古希腊数学
简述古希腊数学的发展成就
简述古希腊数学的发展成就1. 古希腊数学的起源哇，古希腊的数学真的是一段非常酷的历史！想象一下，在公元前几百年，雅典的街头走着一群穿着长袍的哲学家，他们一边讨论哲理，一边研究数字，简直像是在搞一个智力运动会！那时候，数学的概念还在慢慢形成，很多东西都是靠直觉和经验来解决的。
比如，他们用几何图形来解决实际问题，真是聪明绝顶。
1.1 毕达哥拉斯学派说到古希腊数学，毕达哥拉斯绝对是个不得不提的人物。
这个家伙不仅会唱歌，还能把数字和音乐结合起来，真是个多才多艺的奇才。
他和他的学生们研究了数的性质，提出了著名的“毕达哥拉斯定理”。
想象一下，三角形的边长可以用简单的公式来计算，大家当时可是乐坏了，简直就像是发现了新大陆！1.2 欧几里得的《几何原本》再来聊聊欧几里得，他就像是数学界的“教父”，写了一本《几何原本》，里面的内容简直可以说是宝典。
这本书不仅整理了前人的数学成果，还提出了公理和定理，让数学变得系统化。
可以说，欧几里得把数学带入了一个全新的时代，大家对几何的理解也因此更深刻了。
2. 古希腊数学的主要成就古希腊数学不仅仅停留在理论上，还应用到了实际生活中。
比如，他们用几何知识来测量土地和建造房屋，真是让人佩服！而且，他们还提出了“无理数”的概念，像是根号2这样的数字，之前的人可从没想过这个问题。
这让他们在数字的世界里更进一步，犹如打开了新世界的大门。
2.1 阿基米德的贡献说到古希腊数学，就不能不提阿基米德。
这个家伙真的是个天才，他在几何、物理方面都大有建树。
他的“杠杆原理”可以说是日常生活中的黄金法则，能让人用更小的力气撬动更大的物体。
想象一下，搬家时用阿基米德的方法，简直轻松得像是在散步一样！2.2 古希腊的数论再说说古希腊的数论，他们对质数的研究也是相当深入。
想想那些被称为“素数”的数字，像2、3、5，它们的特殊性让人心生敬畏。
古希腊数学家们甚至还发现了很多有趣的规律，让数论变得生动有趣，仿佛在数学的海洋中潜水，时不时能捞到些珍珠。
古希腊数学
希腊数学的发展历史可以分为三个时期。
第一期从伊奥尼亚学派到柏拉图学派为止，约为公元前七世纪中叶到公元前三世纪；第二期是亚历山大前期，从欧几里得起到公元前146年，希腊陷于罗马为止；第三期是亚历山大后期，是罗马人统治下的时期，结束于641年亚历山大被阿拉伯人占领。
从古代埃及、巴比伦的衰亡，到希腊文化的昌盛，这过渡时期留下来的数学史料很少。
不过希腊数学的兴起和希腊商人通过旅行交往接触到古代东方的文化有密切关系。
伊奥尼亚位于小亚细亚西岸，它比希腊其他地区更容易吸收巴比伦、埃及等古国积累下来的经验和文化。
在伊奥尼亚，氏族贵族政治为商人的统治所代替，商人具有强烈的活动性，有利于思想自由而大胆地发展。
城邦内部的斗争，帮助摆脱传统信念在希腊没有特殊的祭司阶层，也没有必须遵守的教条，因此有相当程度的思想自由。
这大大有助于科学和哲学从宗教分离开来。
米利都是伊奥尼亚的最大城市，也是泰勒斯的故乡，泰勒斯是公认的希腊哲学鼻祖。
早年是一个商人，曾游访巴比伦、埃及等地，很快就学会古代流传下来的知识，并加以发扬。
以后创立伊奥尼亚哲学学派，摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理，以水为万物的根源。
当时天文、数学和哲学是不可分的，泰勒斯同时也研究天文和数学。
他曾预测一次日食，促使米太(在今黑海、里海之南)、吕底亚(今土耳其西部)两国停止战争，多数学者认为该次日食发生在公元前585年5月28日。
他在埃及时曾利用日影及比例关系算出金字塔的高，使法老大为惊讶。
泰勒斯在数学方面的贡献是开始了命题的证明，它标志着人们对客观事物的认识从感性上升到理性，这在数学史上是一个不寻常的飞跃。
伊奥尼亚学派的著名学者还有阿纳克西曼德和阿纳克西米尼等。
他们对后来的毕达哥拉斯有很大的影响。
毕达哥拉斯公元前580年左右生于萨摩斯，为了摆脱暴政，移居意大利半岛南部的克罗顿。
在那里组织一个政治、宗教、哲学、数学合一的秘密团体。
后来在政治斗争中遭到破坏，毕达哥拉斯被杀害，但他的学派还继续存在两个世纪之久。
古希腊数学
第三章：古希腊数学第一节古希腊数学产生的背景及研究依据正当数学面临着积累起来的大量资料，有待于整理、创新，使之条理化、系统化时，首先把这些零散的数学知识经过归纳、提炼、开拓、发展并著书立说的民族是希腊人．他们开始尝试对命题的证明，对今日数学的奠基起到了十分重要的作用．正如M．克莱因所说：“数学作为一门有组织的、独立的和理性的学科来说，在公元前600到300年之间的古典希腊学者登场之前是不存在的．”(《古今数学思想》)一、古希腊数学产生、发展的背景数学在希腊的发展，有其社会原因．古代希腊人定居在小亚细亚，即欧洲大陆上如今希腊所在地区以及意大利南部，西西里(Sicily)，克里特(Crete)，罗德斯(Rhodes)，第罗斯(De－los)和北非等地区．当时，希腊为奴隶社会，早期进行了一系列变革，使之变得比较完善，比较先进．马克思把她比喻为“发育正常的小孩①”．恩格斯也指出，这种奴隶制“使农业和工业之间的更大规模的分工成为可能，从而为古代文化的繁荣，即为希腊文化创造了条件．没有奴隶制，就没有希腊国家，就没有希腊的艺术和科学，……②”．因此，社会的变革，对希腊文化的发展，起到了非常重要的作用．希腊人大约在公元前775年左右实施了文字改革，把他们用过的各种象形文字书写系统改换成腓尼基人的拼音字母．采用了拼音字母之后，希腊人变得更加通文达理，更有能力和条件来记载他们的历史和思想，也更有利于进行数学逻辑运算和推演了．希腊是埃及、巴比伦的邻国．地理位置为希腊人游访埃及、巴比伦，并与之贸易往来创造了方便条件．通过这些往来活动，使希腊人有机会了解、学习埃及人、巴比伦人创造的数学．例如，被誉为希腊哲学、数学和科学的诞生地——小亚细亚、爱奥尼亚(Ionia)地区的米利都(Miletus)滨临地中海，来自希腊本土、腓尼基和埃及的船舶都驶进它的港口，并有队商大道与巴比伦相通．古代希腊形成了多个数学学派，他们的活动和研究，对数学的发展和传播是有重要作用的．古希腊数学延续了1000年左右，这在数学发展史上也是屈指可数的几个国家之一．二、研究古希腊数学的主要依据在历史上，希腊曾遭受过波斯人的侵略，使希腊人受到不少磨难，文化活动中心发生转移和改变，记载数学书籍和文献也被破坏．现在研究希腊数学，主要依据是拜占庭的希腊文的手抄本，这是在希腊原著写成后500年到1500年之间录写成的．其原因是，希腊的原文手稿没有保存下来(由纸草书写成易于毁坏，加之希腊的大图书馆毁于兵燹)．希腊数学的抄录本，可能做了若干修改．例如，我们虽无希腊人海伦(Heron)的手稿，但我们知道他对欧几里得《几何原本》做了若干改动．他给出了不同的证明，添补了一些定理的新例子和逆定理．就是希恩自己也提到，他改动了《几何原本》的若干部分．另外，研究希腊数学还要依靠两批评述本，其一是帕波斯(Pappus，公元3世纪)撰写的《数学汇编》(Sgnagoge或Mathematical Collection)；其二是普罗克洛斯(Proclus，410—485)撰写的．《评述》(Commentary)．这是研究希腊数学史的两部重要史料．要从如上资料中，把希腊数学发展的历史整理出来，是一项浩繁而复杂的工作，由于学者们的艰苦努力，已经基本弄清希腊数学的基本史实．但是，有些结论也有争议，可望在深入研究和探索中，进一步澄清史实．第二节创建学派，师徒相传古希腊数学是在先后相继几个中心地点发展起来的，每个中心地点，总是由一两个伟大学者组织成群的学者开展学术活动，为数学大厦的筑起添砖加瓦．用现在的语言描述，乃为创建学派，师徒相传，推动数学的发展与传播．一、爱奥尼亚学派这个学派是由泰勒斯(Thales，约公元前625—前547)创建的．泰勒斯早年跟随父亲从商，由于贸易往来，有机会游访埃及、巴比伦等国家和地区，在游访期间，被当时兴旺发达的文化所吸引，萌发兴趣，开始倾心学习和研究天文、几何知识．被誉为“古希腊七贤人”之首①．数学与哲学联系，尤其是在古代，很多数学家都懂得一定的哲学知识，正像我国古代的数学家一般都懂得历法知识一样，泰勒斯也是一位哲学家②．在他的学说里，首次对自然界进行脱离宗教的解释，他认为水是万物之源，一切都是由水形成的，一切事物的本质都依水的状态而改变．结论是，植物的生命保存在它的汁液里，因为植物干燥了就会死；动物的生命保存在血液里，甚至火焰也要吸取湿润．根据现存原典史料证明，泰勒斯是古希腊的第一位天文学家．由于他准确地预言公元前585年5月28日的日食时间，使泰勒斯名声大振．据说古代两个奴隶制国家交战，5年未见胜负，泰勒斯扬言上天要制止战争，以某月某日必日食来作警告．果然到了那一天，两军正在酣战不停，突然太阳失去光辉，百鸟归巢，明星闪烁，白昼顿成黑夜．双方士兵将领大为恐惧，于是停战和好，后来两国还互通婚姻．泰勒斯创建的学派——爱奥尼亚学派对数学的发展起到了很大作用，尤其对几何学的发展，起到的作用更大．有人认为泰勒斯是数学历史上第一位几何学家．根据欧几里得《几何原本》第一卷的注释者普罗克洛斯记载的史料，充分说明了泰勒斯学派确立和证明了为人们所公认的第一批几何定理．这种记载源于希腊数学史家欧德莫斯(Eude－mus of Rhodes，约公元前335年)所著《几何学史》，遗憾的是这部著作已经失传．根据普罗克洛斯记载，泰勒斯至少证明了如下几个命题：(1)圆被任一直径所平分．[Proklus：S．275(F．157；V．139)]①(2)等腰三角形的两底角相等．在古代，曾把角相等称作“相似”(Similar)．[Proklus S．341(F．250；V．216)](3)两条直线相交，对顶角相等．[Proklus S．374(F．299；V．255)](4)两个三角形两角与所夹边对应相等，则两个三角形全等．有人证实泰勒斯曾利用这条定理测定海上两船间的距离．[Proklus S．409(F．352；V．300)]泰勒斯是用如下简单的方法测量的：假设：A，B是两条船，可望不可及．在岸上引AC垂直于AB，D是AC 的中点，过C点向AB相反方向，引CE垂直于CA(使B，D，E在同一条直线上)这时，CE和AB距离相等，CE是可直接测量的．根据希腊历史学家普鲁塔克(Plutarch，约46—120)的记载，泰勒斯曾应用两个等角三角形对应边成比例的定理，测出金字塔的高度．具体作法是将一根标杆竖立在平地上，利用塔影长与标杆影长的比，等于塔高与标杆高的比，来算出塔高．也有的学者说泰勒斯是根据当标杆影长和标杆长相等时，塔高与塔影也相等的道理推得的．有人认为这两种说法都有不妥之处．根据有的史料记载，泰勒斯还发现了“半圆上的圆周角都是直角”的命题，但是，也有的史料指出了这个命题在巴比伦的数学中已经出现了，它与计算弦到圆心的距离有关系．而其证明应属泰勒斯．从以上可以看出，泰勒斯学派并不满足于知其然，还要追求所以然的道理．他迈出了对数学命题证明的关键一步，为平面上线与角的理论奠定了基础，把科学的方法渗透于数学真理之中，载入数学史册．这标志着人们对客观事物的认识从感性上升到理性，这在数学发展史上也是一个重要飞跃．因为数学中的逻辑证明，能保证命题的正确性，使理论立于不败之地，令人深信不疑，也能揭示出各定理间的内在联系，使数学构成严密的体系．二、毕达哥拉斯学派这个学派是以贵族式的观念形态作为基础，与在当时撒摩斯岛(Samos，现土耳其西岸小岛)的古希腊民主制的观念形态，形成尖锐的对立，是具有神秘色彩的组织．领头人毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前572—前501)生于撒摩斯岛．关于毕达哥拉斯本人有很多传说，甚至很难判断哪些传说是符合实际的，哪些是虚构的．就连他的生卒年月也很难确定．毕达哥拉斯年轻时期，游历了很多地方，特别是游访古埃及和古巴比伦等地，学习了一些数学知识，大约在公元前530年回国，开始组建学派．这个学派的主张和观念曾引起撒摩斯公民的不满情绪，毕达哥拉斯为了避开人们的舆论，只好离开自己出生的本土，逃往希腊的移民区阿佩宁半岛，并定居在克罗托那(Crotona)城，重新建立学派．由于毕达哥拉斯参与政治活动，后来被杀害．他死后，其门徒散居到希腊其他学术中心，继续传授他的教诲，达200年之久．毕达哥拉斯首先研究了数学的抽象概念，希腊学者亚里士多德曾说，毕达哥拉斯学派把数看作是真实物质对象的终极组成部分①．数不能离开感觉到的对象而独立存在，即早期毕达哥拉斯学派认为一切对象由(整)数组成，或者说数乃宇宙的要素．因为他们心目中的数就如同我们心目中的原子一样，把数看作是现实的本源，是严谨性和次序性的根据，是在宇宙体系里控制着天然的永恒关系，企图用数来解释一切．甚至认为万物都包含数(整数)，且万物也都是数(整数)．对周围观察到的现象，也都是用数的关系来说明．例如，当听到悦耳的音乐时，觉察到“和声”谐音，毕达哥拉斯学派认为只能用3根弦才能发出此音，其长度之比为3∶4∶6，并在很多场合，也都发现这种比例关系，立方体的面数、顶点数、棱数的比为6∶8∶12．由于毕达哥拉斯学派赋予数如此重大的意义，因此，毕达哥拉斯学派非常注意研究数，也就是开始研究数的理论，研究数的性质，而注重实际的计算．毕达哥拉斯学派首先使用了更加方便的记数系统，采用了腓尼基人所用的希腊字母表中的字母并增加某些腓尼基的字母来表示数．现仅举数码1—9的表示法(为了把数与字母区分开，在字母的上面画一横线)．毕达哥拉斯学派还依据几何和哲学的神秘性来对“数”进行分类，按照几何图形分类，可分成“三角形数”；“正方形数”；“长方形数”；“五角形数”等等．如图3．2实际上，以上各种类型的象形数，可从等差级数和导出来．1＋3＋5＋……＋(2n-1)=n2(正方形数)2＋4＋6＋……＋2n=n(n＋1)(长方形数)例如，正方形数的图形可分为小正方形和曲尺形(gnomon)，反复分割，小正方形内一点和曲尺形内点的和，即是奇数系列之和：1+3+5+……毕达哥拉斯学派还把“数”分成“完全数”和“相亲数”．如果一个数除其本身外的所有因数的和等于这个数，那么这个数就叫“完全数”．例如，6是完全数，因为它的每个因数之和为6，即：6＝1＋2＋3．若两个数中每个数的因数的和等于另一个数，这两个数叫做“相亲数”．按此定义，220和284是相亲数．因为220的因数之和为：1＋2＋4＋5＋10+11+20＋22＋44＋55＋110＝284，而284的各因数之和为：1＋2＋4＋71＋142=220．毕达哥拉斯学派还声称：“谁是我的朋友，就应该像数220和284一样．”毕达哥拉斯发现了著名的“勾股定理”①．但是，在什么情况发现的？怎样证明的？说法不尽一致．普罗克洛斯在注释欧几里得《几何原本》第1卷题47时，说得也不明确，指出在古代历史上有各种传说，据说这个定理是毕达哥拉斯发现的，毕达哥拉斯为了庆贺自己的业绩，杀了一百头牛．普洛塔克(Plutarch，约46—120)也有类似的说法，指出毕达哥拉斯是用填加面积的方法证明“勾股定理”的①．在直角三角形中，二条直角边分别为a，b，斜边长为c，以a＋b为一边画正方形，这样，在此正方形中，含4个直角三角形、一个以a为边的正方形和一个以b为边的正方形，如图3．4(a)另外，再画一个以a＋b为边长的正方形，如图3．4(b)经过分割，这个正方形含有4个直角三角形和1个边长为c的正方形．因为两个正方形(即(a)和(b))面积相等，各减去同样的4个直角三角形的面积，立刻得到：a2＋b2＝c2．毕达哥拉斯学派通过“勾股定理”揭示了直角三角形三边之间的关度，其“证明方法”用现代符号可叙述为：于是根据毕达哥拉斯定理得：p2＝2q2．由于p2是偶数，p必为偶数p既然是偶数，可设p＝2α，于是p2＝4α2=2q2．因此，q2＝2α2，这样，q2是偶数，于是q也是偶数，但q同时又是奇数，产生矛盾．实际上，毕达哥拉斯学派发现“勾股定理”之后，很容易过渡到对新数——无理数的发现，但毕达哥拉斯学派认为这违背了他们的信条(世界上一切都是由整数和整数之比构成)，相传毕达哥拉斯学派成员在海上游玩，把无理数的宣传者希帕索斯(Hippa－sus，约公元前5世纪)推到波涛汹涌的大海里．希腊人称不可公度量之比为αλoγos(algos，意即不能表达)，当时，人们都在回避这种量，导致了数学史上的第一次危机．毕达哥拉斯学派还研究了关于正多边形和正多面体的作图问题，尤其是首先完成了正五边形的作图，为解决正多边体的作图问题奠定了基础．毕达哥拉斯学派曾作出了当时所有可能的正多面体：具有4个等边三角形面的正四面体，具有8个等边三角形面的正八面体，由20个正三角形围成的正二十面体，由6个正四边形围成的正六面体，由12个正五边形围成的正十二面体．毕达哥拉斯学派认为这些都是“宇宙图形”，将四面体称为火；八面体称为气；二十面体称为水；六面体称为土；十二面体称为宇宙．他们认为在整个几何体中最优美的是球．毕达哥拉斯学派在对数学的发现中，不断追求“美”的形式．他们认为日、月、五星都是球形，浮悬在太空中，这是最完美的立体，而圆是最完美的平面图．就是曾被誉为“巧妙的比例”，并染上各种各样瑰丽诡秘色彩的“黄金分割”也是这个学派首先认识到的．综上，使我们认识到，毕达哥拉斯学派对于研究解决数学问题的方法，发挥了很大作用．他们规定在数学中必须坚持严格证明，对数学的发展具有特殊意义．三、诡辩学派“诡辩”(Sophism σóυτσμα)一词含“智慧”之意，诡辩学派也译作“哲人学派”或“智人学派”．诡辩学派主要是以讲授修辞学、雄辩术、文法、逻辑、数学、天文等科为职业，也经常出入群众集会场所，发表应时的演说等，其代表人物是普洛塔哥拉斯(Protagoras，约公元前481—前411)，哥尔基亚(Gorgias，约公元前487—前380)安蒂丰(Antiphon，公元前480？—前411)等．值得注意的是，数学历史中著名的“三大几何难题”的研究始于诡辩学派．“三大几何难题”虽然不能精确求解，对其研究和探索，却引出了大量的数学发现．(1)倍立方问题，即求作一立方体，使其体积是一已知立方体的2倍．关于这个问题的产生众说纷纭①，其中有一种说法是，在第罗斯(Delos)岛上，瘟疫不断蔓延，岛上的人求教于巫神，巫神告诉他们应把现有立方祭坛加倍．这就产生了“倍立方问题”，也称“第罗斯问题”．这个问题，实际上是已知立方体的边长为a，求作边长为x的立方诡辩学派试图利用直尺(没有刻度)和圆规作出图形，据说希腊毕达哥拉斯学派的希波克拉底(Hippokrates，约公元前470—前430)曾把倍立方问题归结为求线段a与2a之间的两个等比例中项，不妨用现代数学符号表示，设：x，y为两个比例中项，有：a∶x＝x∶y＝y∶2a∵a∶x=x∶y 则：x2=ay(1)∵x∶y＝y∶2a 则：y2=2ax(2)由(1)和(2)，消掉y，则：x4=2a3x，∴x3＝2a3即为所求．虽然希波克拉底没能根据所谓“几何作图法”(只用没有刻度的直尺和圆规，分别只能画直线和圆)求出x、y，但是他把立体问题转化到平面中来解决，这种思考方法是难能可贵的，是希波克拉底的重要贡献，为后人用二个矩(直角尺)作出a与2a两个等比中项奠定了基础．倍立方问题虽然不能精确求解，但希腊人对它的研究与探索，推动了数学的发现．例如，门奈赫莫斯(Menaechmus，约公元前4世纪中叶)给出了这个问题的两种解法，由此发现了圆锥曲线．下边简述门奈赫莫斯的解法：①作两条有公共顶点的、其轴互相垂直的抛物线，并且使得其中一个的正焦弦为另一个的2倍．设x表示从两条抛物线的另一个交点向较小的抛物线的轴所作垂线之长．于是，以x为边的立方体的体积等于以较小的正焦弦为边的立方体的体积的2倍．(用现代解析几何证明这种作图法是正确的．)②作一正焦弦为s的抛物线，然后作一横截轴等于4s且以抛物线之轴为其渐近线的等轴双曲线，并且过抛物线顶点作其切线．设x为从两条曲线的交点向抛物线的轴所作垂线之长，则x3＝2s3．(用现代解析几何证明这种作图法是正确的．)另外，狄俄克利斯(Diocles，公元前2世纪)在解决这个问题时，发现了蔓叶线．(2)任意角三等分问题按希腊时期几何作图法的要求，①直尺只能做连结两点的直线之用；②圆规只能做画圆之用，不许作分度计或量长度之用．在这两个条件限制下，任意角三等分是不可能的．希腊学者把任意角三等分问题归结为斜向问题，对它研究与探索，发现了蚌线等等．如果没有几何作图法的限制，任意角三等分问题当然可以解决，三等分法有几十种之多，不妨举两个例子．如图3．6所示，首先将直尺三等分，分点是D和E，取直尺DR过B点垂直于PQ，垂足是D．以DQ为直径，E为圆心画半圆，与BC边相切于F．△BPE 是等腰三角形，BD⊥PE，∴∠PBD＝∠DBE，另外，BD和BF是从圆外一点B引出的两条切线，则∠DBE＝∠EBF．所以，∠PBD=∠DBE=∠EBF，这便将∠ABC三等分了．如图3．7，在已知∠ABC的一边AB上，取一点D，引DE垂直于BC，DF 平行于BC，取一直尺，上面刻上三点P，Q，R，且PQ＝QR＝DB，直尺通过点B(DE过点P，DF过点R)，由此，△PDR是直角三角形，且Q是斜边PR 之中点，PQ＝DQ=RQ，∴∠DQB＝2∠BRD，又∵PQ＝QR＝DB，∴DQ＝DB，∴∠DQB＝∠DBQ．另外，DF∥BC，∴∠BRD＝∠RBC，故∠DBQ ＝2∠RBC，直线BR是∠ABC的三等分线．上面二种作法都能将任意角三等分，但是，已经突破了希腊时期的“初等几何作图法”的要求．若用代数思想解释这两个古老问题，也是很清晰的．实际上，倍立方和任意角三等分问题，都是属于求解三次方程问题．直尺画出的直线可表示为一次方程ax＋by＋c＝0而用圆规画圆，其方程可表示为二次方程x2+y2＋ax+by+c=0仅用直线和圆构成的图形是不能求解三次方程的．因此，用初等作图法解决如上两个问题是不可能的．(3)化圆为方问题．即：求作一正方形，使其面积等于一已知圆．远在公元前1800年，古代埃及人就取正方形的边长等于给定圆的直希腊时期的希波克拉底(Hippocrates)成功地求出了某些特殊的由两个圆弧围成的月形面积，当然没有解决化圆为方问题，但确实解决了一个有关的问题．设ABC是一等腰三角形(图3．8)，并设它内接于中心为O的半圆，设AEB是以AB为直径的半圆．则有：半圆ABC的面积∶半圆AEB的面积E＝AC2∶AB2＝2∶1，所以，OADB的面积等于半圆AEB的面积．现在把两者的公共面积ADB去掉，则有月牙形(阴影部分)的面积等于三角形AOB的面积．上边的例子说明希波克拉底从探索曲边形面积与直边形面积相等的思路，试图来解决“化圆为方”的问题．希波克拉底另一个月形求积问题是，设ABCD等于以AD为直径的圆的内接正六边形的一半．作该圆与以AB为直径的半圆之间的月形．试证明：梯形ABCD的面积等于该月形面积的3倍加上以AB为直径的半圆的面积．若取消作图工具的限制，“化圆为方”问题也是可以解决的．欧洲文艺复兴时代的大师达·芬奇(L．Davinci，1452—1519)曾创建用圆柱来解决化圆为方问题的巧妙方法．取一圆柱，使底和已知圆相等，高是半径之半，将这圆柱在平面上滚动一周，产生一个矩形，使矩形的形．2000多年来，“三大几何难题”显现出经久不息的魅力，无数具有聪明才智的有志之士曾做出不懈的努力，都未如愿以偿．直到1637年，法国数学家笛卡儿(Descartes，1596—1650)创建解析几何，尺规作图的可能性才有了准则．1837年，数学家凡齐尔(P．L．Wantzel，1814—1848)给出了“倍立方”，“任意角三等分”不可能性的证明．1882年，数学家林德曼(F．Lindemann，1852—1939)证明π的超越性，“化圆为方问题”的不可能也得以确立．1895年，克莱因(F．Kline，1849—1925)给出了三大几何难题不可能用“初等几何作图法”解决的简单而明晰的证明，彻底解决了2000多年的悬案．值得注意的是，随着人们对“几何三大难题”的研究，激发了人们对数学新概念的研究和探索，例如，对圆锥曲线，三、四次代数曲线及割圆曲线等等的发现，就是在寻求解决“几何三大难题”中应刃而生的．对数学理论的发展，也是有重要作用的．譬如，在对“化圆为方”的研究中，希腊学者安蒂丰先作圆内接正方形，将边数加倍，得内接正八边形，再加倍，得正十六边形，这样继续下去，最后的正多边形必与圆周相合．也就是多边形与圆的“差”必会“穷竭”，于是可以化圆为方了．结论虽然是错误的，但提出了一种有重要价值的“穷竭法”，它是近代极限理论的雏形．四、厄勒亚学派这个学派主要活动在厄勒亚(Elea，意大利的南um耑)地区，主要代表人物是芝诺(Zeno约公元前496—430)．他首次用量的观点揭示运动中的矛盾，提出了4个违背运动常识的悖论．芝诺提出4个悖论的目的尚需进一步探索．而其背景是，当时人们对空间和时间有两种对立的看法：一种认为空间和时间无限可分，这样，运动则是连续而平滑的；另一种认为空间和时间是由不可分的小段组成的，这样，运动则是一连串的小跳动．芝诺的悖论是针对这两种理论的，他的关于运动的4条悖论的前两条是反对第一种学说的，而后两条是反对第二种学说的．我们不妨简略地考察一下4条悖论．(1)二分法说(dichotomy)：认为运动不存在，因为一个物体从A到B，首先要通过AB距离的一半，但要通过一半，必须通过一半的诺认为此物体永远不能到达B地．也有人把芝诺的悖论理解为：要通过有限长度就必须通过无穷多的点，这就意味着必须到达没有终点的某种东西的终点．(2)追龟说：据说在希腊有一位快走如飞的阿基里斯(A－chilles)，芝诺认为他永远追不上步履迟钝的龟．譬如说，阿基里斯以10倍的速度追逐距离他100米处爬行的龟．当阿基里斯走100米时，龟爬了10米，米，这样永远相隔1小段距离，所以，总也追不上．实际上，这个问题用极限方法可以马上得出结论．他(它)们走过何处阿基里斯能追逐到龟，可从下列式子得出：(3)飞箭静止说：芝诺认为飞箭在任一瞬刻必在一确定位置，因而是静止的，于是，所谓运动不过是多个静止点的总和．(4)运动场(Stadium)论：两组个数相同的物体沿跑道相向移动，一组从终点出发，而另一组是从中点运动，两者以相同速度移动，芝诺认为一半的时间和整个时间相等．按照芝诺提出的观点，设有甲、乙、丙三排运动员，(如图3．9)，并设在单位时间内，乙排往左移动一步，而丙排则往右移动一步，于是相对于乙排而看丙排就移动了两步．因此使丙向右方移动一步所需的时间为半个单位，所以半个时间单位等于一个时间单位．悖论思想不仅在运动方面存在，而且渗透到社会领域．相传在远古时期就曾产生过悖论．据说一个残忍的国王，下令不许外地人进入他的领地，否则就要处以死刑．并规定进入他的领地若说真话，要处以砍头罪，若说假话处以淹死罪．一天，一个聪明的外地农民大摇大摆地进入了他的领地，说：我是来被淹死的．守卫领土的士兵无法处刑，如果认为他说的是真话，应处以砍头罪，如果一旦执行，他的话便是假话．如果认为他说的假话，应处以淹死罪，一旦执行，他的话又变成真话．这样，使国王也束手无策，只好放走农民．这说明悖论思想充满了矛盾，需要我们认真研究与探索．芝诺在描述运动中，产生了悖论思想，实际上，芝诺的认识已经接近极限观念的边缘，但他最终还是否认了运动的真实性，没能认识极限．值此，应该认识到，悖论思想给数学界以极大的影响，直到集合理论建立时，仍余波未尽．五、柏拉图学派这个学派是继诡辩学派之后兴起的．其主要代表人物是柏拉图(Plato，约公元前427—347)，他年轻时曾跟随希腊哲学家苏格拉底(Socrates，公元前468—399)学习哲学，受到逻辑思想影响，尔后成为雅典举世瞩目的大哲学家．柏拉图在雅典建立了自己的学派，对其哲学思想的产生和扩大影响具有。
数学发展史上的四个高峰
数学发展史上的四个高峰
数学发展史上存在着许多重大的事件和里程碑式的发现，但是其中仍然有一些是无法被忽略的重要高峰。
下面将介绍数学发展史上的四个高峰。
第一高峰：古希腊数学
古希腊数学是数学发展史上的第一个高峰。
早在公元前6世纪，古希腊人就开始研究数学，并取得了一些重要的成果。
他们用几何学方法解决了很多数学问题，比如平方根和三角函数的计算。
古希腊人还开发了一套形式化的逻辑系统，这成为了现代数学的基础。
第二高峰：文艺复兴数学
文艺复兴时期，数学经历了第二个高峰。
在欧洲，数学家们开始对古希腊数学的成果进行研究，并进行了深入的发展。
他们开发了代数学、微积分学和概率论等重要分支，这些成果为现代科学的发展奠定了基础。
第三高峰：19世纪数学革命
19世纪是数学发展史上的第三个高峰。
这是由于当时许多重要的数学家在短时间内取得了很多重要的成果，这些成果大大推动了数学的发展。
比如高斯、欧拉和拉格朗日等人在代数和分析领域做出了很多突破性的贡献。
第四高峰：20世纪数学
20世纪是数学发展史上的最后一个高峰。
在这个时期，数学经历了巨大的变革和发展。
比如，20世纪初，G·庞加莱提出了拓扑学
的想法，这引发了一个新的分支的发展。
随后，数学家们还在计算机科学和数学物理学等领域做出了很多重要的发现，这些成果深刻地改变了数学的面貌。
第二章 古代希腊数学
上述诸派多以哲学探讨为主，但他们的研究活动极大地加强 了希腊数学的理论化色彩，主要表现在以下几个方面。
（一）三大几何问题
古希腊三大著名几何问题是： ⊙化圆为方，即作一个与给定的圆面积相等的正方形。 ⊙倍立方体，即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。 ⊙三等分角，即分任意角为三等分。
三大几何问题的起源涉及一些古老的传说。如 倍立方体问题：说神话中的米诺斯王(King Minos)嫌儿子格劳 卡斯(Glaucus)为他建造的坟墓太小，命令将其扩大一倍。
虽然泰勒斯沿着论证数学的方向迈出了第一步，但希腊数学著 作的评注者主要是将数学中这一新方向的成长归功于毕达哥拉斯 学派。
一般认为，欧几里得《原本》前二卷的大部分材料来源于毕达 哥拉斯学派，包括西方文献中一直以毕达哥拉斯的名字命名勾股定 理。但迄今并没有毕达哥拉斯发现和证明了勾股定理的直接证据。
尽管如此，人们仍然对毕达哥拉斯证明勾股定理的方 法给出了种种猜测，其中最著名的是普鲁塔克（Plutarch, 约46-120）的面积剖分法。
毕达哥拉斯生于靠近小亚细亚西部海岸的萨摩斯岛，曾游历 埃及和巴比伦，可能还到过印度，回希腊后定居于当时的大希腊 (Magna Graecia)，即今意大利东南沿海的克洛托内(Crotone)，并 在那里建立了一个秘密会社，也就是今天所称的毕达哥拉斯学派。 这是一个宗教式的组织。
相传“哲学”（希腊原词φιλοσοφια意为“智力爱好”）和数学 （希腊原词µαθηµατιχα，意为“可学到的知识”）这两个词正是毕 达哥拉斯本人所创。
''
用 DA 和 A B 分别表示这两条移动线段在任一时刻的位置， 那么他们的交点P产生的曲线就是割圆曲线。
希腊波斯战争（公元前492-前449）以后，雅典成为希腊 民主政治与经济文化的中心，希腊数学也随之走向繁荣，学派 林立，主要有： ●伊利亚学派 以居住在意大利南部依利亚(Eles)地方的芝 诺（Zeno,约公元前490-前430）为代表。 ●诡辩学派 活跃于公元前5世纪下半叶的雅典城，主要代 表人 物有希比阿斯（Hippias,约生于公元前460年）、安 提丰（Antiphon,约公元前480-411）等，均以雄辩著称。 ●雅典学院（柏拉图学派） 柏拉图（Plato,公元前427-前 347）曾师从毕达哥拉斯学派的学者，约公元前387年在雅典 创办学院，讲授哲学与数学，形成了自己的学派。 ●亚里士多德学派 亚里士多德（Aristotle,公元前384前322）是柏拉图的学生，公元前335年建立自己的学派。
第二讲 古希腊数学
（3）雅典时期的希腊数学
（1）、古希腊数学的先行者—— 泰勒斯
爱奥尼亚学派创始人
古希腊最早的数学家、哲学家 “希腊七贤”之首
（1）、古希腊数学的先行者—— 泰勒斯
爱奥尼亚学派创始人
古希腊最早的数学家、哲学家 “希腊七贤”之首
泰勒斯最先证明了如下的定理 : 从泰勒斯开始，命题证明成为 1. 两直线相交，对顶角相等。 希腊数学的基本精神。 2.等腰三角形两底角相等。 3.圆被直径二等分。 4.半圆上的圆周角是直角。 ----泰勒斯定理 5.两个三角形全等的边角边定理。
数学的理论化倾向
1、三大几何作图问题：
化圆为方、倍立方、三等分任意角。问题的难处，是作 图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规。 化圆为方: 即作一个与给定的圆面积相等的正方形
安纳萨哥拉斯(约BC.500--BC.428)
希波克拉底：解决了化月牙形为方 安提丰： 首先提出用圆内接正多边形逼近圆面积的方法来化圆 为方。他从圆内接正方形开始，将边数逐次加倍，并一直 进行下去，则随着圆面积的逐渐“穷竭”，将得到一个边 长极其微小的内接正多边形。1882林德曼π的超越性。
黄金分割
正十二面体由正五边形围成。正五边形的作图与著名的 “黄金分割”问题有关。
古典时期的希腊数学
毕 达 哥 拉 斯 学 派
费洛罗斯曾说: “人们所知道的任何事物都包含数。因此，如 果没有数就既不可能表达，也不可能理解任何事物 。”
4、“万物皆数”
仅指整数，分数被看成两个整数之比； 对数进行分类； 定义了完全数（即因数之和等于该数，如6, 28等）、过剩 数（即因数之和大于该数）、不足数（即因数之和小于该 数）、亲和数（即 a 是 b 的因数之和， b 也是 a 的因数之 和，最小的一对亲和数为220和284）等
数学史古希腊数学
几何《原本》第十二卷
▪ 第十二卷主要论述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球等立体的体积定理。 并用穷竭法加以证明。
▪ 命题5 等高三棱锥之比等于它们底之比。 ▪ 命题7 三棱柱可以分成三个彼此相等的三棱锥。 ▪ 命题10 圆锥是同底等高圆柱的三分之一。
欧几里得与几何《原本》
• 《原本》在我国传播 • 1607年徐光启（1562－1633）与意大利传教士利玛窦（M.Ricci，
1552-1610）合译O.Clauvius（1537－1612）校订、增订的拉丁文本 《原本》前6卷。 • 1857年，李善兰（1811－1882）与英国传教士伟烈亚历（A.Wylie， 1815－1887）续译后9卷。
▪ 命题14 同圆内等弦的弦心距相等；弦心距相等则弦相等。 ▪ 命题22 内接于圆的四边形，其对角和是二直角。 ▪ 命题32 直线切于一圆，弦与切线的夹角等于弦所对圆周角。 ▪ 命题35 圆内有相交二弦，其中一弦上所截线段围成的长方形等于
另一弦上所截线段围成的长方形。
几何《原本》第四卷
▪ 第四卷，有16个命题，主要论述圆的内接和外切图形 ▪ 命题12 作已给圆的外切正五边形。 ▪ 命题15 作已给圆的内接正六边形。
▪ 命题2 求不互素数的最大公约数。 ▪ 命题19 四数成比例，则第一、四两数乘积等于第二、三两数乘积，
反之亦然。
几何《原本》第七、八、九卷
▪ 命题35：给出了关于完全数的一个著名定理：若几何
级数（从1开始）一些项之和 1 2 22 2n1是
质数，那么这个和同最末一项的乘积是完全数，即
(1 2 22 2n1 )2n1
古希腊的数学成就
古希腊的数学成就古希腊是一个文明古国，其文化影响远远超出了它的领土范围。
在古希腊的文化中，数学是一门非常重要的学科。
古希腊的数学成就不仅对后世的数学发展产生了巨大的影响，而且对其他领域的发展也产生了重要的影响。
一、古希腊数学的发展历程古希腊数学的起源可以追溯到公元前6世纪。
最早的希腊数学家是毕达哥拉斯，他是毕达哥拉斯学派的创始人。
毕达哥拉斯学派是一个以数学为基础的哲学学派，他们认为数学是宇宙的本质，一切都可以用数学来描述。
毕达哥拉斯学派的成员不仅研究数学，还研究音乐、天文学、哲学等多个领域。
在毕达哥拉斯学派的影响下，古希腊的数学开始迅速发展。
公元前5世纪，古希腊数学家泰勒斯提出了一些重要的数学概念，如点、线、面等。
他还研究了几何学，并提出了一些几何定理，如同角等于同角、同线段等于同线段等。
公元前4世纪，欧多克索斯提出了一些重要的几何定理，如勾股定理、相似三角形定理等。
公元前3世纪，欧几里得出版了《几何原本》，这是古希腊数学的巅峰之作。
《几何原本》是一本详细介绍几何学的书籍，其中包括了许多重要的几何定理和证明方法。
欧几里得的贡献不仅在于他的几何学成就，还在于他的证明方法。
欧几里得的证明方法非常严谨，逻辑清晰，成为了后世证明方法的典范。
二、古希腊数学的主要成就1. 几何学古希腊的数学成就最为突出的就是几何学。
古希腊数学家在几何学方面做出了许多重要的贡献，如点、线、面的概念、勾股定理、相似三角形定理、圆周率的计算等。
这些成就不仅在古希腊时期有着广泛的应用，而且在今天的数学中仍然占有重要的地位。
2. 数论古希腊数学家在数论方面也做出了一些重要的成就。
毕达哥拉斯学派研究了完全数和素数，欧多克索斯研究了连续整数的和，欧几里得研究了最大公约数和最小公倍数等。
这些成就为后世数论的发展奠定了基础。
3. 数学哲学古希腊数学家不仅研究数学本身，还研究数学的哲学问题。
毕达哥拉斯学派认为数学是宇宙的本质，数学是神学的基础。
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古代希腊数学
1.古希腊数学的时间
希腊数学一般指从公元前600年至公元400年间
2. 古希腊数学的三个阶段
古典时期的希腊数学（以雅典为中心，公元前600-前339）----哲学盛行、学派林立、名家百出
亚历山大学派时期（以亚历山大里亚为中心，黄金时代，公元前338-前30）----希腊数学的顶峰时期，代表人物：欧几里得，阿基米德，阿波罗尼奥斯
希腊数学的衰落（公元前30-公元前400）----罗马帝国的建立，唯理的希腊文明被务实的罗马文明代替
3.爱奥尼亚学派（米利都学派）
泰勒斯(约公元前625-前547年)----第一位数学家、论证几何学鼻祖
数学贡献：论证数学的开创者
证明的数学定理：1、“圆的直径将圆分成两个相等的部分”
2、“等腰三角形两底角相等”
3、“两相交直线形成的对顶角相等”
4、“两角夹一边分别相等的三角形全等”
泰勒斯定理:半圆上的圆周角是直角
4.毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯（约公元前560-前480）
数的理论：万物皆数
自然数的分类（奇数、偶数、质数、合数、完全数、亲和数）
形数（完全三角形数、正方形数）
不可公度
几何学：基本上建立了所有的直线形理论，包括三角形全等定理、平行线理论、三角形的内角和定理、相似理论等。
毕达哥拉斯定理：在任何直角三角形中，斜边上正方形等于两个直角边上的正
方形之和。
（数学中第一个真正重要的定理。
）
五角星形与黄金分割
立体几何（正多面体作图）三维空间中仅有五种正多面体：正四面体、正六面
体、正八面体、正十二面体、正二十面体。
5.伊利亚学派
芝诺（约公元前490-约前425年）
芝诺悖论：两分法，及运动不存在
阿基里斯追不上乌龟
飞箭不动
6.诡辩学派
希比亚斯、安提丰
古典几何三大作图问题：三等分角：即分任意角为三等分。
化圆为方：即作一个与给定的圆面积相等的正方形。
倍立方: 即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。
7.柏拉图学派
柏拉图（约公元前427-前347年）----充当其他人的启发者和指导者
8.亚里士多德学派
亚里士多德（前384—前322年）
亚里士多德三段论、建立了形式逻辑、矛盾律、排中律
9.欧几里得（约公元前330年—前275年）与《几何原本》
《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设，发展欧几里得几何，欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品,是几何学的奠基。
用公理法对当时的数学知识作了系统化、理论化的总结。
全书共分13卷，包括5条公理，5条公设，119个定义和465个命题，构成了历史上第一个数学公理体系。
5条公理：1 等于同量的量彼此相等.
2 等量加等量，和相等.
3 等量减等量，差相等.
4 彼此重合的图形是全等的.
5 整体大于部分.
5条公设：1、假定从一点到任意一点可作一直线
2、一条有限直线可不断延长
3、以任意中心和直径可以画圆
4、凡直角都彼此相等
5、若一直线在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把直线无限延长，他们将在
同旁内角和小于两直角的一侧相交。
“欧几里得法则“：计算两数最大公约数的方法
用归谬法证明了“质数有无穷多个”
10.阿基米德(公元前287-前212年)
最大功绩：圆的度量
将穷竭法应用于圆的周长和面积公式。
发明了求面积和体积的“平衡法”，求出面积或体积后再用“穷竭法”加以证明。
系统地研究了物体的重心和杠杆原理。
发现了浮力定律，也就是有名的阿基米德定律
确定了抛物线弓形、螺线、圆形的面积以及椭球体、抛物面体等各种复杂几何体的表面积和体积的计算方法。
提出了著名的阿基米德公理
作为数学家，他写出了《数沙器》、《论球和圆柱》、《圆的度量》、《抛物线求积法》、《论螺线》、《论锥体和球体》、《沙的计算》等数学著作
作为力学家，他着有《论图形的平衡》、《论浮体》、《论杠杆》、《原理》等力学著作。
11.阿波罗尼奥斯与《圆锥曲线论》(约公元前262-前190年)
创立了相当完美的圆锥曲线理论，编著《圆锥曲线论》。
全书共8卷，含487个命题。
12.丢番图
第一次系统的提出了代数符号
以高超的技巧解不定方程
丢番图（Diophantus）的《算术》用纯分析的途径处理数论与代数问题（包括不定方程）
13.托勒密
托勒密定理（圆内接四边形中，两条对角线长的乘积等于两对对边长乘积之和）
写出八卷本的《大综合论》（又译《天文学大成》，简称《大成》），详细论述了太阳系和宇宙以地球为中心的学说。
14. 希帕蒂娅约公元370-415
注释过阿基米德、阿比罗尼奥斯和丢番图的著作。