[很全]抛物线焦点弦的有关结论附答案

[很全]抛物线焦点弦的有关结论
知识点1：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。

设(),,11y x A ()22,y x B ，则
（1）4
2
21p x x =；（2）221p y y -=
证明：如图，
（1）若AB 的斜率不存在时，
依题意,2
21p
x x ==4221p x x =∴
若AB 的斜率存在时，设为,k 则⎭ ⎝
⎛
=2:k y AB
()
04222222
222
2=++-⇒=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k
.4221p x x =∴ 综上：.4
2
21p x x =
（2）p y x p y x 2,22
22211== ，,22142
221p y y p y y ±=⇒=∴
但22121,0p y y y y -=∴< （2）另证：设2
:p
my x AB +
=与px y 22=联立，得22122,02p y y p pmy y -=∴=-- 知识点2：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。

设(),,11y x A ()22,y x B ，则（1）;21p x x AB ++=（2）设直线AB 的倾斜角为α证明：（1）由抛物线的定义知
,2
,221p
x BF p x AF +=+=
p x x BF AF AB ++=+=∴21 （2）若,2,90210p x x =
==则α由（1）知2p AB ==若px y p x k y AB 2,2:,9020=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=≠与设α联立，得
()
04222222
222
2
=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-p k px k x k px p x k
(),22221k k p x x +=+∴()
22211
2k k p p x x AB +=++=∴，而αtan =k ，
()
α
αα2
22sin 2tan tan 12p
p AB =+=∴ 知识点3：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。

证明：过点B A 、,11B A 、过AB 中点M 向准线引垂线，垂足为,N 设以AB 为直径的圆的半径为,r
.
2211r MN MN BB AA BF AF AB r =∴=+=+==
∴以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。

知识点4：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点的准线引垂线，垂足分别为,11B A 、则0
1190=∠FB A 。

证明借助于平行线和等腰三角形容易证明
知识点5：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点x 轴相交于点K ，则.BKF AKF ∠=∠
证明：过点B A 、分别作准线的垂线，垂足分别为11////BB KF AA
B B BF A A AF FB AF K B K A 1111,===∴而 B B A A K B K A 1111=∴
B
B K
B A A K A 1111=∴，而01190=∠=∠K BB K AA K AA 1∆∴∽K BB 1∆ KB B KA A 11∠=∠∴ BKF AKF ∠=∠∴
知识点6：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，o 为抛物线的顶点，连接
AO 并延长交该抛物线的准线于点,C 则.//OF BC
证明：设(),,11y x A ()22,y x B ，则
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴=1111
2,2,:x p y p C x x y y AB 1
2
2
1
111222y p p
y p y x p y y C -=⋅-=-=∴ 由知识点1知2
21p y y -= 22
22
y y p p y C =--=∴ OF BC //∴ 逆定理：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，过点B 作OF BC //交抛物线准线于点,C 则O C A 、、三点共线。

证明略
知识点7：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F .2
11p
n m =+ 证法：（1）若x AB ⊥轴，则AB 为通径，而,2p AB =
p n m ==∴ ∴
.2
11p
n m =+ （2）若AB 与x 轴不垂直，设(),,11y x A ()22,y x B ，AB 的斜率为k ，则⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=2:p x k y l 与
px y 22=联立，得()
04222222
222
2=++-⇒=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k
()
,22
221k
k p x x +=+∴.42
21p x x = 由抛物线的定义知2
,221p
x BF n p x AF m +==+
==
∴
()p p
x x p x x p x x mn
n m n m 2
4
2112
212121=+
++++=+=+ 知识点8：已知抛物线()022>=p px y 中，AB 为其过焦点F 的弦，,,n BF m AF ==则
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=∆n m m n p S AOB
4
2
证明：设,θ=∠AFx 则
BOF AOF AOB S S S ∆∆∆+=
()()θθ
θπsin 4
sin 221sin 221n m p
p
m p +=⋅⋅+-⋅⋅=
而mn p p mn p n p m 2
2
2sin ,sin ,cos 1,cos 1=∴=∴+=-=θθ
θθ ().4422⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=+=∴∆n m m n p mn p n m p S AOB
逆定理：已知抛物线()022>=p px y 中，AB 为其弦且与x 轴相交于点M ，若
,,n BM m AM ==且,4
2⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+=∆n m m n p S AOB
则弦AB 过焦点。

证明：设(),,11y x A ()22,y x B ，,θ=∠AMx ()0,t M ，则
BOM AOM AOB S S S ∆∆∆+==()()θθθπsin 2
1
sin 21sin 21t n m tn tm +=+-
而,sin ,sin 21n
y m
y =
=
θθ mn
y y 2
12sin -=
∴θ mn y y 21sin -=
∴θ ()()21212121
y y t mn n m mn y y t n m S AOB -+=-+=∴∆ 而()2214
22
p mn n m n m m n p S AOB
+=⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+=∆ 2221p y y t =-∴① 又可设
0222:2
2
=--⇒⎭
⎬⎫=+=pt pay y px y t ay x l pt y y 221-=∴②
(x 1,y 1)
(x 2,y 2)
x
y
B´
A´由①②得2p t =
AB ∴恒过焦点⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,2p 例1、过抛物线24y x =的焦点做直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果126x x +=，那么AB =_________. 8
变式：过抛物线24y x =的焦点做直线交抛物线于,A B 两点，如果8AB =，O 为坐标原点，则OAB ∆的重心的横坐标是_________. 2
例2、直线l 经过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于,A B 两点，由,A B 分别向准线引垂线
'',AA BB ，垂足分别为'',A B ，如果''A B a =，Q 为''A B 的中点，则QF = _________.（用a 表示）
2
a
变式：直线l 经过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于,A B 两点，由,A B 分别向准线引垂线'',AA BB ，垂足分别为'',A B ，如果,AR a BF b ==，Q 为''A B 的中点，
则QF =_________.（用,a b
例3、设坐标原点为O ，过焦点的直线l 交抛物线24y x =于,A B 两点，OA OB ⋅= -3 例4、过抛物线2
(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是,p q ，则
11p q +=_____. 4a
小结：
（1）抛物线中的焦点弦问题很多都可以转化为这个直角梯形中的问题，在解决这类问题时注意对这个梯形的运用；
（2）万变不离其宗，解决问题的关键仍然是抛物线定义.。