2018版数学《课堂讲义》北师大版选修4-4讲义第二讲 参数方程 2.3 椭圆的参数方程

椭圆的参数方程
双曲线的参数方程
.椭圆的参数方程
()椭圆＋＝的参数方程为φ，＝ φ))
(φ为参数)，参数的几何意义是以为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与轴正半轴的夹角.
()中心在(，)的椭圆的参数方程是φ，＝＋ φ))(φ为参数).
.双曲线的参数方程
中心在原点，焦点在轴上的双曲线－＝的参数方程为φ)，＝ φ))
(φ为参数)，规定φ的取值范围为φ∈[，π)且φ≠，φ≠π.
【思维导图】
【知能要点】
.椭圆的参数方程.
.双曲线的参数方程.
题型一椭圆的参数方程
.和圆的参数方程θ，＝ θ))
中的参数θ是半径的旋转角不同，椭圆参数方程φ，＝ φ))
中的参数φ是椭圆上点的离心角.
.椭圆＋＝ (>>)的参数方程为φ，＝＋ φ))(φ为参数).
【例】已知、分别是椭圆＋
＝的右顶点和上顶点，动点在该椭圆上运动，求△的重心的
轨迹的普通方程.
解由动点在该椭圆上运动，故据此可设点的坐标为( θ，
θ)，点的坐标为(，)，则由题意可知点(，)，(，).
由重心坐标公式可知
θ)＝＋ θ，＝(＋＋ θ)＝＋ θ.))
由此消去θ得到＋(－)＝即为所求.
【反思感悟】本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便.
.设、分别为椭圆：＋＝ (>>)的左、右焦点.
()若椭圆上的点到、距离之和等于，写出椭圆的方程和焦点坐标；
()设是()中椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.
解()由椭圆上点到、的距离之和是，
得＝，即＝.
又点在椭圆上，
因此＋＝，得＝，
于是＝－＝，
所以椭圆的方程为＋＝，
焦点坐标为(－，)，(，).
()设椭圆上的动点的坐标为( θ，θ)，
线段的中点坐标为(，)，
则＝θ－)，＝θ＋)，
所以＋＝θ，＝θ.
消去θ，得＋＝，这就是线段的中点的轨迹方程.
题型二双曲线的参数方程
与椭圆类似，双曲线的参数方程φ)，＝ φ))
(φ为参数)中φ的几何意义也是双曲线上一点的离心角.
【例】直线过双曲线－
＝的中心，与双曲线交于，两点，是双曲线上的任意一点.求证：直线，的斜率的乘积为定值.
证明如图所示，
设α)， α))，θ)， θ)).
∵过原点，
∴，的坐标关于原点对称，
于是有θ)，－ θ))，
从而：·＝。