沪科版数学八年级下册16.1二次根式第1课时

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八年级数学下册教案-16.1 二次根式10-沪科版

16.1 二次根式（第一课时）教材分析二次根式属于数与代数领域的内容，它是学生学习了有关实数的概念与运算等内容的基础上进行教学的，它是对实数、代数式等内容的延伸和补充，同时也是将要学习的勾股定理、解直角三角形、一元二次方程和二次函数等内容的基础，并为学习高中数学的函数以及解析几何等内容做好准备。

因此，教学中需注意联系之前所学实数的相关知识，通过类比旧知识学习新知识，形成正迁移。

学情分析从学习内容的角度看，在学习本节课之前学生已经学习了开方运算，能迅速求出一个数的平方根和算术平方根，为二次根式的学习打好了基础。

从认识的角度看，学生已经能从具体事例中归纳问题本质，通过观察、类比等活动抽象出问题的规律。

从学习能力看，在前面的学习过程中积累了自主合作探究的经验，具备合作交流和概括的能力。

教学目标知识与技能1、借助生活实例了解二次根式的概念。

2、理解二次根式有意义的条件。

3、二次根式的双重非负性及应用。

过程与方法通过探求正方形画布边长的过程，培养学生学会从现实情境中去认识，了解抽象出来的数学概念——二次根式。

再对概念的内涵进行分析，得出二次根式有意义的条件，并运用这一条件引出二次根式的双重非负性。

情感、态度与价值观通过在实际情境中的学习，了解二次根式的概念和性质，培养学生形成善于观察、质疑和思考的良好学习习惯，学生在思维的形成过程中学习知识。

教学重点二次根式有意义的条件和双重非负性。

教学难点二次根式的双重非负性及应用教学准备多媒体课件、投影仪等。

教学方法引导发现法、合作探究式教学法、情景讲授法、练习相结合等。

教学过程一、创设情境，导入新课参加研学作品展的画布为正方形，若面积为23m ,则边长为多少；若面积为2Sm ，则边长为多少？一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t 单位：s ）与开始落下的高度h （单位：m ）满足关系25t h =，如果用含有h 的式子表示t ？二、实践探究，归纳总结上面问题中，得到的结果分别是3 、S 、5h . （1）这些式子分别表示什么意义？（2）这些式子有什么共同特征？（2）你能指出它们的共同特点吗？都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．1、二次根式的定义：一般地，我们把形如 a （0≥a ）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． a 既可以是一个数，也可以是一个式子. 两个必备特征：⎪⎩⎪⎨⎧≥0a 内在条件：被开方数”外貌条件：含有“ 找一找：下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？（1）4 ；（2）20- ；（3）37 ；（4）m ；（5）12+a . 解：(1)(5)均是二次根式，其中12+a 属于“非负数+正数”的形式一定大于零，(2)(3)(4)均不是二次根式.2、二次根式有意义的条件例1 当x 是怎样的实数时， 3+x 在实数范围内有意义？解：要使 3+x 在实数范围有意义,必须 03≥+x 解得：3-≥x∴ 当3-≥x 时，3+x 在实数范围内有意义．思考: 当x 是怎样的实数时，2x 在实数范围内有意义？因为x 为任意实数时都有02≥x ，所以当x 为一切实数时，2x 在实数范围内都有意义。

沪科版初中数学八年级下册精品课件16.1 二次根式

属于“非负数+正数”的形式,一定大于零.而（5）中xy<0,（7）根指数不是2，是3.（3）不是，因为在实数范围内，负数没有平方根.
例2 当x取何值时, 二次根式 x 1有意义? 解：由x-1≥0，得 x≥1. 当x≥1时， x 1 在实数范围内有意义. 试求当x=9时，二次根式 x 1的值. 当x=9时， x 1 9 1 8 2 2 .

2
4
4

2
2
2

1 3
2

1 3

2
0
0
2是2的算术平方根，根据算术平方根的意义， 2是一个平方等于2的非负数，因此有（ 2）2 2
归纳
一般地，有
性质 1.( a )2=a (a≥0)
由其定义我们还可进一步知道：二次根式具有双重非负性. 到目前为止，非负数的三种表现形式归纳如下： a2, ︱a︱, a . 由前面可知，二次根式还有第二条重要性质：即 a2 = a . 文字叙述：任何一个非负数的平方的算术平方根都等于这个数.
a 2 a取任何实数
( a)2与 a2 有区别吗?
例3：化简:
(1) 16;
(2) (5)2 ;
(3) (7)2;
(4) 72 .
解：(1) 16 42 4 (3) (7)2 7
（2）（- 5）2 5
(4) 72 1 7
课堂小结
定义 a （a≥0）
二次根式性质
a 0(a 0)
（即数）
a 表示一个非负
2
a aa 0;
a2 （ a a 0）
正方形的边长是 b 3 .
b-3
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？

八年级数学沪科版下册二次根式第1课时

2 理解二次根式中被开方数在实数范围内有意义的条件.
研读课文
知
思考用带有根号的式子填空，看看写
识
出的结果有什么特点：
点
⑴面积为3的正方形的边长为 3 ，面积
一
为S的正方形的边长为 S .
二
3
次
根
⑵一个长方形的围栏，长是宽的2倍，
式
面积为，则它的宽为___13_0__
2
研读课文
⑶一个物体从高处自由落下，落到地面所
知识点
用的时间t（单位：s）与开始落下时离地
面的高度h（单位：m）满足关系 h 5t 2
如果用含有h的式子表示t，那么t为__h___
5
一 1、上面问题结果表示为一些正数的算术平方根 .
二 2、一般地，我们把形如： a（ a≥0 ）的式
次子叫做二次根式，“
”称为二次根号.
根练一练画一个面积为 18cm2 的长方形，使它
式的长和宽之比为3：2，它的长、宽各应取多少？
答：长应取 3 3 cm 宽应取2 3 cm
研读课文
二
次
知
根式
识有
点意
二义
的
条
件
例1 当 x是怎样的实数时， x - 2 在实
数范围内有意义？解：由 x-2 ≥0，得:
x ≥___2___ 当 x≥__2____ x - 2 在实数范围内有意义练一练当 a 是怎样的实数时，下列的各
C. 1
5
D. 以上皆不对
强化训练
x 5、当是怎样的实数时，下列各式在
实数范围内有意义？
（1） x2 1
x为任意实数
（2） (x 1)2

沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计1

沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计1一. 教材分析《二次根式》是沪科版数学八年级下册第16章的第一节内容。

本节内容主要介绍二次根式的概念、性质和运算。

二次根式在数学中占有重要的地位，它是学习更高阶数学的基础。

本节内容的教学目标是使学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质，能进行二次根式的运算。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了实数、有理数、无理数等基础知识，对数学中的运算有一定的理解。

但二次根式作为一个新的概念，对学生来说还是较为抽象，需要通过实例和练习来理解和掌握。

三. 教学目标1.了解二次根式的概念，能正确识别二次根式。

2.掌握二次根式的性质，能进行二次根式的运算。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。

2.二次根式的运算方法。

五. 教学方法1.采用实例教学法，通过具体的例子来引导学生理解和掌握二次根式的概念和性质。

2.采用归纳法，让学生通过自主探究和合作交流，总结出二次根式的性质和运算方法。

3.采用练习法，通过大量的练习来巩固学生的知识和提高解题能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学材料，如PPT、教案、练习题等。

2.准备教学工具，如黑板、粉笔、投影仪等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式的概念，如“一个正方形的对角线长为8，求正方形的面积。

”让学生思考如何解决这个问题，从而引出二次根式。

2.呈现（10分钟）讲解二次根式的概念和性质，通过PPT展示相关的例子和性质，让学生理解和掌握二次根式。

3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的运算练习，如化简二次根式、求二次根式的值等。

教师及时批改和讲解，帮助学生掌握二次根式的运算方法。

4.巩固（10分钟）通过一些综合性的练习题，让学生运用所学的知识和方法解决问题，巩固二次根式的理解和运用。

5.拓展（10分钟）讲解二次根式的一些应用，如在几何、物理等学科中的应用，让学生了解二次根式的实际意义和价值。

沪科版八年级数学下册16.1 二次根式(第1课时)

(2) 6, (3) 9 ,
(6) xy x, y异号 , (7) a ,(8) 5 .
(5) m m 0 ,

2
3
在实数范围内,负数没有平方根
由于 2 是2的算术平方根，根据平方根的意义，应有：（ 2 ）2＝2
类似地，计算： 5 （ 5 ）² ＝＿＿＿＿； 7 7 （）² ＝＿＿＿＿； 5 5 0 （ 0 ）² ＝＿＿＿＿。
x＋ 1 3、式子在实数范围内有意义时， x的取 2x－ 1 值范围是【 C 】 A、 x ≥ 1 B、 x ＜－ 1 1 C、 x ≥－ 1且 x ≠ D、 x ≤－ 1 2
4、要使二次根式 2x－6 有意义，应满足的条件 x≥3 是＿＿＿＿＿＿。
1、课本第4页练习第1题。 2、课本第4~5页“习题16.1” 第1、2、4题。
性质 1：（ a ）² ＝a（a≥0）
例2 计算：
(1)( 12)
2
解：（ 12 ） ² ＝ 12 2 2 ( 2)( ) 3
解：（
2
2 2 ）² ＝ 3 3
(3)( a b ) (a b 0)
解：（ a＋b ）² ＝ a＋ b
求下列各式的值： ⑴ （ 300 ） ² ⑶ （－ 2.7 ） ² 2 ⑵ （3 ）² 9 ⑷ （－ 2 5 ） ²
当a是正数时， a 表示a的算术平方根，即正数a的两个平方根中的一个正数。
当a是零时， a 表示零，也叫零的算术平方根。
(a≥0)表示非负数a的算术平方根，形如 a的式子叫做二次根式。
它必须具备如下特点： 1、根指数为2； 2、被开方数必须是非负数。
例1 下列各式是二次根式吗？
(1) 32 , (4) 12 ,

沪科版八年级数学下16.1二次根式(包含两个课时)

表示非负数a的算术平方根
复习 1、如果 x 4 ，那么 x ±2
2
；
；
x 3 2、如果 x 3 ，那么
2
3、如果 x a(a 0) ，
2
那么 x a 。
x
a
2
a
(a 0)
a ( a 0) 2 a a 0 (a 0) a (a 0)
2
2
⑷ ⑹
⑸ m 3
a 1 (a 1)
1.由于 2 是2的算术平方根，根据 2 平方根的意义，应有（－2） =2 . 类似地，计算：

5 0 _____; 0 5 _____;
2

2
7 7 _____. 5 5
2
?
一般地,二次根式有下面的性质:
根号a”
请你区别（a≥0）
a,
a , a , 分别表示什么意义？
a 的平方根
a
49 . 1 100
a 的负平方根
的算术平方根例2 先说出下列各式的意义，再计算。
2
9 225. 3 . 4
议一议
平方根与算术平方根有什么区别和联系？
联系 (1) 平方根包含算术平方根 (2) 被开方数都为非负数 (3) 0的平方根和算术平方根都是0 （4）平方根和算术平方根都是开平方运算
2
2
=√ （
x- ）
2
当 x =4时，| x - |=|4- |=4- .
∴当 x =4时，
√
x - 2 x +
2
2
=4- .
1 当x取何值时，在实数范围内有意义。 x5

沪科版数学八年级下册沪科版八年级数学下册课件：16.1二次根式1

（2）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（3）
（4）
（5）
灿若寒星
答案：（1）（2）
（3）（4）
（5）
灿若寒星
2.化简并求值：
(1)
其中
.
(2)
其中
灿若寒星
3.已知求的值. 答案：
3.
灿若寒星
4.延伸拓展（1）已知－1＜x＜2，求的值；
（2）已知a为实数，求的值.
答案： 5、（1）（2）
灿若寒星
例2、计算：（1）解：原式
灿若寒星
解：原式
灿若寒星
（3）解：原式
灿若寒星
例3、计算：（1）解:原式
灿若寒星
解：由二次根式的意义可知：即
灿若寒星
例4、设的整数部分是a，小数部分是b，试求的值. 解：
的整数部分为1. ∴的整数部分为3，小数部分是
即：
灿若寒星
灿若寒星
练习： 1.计算：（1）
初中数学课件
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灿若寒星
二次根式的概念二次根式二次根式的性质
二次根式的运算与化简
灿若寒星
例1、x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？
解:（1）由
得x≥－1且x≠2.
∴当x≥－1且x≠2时，式子有意义.
灿若寒星
解：（2）由得－5≤x＜3.
∴当－5≤x＜3时，有意义.
灿若寒星

沪科版八年级数学下册第16章二次根式PPT课件全套

（来自《典中点》）
知2－讲
知识点
2 二次根式有意义的条件
1．二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数；反之也成立，即： a 有意义⇔a≥0. 2．二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数；
反之也成立，即： a 无意义⇔a＜0.
知2－讲
例2 当x为何值时，下列式子在实数范围内 x 2
解：(1)要使 x 3 有意义，必须x+3 ≥0.解这个不等式，得 x ≥ -3.
即当x ≥ -3时， x 3 在实数范围内有意义.
(2)因为x为任何实数时都有x2 ≥0，所以当x为一切实数时， x 2 在实数范围内都有意义
（来自《教材》）
知2－讲
总结
求式子有意义时字母的取值范围的方法：第一步，
（来自《典中点》）
知3－讲
知识点
3
二次根式的“双重”非负性（a≥0， a ≥0）
双重非负性： a 中 a≥0， a ≥0，即一个非负
数的算术平方根是一个非负数.
知3－讲
例4 若 x 2 y 9 与 x y 3 互为相反数，则x+y 的值为 ( D ) A．3 B．9 C．12 D．27
是先根据定义建立关于字母的不等式(组)，再通过解
不等式(组)确定字母取值范围．
（来自《点拨》）
知2－练
1 (中考· 巴中)要使式子范围是( A．m>－1 B．m≥－1 )
m 1 有意义，则m的取值 m 1
C．m>－1且m≠1
D．m≥－1且m≠1
（来自《典中点》）
知2－练
2 (中考· 滨州)如果式子 2 x 6 有意义，那么x的取值范围在数轴上表示正确的是( )

沪科版八年级下册数学精品教学课件第16章二次根式第1课时二次根式的概念

解得 m≥2，且 m ≠ -2，且 m ≠ 2，
∴ m＞2． (2) 无论 x 取任何实数，代数式 x2 6x m 都有意义，求 m 的取值范围．解：由题意得 x2 + 6x + m≥0 对任意实数 x 恒成立，
即 (x + 3)2 + m - 9≥0 对任意实数 x 恒成立. ∵ (x + 3)2≥0，∴ m - 9≥0，即 m≥9.
解：由题意得 x (x - 1)≥0，
由乘法法则得
x
x≥1≥0，0，或
x
x≤0， 1≤0，
解得 x≥1 或 x≤0.
即当 x≥1 或 x≤0 时， x x 1 有意义.
体会解题思想后，试着解答：当 x 为何值时， x 2
2x 1
有意义？
解：由题意得 x 2 ≥0，
2x 1
则 2xx21≥＞00，，或2xx21≤＜00，，
∴ 3x + 2y 的算术平方根为 5．
【变式题】已知 a，b 为等腰三角形的两条边长，且 a，
b 满足 b 3 a 2a 6 4 ，求此三角形的周长．
解：由题意得
3 a≥0， 2a 6≥0，
∴ a = 3. ∴ b = 4.
当 a 为腰长时，三角形的周长为 3 + 3 + 4 = 10；
归纳若多个非负式的和为零，则可得每个非负式均为零.初中阶段学过的非负式主要有绝对值式、偶次幂式及二次根式.
例4 已知 y = x 3 3 x 8，求 3x + 2y 的算术平
方根.
解：由题意得
x 3≥0， 3 x≥0，
∴ x = 3．∴ y = 8．
∴ 3x + 2y = 3×3 + 2×8 = 25．

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（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？ a 中的a≥0； a≥ 0．双重非负性
（3）二次根式与算术平方根有什么关系？二次根式都是非负数的算术平方根，带有根号的算
术平方根是二次根式．
灿若寒星
总结：被开方数不小于零．
灿若寒星
课外探究探究请比较 a 和0 的大小．分类讨论思想
当a＞0 时， a 表示a 的算术平方根，因此 a ＞0；当a =0 时，a 表示0的算术平方根，因此 a =0；这就是说， a（a≥0）是一个非负数．
双重非负性
灿若寒星
课时小结
（1）本节课你学到了哪一类新的式子？一般地，我们把形如（a≥a 0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．
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第16章二次根式
16.1二次根式（第 1课时）
灿若寒星
情景导入
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传得越远，从而能收看到电视节目的区域越
广，电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径r（单位km）之间存
在近似关系 r=，2其Rh中地球半径
提出问题：上述问题（1）中式子你是怎么得到？得到
的两个式子有什么不同？
灿若寒星
引入新课
问题（2）：一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为
130m2，则它的宽为___6_5__m．
提出问题：请问上述问题（2）中得到的式子有什么意
义？
灿若寒星
引入新课
问题（3）：
一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关
h
系 h =5t2，如果用0，10，15，20，25时，得
到的结果分别是什么？
h 5
表示的数怎样变化？
灿若寒星
正文讲授
上面问题中，得到的结果分别是： 3 ， S ， 65 ， h ． 5
（1）这些式子分别表示什么意义？（2）这些式子有什么共同特征？
被开方数a≥0；二次根式
根指数灿为若寒2星．
正文讲授
练习1 指出下列哪些是二次根式？
（1） 5 ； √
（2） -3 ；（3）3 21；
（4） x2+1 ； √ （5） a-2（a ≥ 2）； √
（6） a-b（a＜ b）．
灿若寒星
正文讲授练习2 二次根式和算术平方根有什么关系？二次根式都是非负数的算术平方根；带有根号的算术平方根是二次根式．
R≈6400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、h2 km，那么它们的传播半径
之比是式子
2Rh1 ，你能化简这个式子吗？
2Rh2
2表Rh示1 什么？公式中
r= 2Rh
2Rh2
中的r= 2Rh 表示什么意义灿若？寒星
引入新课问题（1）：
面积为3 的正方形的边长为____3___，
面积为S 的正方形的边长为_____S__．
（1）
a+1；（2）
1 1-2a
；（3）（a-1）2 ．
解：（1）由a+1≥0，得 a≥-1；
（2）由1-2a＞0，得
a＜
1； 2
（3）由（a-1）2≥0，得 a为任何实数．
灿若寒星
正文讲授变式演练 a 取何值时，下列根式有意义？
（1） a2 -2a+1 ；（2） -（a-1）2 ．
答案：（1） a为任何实数；（2） a =1．
分别表示3，S，65，h 的算术平方根．
5 这些式子的共同特征是：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．
灿若寒星
正文讲授
（3）根据你的理解，请写出二次根式的定义．
把形如 3 ， S ，65， h 用来表示一个非负数的 5
算术平方根的式子，叫做二次根式．二次根式：
一般地，我们把形如（aa≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．
灿若寒星
正文讲授
例1 当x 是怎样的实数时， x+2 在实数范围内有意义？
解：要使 x+2 在实数范围有意义，必须 x+2≥0， ∴ x≥-2．
∴ 当x≥-2时， x+2 在实数范围内有意义．
思考当x 是怎样的实数时， x2 在实数范围内有意
义？ x3 呢？
灿若寒星
正文讲授
例2 a 取何值时，下列根式有意义？