抛物线焦点弦问题(附答案解析)

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（难度3星）
1．（2019·安徽高二期末（文））在平面直角坐标系xxx 中，抛物线x 关于x 轴对称，顶点为坐标原点，且经过点(2,2).
（1）求抛物线x 的标准方程；
（2）过点x (1,0)的直线交抛物线于M 、N 两点，P 点是直线x :x =−1上任意一点.证明：直线xx、xx、xx 的斜率依次成等差数列.
【答案】（1）x 2=2x ；（2）证明见解析
【解析】
（1）因为抛物线x 关于x 轴对称,可设抛物线为x 2=2xx ，而点(2,2)在抛物线上， 从而有22=2x ×2，得x =1，
(
故抛物线方程为x 2=2x ；
（2）设点x (−1,x )是直线x 上任意一点，
直线交抛物线于M 、N 两点,所以直线xx 的斜率不等于0，
可设直线xx :x =xx +1交抛物线于x (x 1,x 1)、x (x 2,x 2)，
由{x =xx +1x 2=2x
可得：x 2−2xx −2=0 从而有x 1+x 2=2x ,x 1x 2=−2,
x xx =x 1−x x 1+1，x xx =x 2−x x 2+1，x xx =−x 2
且在直线上,所以有:x 1=xx 1+1,x 2=xx 2+1
—
x xx +x xx =
x 1−x x 1+1+x 2−x x 2+1=2xx 1x 2+(2−xx )(x 1+x 2)−4x x 2x 1x 2+2x (x 1+x 2)+4 =−2xx 2−4x 2x 2+4=−x ，
而2x xx =−x ，即证x xx +x xx =2x xx .
得证直线xx ，xx ，xx 的斜率成等差数列.
（难度2星）
2．（2020·河南高二期末（理））已知x 是抛物线x :x 2=2xx (x >0)的焦点，x (1,x )是抛物线上一点，且|xx |=2.
、
(1)求抛物线x 的方程；
(2)直线x 与抛物线x 交于x ，x 两点，若xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4（x 为坐标原点），则直线x 是
否会过某个定点若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.
【答案】(1)x 2=4x ；(2)是，x (2,0).
【解析】
（1）由抛物线的定义知|xx |=1+
x 2=2,∴x =2, ∴抛物线x 的方程为：x 2=4x
（2）由题意知:可设xx 的方程为：x =xx +x ,
代入x 2=4x 有x 2−4xx −4x =0,
￥
设x (x 1,x 1),x (x 2,x 2),
则x 1⋅x 2=−4x ,
∴x 1⋅x 2=(x 1⋅x 2)216=x 2,
∴xx
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1⋅x 2+x 1⋅x 2=x 2−4x =−4 ∴x =2
∴xx 的方程为x =xx +2,恒过点x (2,0).
所以直线x 过定点(2,0).
》
（难度2星）
3．（2020·江西高二期末（文））已知抛物线x :x 2=2xx (x >0)的焦点F 为圆x 2+x 2−2x =0的圆心.
（1）求抛物线C 的标准方程；
（2）过抛物线的焦点F 的直线l 与抛物线相交于xx 两点，且|xx |=5，求直线l 的方程.
【答案】（1）x 2=4x （2）x =2x −2或x =−2x +2
【解析】
（1）圆的标准方程为(x −1)2+x 2=1，圆心坐标为(1,0)，
…
即焦点坐标为x (1,0)，则x 2
=1,x =2得到抛物线x 的方程x 2=4x （2）设直线x 的方程为：x =xx +1联立抛物线x 的方程x 2=4x 消x 整理得：
x 2−(4x 2+2)x +1=0 ∴x 1+x 2=4x 2+2
根据焦点弦的性质可知:|xx |=x 1+x 2+x =4x 2+4 又因为|xx |=5
∴4x 2+4=5解得x =±12 所以所求直线x 的方程为：x =2x −2或x =−2x +2
}
（难度2星）
4．（2019·四川高二期末（文））已知点x (−2,0)，x (3,0)，动点x (x ,x )满足： xx
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−6. （1）求动点P 的轨迹x ；
（2）已知点x (14,0)，若曲线E 上一点M 到x 轴的距离为12，求|xx |的值.
【答案】（1）焦点在x 轴，开口向右的抛物线x 2=x ；（2）12
【解析】
（1）x 点坐标为(x ,x ),则有:xx
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−x ,−x )，xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−x ,−x ) ∴xx
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−x −6+x 2=x 2−6， 即：x 2=x ，∴点P 的轨迹为焦点在x 轴，开口向右的抛物线.
（2）由题意可得：x x =±12代入方程求得x x =14,所以x (14,±12),而x (14,0)
∴|xx |=√(14−14)2+(±12−0)2=12 ,即|xx |=12.。