北航高等数学课件9-习题课

在点 M 处的方向导数为
u r0
M
u x
u M cos y
u M cos z
M
cos
2 2 2 x y z 2 0 2 x 0 x 0 2 y0 y0 2 z 0 z 0 0 ( 2 2 02 ) 2 2 2 r0 a b c a r0 b r0 c r0
一、主要内容
多元函数概念
极 限 运 算 多元连续函数 的性质
多元函数 的极限
多元函数 连续的概念
方向导数
复合函数 求导法则
全微分形式 的不变性全微分 Leabharlann 念梯 度高阶偏导数
偏导数 概念
隐函数 求导法则
微分法在 几何上的应用
多元函数的极值
多元函数连续、可导、可微的关系 函数连续 函数可导
函数可微 偏导数连续
x y 二、讨论函数z 3 的连续性，并指出间断点类型. 3 x y
三、求下列函数的一阶偏导数: 1、 z x ln y ； 2、 u f ( x, xy, xyz ), z ( x, y )； x2 y 2 2 x y 0 2 2 3、 f ( x , y ) x y . 2 2 0 x y 0 四、设 u f ( x , z ),而 z( x , y ) 是由方程 z x y ( z )所 确的函数,求 du .
x3 八 .设 函 数 f ( x , y ) y , y 0,证 明 在 原 点 处 0, y 0, 函数不可微 , 但 沿 任 何 方 向 的 方 向数 导均 存 在 .
测验题答案
一、1、A； 2、B； 3、B； 4、B； 5、D ； 6、C； 7、A； 8、A； 9、D； 10、B. 二、(1)当 x y 0 时,在点( x , y ) 函数连续； (2)当 x y 0 时,而( x , y ) 不是原点时, 则( x , y ) 为可去间断点,( 0,0 ) 为无穷间断点. ln x ln y ln y 1 x ； 三、1、 z x (ln y ) x ,z y y 2、 u x f 1 yf 2 ( yz xyz x ) f 3 , u y xf 2 ( xz xyz y ) f 3 . 2 xy 3 2 2 , x y 0 2 2 2 , 3、 f x ( x , y ) ( x y ) 0, x 2 y 2 0
1 6
；
(D)
1 8
.
( x , y ) 的某邻 10、设函数 u u( x , y ), v v ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处有 域内可微分,则 在点 grad ( uv ) ( ). ( A) gradu gradv;
( B) (C ) ( D)
u gradv v gradu; u gradv; v gradu.
3 4
yf 22 . 4 x 3 f1 2 xf 2 x 4 yf11
设 u f ( x , y , z ), ( x 2 , e y , z ) 0, y sin x , du ( f , 具有一阶连续偏导数)， 且 0, 求 . z dx
x2(x2 y2 ) 2 2 , x y 0 2 2 2 f y ( x, y) ( x y ) . o, x 2 y 2 0 f2 f 2 ( z ) 四、 ( f 1 )dx dy . y ( z ) 1 y ( z ) 1 e y f uy xe y f xu f xy e y f u . 五、 xe 2 y f uu
测 验 题
一、选择题:
4 1 arcsin 2 1 、 二元函数 z ln 2 的定义 2 2 x y x y 域是( ). （A）1 x 2 y 2 4 ； （B）1 x 2 y 2 4 ； 2 2 2 2 （C）1 x y 4 ； （D）1 x y 4 . x 2 f ( xy , ) ( x y ) 2、设 ,则 f ( x , y ) ( ). y 1 2 x 2 2 x ( y ) ( 1 y ) （A） ； （B） ； y y 1 2 y 2 （C） y ( x ) ； （D） (1 y ) 2 . x x
3
解
z 1 3 x ( f1x f 2 ) x 4 f1 x 2 f 2, y x
2z 1 1 4 2 x f12 ) x ( f 21 x f 22 ) x ( f11 2 y x x
2 x 3 f12 xf 22 , x 5 f11
例3 解
du f f dy f z f z dy , dx x y dx z x z y dx
z z dy 2 y , ,得 显然 cos x , 在 ( x , e , z ) 0 中 求 dx x y
z 2 x 1 , x 3
2z 2z 4 ( x f1 x 2 f 2) xy yx x
y 4 x f1 x [ f11 y f12 ( 2 )] 2 xf2 x y 2 y f 22 ( 2 )] x [ f 21 x
x 2 y2 z 2 例5 求 u 2 2 2 在点 M ( x 0 , y0 , z0 ) 处沿点 a b c 的向径 r0 的方向导数 .
解
r0 x0 , y0 , z0 ,
2 r0 x 0 y02 z02 ,
x0 y0 z0 cos , cos , cos . r0 r0 r0
1 2 2 2 2 ( x y ) sin , x y 0 2 2 x y 5、设 f ( x , y ) 0, x 2 y 2 0 则在原点( 0,0 ) 处 f ( x , y ) ( ). (A)偏导数不存在； (B)不可微； (C)偏导数存在且连续； (D)可微 . 6、设 z f ( x , v ), v v ( x , y ) 其中 f , v 具有二阶连续偏 2z 导数.则 2 ( ). y 2 f v f 2 v f 2 v 2 ； (B) 2 ； (A) vy y v y v y 2 f v 2 f 2 v 2 f v f 2 v 2 ； (D) 2 2. (C) 2 ( ) v y v y v y v y
xy 0, xy 0,
解
f ( x ,1) f (0,1) f x (0,1) lim . x 0 x
sin( x ) lim 1. 2 x 0 ( x )
2
f (0,1 y ) f (0,1) f y (0,1) lim . 0. x 0 y
4 3 35 六、 ( , , ). 5 5 12
例6 求旋转抛物面 z x 2 y 2 与平面 x y 2 z 2
之间的最短距离．
解 设 P ( x , y , z ) 为抛物面 z x 2 y 2 上任一点, 则
P 到平面 x y 2 z 2 0 的距离为 d , 1 d x y 2z 2 . 6 分析: 本题变为求一点P ( x , y , z )，使得 x , y , z 1 2 2 满足 x y z 0且使 d x y 2z 2 6 1 2 (即 d ( x y 2 z 2)2 ) 最小． 6
3、lim ( x y )
2 2 x0 y0
x2 y2
(
).
(A) 0 ； (B) 1 ； (C) 2 ； (D) e . 4、函数 f ( x , y ) 在点( x 0 , y 0 ) 处连续,且两个偏导数 f x ( x 0 , y 0 ), f y ( x 0 , y 0 ) 存在是 f ( x , y ) 在该点可微 的( ). （A）充分条件,但不是必要条件； （B）必要条件,但不是充分条件； （C）充分必要条件； （D）既不是充分条件,也不是必要条件.
y z 2e y 3
du f f 1 f sin x ) . 故 cos x ( 2 x 1 e cos x 2 dx x y 3 z
1 2 sin( x y ), 例4 设函数 f ( x , y ) xy 0, 试求 f x (0,1), f y (0,1).
7、曲面 xyz a 3 (a 0) 的切平面与三个坐标面所围 成的四面体的体积 V=( ). 3 3 3 a a (A) 3 ； (B) ； 2 3 3 6 a a (C) 9 ； (D) . 2 3 3 8 、 二 元 函 数 z 3( x y ) x y 的 极 大 值 点 是 ( ). (A) (1,1)； (B) (1.-1 )； (C) (-1,1)； (D) (-1,-1). 9、函数 u sin x sin y sin z 满足 x y z ( x 0, y 0, z 0) 的条件极值是( ). 2 (A) 1 ； (B) 0 ； (C)
二、典型例题
( y x) x 例1 求极限 lim . 2 2 x 0 x y y 0 解
0
x
x y
2
2
1
( y x) x 故 lim 0. 2 2 x 0 x y y 0
y 例2 设 z x f ( xy , ), ( f 具有二阶连续偏导数)， x z 2 z 2 z 求 , 2, . y y xy
f 具有连续的二阶偏导 五、设 z ( u, x , y ), u xe y ,其中 2z 数,求 . xy
x y z 和柱面 x 2 y 2 1的交线上与 xoy平面距 六、 面 1 3 4 5 离最短的点