古代希腊数学 黄金时代
古希腊数学
古代希腊数学1.古希腊数学的时间希腊数学一般指从公元前600年至公元400年间2. 古希腊数学的三个阶段古典时期的希腊数学（以雅典为中心，公元前600-前339）----哲学盛行、学派林立、名家百出亚历山大学派时期（以亚历山大里亚为中心，黄金时代，公元前338-前30）----希腊数学的顶峰时期，代表人物：欧几里得，阿基米德，阿波罗尼奥斯希腊数学的衰落（公元前30-公元前400）----罗马帝国的建立，唯理的希腊文明被务实的罗马文明代替3.爱奥尼亚学派（米利都学派）泰勒斯(约公元前625-前547年)----第一位数学家、论证几何学鼻祖数学贡献：论证数学的开创者证明的数学定理：1、“圆的直径将圆分成两个相等的部分”2、“等腰三角形两底角相等”3、“两相交直线形成的对顶角相等”4、“两角夹一边分别相等的三角形全等”泰勒斯定理:半圆上的圆周角是直角4.毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯（约公元前560-前480）数的理论：万物皆数自然数的分类（奇数、偶数、质数、合数、完全数、亲和数）形数（完全三角形数、正方形数）不可公度几何学：基本上建立了所有的直线形理论，包括三角形全等定理、平行线理论、三角形的内角和定理、相似理论等。
毕达哥拉斯定理：在任何直角三角形中，斜边上正方形等于两个直角边上的正方形之和。
（数学中第一个真正重要的定理。
）五角星形与黄金分割立体几何（正多面体作图）三维空间中仅有五种正多面体：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。
5.伊利亚学派芝诺（约公元前490-约前425年）芝诺悖论：两分法，及运动不存在阿基里斯追不上乌龟飞箭不动6.诡辩学派希比亚斯、安提丰古典几何三大作图问题：三等分角：即分任意角为三等分。
化圆为方：即作一个与给定的圆面积相等的正方形。
倍立方: 即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。
7.柏拉图学派柏拉图（约公元前427-前347年）----充当其他人的启发者和指导者8.亚里士多德学派亚里士多德（前384—前322年）亚里士多德三段论、建立了形式逻辑、矛盾律、排中律9.欧几里得（约公元前330年—前275年）与《几何原本》《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设，发展欧几里得几何，欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品,是几何学的奠基。
第二章 古代希腊数学
上述诸派多以哲学探讨为主，但他们的研究活动极大地加强 了希腊数学的理论化色彩，主要表现在以下几个方面。
（一）三大几何问题
古希腊三大著名几何问题是： ⊙化圆为方，即作一个与给定的圆面积相等的正方形。 ⊙倍立方体，即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。 ⊙三等分角，即分任意角为三等分。
三大几何问题的起源涉及一些古老的传说。如 倍立方体问题：说神话中的米诺斯王(King Minos)嫌儿子格劳 卡斯(Glaucus)为他建造的坟墓太小，命令将其扩大一倍。
虽然泰勒斯沿着论证数学的方向迈出了第一步，但希腊数学著 作的评注者主要是将数学中这一新方向的成长归功于毕达哥拉斯 学派。
一般认为，欧几里得《原本》前二卷的大部分材料来源于毕达 哥拉斯学派，包括西方文献中一直以毕达哥拉斯的名字命名勾股定 理。但迄今并没有毕达哥拉斯发现和证明了勾股定理的直接证据。
尽管如此，人们仍然对毕达哥拉斯证明勾股定理的方 法给出了种种猜测，其中最著名的是普鲁塔克（Plutarch, 约46-120）的面积剖分法。
毕达哥拉斯生于靠近小亚细亚西部海岸的萨摩斯岛，曾游历 埃及和巴比伦，可能还到过印度，回希腊后定居于当时的大希腊 (Magna Graecia)，即今意大利东南沿海的克洛托内(Crotone)，并 在那里建立了一个秘密会社，也就是今天所称的毕达哥拉斯学派。 这是一个宗教式的组织。
相传“哲学”（希腊原词φιλοσοφια意为“智力爱好”）和数学 （希腊原词µαθηµατιχα，意为“可学到的知识”）这两个词正是毕 达哥拉斯本人所创。
''
用 DA 和 A B 分别表示这两条移动线段在任一时刻的位置， 那么他们的交点P产生的曲线就是割圆曲线。
希腊波斯战争（公元前492-前449）以后，雅典成为希腊 民主政治与经济文化的中心，希腊数学也随之走向繁荣，学派 林立，主要有： ●伊利亚学派 以居住在意大利南部依利亚(Eles)地方的芝 诺（Zeno,约公元前490-前430）为代表。 ●诡辩学派 活跃于公元前5世纪下半叶的雅典城，主要代 表人 物有希比阿斯（Hippias,约生于公元前460年）、安 提丰（Antiphon,约公元前480-411）等，均以雄辩著称。 ●雅典学院（柏拉图学派） 柏拉图（Plato,公元前427-前 347）曾师从毕达哥拉斯学派的学者，约公元前387年在雅典 创办学院，讲授哲学与数学，形成了自己的学派。 ●亚里士多德学派 亚里士多德（Aristotle,公元前384前322）是柏拉图的学生，公元前335年建立自己的学派。
浅谈学习古希腊数学的发展
名的柏拉图学园，培养了一大批数学家， 图 (Diophantus) 和帕波斯 (Pappus)。丢番
成为早期毕氏学派和后来长期活跃的亚 图的代数学在希腊数学中独树一帜 ；帕
历山大学派之间联系的纽带。欧多克斯 波斯的工作是前期学者研究成果的总结
(Eudoxus) 是该学园最著名的人物之一， 和补充。之后，希腊数学处于停滞状态。
步。正因为三大问题不能用标尺解出，
后期
往往使研究者闯入未知的领域中，作出
亚历山大后期是在罗马人统治下的
新的发现 ：圆锥曲线就是最典型的例 时期，幸好希腊的文化传统未被破坏，
子 ；「化圆为方」问题亦导致了圆周率 学者还可继续研究，然而已没有前期那
和穷竭法的探讨。
种磅礴的气势。这时期出色的数学家有
哲学家柏拉图 (Plato) 在雅典创办著 海 伦 (Heron)、 托 勒 密 (Plolemy)、 丢 番
这一时期始于泰勒斯 (Thales) 为首 的伊奥尼亚学派 (Ionians)，其贡献在于 开创了命题的证明，为建立几何的演绎 体系迈出了第一步。稍后有毕达哥拉斯 (Pythagoras) 领导的学派，这是一个带有 神秘色彩的政治、宗教、哲学团体，以「万 物皆数」作为信条，将数学理论从具体 的事物中抽象出来，予数学以特殊独立 的地位。公元前 480 年以后，雅典成为 希腊的政治、文化中心，各种学术思想 在雅典争奇斗妍，演说和辩论时有所见， 在这种气氛下，数学开始从个别学派闭 塞的围墙里跳出来，来到更广阔的天地 里。
他创立了同时适用于可通约量及不可通
公元 415 年，女数学家，新柏拉图
约量的比例理论。柏拉图的学生亚里 学派的领袖希帕提娅 (Hypatia) 遭到基督
士多德 (Aristotle) 是形式主义的奠基者， 徒的野蛮杀害。她的死标志着希腊文明
西方数学发展史
西方数学发展史以下是各个时期的简要概述：1.古希腊数学（公元前600年-公元500年）：o古典希腊时期是西方数学的黄金时代，伊奥尼亚学派的泰勒斯、毕达哥拉斯学派对数论和几何有重大贡献，比如毕达哥拉斯定理。
o欧几里得编写了《几何原本》，奠定了欧氏几何的基础，包括公理化方法。
o阿基米德在静力学与浮力原理、圆周率的计算等方面做出了杰出成就。
o阿波罗尼奥斯对圆锥曲线的研究也对后世产生了深远影响。
2.中世纪数学（公元500年-1500年）：o在中世纪早期，欧洲数学的发展相对缓慢，但阿拉伯世界翻译并注解了大量的希腊数学著作，使得数学知识得以传承。
o中世纪晚期，欧洲开始出现复兴迹象，斐波那契的著作《算盘书》对商业计算和数学教育有着重要推动作用，他著名的“斐波那契数列”成为数论研究的一个经典课题。
3.文艺复兴与近代数学（1500年-1700年）：o文艺复兴时期，科学和艺术的繁荣带动了数学的发展。
笛卡尔发明了解析几何，将代数方法应用于几何问题，开辟了新的数学领域。
o帕斯卡和费马分别在概率论和数论方面做出了开创性的工作，如帕斯卡定律和费马大定理。
o牛顿和莱布尼茨独立发明了微积分，这是数学史上的一个里程碑事件，为后续物理学和其他学科提供了强大的工具。
4.18世纪到现代数学（1700年至今）：o18世纪启蒙时代的数学家如欧拉、拉格朗日和高斯等人在分析学、数论、代数学等领域取得了众多突破。
o19世纪初，随着非欧几何的发现（如黎曼几何），数学逐渐脱离了纯粹直观和经验的束缚，更加抽象和严谨。
o近代数学分支繁多，群论、拓扑学、集合论、逻辑学等新兴领域纷纷崛起，计算机科学的发展也促进了离散数学和计算数学的繁荣。
5.19世纪：o伽罗华提出了群论，为代数学开辟了新的研究方向，解决了根式解代数方程的可能性问题。
o库默尔在数论中引入理想数概念，发展了解析数论的雏形。
o戴德金和康托尔分别在实数理论与集合论方面取得了革命性进展，其中康托尔创立了现代无限集合论，并提出了著名的连续统假设。
数学史古希腊数学
几何《原本》第十二卷
▪ 第十二卷主要论述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球等立体的体积定理。 并用穷竭法加以证明。
▪ 命题5 等高三棱锥之比等于它们底之比。 ▪ 命题7 三棱柱可以分成三个彼此相等的三棱锥。 ▪ 命题10 圆锥是同底等高圆柱的三分之一。
欧几里得与几何《原本》
• 《原本》在我国传播 • 1607年徐光启（1562－1633）与意大利传教士利玛窦（M.Ricci，
1552-1610）合译O.Clauvius（1537－1612）校订、增订的拉丁文本 《原本》前6卷。 • 1857年，李善兰（1811－1882）与英国传教士伟烈亚历（A.Wylie， 1815－1887）续译后9卷。
▪ 命题14 同圆内等弦的弦心距相等；弦心距相等则弦相等。 ▪ 命题22 内接于圆的四边形，其对角和是二直角。 ▪ 命题32 直线切于一圆，弦与切线的夹角等于弦所对圆周角。 ▪ 命题35 圆内有相交二弦，其中一弦上所截线段围成的长方形等于
另一弦上所截线段围成的长方形。
几何《原本》第四卷
▪ 第四卷，有16个命题，主要论述圆的内接和外切图形 ▪ 命题12 作已给圆的外切正五边形。 ▪ 命题15 作已给圆的内接正六边形。
▪ 命题2 求不互素数的最大公约数。 ▪ 命题19 四数成比例，则第一、四两数乘积等于第二、三两数乘积，
反之亦然。
几何《原本》第七、八、九卷
▪ 命题35：给出了关于完全数的一个著名定理：若几何
级数（从1开始）一些项之和 1 2 22 2n1是
质数，那么这个和同最末一项的乘积是完全数，即
(1 2 22 2n1 )2n1
古代希腊的数学
数学史----古代希腊的数学古代希腊的数学，自公元前600年左右开始，到公元 641年为止共持续了近 1300年。
前期始于公元前 600年，终于公元336 年希腊被并入马其顿帝国，活动范围主要集中在驱典附近;后期则起自亚历山大大帝时期，活动地点在亚历山大利亚;公元641年亚历山大城被阿拉伯人占领，压力上大图书馆为回教徒彻底烧毁，古希腊文明时代宣告终结。
虽然自小我们就在教科书上看到类似这样的文字“刘徽、祖冲之的发现比国外要早几百年”，但是事实中国的数学成果较古希腊为迟。
古希腊数学“为科学而科学”的求知传统与中国古代数学实用主义传统有很大区别: 希腊人将数学抽象化，使之成为一种科学，具有不可估量的意义和价值。
希腊人坚持使用演绎证明，认识到只有用勿容置疑的演绎推理法才能获得真理。
要获得真理就必须从真理出发，不能把靠不住的事实当作已知。
从《几何原本》中的10个公理出发，可以得到相当多的定理和命题。
希腊人在数学内容方面的贡献主要是创立平面几何、立体几何、平面与球面三角、数论，推广了算术和代数，但只是初步的，尚有不足乃至错误。
希腊人重视数学在美学上的意义，认为数学是一种美，是和谐、简单、明确以及有秩序的艺术。
希腊人认为在数学中可以看到关于宇宙结构和设计的最终真理，使数学与自然界紧密联系起来，并认为宇宙是按数学规律设计的，并且能被人们所认识的。
古希腊数学的经典之作是 Euclid《原本》。
亚历山大前期大数学家欧几里得完成了具有划时代意义工作——把以实验和观察而建立起来的经验科学，过渡为演绎的科学，把逻辑证明系统地引入数学中，Euclid《原本》中所采用公理、定理都是经过细致斟酌、筛选而成，并按照严谨的科学体系进行内容的编排，使之系统化、理论化。
Euclid 《原本》最主要的特色是建立了比较严格的几何体系，在这个体系中有四方面主要内容，定义、公理、公设、命题。
Euclid《几何原本》第一卷列有 23 个定义、5条公理、5 条公设。
数学史第2章
❖ 毕达哥拉斯学派关于“形数”的研究，强烈地
反映了他们将数作为几何思维元素的精神。
三角形数
N
123n
n(n 1) 2
正方形数 N 1 3 5 7 (2n 1) n2
五边形数 N
1 4 7 (3n 2)
n(3n 1)
2
六边形数 N 1 5 9 (4n 3) n(2n 1)
任意角问题不能用尺规作图来解决，接着德国数学家林 德曼于1882年又证明了π的超越性，因而否定了用尺规 化圆为方的可能性，这三大问题才彻底得以解决。
2.1.4 柏拉图学派
❖ 柏拉图（Plato，公元前427——347年） 是古希腊哲学家和教育家，出生于雅典 的贵族家庭。公元前407年，柏拉图20 岁时曾拜年逾六旬的苏格拉底为师。他 是苏格拉底最杰出的学生，深受苏格拉 底逻辑思想的影响。不过，苏格拉底的 主要兴趣是国家，以及如何更好地为国 家服务，数学对他的吸引力极小。与此 相反，柏拉图对伦理学和政治性的问题 兴趣不大。
2.1.3 芝诺悖论与巧辩学派
❖ 最早研究化圆为方问题的是安纳萨哥拉斯。 ❖ 公元前5世纪下半叶开奥斯的希波克拉底（Hippociates
of Chios）解决了与化圆为方有关的化月牙形为方。
2.1.3 芝诺悖论与巧辩学派
❖ 2000多年来，三大问题的研究，花费了人们的大量心血。 ❖ 1831年，法国数学家万采尔首先证明倍立方体和三等分
❖ 在其老师苏格拉底逻辑思想的影响下，柏拉图还明确提 出了数学的演绎证明应遵循的逻辑规则。柏拉图明确提 出，数学证明是以某些自明的假设即公理作为出发点， 然后经过一系列严格的逻辑推理，他称之为“假设法”。 显然这正是公理化方法的开端，对于欧几里得几何学的 公理演绎系统和推进希腊数学的发展具有极为重要的意 义。
数学的发展历程
数学的发展历程数学作为一门科学，其发展历程可以追溯到远古时期。
在各种文明的发展过程中，人类逐渐开始意识到数的重要性，并开始进行一些简单的数学运算。
然而，真正意义上的数学发展可以追溯到古希腊时期。
古希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）是数学发展的重要推动者。
他提出了著名的毕达哥拉斯定理，在几何学中起到了举足轻重的作用。
毕达哥拉斯学派的学生们还对其他几何形状以及数的概念进行了探索，为几何学的发展奠定了基础。
在欧洲中世纪时期，数学的发展得到了进一步推动。
尤斯图斯·凯勒（Eustathius Keler）和约翰尼斯·雷吉奥蒙图阿纳（Johannes Regiomontanus）等数学家开始系统地研究代数学和几何学，并进行了一些重要的发现。
这一时期也出现了元代数学以及三角学的重大进展。
到了16世纪，伽利略·伽利雷（Galileo Galilei）和约翰·几内（Johannes Kepler）等科学家开始使用数学来描述物理世界。
伽利略在力学方面的研究，以及几内在天体运动的研究，标志着数学与自然科学的融合。
伽利略和几内的贡献使得数学的发展开始与实际应用相结合。
17世纪数学的发展进入到一个新的阶段，这个时期被称为数学的黄金时代。
伽利略的学生兼数学家恩斯特·费尔马（Pierre de Fermat）提出了著名的“费马大定理”，这个问题一直困扰了世界顶级数学家近400年，直到20世纪才由安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）得到了解答。
该定理的解答标志着代数数论的发展进入了一个新的阶段。
18世纪是数学发展的另一个重要阶段。
欧拉（Leonhard Euler）、拉格朗日（Joseph Louis Lagrange）和拉普拉斯（Pierre Simon Laplace）等数学家对微积分和解析几何进行了深入研究。
欧拉的贡献在数学领域受到广泛认可，他不仅在微积分学和解析几何学方面做出了重要发现，还在数论和图论方面做出了创造性的贡献。
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①开创计算π值的古典方法，利用内接和外切正多边形逼近，求得3(10/71)＜π＜3(1/7)。
②证明圆面积等于以圆周长为底、半径为高的三角形的面积。
③证明任何直线截抛物线所得弓形面积等于同底等高的三角形面积的4/3。
④定义了螺线ρ=aΦ，并证明螺线第一圈与初始线所围成的面积等于半径为2πa的圆面积的1/3。
欧几里得是一位勤奋的学者，他以满腔热情将以雅典为代表的希腊数学成果，运用欧多克索斯曾经部分采用过的严密的逻辑方法重新编纂成书。
为此，他首先收集、整理已有的数学成果，以命题的形式作出表述，完善前人的各种定理并给予重新证明，使其达到无懈可击的地步。
然后，他作出了自己的伟大创造：对定义进行筛选，选择出具有重要意义的公理，逻辑地、严密地按演绎方式组织命题及其证明，最后形成了具有公理化结构和严密逻辑体系的《几何原本》。它是在公元前300年左右完成的。
⑤椭圆与圆的面积之比等于椭圆长短轴之积与圆半径平方之比。
在立体几何方面的主要贡献：
①球表面积等于大圆面积的4倍。
②圆的外切圆柱体的体积是球体积的3/2，其表面积也是球表面积的3/2。
③任一正圆柱侧面积等于以圆柱高与底面直径的比例中项为半径的圆面积。
④任一圆锥的表面积等于以圆锥母线与底面半径的比例中项为半径的圆面积。
这个就是很有名的阿基米德螺线。总的来说我很喜欢阿基米德这个人。
⑵等量加等量，其和相等。
⑶等量减等量，其差相等。
⑷彼此重合的东西是相等的。
⑸整体大于部分。
欧几里得以这些基本定义、公设和公理作为全书推理的出发点。其后用48个命题讨论了关于直线和由直线构成的平面图形的几何学，内容涉及三角形、垂直、平行、平行四边形和正方形，最后两个命题给出了勾股定理及其逆定理的证明。
公元前323年，亚历山大病逝，其帝国被部将分割为安拉哥拉（欧洲部分），塞流卡斯（亚洲部分）和托勒密（埃及部分）三个王国，历史上称之为希腊化国家，希腊数学从此进入亚历山大时期。
欧几里得出生于雅典，曾受教于柏拉图学园，他是希腊论证几何学的集大成者。雅典衰落后，应托勒密国王的邀请，来亚历山大城主持数学学派的工作，他是亚历山大学派的奠基人。
阿基米德出生于意大利西西里岛的叙拉古。他的父亲是天文学家。母亲出生于名门望族，且知书达理。青年时代的阿基米德曾到号称“智慧之都”的亚历山大城求学，当时亚历山大的学术空气较为自由，学生们可以自由地选择内容听讲并参加讨论和研究。
在亚历山大期间，阿基米德系统地阅读了欧几里得的《几何原本》，研究了古希腊时期巧辩学派代表人物的著作及安提丰等人关于三大几何问题讨论的种种方法，特别是安提丰和欧多克索斯的穷竭法对阿基米德影响最为深刻，以至后来发展成为他处理无限问题的基本工具。阿基米德学成后返回故乡，并一直住在叙拉古。他是亚历山大学派最杰出的代表。
⑤球冠侧面积等于以其大圆弧所对弦长为半径的圆面积。
⑥椭圆、抛物线和双曲线绕轴旋转而生成的旋转体体积公式。
此外，阿基米德还研究了等比级数求和公式、大数的记数法等等。
这是阿基米德用杠杆原理求二次幂和公式。
他说：
“只要给我一个可靠的支点，我可以移动地球。”
当然，这个是不可能的~
阿基米德用力学方法探索数学结论的基本思想是：为了找出所求图形的面积和体积，可将它分成很多窄的平行条和厚的平行层，接着，将这些条或层挂在杠杆的一端，使它平衡于体积的重心为已知的图形，利用杠杆平衡原理及已知图形的面积、体积，便可探求出未知图形的面积和体积来。
古代希腊数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ黄金时代
希腊世界的雅典、巴斯达等国在经历了多次战争而逐渐衰落的时候，北方新兴的马其顿国在其国王腓力二世的率领下，开始了征服世界的进程。在征服希腊各城邦后两年，腓力二世遇刺去世，其子亚历山大（公元前336年——公元前323年在位）继位，从公元前334年起，亚历山大举兵东征，建立了一个空前庞大的帝国。
公元前212年，罗马人其统帅马塞露斯的率领下围攻叙拉古，由于叛徒出卖，罗马人趁叙拉古人庆祝女神节的狂欢之夜，攻占了城市，阿基米德死于士兵剑下，临死前他还在思考几何问题。据说曾下令勿杀阿基米德的马塞露斯事后特意为他建墓，并按照他的遗愿将死者最引以自豪的数学发现的象征图形——球及外切圆柱刻在了墓碑上。
阿基米德的数学著作流传至今的，按时间顺序，依次为：《抛物线的求积》，《论球和圆柱》、《论劈锥曲面体和球体》、《圆之度量》、《沙粒计》，这些论著无一不是数学创造的杰出之作，正如英国数学史家希思所指出的，这些论著“无一例外地都被看作是数学论文的纪念碑。解题步骤的循循善诱，命题次序的巧妙安排，严格摈弃叙述的枝节及对整体的修饰润色，总之，给人的完美印象是如此之深，使读者油然而生敬畏的感情。”
他的《几何原本》：五条公设：
⑴从任一点到任一点作直线（是可能的）。
⑵将有限直线不断沿直线延长（是可能的）。
⑶以任一点为中心与任一距离为半径作一圆（是可能的）。
⑷所有直角是相等的。
⑸若一直线与两条直线相交，且同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。
五个公理：
⑴与同一东西相等的一些东西彼此相等。