梳理抛物线焦点弦的结论
抛物线焦点弦的性质结论归纳与应用
抛物线焦点弦的性质结论归纳与应用抛物线焦点弦的性质结论归纳与应用如下：
首先，抛物线焦弦的性质决定了抛物线的几何特性。
抛物线的焦弦公式是y=4ax，这个式子定义了抛物线的性质，一般在其中，a是抛物线的两个焦点之间的距离，因此可以用这个性质来确定抛物线的几何特性。
其次，抛物线焦弦的性质也可以应用于统计学中。
在统计学中，抛物线焦弦是一种线性回归的拟合方法。
它能推断出两个变量之间的相关性，从而用于市场营销、供应链管理以及其他方面的数据预测和分析研究。
最后，抛物线焦弦的性质也可以用于科学研究中。
以抛物线焦弦为模型，可以表达出粒子动力学中问题的数学解。
例如在分子动力学中，用抛物线焦弦可以解释温度和粒子冲突频率之间的关系，从而为科学研究提供新的指导思想。
抛物线焦弦的性质使抛物线变得更加精妙。
它对于几何的解决、统计的分析以及科学研究的指导都具有重要的意义，为我们探究物理现象提供了新的可能性。
利用几个常用结论解决抛物线垂直焦点弦问题
利用几个常用结论解决抛物线垂直焦点弦问题kuing近几日，在群内连续两次出现抛物线焦点弦问题，且我发现两题很相似，都可以用一些常用的熟知结论，几何化地去解决，不需要麻烦的代数化去解。
现整理如下。
先以引理结出这些常用结论，其详细证明这里略去，有兴趣可以自己试试证。
引理一：过抛物线焦点F 的直线交抛物线于两点A 、B 两点，过这两点分别作抛物线的切线，两切线交于点M ，则有：（1）AM BM ⊥；（2）FM AB ⊥；（3）点M 必在抛物线的准线上；引理二：（光学性质——抛物线）过抛物线焦点F 的光线经抛物线反射后的光线必定平行于抛物线的对称轴；引理三：过离心率为e ，焦准距为p 的圆锥曲线的焦点F 作两条互相垂直的直线，若这两条直线分别交圆锥曲线于A 、B 及C 、D ，且F 在A 、B 之间，F 在C 、D 之间，则有：21122e AB CD ep−+=； 引理四：梯形ABCD 中，AD 平行BC ，AC 与BD 交于点P ，过P 作与梯形两底边平行的直线交梯形两腰于E 、F ，则有211EF AD BC=+。
（注：前三个引理我均在人教论坛中某收集解释几何常用结论的贴中结出过；引理三我在论坛中贴过详细证明，用的是极坐标方法，搜索我的主题可以找到；引理四是初中内容）题一：解：（I ）如图所示：由引理一，可知AMB ∆为直角三角形，M 为直角，点M 在准线上，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，取AB 的中点G ，连结GM 。
由于AMB ∆为直角三角形且M 为直角且GM 为其斜边上的中线，于是易得12∠=∠，引理二，可知234∠=∠=∠，因此得到14∠=∠，于是易知GM 也与准线垂直，即GM 为直角梯形AA 1B 1B 的中位线，所以显然A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列，得证。
（II ）由引理一，可知FM AB ⊥，因此由引理三以及抛物线离心率是e=1以及本题中易知焦准距为p=2，代入即知1114AB CD +=， 又易知四边形ABCD 的面积为12S AB CD =⋅，又由基本不等式有4111AB CD AB CD AB CD≥⋅+===+， 即得32S ≥，且等号成立当且仅当AB=CD 可取到，即四边形ABCD 的面积的最小值为32。
抛物线焦点弦22条结论
抛物线焦点弦22条结论1、抛物线的焦点总是在数轴上的对称轴上。
2、抛物线的无穷近点总处在顶点上。
3、抛物线的顶点的坐标总是（h，k）的形式。
4、抛物线的斜率在顶点处最大，向两侧无穷远时最小。
5、抛物线不同于椭圆，即使在斜率为零时也不会平行于y轴。
6、抛物线焦点弦中椭圆内的焦点和斜率有关。
7、抛物线焦点弦中椭圆外的焦点和斜率有关。
8、抛物线焦点弦中椭圆内的线段始末点在椭圆上。
9、抛物线焦点弦中椭圆外的线段始末点在椭圆外。
10、抛物线焦点弦中，两个焦点分别对应一条双曲直线，而外圆的直径线段是两个焦点的连线。
11、抛物线的弦一定位于双曲线的两侧且是双曲线的垂直线段。
12、抛物线的焦点弦外圆的周长是抛物线的一象限周长的二倍。
13、抛物线焦点弦的另一圆的面积等于抛物线的一象限面积的两倍。
14、抛物线的焦点弦中，双曲线内外的直线段条数是一样多的。
15、抛物线焦点弦中，双曲线外的直线段总是比双曲线内的长。
16、抛物线焦点弦中，椭圆内及其外圆的线段总是一模一样的。
17、抛物线焦点弦中，双曲线外圆的形状是矩形，两个顶点在焦点上，其他两个顶点位于y轴上。
18、抛物线焦点弦中，双曲线内的所有线段的总长比双曲线外的总长要短。
19、抛物线焦点弦中，双曲线外的直线段均贯穿原点。
20、抛物线焦点弦中，两条分别从两个焦点开始，沿着双曲线直线段向原点靠近的线段，称为弦线。
21、抛物线焦点弦中，椭圆的焦点到顶点的距离，称为长轴半径的大小等于抛物线机小数a的值。
22、抛物线焦点弦中，椭圆的焦点到其他顶点的距离，称为短轴半径的大小等于抛物线机小数b的值。
焦点弦的八大结论
焦点弦的八大结论焦点弦是一种常见的数学问题，它的研究有助于我们更深入地理解数学中的一些重要概念和定理。
在这篇文章中，我们将讨论焦点弦的八大结论，了解它们分别是什么以及它们的意义。
最后，我们还将介绍焦点弦在实际应用中的一些例子。
一、焦点弦与抛物线的关系抛物线是一种经典的二次函数图像，它的形状是一个开口朝上或朝下的U字形曲线。
而焦点弦则是经过抛物线焦点的一条线段，根据抛物线的性质，焦点弦与抛物线的顶点在同一条直线上。
二、焦点弦的长度焦点弦的长度等于抛物线顶点到焦点的距离的两倍，这个结论很容易证明，只需要利用抛物线的定义式和距离公式即可得出。
三、焦点弦的中点焦点弦的中点恰好落在抛物线的准线上，这个结论也很容易证明，只需要利用抛物线的对称性即可。
四、焦点弦的垂线焦点弦的垂线恰好与抛物线相切，并且与抛物线准线垂直，这个结论涉及到了抛物线的切线和法线的概念。
五、抛物线对称性抛物线的对称轴恰好与焦点弦重合，这个结论是由于焦点弦的中点在对称轴上。
六、焦距的作用焦点弦和焦距有着密切的关系，焦点弦的长度等于焦距的两倍，这个结论是逆向推导出来的，也就是我们通过焦距来求出焦点弦的长度。
七、焦点弦的作用焦点弦在数学中有着重要的作用，它可以用来推导一些抛物线的性质，例如抛物线的切线和法线。
此外，在工程中，焦点弦也有广泛的应用，它可以用来设计一些光学系统和声学系统。
八、应用实例我们举个例子，考虑一个天线系统，它的辐射方向呈现出一条抛物线形状，我们可以通过焦点弦来设计这个天线系统的形状和大小，以达到最优的信号接收和传输效果。
类似的应用还包括椭圆镜头和声学降噪系统等。
综上所述，焦点弦是一个重要的数学问题，它在抛物线的研究和实际应用中有着广泛的应用。
理解焦点弦的八大结论有助于我们更深入地理解抛物线的概念和性质，同时也为我们提供了一些实际应用的思路和方法。
因此，学习和掌握焦点弦的八大结论是非常有益的。
[很全]抛物线焦点弦的有关结论
![[很全]抛物线焦点弦的有关结论](https://img.taocdn.com/s3/m/ef2d77a3c1c708a1284a44ba.png)
p2 .
4
综上： x1x2
p2 .
4
（2）Q x1
y12 2p
,
x2
y22 2p
， y12 y2 2
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y1 y2
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但 y1 y2 0, y1 y2 p 2
（2）另证：设
AB :
x
my
p 2
与
y2
2 px 联立，得
y2
2 pmy
p2
0,
y1 y2
y 2 2 px
t
y2
2 pay
2 pt
0
y1 y2 2 pt ②
由①②得 t p 2
AB 恒过焦点 p ,0 2
5
抛物线 y 2 2 pxp 0
成立。
，过（2p，0）的直线与之交于 A、B 两点，则 OA⊥OB。反之也
小结： （1）抛物线中的焦点弦问题很多都可以转化为这个直角梯形中的问题，在解决这类问题 时注意对这个梯形的运用； （2）万变不离其宗，解决问题的关键仍然是抛物线定义.
m
n
mn
sin y1 y2 mn
S AOB
1 m nt
2
y1 y2 1 m nt
mn 2 mn
y1 y2
而 S AOB
p2 4
n m
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mn
p2 2
t
y1 y2
p2 2
①
l : x ay 又可设
抛物线焦点弦22条结论
抛物线焦点弦22条结论抛物线是一种经典的数学曲线，被广泛应用于物理学、工程学、计算机图形学等领域。
在研究抛物线的性质和应用过程中，焦点和弦是两个重要的概念。
本文将介绍抛物线焦点弦的22条结论。
1. 抛物线的焦点是由平行于抛物线的直线反射后汇聚而成的点。
2. 抛物线的焦点是离抛物线顶点等距离的点。
3. 抛物线的焦点是所有平行于抛物线的直线的交点。
4. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点的对称轴的交点。
5. 抛物线的焦点是所有与抛物线相切的直线的交点。
6. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点并且与抛物线平行的直线的交点。
7. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点并且与抛物线垂直的直线的交点。
8. 抛物线的焦点是所有经过抛物线的两个端点并且与抛物线垂直的直线的交点。
9. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点且与抛物线切线垂直的直线的交点。
10. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点且与抛物线切线平行的直线的交点。
11. 抛物线的焦点是所有与抛物线相交的直线的交点。
12. 抛物线的焦点是所有通过抛物线的两个端点且与抛物线相交的直线的交点。
13. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点且与抛物线切线相交的直线的交点。
14. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点且与抛物线切线平行且相交于抛物线的焦点的直线的交点。
15. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点且与抛物线切线垂直且相交于抛物线的焦点的直线的交点。
16. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点并且与抛物线切线平行于抛物线的对称轴的直线的交点。
17. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点并且与抛物线切线垂直于抛物线的对称轴的直线的交点。
18. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点且与抛物线对称轴平行的直线的交点。
19. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点且与抛物线对称轴垂直的直线的交点。
20. 抛物线的焦点是所有通过抛物线的两个端点且与抛物线对称轴平行的直线的交点。
21. 抛物线的焦点是所有通过抛物线的两个端点且与抛物线对称轴垂直的直线的交点。
抛物线焦点弦性质总结
抛物线焦点弦性质总结基本性质 已知抛物线22y px =的图像如图所示，则有以下基本结论：1、以AB 为直径的圆与准线L 相切；2、2124p x x ⋅=且212y y p ⋅=-；3、90AC B '∠=︒，90A FB ''∠=︒；4、123222()2sin p p AB x x p x α=++=+=；5、112AF BF P +=；6A 、O 、B '三点共线，B 、O 、A '三点共线；7、22sin AOB p S α=△，322AOB S p AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭△(定值)； 8、1cos p AF α=-，1cos p BF α=+； 9、BC '垂直平分B F '，AC '垂直平分A F '， C F AB '⊥；10、2AB p ≥；11、11()22CC AB AA BB '''==+； 12、3AB p k y =，22tan 2y p x α=-； 13、24A B AF BF ''=⋅，12C F A B '''=. 14、切线方程：()x x m y y +=00性质深究一、焦点弦与切线结论1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在准线上．特别地，当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 结论2、切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3、弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．结论4、过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点．特别地，过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点．结论5、过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．AB 是抛物线px y 22=（p ＞0）焦点弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，l BB ⊥1，过A ，B 的切线相交于P ，PQ 与抛物线交于点M ．则有结论6、PA ⊥PB ．结论7、PF ⊥AB ． 结论8、M 平分PQ ． 结论9、PA 平分∠A 1AB ，PB 平分∠B 1BA ．结论102PF =结论11、PAB S ∆2min p =二、非焦点弦与切线 当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时，也有与上述结论类似结果：结论12、①p y y x p 221=，221y y y p += 结论13、PA 平分∠A 1AB ，同理PB 平分∠B 1BA ．结论14、PFB PFA ∠=∠结论15、点M 平分PQ结论162=。
证明抛物线焦点弦的18个结论
证明抛物线焦点弦的18个结论1. 抛物线焦点弦的两个焦点与抛物线的焦点重合。
证明：根据抛物线的定义，焦点到定点和定点到直线的距离相等。
所以，焦点到直线的距离与直线到焦点的距离相等，因此两个焦点与焦点弦重合。
2. 抛物线焦点弦的两个端点与抛物线的准线的焦点重合。
证明：由于抛物线的准线与直线平行，所以准线到焦点的距离与焦点到直线的距离相等。
因此，抛物线焦点弦的两个端点与抛物线的准线的焦点重合。
3. 抛物线焦点弦与抛物线的法线平行。
证明：由于抛物线的定义，法线通过焦点并垂直于准线。
而抛物线焦点弦是抛物线的切线，与法线平行。
4. 抛物线焦点弦的中点位于抛物线的准线上。
证明：由于抛物线的准线与抛物线的焦点重合，所以抛物线焦点弦的中点与抛物线准线的焦点重合。
5. 抛物线焦点弦的两个焦点与抛物线焦点弦的中点共线。
证明：根据抛物线的定义，焦点到定点和定点到直线的距离相等。
所以焦点与抛物线焦点弦的中点共线。
6. 抛物线焦点弦与抛物线的切线平行。
证明：抛物线焦点弦是抛物线的切线，而抛物线的切线与准线平行。
7. 抛物线焦点弦在抛物线的对称轴上。
证明：由于抛物线的对称轴与准线重合，而抛物线焦点弦与准线重合，所以抛物线焦点弦在抛物线的对称轴上。
8. 抛物线焦点弦是抛物线的一个特殊弦，它经过焦点，并且与抛物线的对称轴垂直。
证明：由抛物线的定义可知，焦点到定点和定点到直线的距离相等。
所以抛物线焦点弦经过焦点。
另外，抛物线的对称轴与准线垂直，而抛物线焦点弦与准线重合，所以抛物线焦点弦与抛物线的对称轴垂直。
9. 抛物线焦点弦是抛物线的一条切线，且与抛物线的直径垂直。
证明：由抛物线的定义可知，抛物线的焦点到直线和焦点到定点的距离相等，所以抛物线焦点弦是抛物线的切线。
另外，根据抛物线的性质可知，直径与对称轴垂直，而抛物线焦点弦与对称轴重合，所以抛物线焦点弦与抛物线的直径垂直。
10. 抛物线焦点弦与抛物线的切线平行，并且经过抛物线的焦点。
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梳理抛物线焦点弦的有关结论
知识点1：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。
设(),
,11y x A ()22,y x B ，则（1）4
2
21p x x =；（2）221p y y -=证明：如图，
（1）若AB 的斜率不存在时，
依题意,221p x x ==4221p x x =∴ 若AB 的斜率存在时，设为,k 则⎭ ⎝
⎛=2:k y AB .4221p x x =∴ 综上：.4
2
21p x x = （2）p
y x p y x 2,22
22211==Θ，,22142221p y y p y y ±=⇒=∴ 但22121,0p y y y y -=∴<
（2）另证：设2:p my x AB +=与px y 22=联立，得 知识点2：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。
设(),,11y x A ()22,y x B ，则（1）;21p x x AB ++=（2）
设直线AB 证明：（1）由抛物线的定义知
（2）若,2,90210p x x ===则α由（1）知2p AB ==若px y p x k y AB 2,2:,9020=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≠与设α联立，得 (),22221k k p x x +=+∴()
222112k k p p x x AB +=++=∴知识点3：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。
证明：过点B A 、
,11B A 、过AB 中点M 向准线引垂线，垂足为,N
设以AB 为直径的圆的半径为,r
∴以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。
知识点4：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点向抛物线的准线引垂线，垂足分别为,11B A 、则11=∠FB A 证明借助于平行线和等腰三角形容易证明
知识点5：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点与x 轴相交于点K ，则.BKF AKF ∠=∠
证明：过点B A 、分别作准线的垂线，垂足分别为B B A A K B K A 1111=∴ B B K B A A K A 1111=∴，而11∠=∠BB K AA K AA 1∆∴∽K BB 1∆ KB B KA A 11∠=∠∴
知识点6：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，o 为抛物线的顶点，连接AO 并延长交该抛物线的准线于点,C 则//BC 证明：设(),,11y x A ()22,y x B ，则
由知识点1知2
21p y y -= 2222y y p p y C =--=∴逆定理：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，过点B 作OF BC //交抛物线准线于点,C 则O C A 、、三点共线。
证明略
知识点7：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F ,,n BF m AF ==则
证法：（1）若x AB ⊥轴，则AB 为通径，而,2p AB =
（2）若AB 与x 轴不垂直，设(),,11y x A ()22,y x B ，AB 的斜率为k ，则
⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=2:p x k y l 与px y 22=联立，得()
042222222222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k 由抛物线的定义知2
,221p x BF n p x AF m +==+== 知识点8：已知抛物线()022>=p px y 中，AB 为其过焦点F 的弦，
,,n BF m AF ==则
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=∆n m m n p S AOB 42 证明：设,θ=∠AFx 则 而mn p p mn p n p m 2
22sin ,sin ,cos 1,cos 1=∴=∴+=-=θθ
θθ 逆定理：已知抛物线()022>=p px y 中，AB 为其弦且与x 轴相交于点M ，若,,n BM m AM ==且,42⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=∆n m m n p S AOB 则弦AB 过焦点。
证明：设(),,11y x A ()22,y x B ，,θ=∠AMx ()0,t M ，则
BOM AOM AOB S S S ∆∆∆+==()()θθθπsin 2
1sin 21sin 21t n m tn tm +=+- 而,sin ,sin 2
1
n y m y ==θθ mn
y y 212sin -=∴θ 而()221422p mn n m n m m n p S AOB +=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=∆ 2221p y y t =-∴①
又可设0222:22=--⇒⎭
⎬⎫=+=pt pay y px y t ay x l pt y y 221-=∴② 由①②得2p t = AB ∴恒过焦点⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,2p
例1、过抛物线24y x =的焦点做直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果126x x +=，那么AB = 8
变式：过抛物线24y x =的焦点做直线交抛物线于,A B 两点，如果8AB =，O 为坐标原点，则OAB ∆的重心的横坐标是 2
例2、直线l 经过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于,A B 两点，由,A B 分别向准线引垂线'',AA BB ，垂足分别为'',A B ，如果''A B a =，Q 为''A B 的中点，则QF = 2
a （用a 表示） 变式：直线l 经过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于,A B 两点，由,A B 分别向准线引垂线'',AA BB ，垂足分别为'',A B ，如果,AR a BF
b ==，Q 为''A B 的中点，
则QF = 2
（用,a b 表示） 例3、设坐标原点为O ，过焦点的直线l 交抛物线2
4y x =于,A B 两点，OA OB ⋅=u u u r u u u r -3
例4、过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线
交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别
是,p q ，则11p q += 4a
小结：
（1）抛物线中的焦点弦问题很多都可以转化为这个直角梯形中的问题，在解决这类问题时注意对这个梯形的运用；
（2）万变不离其宗，解决问题的关键仍然是抛物线定义.。