高一数学练习题4《直线与平面》
高一数学必修二2.1.3 2.1.4 直线与平面 平面与平面之间的位置关系练习题(解析版)
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 空间中平面与平面之间的位置关系一、选择题1．若a ∥α，b ∥α，则直线b a ,的位置关系是 （ ）A.平行B.相交C.异面D.A 、B 、C 、均有可能2.直线与平面平行式指 （ ）A.直线与平面内的无数条直线都无公共点B.直线上的两点到直线的距离相等C.直线与平面无公共点D.直线不在平面内3.有下列命题：①若直线在平面外，则这条直线与平面没有公共点②若直线与一个平面平行，则这条直线与平面内的任何一条直线都平行③若直线a 与平面α的一条直线平行，则直线a 与平面α也平行④两个平面有无数个公共点，则这两个平面的位置关系为相交或重合则正确命题的个数为 （ ）A.0B.1C.2D.34.若三个平面两两相交，则它们交线的条数 （ ）A ．1条 B.2条 C.3条 D.1条或3条5.过平面外一条直线作与平面的平行平面 （ ）A.必定可以且只能作一个B.至少可以作一个C.至多可以作一个D.一定不能作6.给出下列命题：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一个平面的两个平面互相平行③若直线b a ,与同一个平面所成的角相等，则b a ,互相平行④若直线b a ,是异面直线，则与b a ,都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是 （ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题7.面α∥面β，直线α⊂a ，则直线a 与平面β的位置关系是＿＿＿＿＿＿8.两直线a ,b 相互平行,且a ∥α,则b 与α的位置关系是＿＿＿＿＿＿9.若平面α和这个平面外的一条直线m 同时垂直于直线n ,则直线m 与面α的位置关系是 ＿＿＿＿＿＿＿10.一个平面内有无数条直线平行于另外一个平面,那么两个平面的位置关系为＿＿＿＿＿三、解答题11.用符号语言表述语句:“直线l 经过平面α内一定点P,但l 在平面α外”,并画图12.a a ,α⊄已知∥a b b 求证：,,α⊂∥α13.平面α内有无数条直线与平面β平行,那么α∥β是否正确?说明理由.答案2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系1.D2.C3.A4.D5.C6.D7.β//a 8.αα⊂b b 或// 9.平行 10.平行或相交11.略 12.略 13.略 14.略2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定1.C2.A3.A4.C5.D6.C7.相交与或ααb b ,// 8.平行或相交 9.无数 110.M D BM M A A ACE BD 111,,,//连接中点取平面证明：CE BM BMEC ME BC ////为平行四边形，故，则易证= ACE BM MD AE 平面即同理//,//1M MD BM ACE MD =11// ，又平面111,//BMD BD ACE BMD 平面又平面故平面⊂ACE BD 平面所以//111.证明：连接AC C A ,11,,,,11O BD AC Q P EF MN C A 于交于分别交设 OQ AP ACC A OQ AP //,,11中，易证在矩形连接 1111//,//,//D B EF D B MN EFDB AP 又平面从而 MN EF //所以EFDB MN 平面所以//EFDB AMN 平面所以平面//12.略13.证明：如图所示，作相交两平面分别与γβα,,相交 f b e a //,////∴γαd b c a f de c //,////,//∴同理ββ//,//b a ∴βα//∴14.略。
新教材高一数学——空间直线、平面的平行练习题
8.5 空间直线、平面的平行练习题1．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23，则下列说法正确的是()A．EF与GH平行B．EF与GH异面C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上D．EF与GH的交点M一定在直线AC上2．下列说法正确的是()A．直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线a∩b＝∅，直线b⊂α，则a∥αD．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线3．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l，m∥l，m⊂α，则必有() A．l∥αB．α∥γC．m∥β且m∥γD．m∥β或m∥γ4．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①α∩β＝a，b⊂α⇒a∥b或a，b相交；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∩β＝a，a∥b⇒b∥β或b∥α.其中正确命题的序号是()A．①③B．②④C．①④D．②③5．已知a，b，c是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；③若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；④若a，b与c成等角，则a∥b.其中正确的是________(填序号)．6．如图是某正方体的平面展开图(表面朝下)．关于这个正方体，有以下判断：①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE ∥平面NCF.其中判断正确的序号是________．7．下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线平行；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．其中正确的命题是________．8．给出下列说法：①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ；②若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交；③若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α；④若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a∥b.其中正确说法的序号是________．9．如图，在三棱台DEF－ABC中，AC＝2DF，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.10．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB ∥CD，且AB＝2CD，那么在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由．详解：1．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23，则下列说法正确的是()A．EF与GH平行B．EF与GH异面C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上D．EF与GH的交点M一定在直线AC上答案D解析连接EH，FG.因为F，G分别是边BC，CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23，所以GF∥BD，且GF＝23BD.因为点E，H分别是边AB，AD的中点，所以EH∥BD，且EH＝12BD，所以EH∥GF，且EH≠GF，所以EF与GH相交，设其交点为M，则M∈平面ABC，同理M∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M在直线AC上．故选D.2．下列说法正确的是()A．直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线a∩b＝∅，直线b⊂α，则a∥αD．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线答案D解析由直线与平面的位置关系及直线与平面平行的判定定理，知D正确．3．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l，m∥l，m⊂α，则必有() A．l∥αB．α∥γC．m∥β且m∥γD．m∥β或m∥γ答案D解析 ⎭⎪⎬⎪⎫β∩γ＝l ，l ⊂β，l ⊂γm ∥l ，m ⊂α⇒m ∥β或m ∥γ.若m 为α与β的交线或为α与γ的交线，则不能同时有m ∥β，m ∥γ.故选D.4．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，给出下面四个命题：①α∩β＝a ，b ⊂α⇒a ∥b 或a ，b 相交；②α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n ；③m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α；④α∩β＝a ，a ∥b ⇒b ∥β或b ∥α.其中正确命题的序号是( )A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③答案 C解析 对于①，由α∩β＝a ，b ⊂α，得a ，b 共面，则a ∥b 或a ，b 相交，正确；对于②，α∥β，m ⊂α，n ⊂β可能得到m ∥n ，还有可能是直线m ，n 异面，错误；对于③，m ∥n ，m ∥α，当直线n 不在平面α内时，可以得到n ∥α，但是当直线n 在平面α内时，n 不平行于平面α，错误；对于④，由α∩β＝a ，a ∥b ，得b 至少与α，β中的一个平面平行，则b ∥β或b ∥α，正确．故选C.5．已知a ，b ，c 是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交；③若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线；④若a ，b 与c 成等角，则a ∥b .其中正确的是________(填序号)．答案 ①解析 由基本事实4知①正确；当a 与b 相交，b 与c 相交时，a 与c 可能相交、平行，也可能异面，故②不正确；当a ⊂平面α，b ⊂平面β时，a 与b 可能平行、相交或异面，故③不正确；当a ，b 与c 成等角时，a 与b 可能相交、平行，也可能异面，故④不正确．故正确说法的序号为①.6．如图是某正方体的平面展开图(表面朝下)．关于这个正方体，有以下判断：①BM ∥平面DE ；②CN ∥平面AF ；③平面BDM ∥平面AFN ；④平面BDE∥平面NCF.其中判断正确的序号是________．答案①②③④解析以面ABCD为下底面还原正方体，如图，则易判定四个判断都是正确的．7．下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线平行；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．其中正确的命题是________．答案②④解析由面面平行的定义可知②④正确．8．给出下列说法：①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ；②若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交；③若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α；④若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a∥b.其中正确说法的序号是________．答案②③解析①中平面α与γ也可能重合，故①不正确．假设直线a与平面β平行或直线a⊂β，则由平面α∥平面β，知a⊂α或a∥α，这与直线a与α相交矛盾，所以a与β相交，②正确．如图，过直线PQ作平面γ，γ∩α＝a，γ∩β＝b，由α∥β，得a∥b.因为PQ∥β，PQ⊂γ，所以PQ∥b.因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线a与直线PQ重合．因为a⊂α，所以PQ⊂α，③正确．若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a与b平行、相交和异面都有可能，④不正确．9．如图，在三棱台DEF－ABC中，AC＝2DF，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.证明如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH.在三棱台DEF－ABC中，AC＝2DF，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形．所以O为CD的中点．又H为BC的中点，所以OH∥BD.又OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.10．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB ∥CD，且AB＝2CD，那么在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由．解存在这样的点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1，此时点F为AB的中点．证明如下：∵AB∥CD，AB＝2CD，∴AF=CD且AF//CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∴AD∥CF.又AD⊂平面ADD1A1，CF⊄平面ADD1A1，∴CF∥平面ADD1A1.又CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，∴CC1∥平面ADD1A1.又CF∥平面ADD1A1，CC1∩CF＝C，∴平面C1CF∥平面ADD1A1.。
高中数学直线与平面平行的判定练习题含答案
高中数学直线与平面平行的判定练习题含答案
一、基础过关
1．直线 m∥平面α，直线 n∥m，则
()
A．n∥α C．n⊂α
B．n 与α相交 D．n∥α或 n⊂α
2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是 ( )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．不相交
3．已知 a，b 是两条相交直线，a∥α，则 b 与α的位置关系是
AB⊄平面 DCF OF⊂ 平面 DCF ⇒AB∥平面 DCF. AB∥OF 9．A 10．D 11．12 12．证明 取 A′D 的中点 G，连接 GF，GE，
由条件易知 FG∥CD，FG＝1CD，BE∥CD，BE＝1CD，
2
2
所以 FG∥BE，FG＝BE，故四边形 BEGF 为平行四边形， 所以 BF∥EG.因为 EG⊂平面 A′DE，
∴PQ∥平面 BCE.
BF⊄平面 A′DE，
所以 BF∥平面 A′DE.
13．证明 如图所示，连接 AQ 并延长交 BC 于 K，连接 EK. ∵KB∥AD，∴DQ＝AQ. BQ QK
∵AP＝DQ，AE＝BD，
∴BQ＝PE. ∴DQ＝AP.∴AQ＝AP.∴PQ∥EK.
BQ PE QK PE
又 PQ⊄平面 BCE，EK⊂平面 BCE，
C．能作出无数个
D．以上都有可能
11．过平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 任意两条棱的中点作直线，其中与平面 DBB1D1 平行的
直线共有________条．
12．如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为线段 AB 的中点，将△ADE 沿直线 DE 翻折成△A′DE，
F 为线段 A′C 的中点．求证：BF∥平面 A′DE.
高一数学直线与平面平行判定、直线与平面平行性质评价练习题新课标人教A版
高一数学直线与平面平行的判断、直线与平面平行的性质评论练习题一、选择题1．已知直线a∥平面α，直线bα，则a与b的关系为（A ．订交B．平行C．异面D．平行或异面2．平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面b 的地点关系是（）A ． c 与 a， b 都异面B． c 与 a，b 都订交C．c 起码与 a， b 中的一条订交D． c 与 a， b 都平行）a＝ c，若a∥ b，则 c 与a，3．给出以下四个命题：①假如 a， b 是两条直线，且a∥ b，那么 a 平行于经过 b 的任何平面；②假如直线 a 和平面α知足a∥α，那么a 与平面α内的直线不是平行就是异面，③假如直线a∥α， b∥α，则a∥b④假如平面α∩平面β＝a，若 b∥α， b∥β，则a∥ b此中为真命题有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个4．A、B 是不在直线 l 上的两点，则过点 A、B 且与直线l 平行的平面的个数是A．0 个B．1 个C．无数个D．以上三种状况均有可能（）二、填空题5．在△ ABC 中， AB ＝5，AB∩α＝ M， AC∩α＝ N，则6．P 是边长为8 的正方形AC＝ 7，∠ A＝ 60°， G 是重心，过G 的平面α与BC 平行，MN___________ABCD 所在平面外的一点，且PA＝ PB＝ PC＝ PD ＝8， M、NPM ＝BN＝3分别在 PA、 BD 上，且MA ND 5 ，则MN＝_________．7．三个平面两两订交，有三条交线，则这三条交线的地点关系为__________ ．三、解答题8．如图，两个全等正方形ABCD 与 ABEF 所在平面订交于AB， ME∈ AC， NE∈ FB，且 AM＝ FN，求证： MN ∥平面 BCE．9．求证：假如两个订交平面分别经过两条平行线中的一条，那么它们的交线和这两条平行线相互平行．10．已知 E， F， G， M 分别是四周体的棱 AD， CD ， BD ，BC 的中点，求证： AM∥平面EFG ．11．在正方体ABCD — A1B1C1D 1中， E，F 分别是棱BC， C1D1的中点，求证；EF∥平面 BB1D1D ．12．空间四边形 ABCD 的对棱 AD，BC 成 60°的角，且 AD ＝ BC＝ a，平行于 AD 与 BC 的截面分别交 AB， AC， CD， BD 于 E、 F、 G、 H ．（1）求证：四边形 EFGH 为平行四边形；（2）E 在 AB 的哪处时截面 EFGH 的面积最大 ?最大面积是多少 ?[ 参照答案 ]一、选择题 1．D 2．D 3．B 4．D二、填空题2 395． 3 ；6． 19； 7．两两平行或订交于一点．三、解答题8．证明：过 M 在平面 AC 内作直线 AB 的平行线交于 BC 于 G ，过 N 在平面 AE 内作直线 AB 的平行线交 BE 于 H ，连 GH ，只需证明 GH ∥ MN 即可，事实上， ∵MG ∥ AB ， NH ∥AB ， ∴MG ∥ NH ．MGMCNHBN又∵ AB ＝ AC ， FE ＝ BF ，且 ABCD 和 ABEF 是两个全等的正方形，AM ＝ FN ，∴MGNHAC ＝ BF ， MC ＝ BN ，进而有AB ＝FE，∴MG ＝ NH ，∴四边形 MGHN 为平行四边形． ∴MN ∥ GH ．又∵ GH 平面 BCE ， MN 平面 BCE ，∴ MN ∥平面 BCE ．9．证明：∵ a ∥ b ， b β，∴ a ∥β． 又∵ a α，α∩β＝ l ，∴ a ∥l ． 又∵ a ∥ b ，b ∥ l ，∴ a ∥ b ∥ l ．10．证明：连 MD 交 GF 于 N ，连 EN ．∵ GF 为△ BCD 的中位线， ∴N 为 MD 的中点．∵ E 为 AD 的中点，∴EN 为△ AMD 的中位线，∴ EN ∥ AM ．∵AM 平面 EFG ， EN 平面 EFG ，∴ AM ∥平面 EFG ．11．证明：取 D 1B 1 的中点 O ，连 OF ，OB ．11∵OF∥ 21 1，BE ∥ 2 1 1＝ B C ＝ B C ， ∥∵OF ＝ BE ，则 OFEB 为平行四边形．∴EF ∥BO ．∵ EF 平面 BB 1D 1D ， BO平面 BB 1D 1D ，∴EF ∥平面 BB 1D 1D ．12．证明：（ 1）∵ BC ∥平面 EFGH ， BC 平面 ABC ，平面 ABC ∩平面 EFGH ＝ EF ， ∴BC ∥EF ，同理 BC ∥ HC ，∴ EF ∥ HG ．同理可证 EH ∥FG ，∴四边形 EFGH 为平行四边形． 解：（ 2）∵ AD 与 BC 成角为 60°，AE∴∠ HEF ＝60°（或 120°），设 AB ＝ x ，EF AE∵ BC ＝ AB ＝ x ， BC ＝ a ，EHBE1－ x∴EF ＝ax ，由 AD ＝ BA ＝1 ，得 EH ＝（ 1－ x ） a ．∴S 四边形 EFGH ＝ EF · EH · sin60°33232（ x ＋1－ x 23a 2＝· （ － ）· 2a· （ a） ． ax＝ 2－）≤ 2·2＝ 8a 1 xx 1x1当且仅当x＝1－ x，即 x＝2时等号建立，即 E 为 AB 的中点时，截面EFGH 的面积最大为3a28．。
直线与平面的位置关系练习题
直线与平面的位置关系练习题直线和平面是几何中常见的基本要素，它们之间的位置关系也是我们在学习几何时需要掌握的重要内容。
下面我们来做一些关于直线与平面的位置关系的练习题。
1. 已知直线l与平面α相交于点A，直线l上的一点B在平面α内部。
则直线l和平面α的位置关系是________。
解析：直线l与平面α相交于点A，说明直线l与平面α有交集。
又由于直线上的一点B在平面α内部，说明直线l与平面α也有一些其他的点在平面α内部。
综上所述，直线l和平面α的位置关系是“有交集”。
2. 平面β包含直线m，且直线l与直线m平行，则直线l和平面β的位置关系是________。
解析：直线l与直线m平行，说明直线l与平面β没有交点。
但由于直线l和直线m的位置关系，直线l和平面β的位置关系可以是以下三种情况之一：1) 直线l在平面β内部；2) 直线l与平面β重合；3) 直线l与平面β平行但不重合。
根据题意，我们可以确定直线l和平面β的位置关系是“直线l在平面β内部”。
3. 直线n与平面γ相交于点P，直线n与平面δ相交于点Q，点P 与点Q在空间中重合，则直线n和平面γ、δ的位置关系是________。
解析：由于点P与点Q在空间中重合，说明直线n与平面γ、δ有一个公共的点。
因此直线n必然与平面γ和平面δ都有交点。
综上所述，直线n和平面γ、δ的位置关系是“有交集”。
4. 直线p与平面η相交于点M，直线p包含于平面η内。
则直线p和平面η的位置关系是________。
解析：直线p与平面η相交于点M，说明直线p与平面η有交集。
并且由于直线p包含于平面η内部，说明直线p上的其他点也在平面η内部。
综上所述，直线p和平面η的位置关系是“直线p包含于平面η内”。
5. 直线q与平面ζ平行但不在平面ζ内，直线r与平面ζ相交于点N，则直线q和直线r的位置关系是________。
解析：直线q与平面ζ平行但不在平面ζ内，说明直线q与平面ζ没有交点。
而直线r与平面ζ相交于点N，说明直线r与平面ζ有交点。
直线与平面的位置关系练习题
直线与平面的位置关系练习题直线与平面的位置关系是几何学中的基础概念之一，理解和掌握这一概念对于解决几何题目非常重要。
本文将为你提供一些直线与平面的位置关系的练习题，帮助你巩固这一知识点。
练习题1：已知直线l与平面α相交于点A，点B在直线l上。
连接点B与平面α的交点为点C，若AB的垂直平分线交平面α于点D，则下列哪个选项是正确的？A) 线段CD平分线段BC的长度。
B) 线段AD平分线段AB的长度。
C) 三角形BCD垂直于平面α。
D) 线段CD平分角A。
练习题2：已知平面α与平面β垂直，直线p在平面α上，点A在直线p上。
连接点A与平面β的交点为点B，在平面β上取一点C。
若AB平行于平面β，那么以下哪个选项是正确的？A) 直线p与平面β交于一条直线上的所有点。
B) 线段BC与线段AB平行。
C) 线段AC垂直于平面α。
D) 线段CB平分角A。
练习题3：已知平面α与平面β相交于直线l，点A在平面α上且不在直线l上。
连接点A与平面β的交点为点B，连接点A与直线l的交点为点C。
以下哪个选项是正确的？A) 点A、点B、点C不共线。
B) 线段AC在平面β上的投影是线段BC。
C) 直线l是平面α与平面β的交线。
D) 点A在直线BC上。
练习题4：已知平面α与平面β相交于直线l，点A在直线l上，点B在平面β上，且线段AB平行于平面α。
连接点B与直线l的交点为点C。
若点D是线段AC的中点，那么下列哪个选项是正确的？A) 直线BC平分线段AD。
B) 线段CD平行于平面β。
C) 三角形ABC垂直于平面β。
D) 点D在直线l上。
练习题5：已知平面α与平面β相交于直线l，点A在平面α上，点B在平面β上，且线段AB垂直于直线l。
连接点A与平面β的交点为点C。
以下哪个选项是正确的？A) 点B、点C、点A共线。
B) 线段CB平分线段AB。
C) 点C、点B、点A不共面。
D) 三角形ABC是等腰三角形。
以上是直线与平面的位置关系练习题，通过解答这些题目，你可以巩固理解直线与平面的位置关系的概念，并提高解决几何问题的能力。
高中数学选修《直线与平面平行 平面与平面平行》练习题附参考答案
7-4 直线与平面平行平面与平面平行一、选择题1．如图所示，在三棱柱ABC—A′B′C′中，点E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的重心，从K、H、G、B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为()A．K B．HC．G D．B′答案：C2．给出下列命题，其中正确的两个命题是()①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；③直线m⊥平面α，直线n⊥m，则n∥α；④a、b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a、b都平行且与a、b距离相等．A．①与②B．②与③C．③与④D．②与④解析：直线上有两点到平面的距离相等，直线可能和平面相交；直线m⊥平面α，直线m⊥直线n，直线n可能在平面α内，因此①③为假命题．答案：D3．设a、b是异面直线，下列命题正确的是()A．过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交B．过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直C．过a一定可以作一个平面与b垂直D．过a一定可以作一个平面与b平行解析：可证明过a一定有一个平面与b平行．答案：D4．(2009·南京质检)已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD 的长为()A．16 B．24或245C．14 D．20解析：根据题意可出现以下如图两种情况可求出BD的长分别为24或24.5答案：B5．设α、β、γ为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线，给出下列四个命题，其中真命题的个数是()①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α∥β，l⊂α，则l∥β；④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.A．1 B．2 C．3 D．4答案：B二、填空题6．到空间不共面的四点距离相等的平面个数为________．解析：如右图分类，一类如图(1)将四点视为三棱锥四个顶点，取棱中点，可以做如图(1)平面平行于三棱锥的底面，并到另一顶点距离与底面距离相等，这样的平面有4个；另一类如图(2)取各段中点，四个中点形成平面平行于三棱锥相对棱，这样的平面有3个，共7个．答案：77．下列命题中正确的命题是________．①直线l上有两点到平面α距离相等，则l∥α；②平面α内不在同一直线上三点到平面β的距离相等，则α∥β；③垂直于同一直线的两个平面平行；④平行于同一直线的两平面平行；⑤若a、b为异面直线，a⊂α，b∥α，b⊂β，a∥β，则α∥β.答案：③⑤三、解答题8．如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别为A1D1、A1B1、B1C1、C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面PQDB.证明：如图连结NQ ，由NQ 綊A 1D 1綊AD 知：四边形ADQN 为平行四边形，则AN ∥DQ ；同理AM ∥BP ，又AM ∩AN ＝A ，根据平面与平面平行的判定定理可知，平面AMN ∥平面PQDB .9．(原创题)如图在四面体S —ABC 中，E 、F 、O 分别为SA 、SB 、AC 的中点，G 为OC 的中点，证明：FG ∥平面BEO .证明：证法一：如图，取BC 中点M ，连接FM ，GM ，则GM ∥OB ，FM ∥SC ∥EO ， 又FM ∩GM ＝M ，则平面FGM ∥平面BEO ，因此FG ∥平面BEO .证法二：设，则＝12＝＝＝＝－12＝－12b －a ，因此FG 与b ，a 共面，∴FG ∥平面BEO .10．已知：如右图，平面α∥平面β，线段AB 分别交α、β于点M 、N ，线段AD 分别 交α、β于C 、D ，线段BF 分别交α、β于F 、E ，且AM ＝BN ，试证：S △CMF ＝S △DNE .证明：∵α∥β，直线AD 与AB 确定的平面与α、β分别交于CM 、DN ， ∴CM ∥DN ，同理NE ∥MF ，∴∠CMF ＝∠DNE ，CM DN ＝AM AM ＋MN .NE MF ＝BNBN ＋MN， 又AM ＝BN ，∴CM DN ＝NE MF ，即CM ·MF ＝DN ·NE ，∴12CM ·MF sin ∠CMF ＝12DN ·NE sin ∠DNE .因此S △CMF ＝S △DNE .1．如果α∥β，AB 和CD 是夹在平面α与β之间的两条线段，AB ⊥CD ，且AB ＝2， 直线AB 与平面α所成的角为30°，那么线段CD 的取值范围是()A ．(233，433]B ．[1，＋∞)C ．[1，233]D ．[233，＋∞)解析：如图，过A 点作平面γ⊥AB ，γ∩β＝l ，过A 作AC ⊥l . 垂足为C ，连结AC ，可以证明AC 即为线段CD 的最小值． 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，AB ＝2， ∴AC ＝AB tan ∠ABC ＝233.即CD ≥233.答案：D2．如图，已知平面α∥β∥γ，A ，C ∈α，B ，D ∈γ，异面直线AB 和CD 分别与β交于 E 和G ，连结AD 和BC 分别交β于F ，H .(1)求证：AE EB ＝CGGD ；(2)判断四边形EFGH 是哪一类四边形； (3)若AC ＝BD ＝a ，求四边形EFGH 的周长．解答：(1)证明：由AB，AD确定的平面，与平行平面β和γ的交线分别为EF和BD，知EF∥BD.所以AEEB＝AFFD.同理有FG∥AC，因而AFFD＝CGGD.所以AEEB＝CGGD.(2)面CBD分别交β，γ于HG和BD.由于β∥γ，所以HG∥BD.同理EH∥AC.故EFGH 为平行四边形．(3)由EF∥BD，得EFBD＝AFAD＝AFAF＋FD.由FG∥AC，得FGAC＝DFAD＝DFDF＋FA.又因为BD＝AC＝a，所以EFBD＋FGAC＝EF＋FGa＝AF＋FDAF＋FD＝1.即EF＋FG＝a.故四边形EFGH的周长为2a.3．如下马图，四棱锥P—ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD 的中点，又二面角P—CD—B为45°，(1)求证：AF∥平面PEC；(2)求证：平面PEC⊥平面PCD；(3)设AD＝2，CD＝22，求点A到平面PEC的距离．解答：(1)证明：取PC的中点G，连EG、FG，∵F为PD的中点，∴GF綊12CD，CD綊AB，又E为AB的中点，∴AE綊GF，∴四边形AEGF为平行四边形，∴AF∥GE，因此AF∥平面PEC.(2)证明：PA⊥平面ABCD，则AD是PD在底面上的射影，又ABCD为矩形∴CD⊥AD，则CD⊥PD，因此CD⊥AF，∠PDA为二面角P—CD—B的平面角，即∠PDA＝45°，F为Rt△PAD斜边PD的中点，AF⊥PD，PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD，由(1)知AF∥EG，∴EG⊥平面PDC，∵EG⊂平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD.(3)由(1)知AF∥平面PEC，平面PCD⊥平面PEC，过F作FH⊥PC交PC于H，则FH ⊥平面PEC，∴FH为F到平面PEC的距离，即A到平面PEC的距离，在△PFH与△PCD中，∠P为公共角，∠FHP＝∠CDP＝90°，∴△PFH∽△PCD，FHCD＝PFPC，∵AD＝2，PF＝2，PC＝CD2＋PD2＝8＋8＝4，∴FH＝24·22＝1，∴A到平面PEC的距离为1.。
直线与平面平行习题
直线与平面平行的习题一、选择题1．已知点A∈直线a，点A∈平面β，那么（）（A） aβ（B）a∩β=A（C）a∥β（D）非上面所述的结论2．直经a在平面β外，则（）（A）a∥β（B）a与β至少有一个公共点（C）aβ=A（D）a与β至多有一个公共点3．能够保证直线a平行于平面β的条件是（）（A）aβ，bβ，a∥b（B）bβ，a∥b（B）a∥b∥c，bβ，cβ （D）bβ，A∈a，C、D∈b，AC=BD4．已知下列四个命题：（1）直线与平面没有公共点，则直线与平面平行（2）直线上有两点到平面距离（不为零）相等，则直线与平面平行（3）直线与平面内的任意一条直线不相交，则直线与平面平行（4）直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行，其中正确命题为（）（A）（1）（2）（B）（1）（3）（C）（1）（2）（3）（D）（1）（2）（3）（4）5．矩形ABCD 的边AB 在平面α内，当矩形绕直线AB 旋转时，直线CD 与平面α的位置关系是（ ）（A ）平行 （B ）平行或相交（C ）平行或CD 在α内 （D ）平行或相交或CD 在α内6．四条直线两两平行，任何三条不共面，如果经过其中任意两条作平面，那么可作平面的个数为 （ ）(A)2 (B)4 (C)6 (D)87．空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 上的点，且AE ：EB=AF ：FD=1：4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则 （ ）（A ）BD∥平面EFG ，且EFGH 是矩形 （B ） EF∥平面BCD ，且EFGH 是梯形（C ）HG∥平面ABD ，且EFGH 是菱形 （D ）EH∥平面ADC ，且EFGH 是平形四边形8．下列命题中，正确的命题是 （ ）（A ）平行于同一平面的两直线平行（B ）同时与两条异面直线平行的平面有无数多个（C ）A 、B 两点与平面α上两点C 、D 满足AC=BD≠0，则AB∥平面α（C ）直线l 与平面α不相交，则l∥平面α9.平面α与平面β平行的条件可以是（ ）A ．α内有无穷多条直线都与β平行Ｂ．直线a α∥，a β∥，且直线a 不在α内，也不在β内Ｃ．直线a α⊂，直线b β⊂，且a β∥，b α∥Ｄ．α内的任何直线都与β平行10.下列命题中，错误的是（）Ａ．平行于同一条直线的两个平面平行Ｂ．平行于同一个平面的两个平面平行Ｃ．一个平面与两个平行平面相交，交线平行Ｄ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交∈，那么过点P且平行于α的直线（）11. 已知直线a∥平面α，PαＡ．只有一条，不在平面α内Ｂ．有无数条，不一定在α内Ｃ．只有一条，且在平面α内Ｄ．有无数条，一定在α内12．平面α与平面β平行的条件可以是( )A．α内有无穷多条直线都与β平行 B．直线a∥α，a∥β且a⊄α，a⊄βC．直线a⊂α，b⊂β且α∥β，b∥α D．α内任何中直线都与β平行13．下列命题中，错误的是( )A．平行于同一条直线的两个平面平行B．平行于同一个平面的两个平面平行C．一个平面与两个平行平面相交，交线平行D．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交14．下列命题中，正确的是个数是( )①若两个不同平面不相交，那么它们平行②若一个平面内无数条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行③空间的两个相等的角所在的平面也平行。
直线与平面平行典型例题
.M
B
.N
C
E
D
3. 如图，P是平行四边形ABCD外一点，Q为PA的 中点， P
求证：PC∥BDQ
Q D A E
B
C
4. 如下图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB， 点E、M分别为A1B、C1C的中点。 求证：EM∥平面A1B1C1D1；
A1 A
E D C A B D1 C1 F
的判定定理，往往需要作辅助线（面）.
证明线面平行是高考中常见的问题，常用的方法就是证 3. 明这条线与平面内的某条直线平行.
二. 概念落实
一. 判断对错
1、如果一条直线在平面外，那么直线和平面平行.
2、如果一条直线和平面内的一条直线平行，那么直 线和平面平行. 3、如果直线和平面平行，那么直线和平面内的无数 条直线平行. 4、如果直线和平面平行，那么直线和平面内的所有 直线平行.
B1
7. 如图，三棱柱ABC－ A1B1C1中，M、 N分别是BC和 A1B1的中点，求证:MN∥平面 AA1C1C A
E
B
M
C
A1
N B1
D
C1
大图
8. 如图，已知在三棱柱ABC——A1B1C1 中，D是AC的中点。
求证：AB1//平面DBCA1 1
B1
C1
P
D A C
B
9. 如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是AB的中 点. 求证：AC1//平面CDB1；
C E F
B
D
2. 已知正四棱锥P—ABCD，M、N分别是PA、BD上的点，
且PM∶MA=BN∶ND.
求证：直线MN∥平面PBC；
P 知道比例式，提示我们用平行线分比例定理 M 辅助线方法：连接AN并延长交BC与点E D
直线与平面综合典型例题
典型例题一例1 三条直线两两相交，由这三条直线所确定平面的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．1或3分析：本题显然是要应用推论2判断所能确定平面的个数，需要在空间想象出这三条直线所有不同位置的图形，有如下图的三种情况（如图）：答案：D ．说明：本题启发我们考虑问题不要只局限于平面图形，应养成在三维空间考虑问题的习惯．典型例题二例2 一条直线与三条平行直线都相交，求证这四条直线共面．分析：先将已知和求证改写成符号语言．证明诸线共面，可先由其中的两条直线确定一个平面，然后证明其余的直线均在此平面内．也可先由其中两条确定一个平面α，另两条确定平面β，再证平面α，β重合．已知：c b a ////，A a l = ，B b l = ，C c l = ．求证：直线a ，b ，c ，l 共面．证明： ∵ b a //，∴ a ，b 确定一个平面α．∵ A a l = ，B b l = ，∴ α∈A ，α∈B ，故α⊂l ．又 ∵ c a //， ∴ a ，c 确定一个平面β．同理可证β⊂l ．∴ a =βα ，且l =βα ．∵ 过两条相交直线a ，l 有且只有一个平面，故α与β重合即直线a ，b ，c ，l 共面．说明：本例是新教材第9页第9题的一个简单推广，还可推广到更一般的情形．本例证明既采用了归一法，同时又采用了同一法．这两种方法是证明线共面问题的常用方法．在证明α⊂c 时，也可以用如下反证法证明：假设直线α⊄c ，则c 一定与α相交，此时直线c 与a 内的所有直线都不会平行，这显然与c a //矛盾．故α⊂c ．典型例题三例3 已知ABC ∆在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P ，Q ，R 三点，证明P ，Q ，R 三点在同一条直线上．分析：如图所示，欲证P ，Q ，R 三点共线，只须证P ，Q ，R 在平面α和平面ABC ∆的交线上，由P ，Q ，R 都是两平面的公共点而得证．证明：∵ P AB =α ，Q BC =α ，∴ PQ 是平面α与平面ABC 的交线．又 ∵ R AC =α ，∴ α∈R 且∈R 平面ABC ，∴ PQ R ∈，∴ P ，Q ，R 三点共线．说明：证明点共线的一般方法是证明这些点是某两个平面的公共点，由公理2，这些点都在这两平面的交线上．典型例题四例4 如图所示，ABC ∆与111C B A ∆不在同一个平面内，如果三直线1AA 、1BB 、1CC 两两相交，证明：三直线1AA 、1BB 、1CC 交于一点．分析：证明三线共点的一般思路是：先证明两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上即可．证明：由推论2，可设1BB 与1CC ，1CC 与1AA ，1AA 与1BB 分别确定平面α，β，γ．取P BB AA =11 ，则1AA P ∈，1BB P ∈．又因1CC =βα ，则1CC P ∈（公理2），于是P CC BB AA =111 ，故三直线1AA 、1BB 、1CC 共点．说明：空间中证三线共点有如下两种方法：（1）先确定两直线交于一点，再证该点是这两条直线所在两个平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线，由公理2，该点在它们的交线上，从而得三线共点．（2）先将其中一条直线看做是某两个平面的交线，证明该交线与另两直线分别交于两点，再证这两点重合．从而得三线共点．典型例题五（1）不共面的四点可以确定几个平面？（2）三条直线两两平行但不共面，它们可以确定几个平面？（3）共点的三条直线可以确定几个平面？分析：（1）可利用公里3判定。
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高一数学练习题
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1、a、b是异面直线，下列结论中，（1）过a有且只有一个平面垂直于b；（2）
过a有且只有一个平面平行于b；（3）过空间任一点有且只有一个平面同时和
a、b平行；（4）过空间任一点有且只有一条直线同时和a、b垂直，其中正确
的结论的个数为（）
A、1个
B、2个 3、3个 D、4个
2、α、β是平面，α∩β=PQ，直线αa，则（）
A、在β内存在与a平行的直线
B、在β内不存在与a平行的直线
C、在β内存在与a垂直的直线
D、在β内不一定存在与a垂直的直线
3、在正方体的表面正方体的12条对角线中，互为异面且成60°的对角线共有几
对？（）
A、48对
B、24对
C、12对
D、6对
4、P是ΔABC所在平面外一点，连结PA、PB、PC，连同AB、BC、CA共6条直线，
互相垂直的直线最多有（）
A、3对
B、4对
C、6对
D、8对
5、P是ΔABC所在平面外一点，连结PA、PB、PC，则在ΔABC、ΔPBC、ΔPCA 中，
直角三角形最多有（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
6、a、b是异面直线，点A、B∈a，点C、D∈b，若CA=CB，DA=DB，则a、b所成的
角为（）
A、90°
B、60°
C、45°
D、30°
7、自空间一点P引三条射线PA、PB、PC，若∠APB=∠BPC=∠CPA=60°，则PA 与平
面PBC所成角的余弦值为（）
A、 B、 C、 D、
8、α、β是平面，α∩β=PQ，点A∈α，AB⊥PQ，B为垂足，A在β内的射影为
A′，若AB=a，AB与β所成角为60°，则A′到α的距离为（）
A、 B、 C、 D、
9、ΔABC的两个顶点A、B到平面α的距离都是3，ΔABC的重心G与A、B 在α的同
侧，若G到α的距离为4，则顶点C到α的距离为（）
A、3
B、4
C、5
D、6
10、ABCD是空间四边形，AD=BC=2，E、F分别是AB、CD的中点，EF=，则AD、BC所成的角为（）
A、60°
B、90°
C、120°
D、30°
答案：
1-5 BCBCD 6-10 ADBDA。