第二讲：古代希腊数学
希
亚历山大时期：公元前323年－前30年 马其顿帝国：前6世纪－前323年（前337年希腊 各城邦承认马其顿的霸主地位，前334－前323亚历山大东征）
腊
化
亚历山大后期：公元前30年－公元640年 前48－前30年凯撒、屋大维侵占埃及
时
期
公元640年阿拉伯人焚毁亚历山大城藏书
公元330君士坦丁大帝迁都拜占廷
罗马帝国：公元前27年－公元395年
西罗马帝国：公元395年－公元476年 东罗马帝国：公元395年－公元1453年
（610年改称拜占廷帝国）
1 古典时期的希腊数学 (公元前600-前300年)
古典时期的希腊数学
(
爱
哲学：万物源于水
奥
尼 亚
创数学命题逻辑证明之先河
学
派
泰勒斯定理
米 利
▪ 圆的直径将圆分为两个相等的部分.
掷 铁 饼 者 米 隆 约 前 年
( , 450 )
古典时期的希腊数学
伊
利
亚
学
芝诺悖论：运动不存在
派
位移事物在达到目的地
之前必须先抵达一半处，
即不可能在有限的时间内
通过无限多个点。
芝诺 (约公元前490-前430年)
古典时期的希腊数学
伊 利 亚 学 派
芝诺悖论: 阿基里斯
古典时期的希腊数学
伊 利 亚 学 派
希腊化时期的数学
《天文学大成》
第一、二卷：地心体系的基本轮廓 第三卷：太阳运动 第四卷：月亮运动 第五卷：计算月地距离和日地距离 第六卷：日食和月食的计算 第七、八卷：恒星和岁差现象 第九－十三卷：分别讨论五大行星的运 动，本轮和均轮的组合在这里得到运用
托勒密（埃及，90－165年）
思想的来源
希腊化时期的数学
• 5公理
1. 等于同量的量彼此相等. 2. 等量加等量, 和相等. 3. 等量减等量, 差相等. 4. 彼此重合的图形是全等的. 5. 整体大于部分.
• 5公设
1. 假定从任意一点到任意一点可作一直线. 2. 一条有限直线可不断延长. 3. 以任意中心和直径可以画圆. 4. 凡直角都彼此相等. 5. 若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小 于两直角, 那么把两直线无限延长, 它们都在同旁内 角和小于两直角的一侧相交.
希腊化时期的数学
数学之神
“给我一个支点，我 就可以移动地球。”
阿基米德 (公元前287-前212年)
希腊化时期的数学
阿基米德(公元前287－前212年) (希腊, 1983)
用穷竭法计算 平面图形面积
希腊化时期的数学
阿基米德之死
希腊化时期的数学
《圆锥曲线》
8卷，487个命题
克莱因（美，1908－1992）：它是这样一座 巍然屹立的丰碑，以致后代学者至少从几何上 几乎不能再对这个问题有新的发言权。这确实 可以看成是古希腊几何的登峰造极之作。
吕
园 学
用于数学推理
派
矛盾律、排中律
亚里士多德
(公元前384-前322年)
)
希腊化时期的数学
2 亚历山大时期 (公元前300-前30年)
希腊化时期的数学
亚历山大时期：希腊数学黄金时代
亚历山大（匈牙利, 1980）
希腊化时期的数学
•《原本》（Στοιχετα）
• 13卷
• 5条公理、5条公设 • 119条定义和 465条命题
希腊化时期的数学
托勒密的本轮－均轮模型
希腊化时期的数学
丢番图的《算术》 (公元200-284年)
希腊化时期的数学
丢番图的墓志铭
五年之后天赐贵子， 可怜迟到的宁馨儿，
坟中安葬着丢番图， 多么令人惊讶， 它忠实地记录了所经历的道路。 上帝给予的童年占六分之一，
享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。 悲伤只有用数论的研究去弥补， 又过四年， 他也走完了人生的旅途。
欧几里得 (公元前325-前265年)
• “几何无王者之道”
希腊化时期的数学
《原本》
• 第一卷：直边形，全等、平行公理、毕达哥拉斯定理、初等 作图法等
• 第二卷：几何方法解代数问题，求面积、体积 • 第三、四卷：圆、弦、切线、圆的内接、外切 • 第五、六卷：比例论与相似形 • 第七、八、九、十卷：数论 • 第十一、十二、十三卷：立体几何，包括穷竭法，是微积分
μαθηματια
古典时期的希腊数学
毕
达
哥
完全数
拉
斯
学 派
亲和数
不可公度量
毕达哥拉斯定理 （希腊，1955）
古典时期的希腊数学
毕 达 哥 拉 斯 学 派
古典时期的希腊数学
雅典时期：开创演绎数学
帕提农神庙(前447－前432年）
古典时期的希腊数学
帕提农神庙(前447－前432年）
古典时期的希腊数学
都
▪ 等腰三角形两底角相等.
学
派
▪ 两相交直线形成的对顶角相等.
泰勒斯
▪ 如果一个三角形有两角、一边分别
与另一个三角形的对应角、边相等, 那 么这两个三角形全等.
(约公元前625-前547年)
▪ 半圆上的圆周角是直角.
)
古典时期的希腊数学
毕 达 哥 拉 斯 学 派
毕达哥拉斯 (约公元前560-前480年)
学
派
柏拉图 (约公元前427-前347年)
古典时期的希腊数学
柏 拉 图 学 派
雅典学院(公元前387－公元529年)
古典时期的希腊数学
古希腊最著名的哲学家、科学家
亚里士多德(公元前384－前322年)（乌拉圭, 1996）
古典时期的希腊数学
(
亚
里 士
“吾爱吾师，
多 德
吾尤爱真理”
学
派
形式逻辑方法
第二讲
古代希腊数学
论证数学的发端 亚历山大学派 希腊数学的衰落
古希腊的变迁
爱奥尼亚时期：公元前11世纪－前6世纪
波希战争（前499－前449）
希 腊
公元前11世纪－前9世纪：希腊各部落进入爱琴地区
时
期
公元前9－前6世纪：希腊各城邦先后形成
雅典时期：公元前6－前3世纪
伯罗奔尼撒战争（前431－前404）
芝诺悖论: 飞矢不动
古典时期的希腊数学
(
诡
辩 学
古典几何三大作图问题
派
智 人 学 派
)
三等分任意角
化圆为方
倍立方
(
古典时期的希腊数学
诡 辩 学 派 智 人 学 派
安蒂丰(约公元前480－前411年)的穷竭法 林德曼（德，1852－1939年）
)
古典时期的希腊数学
柏
打开宇宙之迷的钥匙是
拉 图
数与几何图形
阿波罗尼奥斯
贝尔纳（英，1901－1971）：他的工作如此 的完备，所以几乎二千年后，开普勒和牛顿可
以原封不动地搬用，来推导行星轨道的性质。
(约公元前262-前190年)
希腊化时期的数学
古罗马斗兽场 (建于公元70-82年)
希腊化时期的数学
希腊化时期的数学
3 亚历山大后期 (公元前30-公元600年)
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希腊数学的先行者课件人教新课标(3)
2
第二讲 古代希腊数学
论证数学的发端
泰勒斯与毕达哥拉斯 雅典时期的希腊数学
黄金时代——亚历山大学派
欧几里得与几何《本来》 阿基米德的数学成绩 阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论
亚历山大后期和希腊数学的衰落
3
一、希腊数学的先行者 ——泰勒斯
希腊数学先后出现过许 多数学学派，其中最早 的一个学派叫做伊奥尼 亚学派.其首创人为秦 勒斯（Thales，约公元 前625一约前547）他 是现在所知的古希腊最 早的数学家、哲学家， 是古希腊数学的先行者。
多数学者认为该次日食产生在公元前585年5月28日下 午3时。
6
秦勒斯另一项令人津津乐道的事迹是他在埃及 时，测定了金字塔的塔高.
7
泰勒斯在数学方面划时代的、影响最深远的贡献是引人命题 证明的思想.命题的证明，就是借助一些公理或真实性业已确 定的命题来论证某一命题真实性的思想过程.它标志着人类对 客观事物的认识已经从实践上升到理论.这是数学史上一次不 平常的飞跃.正是因为有了逻辑证明，数学命题的正确性得到 保证，数学理论才能立于不败之地：次高潮，
1
第二讲 古代希腊数学
希腊数学一般指从公元前600年至公元600年间，活动于希腊 半岛、爱琴海区域、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、 小亚细亚以及非洲北部的数学家们创造的数学。
海滨移民具有两大优势： 第一，他们具有典型的开辟精神，对于所接触的事物，不愿
因袭传统； 其次，他们身处与两大河谷毗邻之地，易于汲取那里的文化。
到揭示。数学的结构体系才能建立，数学的进一步发展才有 基础。从泰泰勒斯开始，命题证明成为希腊数学的基本精神。
2007年9月
古代希腊数学
8
谢谢观赏！
2007年9月
第二讲 古代希腊数学
论证数学的发端
泰勒斯与毕达哥拉斯 雅典时期的希腊数学
黄金时代——亚历山大学派
欧几里得与几何《本来》 阿基米德的数学成绩 阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论
亚历山大后期和希腊数学的衰落
3
一、希腊数学的先行者 ——泰勒斯
希腊数学先后出现过许 多数学学派，其中最早 的一个学派叫做伊奥尼 亚学派.其首创人为秦 勒斯（Thales，约公元 前625一约前547）他 是现在所知的古希腊最 早的数学家、哲学家， 是古希腊数学的先行者。
多数学者认为该次日食产生在公元前585年5月28日下 午3时。
6
秦勒斯另一项令人津津乐道的事迹是他在埃及 时，测定了金字塔的塔高.
7
泰勒斯在数学方面划时代的、影响最深远的贡献是引人命题 证明的思想.命题的证明，就是借助一些公理或真实性业已确 定的命题来论证某一命题真实性的思想过程.它标志着人类对 客观事物的认识已经从实践上升到理论.这是数学史上一次不 平常的飞跃.正是因为有了逻辑证明，数学命题的正确性得到 保证，数学理论才能立于不败之地：次高潮，
1
第二讲 古代希腊数学
希腊数学一般指从公元前600年至公元600年间，活动于希腊 半岛、爱琴海区域、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、 小亚细亚以及非洲北部的数学家们创造的数学。
海滨移民具有两大优势： 第一，他们具有典型的开辟精神，对于所接触的事物，不愿
因袭传统； 其次，他们身处与两大河谷毗邻之地，易于汲取那里的文化。
到揭示。数学的结构体系才能建立，数学的进一步发展才有 基础。从泰泰勒斯开始，命题证明成为希腊数学的基本精神。
2007年9月
古代希腊数学
8
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2007年9月
第2讲 古代希腊数学(上)
（１）万物皆数
毕达哥拉斯学派认为世界万物都是数（仅指整 数），对数进行分类，分数被看成两个整数之比。 最重要的数是1、2、3、4，认为分别代表水、火、 气、土四种元素。而10则是一个完美的数，因为 10=1+2+3+4学派自认为足够“包罗万象”了。相应 地，自然界由点（一元）、线（二元）、面（三元） 和立体（四元）组成。他们认为自然界中的一切都 服从于一定的比例数，天体的运动受数学关系的支 配，形成天体的和谐。
亲和数（即a是b的因数之和,b也是a的因数之和）
220的因子： 1，2，110，4，55，5，44，10，22，11，20 因子之和为284 284的因子： 1，2，142，4，71 因子之和为220 过剩数（即因数之和大于该数） 不足数（即因数之和小于该数）
（２）毕达哥拉斯学派的形数
(ⅰ)三角形数： N =1+2+3+…+n = n (n +1) / 2 ;
A
D
C
B
芝诺悖论: 阿基里斯 阿基里斯(善跑英雄)追龟说，阿基 里斯追乌龟，永远追不上。因为当他追 到乌龟的出发点时，龟已向前爬行了一 段，他再追完这一段，龟又向前爬了一 小段。这样永远重复下去，总也追不上。
阿基里斯追不上乌龟
飞箭静止说，每一瞬间箭总在 一个确定的位臵上，因此它是不 动的。
芝诺悖论: 飞矢不动
下列矩形中,哪些比较匀称?
① ③ ⑦ ④
5×8
8×13
⑥
13×21
② ⑤ ⑧
21×34
下列矩形中,哪些比较匀称?
① ③ ⑦ ④
5×8
8×13
⑥
13×21
② ⑤ ⑧
21×34
第二讲：古代希腊数学
第二讲古代希腊数学1、古典时期的希腊数学公元前600－前300年。
1.1 爱奥尼亚学派（米利都学派）泰勒斯（公元前625－前547年），被称为“希腊哲学、科学之父”。
1.2 毕达哥拉斯学派数学：数学研究抽象概念的认识归功于毕达哥拉斯学派，毕达哥拉斯定理，完全数、亲和数，正五角星作图与“黄金分割”，发现了“不可公度量”。
1.3 伊利亚学派芝诺的功绩在于把动和静的关系、无限和有限的关系、连续和离散的关系以非数学的形态提出，并进行了辩证的考察。
1.4 诡辩学派（智人学派）古典几何三大作图问题：三等分任意角、化圆为方、倍立方。
1.5 柏拉图学派柏拉图不是数学家，却赢得了“数学家的缔造者”的美称，创办雅典学院（前387－公元529），讲授哲学与数学。
1.6 亚里士多德学派（吕园学派）亚里士多德（公元前384－前322年）是古希腊最著名的哲学家、科学家。
集古希腊哲学之大成，把古希腊哲学推向最高峰，堪称“逻辑学之父”，为欧几里得演绎几何体系的形成奠定了方法论的基础，被后人奉为演绎推理的圣经。
2、亚历山大学派时期希腊数学黄金时代，先后出现了欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯三大数学家，他们的成就标志了古典希腊数学的巅峰。
2.1 欧几里得（公元前325－前265年）公元前300年成为亚历山大学派的奠基人，用逻辑方法把几何知识建成一座巍峨的大厦，成为后人难以跨跃的高峰。
《原本》13卷：由5条公理，5条公设，119条定义和465条命题组成，构成了历史上第一个数学公理体系。
2.2阿基米德（公元前287－前212年）数学之神，与牛顿、高斯并列有史以来最伟大的三大数学家之一。
最为杰出的数学贡献是《圆的度量》，把希腊几何学几乎提高到西方17世纪后才得以超越的高峰。
墓碑：球及其外切圆柱。
2.3 阿波罗尼奥斯（约公元前262－前190年）贡献涉及几何学和天文学，最重要的数学成就是《圆锥曲线》，希腊演绎几何的最高成就。
《圆锥曲线》全书共8卷，含487个命题。
数学史--第二讲-古希腊数学--课件
• 崛起于意大利半岛中部的罗马民族，在公元前1世纪 完全征服希腊各国夺得了地中海地区的霸权，建立了 强大的罗马帝国。唯理的希腊文明被务实的罗马文明 所取代。同影响深远的罗马法典和气势恢弘的罗马建 筑相比，罗马人在数学领域却谈不上有什么显赫的功 绩。
• 通常把公元前30年到公元6世纪(641年，阿拉伯人占 领亚历山大）称为希腊数学的“亚历山大后期”。
趣事
• 欧几里得是希腊论证几何的集大成者。 • 在公元前300年左右，欧几里得受托勒密一世之邀到亚
历山大，成为亚历山大学派得奠基人。据说受托勒密 曾问欧几里德有无学习几何的捷径？欧几里德回答说 ：“几何学无王者之道”。 • 有一次一个学生刚学了第一个几何命题便问“学了这些 我能获得什么呢？”欧几里德叫来一个仆人吩咐说：“ 给这位先生三个分币，因为他一心想从学过的东西中 捞点什么”。－－欧几里德反对狭隘的实用观点
毕达哥拉斯学派的数学成就
• 数的研究 完全数：12，28；亲和数：220和284；形数： “三角 形数”、“正方形数”、 “五角形数”等等；勾股数：
• 几何成就 欧几里得《原本》第8卷附注指出五个正多面体的作图 的其中前三个归功于毕达哥拉斯学派，后两个归功于 蒂奥泰德（毕达哥拉斯学派晚期成员西奥多罗斯的学 生，深受毕达哥拉斯学派影响）。 一般认为，欧几里得《原本》第1卷和第2卷的大部分 资料来源于毕达哥拉斯学派，包括西方文献中一直以 毕达哥拉斯的名字命名的勾股定理。
其贡献涉及几何学和天文学。最重要的数学成就是在 前人基础上创立了相当完美的圆锥曲线论。《圆锥曲 线论》就是这方面的系统总结。
评价：
（1）他对圆锥曲线的研究所达到的高度，直到17世纪 笛卡尔和帕斯卡出场之前，始终无人能够超越。
（2）他的工作中包含了近代微分几何的课题和射影几 何学的萌芽思想。
• 通常把公元前30年到公元6世纪(641年，阿拉伯人占 领亚历山大）称为希腊数学的“亚历山大后期”。
趣事
• 欧几里得是希腊论证几何的集大成者。 • 在公元前300年左右，欧几里得受托勒密一世之邀到亚
历山大，成为亚历山大学派得奠基人。据说受托勒密 曾问欧几里德有无学习几何的捷径？欧几里德回答说 ：“几何学无王者之道”。 • 有一次一个学生刚学了第一个几何命题便问“学了这些 我能获得什么呢？”欧几里德叫来一个仆人吩咐说：“ 给这位先生三个分币，因为他一心想从学过的东西中 捞点什么”。－－欧几里德反对狭隘的实用观点
毕达哥拉斯学派的数学成就
• 数的研究 完全数：12，28；亲和数：220和284；形数： “三角 形数”、“正方形数”、 “五角形数”等等；勾股数：
• 几何成就 欧几里得《原本》第8卷附注指出五个正多面体的作图 的其中前三个归功于毕达哥拉斯学派，后两个归功于 蒂奥泰德（毕达哥拉斯学派晚期成员西奥多罗斯的学 生，深受毕达哥拉斯学派影响）。 一般认为，欧几里得《原本》第1卷和第2卷的大部分 资料来源于毕达哥拉斯学派，包括西方文献中一直以 毕达哥拉斯的名字命名的勾股定理。
其贡献涉及几何学和天文学。最重要的数学成就是在 前人基础上创立了相当完美的圆锥曲线论。《圆锥曲 线论》就是这方面的系统总结。
评价：
（1）他对圆锥曲线的研究所达到的高度，直到17世纪 笛卡尔和帕斯卡出场之前，始终无人能够超越。
（2）他的工作中包含了近代微分几何的课题和射影几 何学的萌芽思想。
数学史第二讲古代希腊数学ppt课件
想的来源
希腊化时期的数学
• 5公理
1. 等于同量的量彼此相等. 2. 等量加等量, 和相等. 3. 等量减等量, 差相等. 4. 彼此重合的图形是全等的. 5. 整体大于部分.
• 5公设
1. 假定从任意一点到任意一点可作一直线. 2. 一条有限直线可不断延长. 3. 以任意中心和直径可以画圆. 4. 凡直角都彼此相等. 5. 若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小 于两直角, 那么把两直线无限延长, 它们都在同旁内 角和小于两直角的一侧相交.
机械上
阿基米德对于机械的研究源自于他在亚历山大城求学时期，有一天阿基米德在 久旱的尼罗河边散步，看到农民提水浇地相当费力，经过思考之后他发明了一种 利用螺旋作用在水管里旋转而把水吸上来的工具，后世的人叫它做“阿基米德螺 旋提水器”。埃及一直到二千年后的现代，还有人使用这种器械。
这个工具成了后来螺旋推进器的先祖。
希腊化时期的数学
数学之神
“给我一个支点，我 就可以移动地球。”
阿基米德 (公元前287-前212年)
希腊化时期的数学
阿基米德(公元前287－前212年) (希腊, 1983)
用穷竭法计算 平面图形面积
数学上：几何
将一个曲边图形“细”分成若干个 “小的矩形或三角形”(即各种简单 “直边形”)。 首先分别求这些“小直边形的面积”
投石器和起重机
阿基米德利用杠杆原理制造了一种叫作石弩的抛石机，能把 大石块投向罗马军队的战舰，或者使用发射机把矛和石块射向罗 马士兵，凡是靠近城墙的敌人，都难逃他的飞石或标枪······
阿基米德还发明了多种武器，来阻挡罗马军队的前进。根据一 些年代较晚的记载，当时他造了巨大的起重机，可以将敌人的战 舰吊到半空中，然后重重地摔下使战舰在水面上粉碎。
希腊化时期的数学
• 5公理
1. 等于同量的量彼此相等. 2. 等量加等量, 和相等. 3. 等量减等量, 差相等. 4. 彼此重合的图形是全等的. 5. 整体大于部分.
• 5公设
1. 假定从任意一点到任意一点可作一直线. 2. 一条有限直线可不断延长. 3. 以任意中心和直径可以画圆. 4. 凡直角都彼此相等. 5. 若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小 于两直角, 那么把两直线无限延长, 它们都在同旁内 角和小于两直角的一侧相交.
机械上
阿基米德对于机械的研究源自于他在亚历山大城求学时期，有一天阿基米德在 久旱的尼罗河边散步，看到农民提水浇地相当费力，经过思考之后他发明了一种 利用螺旋作用在水管里旋转而把水吸上来的工具，后世的人叫它做“阿基米德螺 旋提水器”。埃及一直到二千年后的现代，还有人使用这种器械。
这个工具成了后来螺旋推进器的先祖。
希腊化时期的数学
数学之神
“给我一个支点，我 就可以移动地球。”
阿基米德 (公元前287-前212年)
希腊化时期的数学
阿基米德(公元前287－前212年) (希腊, 1983)
用穷竭法计算 平面图形面积
数学上：几何
将一个曲边图形“细”分成若干个 “小的矩形或三角形”(即各种简单 “直边形”)。 首先分别求这些“小直边形的面积”
投石器和起重机
阿基米德利用杠杆原理制造了一种叫作石弩的抛石机，能把 大石块投向罗马军队的战舰，或者使用发射机把矛和石块射向罗 马士兵，凡是靠近城墙的敌人，都难逃他的飞石或标枪······
阿基米德还发明了多种武器，来阻挡罗马军队的前进。根据一 些年代较晚的记载，当时他造了巨大的起重机，可以将敌人的战 舰吊到半空中，然后重重地摔下使战舰在水面上粉碎。
古希腊数学发展史
欧几里得《原本》可以说是数学史上的 第一座理论丰碑。它最大的功绩，是在 于数学中演绎范式的确立，这种范式要 求一门学科中的每个命题必须是在它之 前已建立的一些命题的逻辑结论，而所 有这样的推理链的共同出发点，是一些 基本定义和被认为是不证自明的基本原 理—公设或公理。这就是后来所谓的公 理化思想。
毕达哥拉斯学派第一次数学危机
毕达哥拉斯(Pythagoras，公元前572～497年)出 生于靠爱奥尼亚沿海的萨摩斯岛．青年时代， 毕达哥拉斯曾就学于泰勒斯．以后他曾到亚洲 和埃及旅行，特别是在埃及，他学到了很多数 学知识．约在公元前530年，毕氏返回到故里， 并建立了毕达哥拉斯学派。致力于哲学与数学 的研究，相传“哲学”(意为“智力爱好”)和 “数学”(意为“可 学到的知识”)这两个词正 是毕达哥拉斯本人所创。 大约在公元前五世纪末传说由希帕苏斯 (Hippasus)发现了不可通约量的存在，这对毕 氏学派的“一切量均可通约”的观念是一个莫 大的打击．数学史上把这称为第一次数学危
第二讲 古希腊数学
论证数学的发端
古代希腊的地理范围，包括希腊半岛、爱琴
海诸岛和小亚细亚西部沿海地带
希腊数学一股指从公元前600年至公元600年 间，活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿 与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及 非州北部的数学家们创造的数学。 大批游历 埃及和美索不达米亚的希腊商人、学者带回 了从那里收集的数学知识，在古代希腊城邦 社会特有的唯理主义气氛中，这些经验的算 术与几何法则被加工升华为具有初步逻辑结 构的论证数学体系。
2、无限性概念的早期探索
希腊人在理性数学活动的早期，已经接触 到了无限性、连续性等深刻的概念，对 这些概念的探讨，也是雅典时期希腊数 学的特征之一。
数学史--第二讲-古希腊数学--课件
• 雅典学派（柏拉图学派）：柏拉图（前427－前347） 创立，后著名数学家欧多克斯（前408－前307）率徒 加入。
2020/7/18
• 亚里士多德学派（吕园学派）：由柏拉图的学生亚里 士多德（前384－前322）于公元前335年创立。相传 亚里士多德曾作过亚历山大大帝的老师。前面提到的 《几何学史》的作者欧多谟斯是亚里士多德的学生。
• 希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规 的限制下从理论上去解决这些问题，这是几何学从实 际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。
2020/7/18
• 诡辩学派的希比阿斯为了三等分任意角而发明了“割 圆曲线”。
• 柏拉图学派的梅内赫莫斯为解决倍立方体问题发现了 圆锥曲线。
• 诡辩学派的安提丰提出用“穷竭法”去解决化圆为方 问题，这是近代极限理论的雏形。先作圆内接正方形 ，以后每次边数加倍，得8、16、32、…边形。安提 丰深信“最后”的多边形与圆的“差”必会“穷竭” 。这提供了求圆面积的近似方法，和中国的刘徽的割 圆术思想不谋而合。
2020/7/18
因为毕达哥拉斯学派的许多几何证明都是建立在任何 量都是可公度的基础上，所以引发了第一次数学危机 。 • 数字神秘主义 例如：偶数是可分解的、从而也是容易消失的、阴性 的、属于地上的，代表黑暗和邪恶。奇数是不可分解 的、阳性的、属于天上的，代表光明和善良。 • 证明的思想 例如：勾股定理的证明，推测毕达哥拉斯从铺地砖中 获得了启发。
2020/7/18
2.2.2阿基米德的数学成就
• 阿基米德 (公元前 287-212) 是公认的古希腊时代最伟大 的数学家。他生于西西里岛 的叙拉古，但很可能曾在亚 历山大学习数学，后回到故 乡，仍与亚历山大学派有密 切联系。后被罗马士兵杀害 。
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• 亚里士多德学派（吕园学派）：由柏拉图的学生亚里 士多德（前384－前322）于公元前335年创立。相传 亚里士多德曾作过亚历山大大帝的老师。前面提到的 《几何学史》的作者欧多谟斯是亚里士多德的学生。
• 希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规 的限制下从理论上去解决这些问题，这是几何学从实 际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。
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• 诡辩学派的希比阿斯为了三等分任意角而发明了“割 圆曲线”。
• 柏拉图学派的梅内赫莫斯为解决倍立方体问题发现了 圆锥曲线。
• 诡辩学派的安提丰提出用“穷竭法”去解决化圆为方 问题，这是近代极限理论的雏形。先作圆内接正方形 ，以后每次边数加倍，得8、16、32、…边形。安提 丰深信“最后”的多边形与圆的“差”必会“穷竭” 。这提供了求圆面积的近似方法，和中国的刘徽的割 圆术思想不谋而合。
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因为毕达哥拉斯学派的许多几何证明都是建立在任何 量都是可公度的基础上，所以引发了第一次数学危机 。 • 数字神秘主义 例如：偶数是可分解的、从而也是容易消失的、阴性 的、属于地上的，代表黑暗和邪恶。奇数是不可分解 的、阳性的、属于天上的，代表光明和善良。 • 证明的思想 例如：勾股定理的证明，推测毕达哥拉斯从铺地砖中 获得了启发。
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2.2.2阿基米德的数学成就
• 阿基米德 (公元前 287-212) 是公认的古希腊时代最伟大 的数学家。他生于西西里岛 的叙拉古，但很可能曾在亚 历山大学习数学，后回到故 乡，仍与亚历山大学派有密 切联系。后被罗马士兵杀害 。
第二讲古代希腊数学(精)
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一、论证数学的发端 1、泰勒斯与毕达哥拉斯
毕达哥拉斯
在今意大利东南沿海的克洛托内建立毕达哥拉斯学 派。这是一个宗教式的组织，但致力于哲学与数 学的研究，相传“哲学”和“数学”这两个词正 是毕达哥拉斯本人所创。
毕达哥拉斯学派的几何成就： 证明了勾股定理 正多面体作图
2007年9月
古代希腊数学
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一、论证数学的发端 1、泰勒斯与毕达哥拉斯
思考：用几何方法，证
明第Ⅱ卷命题4，即
ab
b2
b
证明代数关系式
a b2 a2 2ab b2
a
a2
ab
a
b
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古代希腊数学
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二、黄金时代——亚历山大学派 2、阿基米德的数学成就
阿基米德
阿基米德（Archimedes）， 生卒年代：前287-212 。 古希腊伟大的数学家、力 学家。早年在当时的文化 中心亚历山大跟随欧几里 得的学生学习。
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古代希腊数学
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一、论证数学的发端 2、雅典时期的希腊数学
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古代希腊数学
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一、论证数学的发端 2、雅典时期的希腊数学
三大几何问题 古希腊的三大著名几何问题： ⑴化圆为方，即作一个与给定的圆面积相等的正方
形； ⑵倍立方体，即求作一立方体，使其体积等于已知
立方体的两倍； ⑶三等分角，即分任意角为三等分。
后人对阿基米德给以极高的 评价，常把他和I.牛顿、 C.F.高斯并列为有史以来 三个贡献最大的数学家。
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古代希腊数学
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二、黄金时代——亚历山大学派 2、阿基米德的数学成就
“平衡法”简介
古 希 腊 数 学2
数学之神----阿基米德 四 数学之神 阿基米德 公元前287年，阿基米德诞生于西西里岛的 年 阿基米德诞生于西西里岛的 公元前 西西里岛 叙拉古(今意大利锡拉库萨)。他出生于贵族， 今意大利锡拉库萨 叙拉古 今意大利锡拉库萨 。他出生于贵族，与 叙拉古的赫农王有亲戚关系，家庭十分富有。 叙拉古的赫农王有亲戚关系，家庭十分富有。 阿基米德的父亲是天文学家兼数学家， 天文学家兼数学家 阿基米德的父亲是天文学家兼数学家，学识渊 为人谦逊。他十一岁时， 博，为人谦逊。他十一岁时，借助与王室的关 被送到古希腊文化中心亚历山大 亚历山大里亚城去 系，被送到古希腊文化中心亚历山大里亚城去 学习。 学习。
公理： （1） 跟一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相 等的。 （2） 等量加等量，总量仍相等。 （3） 等量减等量，余量仍相等。 （4） 彼此重合的东西是相等的。 （5） 整体大于部分。 从现代公理化方法的角度来分析，《原本》 从现代公理化方法的角度来分析，《原本》的公理化体系 存在着以下一些缺陷。 没有认识到公理化的体系一定建立在一些原始概念上 《原本》的公理集合是不完备的，这就使得欧几里得 原本》 在推导命题过程中，不自觉地使用了物理的直观概念. 在推导命题过程中，不自觉地使用了物理的直观概念. 但 是建立在图形直观上的几何推理肯定是不可靠的
三 欧几里得与《原本》 欧几里得与《原本》 欧几里德(约公元前300 古希腊数学家) 古代希腊最负盛名 欧几里德(约公元前300年，古希腊数学家)是古代希腊最负盛名、 300年 最负盛名、 最有影响的数学家之一， 数学家之一 最有影响的数学家之一，他是亚历山大里亚学派的 成员。 ----《几何原本》 成员。编撰旷世巨著 ----《几何原本》(Elements) 共有13 共有13卷。 13卷 这一著作对于几何学、 这一著作对于几何学、数学和科学的 未来发展， 未来发展，对于西方人的整个思维 方法都有极大的影响。 几何原本》 方法都有极大的影响。《几何原本》 的主要对象是几何 几何学 的主要对象是几何学， 建立了第一个数学理论体系—— 建立了第一个数学理论体系—— 几何学。 几何学。 标志着人类科学研究的公理化方法 的初步形成. 的初步形成.
古希腊数学
第二讲古希腊数学《雅典学院》壁画介绍拉斐尔(1483-1520)，是意大利文艺复兴时期的著名画家。
1508年，拉斐尔被罗马教皇尤里乌斯二世邀去绘制梵蒂冈皇宫签字厅的四幅壁画。
画于三面墙上和屋顶的四幅绘画，依据诗人德拉·欣雅杜尔的诗来配画，以歌颂神学、哲学、诗歌、法学为内容。
拉斐尔在四面墙上画了四幅壁画：神学的《圣礼之争》（或教义之争）、哲学的《雅典学院》、诗歌的《帕拿巴斯山》、法学的《三德》。
《雅典学院》以古希腊著名哲学家柏拉图所创建的雅典学院为题，并以柏拉图及其弟子亚里士多德为中心，将古希腊、罗马、斯巴达以及意大利时期五十多位哲学家、科学家、思想家、文学家学者齐聚一堂，以此歌颂人类对智慧和真理的追求，赞美人创造力。
位居画面中心的左为柏拉图，右为亚里土多德，一个手指着上天，另一个则伸出右指着他前面的世界，以此表示他们不同的哲学观点：柏拉图的唯心主义和亚里土多德的唯物主义。
这两个中心人物的两侧有许多重要的历史人物：左边穿白衣、两臂交叉的青年是马其顿王亚历山大，转身向左扳手指的是苏格拉底，斜躺在台阶上的半裸着衣服的老人是犬儒学派的哲学家第奥根尼。
台阶下的人物分为左右两组。
左边一组中，站着伸头向左看的老者是阿拉伯学者阿维罗意，在他左前方蹲着看书的秃顶老人是毕达哥拉斯。
右边弯腰和别人讨论的是阿基米德，手拿圆规者为欧几里得，右边尽头手持天体模型者是托勒密。
图中还出现的学者有伊壁鸠鲁、赫拉克立特、芝诺。
1．论证数学的兴起泰勒斯(约前625-前547)，迄今所知最早的希腊数学家。
没有任何第一手资料介绍这位学者本人或证实他所取得的成就，但他的生活与工作却留下了不少传说。
据称他领导的爱奥尼亚学派首开证明之先河，他自己也证明了不少定理。
在论证数学的方向上，泰勒斯迈出了第一步，但希腊数学著作的评注者们还是倾向于将论证数学的成长归功于毕达哥拉斯以及他所创建的学派。
毕达哥拉斯(约前580-前500)，出生于靠近小亚细亚西部海岸的萨摩斯岛，年轻时曾游历埃及和巴比伦，可能还到过印度，回希腊后定居于今意大利南部沿海的克洛托内，并在那里建立了自己的学派。