点弦 |AB|= x 1 x 2 p4由题意可知x 1 0, x 2 - 0,为• x 2丄2 . x 1x 2由于积是定值，当且仅当x^x 2时即为-时能取等号，所以当斜率k 不存在， 2 此时这条直线就垂直于 x 轴，过焦点的弦|AB|最小即通径最小。
最小值为 2p.解法二：设直线的倾斜角为 二，斜率存在时，则直线为y= tan (x-—)2 八曲(-2 y2 =2px 2得 tan 次-(ptan) 2 p)x tan - 0 2=2p(1 +2psin 2当sin 2r=i 时，|AB|有最小值即2p,此时斜率不存在，倾斜角二评价：解法一是用不等式思想求最值方法，当然用两根这积是也可以解法到求两根之积。
这种是确定动直线的位置关系来求最值的情况的。
解法二是建立函数关系式，用函数思想求最值。
这是两种不同方法来分析最值问题的。
这种方法是建立函数关系式来求最值问题。
在这方面题型有两种分析思想：一是能否确定动的位置关系来判断取最值的问题。
(如 解法一型)，二是所求与已知建立一个函数关系式，用函数求最值或范围的方法。
这是我们解决中学数学问题时常用的解题思想。
X i代入 过焦点弦|AB|= x 1 x 2 p 2，即线段AB 为通径。
精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
抛物线“焦点弦的性质”及解题策略
03
解题策略
利用焦点弦性质解题
焦点弦性质
对于抛物线上的任意一点P，其到焦 点F的距离等于到准线的距离。利用这 一性质，可以快速找到与焦点弦相关 的点P的坐标。
解题方法
利用焦点弦性质，可以求出点P的坐 标，进而求出与焦点弦相关的其他量， 如弦长、面积等。
在抛物线中，焦点弦的倾斜角可以通过轴线的倾斜角和该弦与轴线的夹角的补角之和（或差）来计算 。这个补角等于该弦与轴线的夹角的两倍。当焦点弦与轴线垂直时，其倾斜角等于轴线的倾斜角。
焦点弦的倾斜角
解题策略
根据题目给出的条件，选择适当的方法计算焦点弦的长 度、中点坐标或倾斜角。
熟悉抛物线的定义和性质，理解焦点弦的意义和特点。
02
焦点弦的性质
焦点弦的长度
总结词
焦点弦的长度等于通径的长度，等于焦准距的平方根。
详细描述
在抛物线中，焦点弦是指通过焦点的弦，其长度可以通过通径的长度来计算。 通径是过焦点的最短的弦，其长度等于焦准距的平方根。当焦点弦与抛物线的 轴线不垂直时，其长度还会受到其他因素的影响。
焦点弦的中点坐标
总结词
焦点弦的中点坐标等于焦点坐标加上弦中点与轴线的垂直距 离。
详细描述
在抛物线中，焦点弦的中点坐标可以通过焦点坐标和弦中点 与轴线的垂直距离之和来计算。这个垂直距离等于弦的长度 的一半乘以该弦与轴线的夹角的正切值。
焦点弦的倾斜角
总结词
焦点弦的倾斜角等于轴线的倾斜角加上或减去该弦与轴线的夹角的补角。
详细描述
解题方法
利用代数方法，可以建立方程组、不等式组等，进而求解与抛物线相关的问题。在解题过程中，需要注意方程组 的解法、不等式的性质等。
抛物线的焦点弦问题
(3)x2 2 py,
| AB | y1 y2 p
(4)x2 2 py, | AB | p y1 y2
例：过抛物线y2 2 px( p 0)的焦点的一条直线和
这条抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1，y2 ,
求证 : y1 y2 p2.
y
证法 :因直线AB过定点F且与x轴
变题3 : 设M (a,0)是抛物线y2 2 px B
( p 0)的轴上的一个定点， 过M的
直线交抛物线于A(x1, y1)、B (x2, y2 )
两点,求证 : y1 y2与x1x2均为定值.
2.过抛物线 y2 2 px( p 0)的焦点的一条直线和
这条抛物线相交 ， 两个交点的纵坐标为 y1、y 2,
|
PF
|
- y0
p 2
例1 :
(1)抛物线y2 x上一点P到焦点的
距离为2,则P点的坐标为__答_案__: P___74_,.
7
2
(2)抛物线y2 2x上两点A, B到焦点的距离
之和是5,则线段AB中点横坐标是 _答_案_:_2..
例2.斜率为1的直线过抛物线y2 4x的焦点,
交抛物线于A, B两点, 通过点A
A
和 抛 物线顶点的直线交抛物 o
线的准线于点D ,求 证 :直线
F DB
x
DB平行于抛物线的对称轴.
分析 我们用坐标法证明,即通 过建立抛物线及直线的方程, 借
图2.3 5
助方程研究直线DB与抛物线对
称轴之间的位置关系.
建立如图2.3 5所示的直角坐标系,只要证明 点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可.
有关抛物线焦点弦的十条性质[1]
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有关抛物线焦点弦的十条性质—————从一道高考题的八种证法谈起本文对2009年湖北省高考数学理科第20题第（Ⅰ）问给出八种解法，同时总结有关抛物线焦点弦的十条性质。
一、原题再现 过抛物线22(0)y px p =>对称轴上一点(,0)A a(0)a >的直线与抛物线相交于M 、N 两点，自M 、N分别向直线:l x a =-作垂线，垂足分别为1M 、1N .（Ⅰ）当2pa =时，求证：11AM AN ⊥.二、一题多证证法１：设11(,)M x y 、22(,)N x y ，则11(,)2p M y -、12(,)2pN y -，则11(,)AM p y =-12(,)AN p y =-．显然直线ＭＮ的斜率不为０，故可设直线ＭＮ的方程为：2p x ty =+． 由222p x ty y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得2220y pty p --=, 因为1y 、2y 是方程2220y pty p --=的两根， 由韦达定理得212y y p =-，从而可证得2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=，即证得11AM AN ⊥．证法２： 设211(,)2y M y p 、222(,)2y N y p ，因为M 、A 、N 三点共线，所以//AM AN，所以221221()()02222y y p p y y p p ---=，得212y y p =-，从而可证得2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=，即证得11AM AN ⊥．证法3：由抛物线定义可得：11MN MA AN MM NN =+=+，设211(,)2y M y p 、222(,)2y N y p，则11(,)2p M y -、12(,)2p N y -，将MN MA AN =+222122y y p p p++，化简得：2212()0y y p +=， 所以212y y p =-，从而可证得2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=，即证得11AM AN ⊥．证法4：设A 点内分MN 的比为λ，221212221201y y p p p y yλλλλ⎧+⎪⎪=⎨+⎪+⎪=+⎩，消去λ得：212y y p =-， 从而可证得2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=，即证得11AM AN ⊥．证法5：设211(,)2y M y p 、222(,)2y N y p ，则11(,)2P M y -，12(,)2P N y -∴211(,)2y OM y p= ，12(,)2P ON y =- ,由21122111()2222y y y P Py y y y p p --=+， 由性质1 212y y p =-，可得2121()022y P y y p --=，所以M 、O 、1N 三点共线,可求出，221p y y =-，即可得212y y p =-，从而可证得2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=，即证得11AM AN ⊥．证法6：设抛物线的参数方程为222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数），于是可设211(2,2)M pt pt ，222(2,2)N pt pt ，因为M 、N 为两个不同点，则12t t ≠，由M 、A 、N 三点共线，所以//AM AN，可得方程221212()(4)0t t p t t p -+=，所以221240p t t p +=，得1214t t =-， 所以22121212224y y pt pt p t t p =⋅==-，从而可证得2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=，即证得11AM AN ⊥．证法7:以抛物线焦点为极点则其极坐标方程为1c o spρθ=-,则(,)M ρθ、(,)N ρπθ+，所以212sin (sin )1cos 1cos p py y p θθθθ=⋅-=--+，从而可证得2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=，即证得11AM AN ⊥．证法8：由抛物线定义得：1MM MA =、1NN NA =， 所以11MM A MAM ∠=∠、11NN A NAN ∠=∠， 因为11//MM NN ，所以11M MA N NA π∠+∠=， 即11(2)()MAM NAN πππ-∠+-∠=， 可得112MAM NAN π∠+∠=，所以112M AN π∠=，即证得11AM AN ⊥．四、引出性质性质1：已知抛物线y 2=2px(p ＞0)焦点弦AB 的坐标分别为(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),则y 1y 2=-p 2，4221p x x =.性质2：以抛物线y 2=2px(p ＞0)焦点弦AB 端点向准线作垂线，垂足分别为M 、N ，则FM ⊥FN.(其中F 为焦点).性质3：以抛物线焦点弦在准线上的射影为直径的圆必与焦点弦相切于焦点。
高三数学二轮复习冲刺：抛物线的焦半径与焦点弦
抛物线的焦半径与焦点弦抛物线的焦点弦是抛物线中的高频考点，特别是对于考生而言，本节的结论既要注意把握推导过程，更应该注意对结论的熟悉程度，因为很多涉及到焦点弦的题目都会以选填的形式出现，如此，你便可以用相关结论快速做到，避免小题大做！一．重要结论抛物线的焦点弦具有丰富的性质，它是对抛物线定义的进一步考察，也是抛物线这节中最重要的考点之一，下面罗列出常见的抛物线焦点弦性质:假设抛物线方程为px y 22=.过抛物线焦点的直线l 与抛物线交于B A ,两点，其坐标分别为),(),,(2211y x B y x A .性质1.，2||p x AF A +=2||px BF B +=,p x x AB B A ++=||.证明：性质1的证明很简单，由抛物线的定义即可证得.如上图，过B A ,向准线引垂线，垂足分别为N M ,.由定义可知：||||||||BF BN AF AM ==，.代入坐标即可证得相关结论.性质2.抛物线px y 22=的焦点为F，),(),,(2211y x B y x A 是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：221221,4p y y p x x -==.证明：),2(),,2(222121y py B y p y A ，则AB 的方程为2(221211p y x y y p y y -+=-，整理可得：212112))((y px y y y y -=+-，即可得AB 的方程为：21212)(y y px y y y +=⋅+.最后，由于直线AB 过焦点，代入焦点坐标可得221p y y -=.再代入抛物线方程4221p x x =.一般地，如果直线l 恒过定点)0,(m M 与抛物线)0(22>=p px y 交于B A ,两点，那么pm y y m x x B A B A 2,2-==.于是，若AB OB OA ⇒⊥恒过定点)0,2(p .性质3.已知倾斜角为θ直线的l 经过抛物线px y 22=的焦点F ，且与抛物线交于B A ,两点，则（1）pFB F A P BF p AF 2||1||1cos 1||,cos 1||=++=-=，θθ.（2）)11(2||sin 2sin 2||222k p AB p S p AB OAB+===∆，，θθ.证明：设准线l 交x 轴于点P ，过点A 作x AM ⊥轴于M ，作l AN ⊥于N ，由抛物线定义可知：AN AF =．其中p PF =，θcos ⋅=AF MF .所以θcos AF p FM PF AN +=+=，θcos AF p AF +=，故θcos 1-=pAF ．同理θcos 1+=p BF ，所以θθ22sin 2cos 12pp BF AF AB =-=+=．性质4.抛物线的通径(1).通径长为p 2.(2).焦点弦中，通径最短.(3).通径越长，抛物线开口越大.由性质3易得，略.性质5.已知直线l 经过抛物线px y 22=的焦点F ，且与抛物线交于B A ,两点，若弦AB 中点的坐标为),(00y x ，则2(2||0p x AB +=.证明：设B A ,坐标为),(),,(2211y x y x ，由抛物线定义：p x x BF AF AB ++=+=21||||||，故)2(2||0p x AB +=.性质6.以焦点弦为直径的圆与准线相切.证明：设焦点弦的中点为),(:00y x M ，则M 到准线的距离为20px +，由性质5可证得.性质7.如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线相交于N M ,两点，自N M ,向准线l 作垂线，垂足分别为11,N M ，则（1）21FM FM ⊥；（2）记1111,,FNN N FM FMM ∆∆∆的面积分别为1S ,2S ,3S ，22134S S S =.注:此题为2009湖北卷文科试题，证明过程可参见该题解答.二．典例分析例1.（2017年全国1卷）.已知F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过F 作两条互相垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于B A ,两点，直线2l 与C 交于E D ,两点，则||||DE AB +的最小值为()A．16B．14C．12D．10解析：法1:设1122(,),(,)A x y B x y ,3344(,),(,)D x y E x y ,直线1l 方程为1(1)y k x =-取方程214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩,得2222111240k x k x x k --+=∴21122124k x x k --+=-212124k k +=同理直线2l 与抛物线的交点满足22342224k x x k ++=由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p+=++++22122222121224244448816k k k k k k ++=++=++≥+=当且仅当121k k =-=(或1-)时,取得等号．法2:设1l 的倾斜角为α,则直线2l 的倾斜角为π2α+，根据焦点弦长公式有:2244πsin sin 2AB DE αα+=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭()22222224416sin cos sin cos αααα+=+≥=+．故选A．法4:设点()()1122,,,A x y B x y ,则()221212121224AB x x p x x y y =++=++=++()212121224y y y y ⎡⎤=+-+⎣⎦设直线1l 的方程为1x my =+()0m ≠联立直线1l 与抛物线2:4C y x =方程消去x 可得2440y my --=所以121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩,所以()221212122444AB y y y y m ⎡⎤=+-+=+⎣⎦同理244DE m =+，所以2248416AB DE m m +=++≥(当且仅当1m =±时等号成立)法5：可设直线12111:,:b x ky l b kx y l +-=+=，由抛物线焦点弦的性质3可得：)1(4||),11(4||22k DE k AB +=+=，故16)1(411(4||||22≥+++=+k kDE AB ，当且仅当1±=k 时取到最小值，故选A.上述例2，在知晓背景的情况下解答是很容易的，这再次说明记住一些重要的二级结论可以优化运算，提升解题速度.下例中，我们将看到有关面积的定值问题，从而为前面的重要结论做一个补充.例2．（2022新高考2卷）已知O 为坐标原点，过抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，点A 在第一象限，点()0M p ，，若AF AM ＝，则直线AB的斜率为A．直线AB 的斜率为2B．OB OF ＝C．4AB OF＞D．180<∠+∠OBM OAM 解析：选项A：设FM 中点为N ，则32,24A N ppx x p +===所以()2233220,42A A A y px p p p y ==⋅=>所以,A y p =故2342AB p k p p ==-选项B：112112342p AF BF p BF p p +=⇒+=+5623B B p p BF p x x ⇒==+⇒=所以2222.33Bp p y p =⋅=所以22222227.9394B B p p p p OB x y =+=+=≠选项C：32524.4312pAB p p p p OF =++=>=选项D：由选项A,B知3,,,43pA p p B⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以22233,0,4344p pOA OB p p p⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=-=-<⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以AOB∠为钝角；又22211,0,42331212p p pMA MB p p p p⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=-=-<⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以AMB∠为钝角；所以180OAM OBM∠+∠<︒.故选ACD.例3.抛物线24y x=的焦点为F，11(,)A x y，22(,)B x y 是抛物线上两动点，若123(2)2AB x x=++，则AFB∠的最大值为A．23πB．56πC．34πD．3π解析：)12122,2,()AF BF x x AB x x AB AF BF+=++++∴+.在AFB△中,由余弦定理得：()2222222222241331122AF BF ABcos AFBAF BFAF BF AF BF ABAF BFAB AB ABAF BF AF BF+-∠=⋅+-⋅-=⋅-=-=-⋅⋅，又213AF BF AB AF BF AB+∴⋅.所以221131,1223ABcos AFB AFBAB∠-=-∴∠⨯的最大值为23π.本题选择A选项.例4．（2022·广东·一模）已知抛物线2:4C y x=的焦点为F，抛物线C上存在n个点1P，2P，L，nP（2n≥且*Nn∈）满足1223112n n nPFP P FP P FP P FPnπ-∠=∠==∠=∠=，则下列结论中正确的是（）A．2n=时，12112P F P F+=B．3n =时，123PF P F P F ++的最小值为9C．4n =时，13241114PF P F P F P F +=++D．4n =时，1234PF P F P F P F +++的最小值为8解析：当2n =时，1212PFP P FP π∠=∠=，此时不妨取12PP 过焦点垂直于x 轴，不妨取12(12),(12)P P -，，，则121111=+122P FP F +=，故A 错误；当3n =时，12233123PFP P FP P FP π∠=∠=∠=，此时不妨设123,,P P P 在抛物线上逆时针排列，设1,(0,)2PFx παα∠=∈,2222||,||241cos()1cos()33P F P F ππαα==-+-+，123222241cos 1cos()1cos()33PF P F P F ππααα++=++--+-+214(1cos )2211cos (cos 2ααα+=+-+，令113cos ,(,222t t α=+∈，则123242332t PF P F P F t t +++=+-，令242332()t t t f t +=+-，则232382627(1)()(32)(32)t t f t t t t t +--'=-=--，当112t <<时，()0f t '>，()f t 递增，当312t <<时，()0f t '<，()f t 递减，故min ()(1)9f t f ==，故当1t =，即1cos ,23παα==时，123PF P F P F ++取到最小值9，故B 正确；当4n =时，122313442PFP P FP P FP P FP π∠=∠=∠=∠=，此时不妨设1234,,,P P P P 在抛物线上逆时针排列，设1,(0,2PFx πθθ∠=∈,12342222||,||,||,||31cos 1cos()1cos()1cos()22PF P F P F P F ππθθπθθ====--+-+-+，即234222||,||,||1sin 1cos 1sin P F P F P F θθθ===++-，故1322241cos 1cos sin PF P F θθθ+=-++=，2422241sin 1sin cos P F P F θθθ+=+-+=，所以132242sin cos 144141PF P F P F P F θθ=++=++，故C 正确；由C 的分析可知：23422122244416sin cos sin cos sin 2PF P F P F P F θθθθθ++===++，当2sin 21θ=时，216sin 2θ取到最小值16，即1234PF P F P F P F +++最小值为16，故D 错误；故选：BC例5.（2018年全国2卷）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解析：（1）设直线l 的方程为)0)(1(>-=k x k y ，且B A ,坐标为),(),,(2211y x y x ，联立方程可得：()214y k x y x⎧=-⎨=⎩得()2222240k x k x k -++=．216160k ∆=+=，故212224k x x k ++=．所以()()21224411k AB AF BF x x k +=+=+++=．由题设知22448k k+=，解得：解得：1=k ，故l 的方程为1-=x y .（2）由（1）可得AB 中点坐标为)2,3(，所以AB 的垂直平分线方程为5+-=x y ，设所求圆的圆心坐标为),(00y x ，则()()002200051116.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩，因此所求圆的方程为()()223216x y -+-=或()()22116144x y -++=．注：此题以焦点弦性质6为背景展开.例6．已知抛物线C ：()220,4y px p p =>≠，过点(2,0)A 且斜率为k 的直线与抛物线C 相交于P ，Q 两点.（1）设点B 在x 轴上，分别记直线PB ，QB 的斜率为12,k k .若120k k +=，求点B 的坐标；（2）过抛物线C 的焦点F 作直线PQ 的平行线与抛物线C 相交于M ，N 两点，求||||||MN AP AQ ⋅的值.解析：由题意，直线PQ 的方程为(2)y k x =-，其中0k ≠.设221212(,0),,,,22y y B m P y Q y p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立2(2)2y k x y px =-⎧⎨=⎩，消去x 得2240p y y p k --=.21212242160,,4p pp y y y y p k k∴∆=+>+==-.120k k += ，12221222y y y y m m pp∴+=--，即()()12121202y y y y m y y p +-+=.4202p p m p k⎛⎫-∴-⋅= ⎪⎝⎭，即2(2)0pm k +⋅=.0p > ，2m ∴=-，∴点B 的坐标为(2,0)-.（2）由题意，直线MN 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中tanθk =，θ为倾斜角，则sin θ=，2122224114sin 1y y p AP AQ p k k k θ-⎛⎫∴⋅===+⋅ ⎪⎝⎭+设322344,,,22y y M y N y p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.联立222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去x 得2220p y y p k --=.222343424240,,p p p y y y y p k k∴∆=+>+==-.342112MN y p k ⎛⎫∴=-=+⋅ ⎪⎝⎭22112||11||||214p MN k AP AQ p k ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭∴=⋅⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭.例7．已知抛物线2:(0)E y ax a =>的焦点为,F A 为E 上一点，||AF 的最小值为1.（1）求抛物线E 的标准方程；（）过焦点F 作互相垂直的两条直线121,,l l l 与抛物线E 相交于,P Q 两点，2l 与抛物线E 相交于,M N 两点.若,C D 分别是线段,PQ MN 的中点，求22||||FC FD +的最小值.解析：（1）抛物线E 的标准方程为24x y =.（2）由（1）得，点()0,1F ，显然直线1l ，2l 的斜率都存在且不为0，设直线1l 斜率为k ，则2l 的斜率为1k -，直线1l 的方程为1y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y 并整理得2440x kx --=，216160k ∆=+>，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则124x x k +=，所以线段PQ 中点()22,21C k k +，()2424k F k C =+，同理242114FD k k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以242242114FC k F k k D k ⎛⎫=+++ ⎝+⎪⎭，令2212t k k =+≥=，当且仅当221k k =，即21k =时等号成立.所以24412t k k=++，且[)2,t ∈+∞，所以()()222221424249162t t t t t FC FD ⎛⎫=+-=+-=+-≥ ⎪⎝+⎭，当且仅当2t =时取等号，所以22FC FD +的最小值为16.例8．已知抛物线C ：()220x py p =>，F 为抛物线C 的焦点，()0,1M x 是抛物线C 上点，且2MF =；（1）求抛物线C 的方程；（2）过平面上一动点(),2P m m -作抛物线C 的两条切线PA ，PB （其中A ，B 为切点），求11AF BF+的最大值.解析：（1）抛物线2C 的方程为24x y =；（2）抛物线2C 的方程为24x y =，即2'xy =，设()11,A x y ，()22,B x y ，(),2P m m -则切线PA ，PB 的斜率分别为12x，22x .所以切线PA ：，)(2111x x x y y -=-∴211122x x y x y =-+，又2114x y = ，11220y x x y ∴-+=，同理可得切线PB 的方程为22220y x x y -+=，因为切线PA ，PB 均过点(),2P m m -，所以112240y mx m -+-=，222240y mx m -+-=，所以直线AB 的方程为2240y mx m -+-=.联立方程222404y mx m x y -+-=⎧⎨=⎩，消去x 整理得()()2222420y m m y m --++-=，∴()()()222222442480m m m m m m ∆=-+--=-+≥，∴m R ∈.∴21224y y m m +=-+，()2122y y m =-由抛物线定义可知11AF y =+，21BF y =+，所以11AF BF AF BF AF BF++=∵()()()121212111AF BF y y y y y y =++=+++2269m m =-+，∴2223+112612+2692269m AF BF m m AF BF AF BF m m m m +-+==+-+-+，令32m t R+=∈∴原式21111454522221221222t t t t t=+=+-++-≤。
抛物线的焦点弦_经典性质及其证明过程
有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点 结论1：p x x AB ++=21结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =证: (1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot1pp y y AB =+=-+=结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P Py y x x p y x p y x ==∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1F同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF FM ⋅=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p py y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y p pk =-=-=所以三点共线。
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ｐ ｐ ｐ ， ， ， 当Ａ 易求 Ａ（ ， 则 Ｂ 斜率不存在时， Ｂ（ ， － ｐ） ｐ） ４ ２ ２
２ ２ ｐ ｐ 综上所证， 由抛物线定义 ｘ ｘ ． ｘ ｘ ． １ ２＝ １ ２＝ ４ ４
２
Ａ Ｂ ＝ Ａ Ｆ ＋ Ｂ Ｆ ＝ Ａ Ａ ′ ＋ Ｂ Ｂ ′ ＝ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｐ ｐ ｘ ＋ ｘ ＝ ｘ ｘ ｐ． １＋ ２＋ １＋ ２＋ ２ ２
２ ２ ｐ（ ２ ｃ ｏ ｓ ｓ ｉ ｎ ２ ｐ θ＋ θ） ＋ ｐ＝ ２ ． ２ ｓ ｉ ｎ ｓ ｉ ｎ θ θ
◇ 湖北 肖菊姣
１ 定积分性质 性质 １ 若 在［ 上 是 减 函 数， ｘ） １， ＋ ∞） ｙ＝ｆ（ 且 ｆ（ 则 ｘ） ＞０，
ｎ ｎ＋ １
１
ｎ
ｎ
ｋ＝１
ｋ）≥ ∑ｆ（
∫
ｎ
∫
１
ｋ＝２
ｋ）≤ ∑ｆ（
ｘ） ｄ ｘ． ｆ（ ∫
１
在Ｒ ｔ Ａ Ｆ Ｇ 中， Δ
图 １ 图 ２
Ａ Ｆ ＡＡ ′ Ａ Ｆ ｃ ｏ ｓ ｜ ｜＝｜ ｜＝ｐ＋｜ ｜ θ， ｐ 所以｜ Ａ Ｆ ． ｜＝ １－ｃ ｏ ｓ θ 在Ｒ ｔ Ｅ Ｆ 中， △Ｂ Ｂ Ｆ Ｂ Ｂ ′ Ｂ Ｆ ｃ ｏ ｓ ｜ ｜＝｜ ｜＝ｐ－｜ ｜ θ， ｐ 所以｜ Ｂ Ｆ ． ｜＝ １＋ｃ ｏ ｓ θ Ａ Ｂ Ａ Ｆ Ｂ Ｆ ｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜＝ ｐ ｐ ２ ｐ ＋ ＝ ２ ． １－ｃ ｏ ｓ ｏ ｓ ｉ ｎθ θ １＋ｃ θ ｓ ２ 当ｓ ｉ ｎ Ａ Ｂ ２ θ＝１ 时 ， ｜ ｜ ｐ． ｍ ｉ ｎ＝ 这就是我对抛 物 线 焦 点 弦 最 小 值 的 ２ 种 考 虑 角
， ， 设弦两端坐标为 Ａ （ 则ｘ ｘ Ｂ（ ｘ ｘ ｙ ｙ １， １） ２， ２） １ ２＝
槡
注意 ： 要分直线斜率存在与不存在 ２ 种情况分类 讨论 ．
ｐ 设抛物线的焦点 Ｆ（ ， ０） ． ２ ｐ （ ， 设Ａ １）当 Ａ Ｂ 斜率 存 在 时 ， Ｂ∶ ｘ－ ） ｙ ＝ｋ（ ２ ｐ 烄 ， ｋ（ ｘ－ ） ｙ２ ｙ＝ ２ 解方程组烅 得 ｘ＝ ，整理得 ２ ｐ ２ ｘ， ｙ ＝２ ｐ 烆 ｋ ２ ｋ ｙ － ｙ－ ｐ＝０， ２ ２ ｐ ２ ｐ ２ ， 由根与系数的关系 ： ｙ１ ＋ ｙ２ ＝ ｙ１ ｙ２ ＝－ｐ ， ｋ １ ２ ｐ ２ １ ２ Ａ Ｂ １＋ ２ ） ． ｜ ｜＝ １＋ ２ · （ ） ＋４ ｐ ＝２ ｐ（ ｋ ｋ ｋ 因为 ｋ２ 无最大值 ， 所以｜ Ａ Ｂ ｜无最小值 ．
度， ５ 种解法 ． （ 作者单位 ： 河北乐亭新寨高级中学 ）
性质 ２ 若 ｙ＝ｆ（ 在［ 上是增函数 ， 且 ｘ） １， ＋∞ ） 则 ｘ） ＞０， ｆ（
ｎ ｋ＝１
ｋ）≤ ∑ｆ（
ｎ＋ １
１
ｎ
ｎ
性质 ２ 的证明同性质１． 性质 ３ 若 ｙ＝ｆ（ 在［ 上是凹函数 ， 且 ｘ） １， ＋∞ ） （ ） ， 则 ｆ ｘ ＞０ ） ｆ（ ｋ） ｋ ＋１ ＋ｆ（ ＞ ２ ｋ＝１
根据定积分的定义 ， 其 ｋ）的 ｎ 个小矩形面积之和 ， ｆ（ 面 积 不 小 于
ｎ＋ １ ｎ
ｘ） ｄ ｘ． ∫ ｆ（
１
ｎ＋ １
∫
１
ｘ） ｄ ｘ， 即 ｆ（
ｋ＝１
ｋ） ∑ｆ（
≥
ｎ
如图 ２，
ｋ＝２
表示边长为１， 高为ｆ（ 的ｎ－ ｋ） ｋ） ∑ｆ（
ｎ ｎ
根据定积分的定义 ， 其面积 不 大 １ 个小矩形面积之和 ， 于 ｆ（ ｘ） ｄ ｘ ，即
·课堂扫描·
Ａ Ｂ ２ ｜ ｜ ｐ． ｍ ｉ ｎ＝ 思路 ２ 为避免讨论可以在直线方程的设法上做 ｐ 文章 ． 如果把直线设成 ｘ＝ｍ ｙ＋ 形式则直线包含斜 ２
率不存在的情况 ．
ｐ ， 抛物 线 的 焦 点 Ｆ （ ， 直线 Ａ ０） Ｂ 的方程 ２
◇ 河北 王海蕊
在 关 于 抛 物 线 焦 点 弦 教 学 目 标 的 确 立 上 有 如 下 ）知识目标 ： 要求 ： 掌握抛物线焦点弦的要领及性质 ， １ 能写出命题与 逆 命 题 ， 并 判 断 其 真 假； ２）能 力 目 标 ： 学会用解析法及几何法解 决 问 题 ， 养成独立分析问题 ）情感目标 ： 与解决问题的能力 ； 学会欣赏教学动静 ３ 结合的美 ， 学会合作 ．教 学 重 点 则 放 在 依 据 焦 点 弦 的 特征研究焦 点 弦 的 定 值 、 定 量 问 题， 培养学生对问题 研究的兴趣及研究能力 ，下面引例说明焦点弦最小值 的几种求法 ． 引例 求抛物线 ｙ２ ＝２ 的焦点弦的最 ｘ（ ｐ＞０） ｐ 小值 ．
ｎ
∫
， ｆ（ ｘ） ｆ（ ∑ ｋ）≥
ｋ＝２
ｘ） ｄ ｘ． ｆ（ ∫
１
∑
ｘ） ｄ ｘ． ∫ ｆ（
１
ｎ＋ １
图３
证明 如图 ３， １ ９
１ 思路 １ 利 用 弦 长 公 式｜ Ａ Ｂ｜＝ １＋ ２ ｜ ｙ１ － ｋ ｙ２｜求解 ；
Ａ Ｂ ＝ ｘ ｘ ｘ ｘ ２ ｜ ｜ ｐ≥槡 ｐ＝ ｐ． １＋ ２＋ １ ２ ＋ ２ ， （ 斜率存在时 抛物线ｙ ＝ 的焦点弦 ２ ｘ ｐ＞ ０） ｐ ｐ ２ 与抛物线 ｙ 所在直线方程为 ｙ＝ ｋ（ ｘ－ ） ＝ ２ 消ｙ 得： ２ ｘ 联立， ｐ ２ ２ ｋ ｘ ２ ２ ２ ｋ ｘ － ｋ ＋ ２） ｘ＋ ＝ ０． ｐ（ ４
ｐ 为： ｘ＝ｍ ｙ＋ ． ２ ，Ｂ （ ，由 方 程 组 设 Ａ （ ｘ１ ， ｘ２ ， ｙ１ ） ｙ２ ） ｐ 烄 ｘ＝ｍ ｙ＋ ， ２ 消ｘ 得： 烅
２ ｘ， ｙ ＝２ ｐ 烆 ２ ２ ｙ －２ ｐｍ ｙ－ｐ ＝０， ２ ｍ， ｙ１ ＋ ｙ２ ＝２ ｙ１ ｙ２ ＝－ｐ ， ｐ ２ ２ （ Ａ Ｂ １＋ｍ２·槡 ２ ｍ） ＋４ １＋ｍ２ ） ． ｜ ｜＝ 槡 ｐ ｐ ＝２ ｐ（ 当 ｍ ＝０ 时 ， Ａ Ｂ ２ ｜ ｜ ｐ． ｍ ｉ ｎ＝ 思路 ３ 由定义 Ａ Ｂ Ａ Ｆ Ｂ Ｆ ｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜＝ｘ１ ＋ｘ２ ＋ｐ， 再利用均值不等式
１ ８
为２ ｐ． 以上３ 种解法是利用斜率求弦长的最小值， 下面 ２ 种方法是利用倾斜角求弦长的最小值． 思路 ４ 设 弦 所 在 直 线 的 倾 斜 角 为 θ， 方程为
ｐ ， 这个方程中也包含斜率不存 ｃ ｏ ｓ ｉ ｎ ｘ－ ） θ＝ｓ θ（ ｙ ２
在的情况 ， 再利 用 公 式｜ Ａ Ｂ｜＝｜ Ａ Ｆ｜＋｜ Ｂ Ｆ｜＝ｘ１ ＋
因为ｘ 所以ｘ ｘ ｘ ２槡 ｘ ｘ ｐ， １， ２ 均大于 ０， １＋ ２≥ １ ２ ＝
槡
槡
ｐ 所以 当且仅当ｘ 时取 Ａ Ｂ ＝ ｘ ｘ ２ ｘ ｜ ｜ ｐ≥ ｐ， １＋ ２＋ １＝ ２＝ ２
２ 等号． 所以抛物线 ｙ 的焦点弦的最小值 ＝２ ｘ（ ｐ ｐ ＞０）
ｐ （ 把 ｘ＝ 代 入 抛 物 线 ２）当 Ａ Ｂ 斜率不存 在 时 ， ２ ２ ， 得 ｘ ｙ ＝２ ｐ ｙ＝±ｐ． ｐ ｐ ， ，所以｜ 所以 Ａ （ ， Ｂ（ ， －ｐ） Ａ Ｂ ｜＝２ ｐ） ｐ． ２ ２ １ １ 因为 ２ ＞０， 所以 ２ 所以 １＋ ２ ） ＞２ ｐ（ ｐ， ｋ ｋ
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ｘ２ ＋ｐ 求弦长的最小值 ． 设焦点弦所在直线的倾斜角为θ， 则直线 Ａ Ｂ ｐ ， 的方程为ｙ 设焦点弦 ｃ ｏ ｓ ｉ ｎθ（ ｘ－ ） θ＝ｓ ２ ， 端点 Ａ （ ｘ１ ， Ｂ（ ｘ２ ， ． ｙ１ ） ｙ２ ） ｐ 烄 ， ｃ ｏ ｓ ｉ ｎ ｘ－ ） θ＝ｓ θ（ ｙ ２ 由方程组烅 消ｙ 得： ２ ｘ， ｙ ＝２ ｐ 烆 ｐ２ ２ ２ ２ ２ · ｓ ｉ ｎ ｘ２ － ２ ｃ ｏ ｓ ｓ ｉ ｎ ｘ＋ ｓ ｉ ｎ ０， θ θ＋ θ） θ＝ ｐ（ ４ ２ ２ ｐ（ ２ ｃ ｏ ｓ ｓ ｉ ｎ θ＋ θ） 所以 ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ ． ２ ｓ ｉ ｎ θ 所以 Ａ Ｂ ＝ Ａ Ｆ ＋ Ｂ Ｆ ＝ ｘ１ ＋ ｘ２ ＋ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｐ＝
ｘ） ｄ ｘ，∑ｆ（ ｋ）≤ ｆ（
ｋ＝２ ｎ
ｘ） ｄ ｘ． ｆ（ ∫
１
ｋ）表 示 边 长 为 １，高 为 证 明 如 图 １，∑ｆ（
ｋ＝１
π ２ 所以当ｓ 即θ＝ 时， 取最小值 ２ ｉ ｎ １， Ａ Ｂ θ＝ ｜ ｜ ｐ． ２ 思 路 ５ 利 用 直 线 倾 斜 角 表 示 焦 半 径 ｜Ａ Ｆ Ｂ Ｆ ｜和｜ ｜． 如 下 图 所 示 ，设 直 线 的 倾 斜 角 为 θ， 在Ｒ 如图 ： 过 Ａ、 ｔ Ｆ Ｇ 中， Ｂ 分 别 作 ＡＡ ′、 △Ａ 垂足分别为 Ａ 分别过 Ａ 、 Ｂ Ｂ ′与直线 Ａ ′ Ｂ ′垂直 ， ′、 Ｂ ′， 、 ， 、 Ｂ 作Ａ ＧＢ Ｅ 与ｘ 轴垂直 垂足分别为 Ｇ Ｅ ．